title: Estensione abeliana
text: # Estensione abeliana
  
  In matematica, in particolare in teoria dei campi, una estensione abeliana è una estensione di Galois il cui gruppo di Galois è abeliano.
  
  Il teorema di Kronecker-Weber afferma che ogni estensione abeliana finita di $\mathbb {Q}$ è un sottocampo di un campo ciclotomico.
  
  La teoria di Kummer classifica le estensioni abeliane di un campo $K$.
  
  ## Concetti correlati
  
  Se il gruppo di Galois di un'estensione di Galois è un gruppo ciclico, allora si ha una estensione ciclica. Una estensione di Galois è detta risolubile se il gruppo di Galois associato è un gruppo risolubile.
  
  Ci sono due definizioni leggermente differenti di estensione ciclotomica:
  
  * una qualunque estensione di campi ottenuta aggiungendo una radice dell'unità;
  * una sottoestensione di un'estensione di campi ottenuta aggiungendo una radice dell'unità.
  
  La seconda definizione è più ampia della prima.
  
  ## Esempi
  
  * Ogni estensione finita di un campo finito è un'estensione ciclica.
  * Ogni campo ciclotomico è un'estensione ciclotomica (in entrambe le definizioni). Ogni estensione ciclotomica è abeliana (in entrambe le definizioni).
  * Ogni estensione di Kummer è abeliana.
  