title: Corrente di probabilità
text: # Corrente di probabilità
  
  In meccanica quantistica, la densità di corrente di probabilità, o semplicemente corrente di probabilità (a volte chiamata flusso di probabilità), è una quantità matematica che descrive il flusso di probabilità in termini della probabilità per unità di area e unità di tempo. Nello specifico, se si descrive la densità di probabilità come un fluido eterogeneo, allora la corrente di probabilità è il tasso di flusso di questo fluido. Questo è analogo alle correnti di massa in fluidodinamica e alle correnti elettriche in elettromagnetismo. È un vettore reale, come la densità di corrente elettrica. Il concetto di corrente di probabilità è un formalismo utile in meccanica quantistica.
  
  ## Definizione (3-corrente non-relativistica)
  
  ### Particella libera a spin 0
  
  Nella meccanica quantistica non relativistica, la corrente di probabilità j della funzione d'onda $\Psi$ in una dimensione è definita come
  
      $j={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\right),$
  
  dove $\Psi ^{*}$ indica il complesso coniugato della funzione d'onda, proporzionale a un wronskiano $W(\Psi ,\Psi ^{*})$.
  
  In tre dimensioni, si generalizza a
  
      $\mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)\,,$
  
  dove ħ è la costante di Planck ridotta, m è la massa della particella, Ψ è la funzione d'onda, e ∇ denota l'operatore gradiente.
  
  Questo può essere semplificato con l'operatore impulso,
  
      $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$
  
  per ottenere
  
      $\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)\,.$
  
  Queste definizioni sono nella base della posizione (cioè per una funzione d'onda nello spazio delle posizioni), ma è possibile anche la definizione nello spazio degli impulsi.
  
  ### Particella a spin 0 in un campo elettromagnetico
  
  La definizione di cui sopra dovrebbe essere modificata per un sistema in un campo elettromagnetico esterno. In unità del SI, una particella carica di massa m e carica elettrica q comprende un termine dovuto all'interazione con il campo elettromagnetico;
  
      $\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]\,\!$
  
  dove A = A(r, t) è il potenziale magnetico (o "campo A"). Il termine qA ha le dimensioni di una quantità di moto.
  
  In unità gaussiane:
  
      $\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]\,\!$
  
  dove c è la velocità della luce.
  
  ### Particella a spin s in un campo elettromagnetico
  
  Se la particella ha spin, ha un momento magnetico corrispondente, quindi va aggiunto un termine ulteriore che incorpora l'interazione dello spin con il campo elettromagnetico. In unità SI:
  
      $\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{s}}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )\,\!$
  
  dove S è il vettore di spin della particella con il corrispondente momento magnetico di spin $μ_S$ e numero quantico di spin s. In unità gaussiane:
  
      $\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}c}{s}}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )\,\!$
  
  ## Legame con la meccanica classica
  
  La funzione d'onda può anche essere scritta nella forma con l'esponenziale complesso:
  
      $\Psi =Re^{iS/\hbar }$
  
  dove R e S sono funzioni reali di r e t.
  
  Scritta in questo modo, la densità di probabilità è
  
      $\rho =\Psi ^{*}\Psi =R^{2}$
  
  e la corrente di probabilità:
  
      ${\begin{aligned}\mathbf {j} &={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left(Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{iS/\hbar }-Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{-iS/\hbar }\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[Re^{-iS/\hbar }(e^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R+{\frac {i}{\hbar }}Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S)-Re^{iS/\hbar }(e^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R-{\frac {i}{\hbar }}Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S)\right]\end{aligned}}$
  
  Gli esponenziali e i termini con R∇R si cancellano:
  
      $={\frac {\hbar }{2mi}}\left[{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S+{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S\right]$
  
  Infine, combinando e cancellando le costanti, e sostituendo $R^2$ con ρ,
  
      $\mathbf {j} =\rho {\frac {\mathbf {\nabla } S}{m}}$
  
  Se prendiamo la formula consueta per la corrente:
  
      $\mathbf {j} =\rho \mathbf {v} ,$
  
  dove v è la velocità della particella (anche la velocità di gruppo dell'onda), possiamo associare la velocità a ∇S/m, che equivale a uguagliare ∇S con la quantità di moto classica p = mv. Questa interpretazione è d'accordo con la teoria di Hamilton-Jacobi, nella quale
  
      $\mathbf {p} =\nabla S$
  
  dove S è la funzione principale di Hamilton.
  
  ## Motivazione
  
  ### Equazione di continuità in meccanica quantistica
  
  La definizione di corrente di probabilità e l'equazione di Schrödinger può essere usata per ricavare l'equazione di continuità, che ha esattamente la stessa forma di quelle per la fluidodinamica e per l'elettromagnetismo:
  
      ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} =0$
  
  dove la densità di probabilità $\rho \,$ è definita come
  
      $\rho (\mathbf {r} ,t)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)\,$.
  
  Se si integrasse rispetto al volume entrambi i membri dell'equazione di continuità, cosicché
  
      $\int _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}\right)\mathrm {d} V+\int _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} \right)\mathrm {d} V=0$
  
  allora il teorema della divergenza implica che l'equazione di continuità è equivalente all'equazione integrale
  
      ${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}|\Psi |^{2}\mathrm {d} V+\iint _{\scriptstyle S}\mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$
  
  dove V è un qualsiasi volume e S è il bordo di V. Questa è la legge di conservazione per la probabilità in meccanica quantistica.
  
  In particolare, se Ψ è una funzione d'onda che descrive una singola particella, l'integrale nel primo termine dell'equazione precedente, senza derivata temporale, è la probabilità di ottenere un valore entro V quando viene misurata la posizione della particella. Il secondo termine è quindi il tasso al quale la probabilità fluisce al volume V. Nel suo insieme l'equazione afferma che la derivata temporale della probabilità della particella misurata in V è uguale al tasso al quale la probabilità fluisce in V.
  
  ### Trasmissione e riflessione attraverso potenziali
  
  In regioni dove è presente un gradino di potenziale o una barriera, la corrente di probabilità è correlata ai coefficienti di trasmissione e riflessione, rispettivamente T e R; essi misurano la misura in cui le particelle riflettono la barriera o vengono trasmessi attraverso. Entrambi soddisfano:
  
      $T+R=1\,,$
  
  dove T e R possono essere definite da:
  
      $T={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {trasm} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,\quad R={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {rif} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,$
  
  dove $j_{inc},$ $j_{rif}$ e $j_{trasm}$ sono rispettivamente le correnti di probabilità incidente, riflessa e trasmessa, e le barre verticali indicano il modulo dei vettori. La relazione tra T e R può essere ottenuta dalla conservazione della probabilità:
  
      $\mathbf {j} _{\mathrm {trasm} }+\mathbf {j} _{\mathrm {rif} }=\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\,.$
  
  In termini di un versore n normale alla barriera, queste sono equivalentemente:
  
      $T=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {trasm} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,\qquad R=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {rif} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,$
  
  dove i valori assoluti sono necessari per impedire a T e R di essere negativi.
  
  ## Esempi
  
  ### Onda piana
  
  Per un'onda piana che si propaga nello spazio:
  
      $\Psi (\mathbf {r} ,t)=\,Ae^{i(\mathbf {k} \cdot {\mathbf {r} }-\omega t)}$
  
  la densità di probabilità è costante dappertutto:
  
      $\rho (\mathbf {r} ,t)=|A|^{2}\rightarrow {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0$
  
  (cioè, le onde piane sono stati stazionari) ma la corrente di probabilità è non nulla – il quadrato dell'ampiezza assoluta dell'onda per la velocità della particella;
  
      $\mathbf {j} \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left|A\right|^{2}{\hbar \mathbf {k} \over m}=\rho {\frac {\mathbf {p} }{m}}=\rho \mathbf {v}$
  
  il che fa vedere che la particella può essere in movimento anche se la densità di probabilità spaziale non ha una dipendenza esplicita dal tempo.
  
  ### Particella in una scatola
  
  Per una particella in una scatola, in una dimensione spaziale e di lunghezza L, confinata nella regione
  
      $0<x<L\,\!$
  
  Gli autostati dell'energia sono
  
      $\Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)$
  
  e nulli altrove. Le correnti di probabilità associate sono
  
      $j_{n}={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0$
  
  siccome
  
      $\Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}$
  