title: Disuguaglianza di Bessel
text: # Disuguaglianza di Bessel
  
  In analisi funzionale, la disuguaglianza di Bessel, il cui nome è dovuto a Friedrich Bessel, è una proprietà dei coefficienti di Fourier rispetto ad un sistema ortonormale di un elemento $x$ in uno spazio di Hilbert. Una forma più forte della disuguaglianza è fornita dal teorema di Riesz-Fischer.
  
  Sia $H$ uno spazio di Hilbert, e $e_{1},e_{2},\dots$ sia un sistema ortonormale in $H$. Allora, per qualsiasi $x$ in $H$ si ha che:
  
      $\sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}$
  
  dove $\langle ,\rangle$ denota il prodotto interno dello spazio di Hilbert $H$. Se si definisce:
  
      $x'=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k}$
  
  la disuguaglianza di Bessel ci dice che la serie converge, infatti in questo caso si ottiene l'uguglianza dei termini e il vettore $x'$ può essere descritto completamente nel sistema ortonormale.
  
  Per una successione ortonormale completa (ovvero una successione ortonormale che è una base ortonormale), vale l'identità di Parseval, ovvero vale l'uguaglianza al posto della disuguaglianza, ed inoltre:
  
      $x=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k}$
  
  La disuguaglianza di Bessel segue dall'identità:
  
      $0\leq \|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}$
  
  che vale per qualsiasi $n$, escluso $n$ minore di $-1$.
  
  