title: Equazione binomia
text: # Equazione binomia
  
  Le equazioni binomie sono equazioni algebriche riconducibili alla forma:
  
      $ax^{n}+b=0$
  
  dove $n$ è un intero positivo, $a$ e $b$ sono numeri reali o complessi e $a\neq 0$. Portando $\,b$ al secondo membro e dividendo per $\,a$ si ottiene l'equazione equivalente:
  
      $x^{n}=-{\frac {b}{a}}$
  
  ## Metodi risolutivi
  
  Nel caso di numeri reali, l'equazione può avere nessuna, una o due soluzioni reali.
  
  * Se $n$ è dispari l'equazione ammette l'unica soluzione $x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}$.
  * Se $n$ è pari e $-{\frac {b}{a}}<0$ non ci sono soluzioni reali.
  * Se $n$ è pari e $-{\frac {b}{a}}\geq 0$ ammette le soluzioni opposte $x=+{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}$ e $x=-{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}$. In particolare, se $-{\frac {b}{a}}=0$, l'unica soluzione è $x=0$.
  
  Nel caso dei numeri complessi, per il teorema fondamentale dell'algebra, l'equazione ha sempre $n$ soluzioni uguali alle radici $n$-esime di $-{\frac {b}{a}}$.
  
  ## Esempi
  
  * $x^{3}+27=0\;\;\;\to \,\;\;x^{3}=-27\;\;\;\to \;\;\;x={\sqrt[{3}]{-27}}\;\;\;\to \;\;\;x=-3\;\;\;$ (una soluzione reale).
  * $x^{4}-16=0\;\;\;\to \;\;\;x^{4}=16\,\;\,\to \;\,\,x={\sqrt[{4}]{16}}\;\;\;\to \;\;\,x=\pm 2\;\,\,$ (due soluzioni reali).
  * $2x^{2}+50=0\;\;\;\to \;\;\;2x^{2}=-50\;\;\;\to \;\;\;x^{2}=-25$.
  
      A questo punto si hanno due possibilità:
     * se si desidera cercare le soluzioni nel campo dei numeri reali, allora l'equazione è impossibile perché una potenza pari non dà mai come risultato un numero negativo.
  
     * se si cercano le soluzioni nel numero complesso si ha:
  
         $x={\sqrt {-25}}\;\;\,\to \;\;\;x={\sqrt {25i^{2}}}\;\;\;\to \;\;\;x=\pm 5i$
         dove è stata utilizzata l'unità immaginaria ($i^{2}=-1$).
  
  ## Tabella Riassuntiva
  
  EQUAZIONE BINOMIA: $x^{n}=q$ con $x\in \mathbb {R} \land n\in \mathbb {N} \land n>0\land q\in \mathbb {R}$ :
  
  | | $n$ pari | $n$ dispari |
  | - | - | - |
  | $q>0$ | $\pm {\sqrt[{n}]{q}}$ | $+{\sqrt[{n}]{q}}$ |
  | $q<0$ | $\not \exists x\in \mathbb {R}$ | $-{\sqrt[{n}]{\left|q\right|}}$ |
  