title: Equazioni di Rabinovič-Fabrikant
text: # Equazioni di Rabinovič-Fabrikant
  
  Le equazioni di Rabinovič-Fabrikant sono un insieme di tre equazioni differenziali ordinarie accoppiate che mostrano un comportamento caotico per determinati valori dei parametri. Prendono il loro nome dai fisici sovietici Michail Rabinovič e Anatolij Fabrikant, che le hanno descritte nel 1979.
  
  ## Descrizione del sistema
  
  Le equazioni sono:
  
  ${\dot {x}}=y(z-1+x^{2})+\gamma x\,$
  
  ${\dot {y}}=x(3z+1-x^{2})+\gamma y\,$
  
  ${\dot {z}}=-2z(\alpha +xy),\,$
  
  dove α, γ sono costanti che controllano l'evoluzione del sistema. Per alcuni valori di α e γ, il sistema è caotico, ma per altri tende a un'orbita periodica stabile.
  
  Danca e Chen sottolineano quanto il sistema Rabinovič-Fabrikant sia difficile da analizzare (a causa della presenza di termini quadratici e cubici) e che è possibile ottenere attrattori diversi per gli stessi parametri utilizzando diverse grandezze nell'integrazione. Inoltre, recentemente, è stato scoperto un attrattore nascosto nel sistema Rabinovič-Fabrikant.
  
  ### Punti di equilibrio
  
  Il sistema Rabinovič-Fabrikant ha cinque punti di equilibrio iperbolico, uno all'origine e quattro dipendenti dai parametri di sistema α e γ :
  
  ${\tilde {\mathbf {x} }}_{0}=(0,0,0)$
  
  ${\tilde {\mathbf {x} }}_{1,2}=\left(\pm q_{-},-{\frac {\alpha }{q_{-}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{-}^{2}\right)$
  
  ${\tilde {\mathbf {x} }}_{3,4}=\left(\pm q_{+},-{\frac {\alpha }{q_{+}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{+}^{2}\right)$
  
  dove
  
      $q_{\pm }={\sqrt {\frac {1\pm {\sqrt {1-\gamma \alpha \left(1-{\frac {3\gamma }{4\alpha }}\right)}}}{2\left(1-{\frac {3\gamma }{4\alpha }}\right)}}}$
  
  Questi punti di equilibrio esistono solo per determinati valori di α e γ > 0.
  
  ### γ = 0.87, α = 1.1
  
  Un esempio di comportamento caotico è ottenuto per γ = 0.87 e α = 1.1 con condizioni iniziali di (-1, 0, 0.5). La dimensione di correlazione è risultata pari a 2,19 ± 0,01. Gli esponenti di Ljapunov, λ sono approssimativamente 0.1981, 0, -0.6581 e la dimensione di Kaplan-Yorke, D $_{KY}$ ≈ 2.3010
  
  ### γ = 0,1
  
  Danca e Romera hanno mostrato che per γ = 0,1, il sistema è caotico per α = 0,98, ma progredisce su un ciclo limite stabile per α = 0,14.
  
  