title: Disuguaglianza di Bonse
text: # Disuguaglianza di Bonse
  
  In teoria dei numeri, la disuguaglianza di Bonse è una disuguaglianza tra numeri primi, dimostrata per vie elementari da H. Bonse nel 1907. Detto $p_{n}$ l'$n$-esimo numero primo, essa afferma che
  
      $p_{n+1}^{2}<p_{1}p_{2}...p_{n}$
  
  per $n>3$. Utilizzando questa disuguaglianza, Bonse dimostrò che 30 è il più grande intero $n$ con la seguente proprietà: se un numero naturale $k$, con $1<k<n$, è tale che il massimo comune divisore $(n,k)=1$, allora $k$ è un numero primo.
  
  Bonse dimostrò anche la disuguaglianza più forte:
  
      $p_{n+1}^{3}<p_{1}p_{2}...p_{n}$
  
  per $n>5$.
  
  Queste disuguaglianze rafforzano la seguente:
  
      $p_{n+1}<p_{1}p_{2}...p_{n}$
  
  che è conseguenza immediata della dimostrazione di Euclide del teorema dell'infinità dei numeri primi.
  
  ## Miglioramenti e disuguaglianze analoghe
  
  M. Dalezman dimostrò nel 2000 che
  
      $p_{n+1}p_{n+2}<p_{1}p_{2}...p_{n}$
  
  per $n>3$.
  
  J. Sandór dimostrò alcune disuguaglianze simili nel 1988, tra cui:
  
      $p_{n+5}^{2}+p_{[{\frac {n}{2}}]}^{2}<p_{1}p_{2}...p_{n}$
  
  per $n>23$.
  
  L. Pósa dimostrò nel 1960 che, per ogni $k>1$, esiste $n_{k}$ tale che:
  
      $p_{n+1}^{k}<p_{1}p_{2}...p_{n}$
  
  per $n\geq n_{k}$.
  
  L. Panaitopol dimostrò nel 2000 che è sufficiente scegliere $n_{k}=2k$ e, in particolare, dimostrò che:
  
      $p_{n+1}^{n-\pi (n)}<p_{1}p_{2}...p_{n}$
  
  dove $\pi (x)$ è la funzione enumerativa dei primi.
  
  