title: Caratteristica (algebra)
text: # Caratteristica (algebra)
  
  In matematica, la caratteristica di un anello è definita come il più piccolo numero naturale $n$ diverso da zero tale che l'elemento
  
      ${\begin{matrix}\underbrace {1+1+\dots +1} \\n\mathrm {~volte} \end{matrix}}$
  
  è uguale a zero. Se questo minimo non esiste, cioè se $1+1+\ldots +1$ è sempre diverso da zero, la caratteristica è $0$ per definizione.
  
  Molti risultati importanti dell'algebra lineare o della geometria algebrica richiedono che l'anello o il campo usato nella teoria abbia caratteristica zero. La presenza di una caratteristica diversa da zero può portare a fenomeni che si scontrano con l'intuizione geometrica. Altri risultati richiedono che l'anello o il campo non abbia caratteristica $2$.
  
  ## Proprietà
  
  ### Caratteristica di un elemento
  
  Più generalmente, la caratteristica di un elemento $a$ è il più piccolo $k$ tale che
  
      ${\begin{matrix}\underbrace {a+a+\dots +a} \\k\end{matrix}}$
  
  sia uguale a zero. Secondo questa definizione, si può definire la caratteristica dell'anello come il minimo comune multiplo delle caratteristiche dei suoi elementi.
  
  Se l'anello è un dominio di integrità, ogni elemento diverso da zero ha la stessa caratteristica.
  
  ### Numero primo
  
  Nei domini di integrità, la caratteristica è $0$ oppure un numero primo: l'unica eccezione è l'anello banale (fatto di un elemento solo $0=1$) che è l'unico dominio con caratteristica $1$.
  
  ### Anello finito
  
  Un anello con un numero finito di elementi ha sempre caratteristica diversa da zero.
  
  ### Sottoanelli, morfismi
  
  Se $A$ è un sottoanello di $B$, ha la stessa caratteristica di $B$.
  
  Più in generale, se $A$ e $B$ sono anelli e $A\to B$ è un omomorfismo di anelli, allora la caratteristica di $B$ divide quella di $A$.
  
  ### Endomorfismo di Frobenius
  
  Se la caratteristica di un anello $A$ è un numero primo $p$, allora
  
      $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p},$
  
  per tutti gli elementi $x,y$ in $A$. La mappa
  
      $f:x\mapsto x^{p},$
  
  è quindi un endomorfismo di anelli, chiamato endomorfismo di Frobenius. Questo è iniettivo se $A$ è un dominio d'integrità.
  
  ## Esempi
  
  ### Campi razionali, reali, complessi
  
  I campi $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ e $\mathbb {C}$ dei numeri razionali, reali e numeri complessi hanno caratteristica zero.
  
  ### Anelli finiti
  
  Un anello con un numero finito di elementi ha caratteristica diversa da zero. Ad esempio, l'anello $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ delle classi di resto modulo $n$, ha caratteristica $n$.
  
  ### Numeri p-adici
  
  I numeri p-adici formano un campo di caratteristica zero, benché la loro costruzione usi una famiglia di anelli di caratteristica $p^{k}$ con $k$ tendente a infinito.
  
  ## Caratteristica di un campo
  
  Come detto sopra, la caratteristica di un campo $K$ è zero o un numero primo. Il campo minimale fra tutti quelli che contengono l'unità $1$ è un sottocampo di $K$ che dipende dalla caratteristica: se questa è zero, è isomorfo al campo $\mathbb {Q}$ dei numeri razionali. Se è $p$, è isomorfo ad un campo finito.
  
  Esistono campi infiniti di caratteristica $p$, ad esempio la chiusura algebrica di $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$.
  
  