title: Altezza di scala
text: # Altezza di scala
  
  In ambito scientifico, l’altezza di scala, normalmente denotata con la lettera H, è la distanza entro cui una data proprietà fisica varia di un fattore "e", il numero di Eulero, base del logaritmo naturale, pari a circa 2,71828.
  
  ## Altezza di scala nei modelli semplici della pressione atmosferica
  
  Nelle atmosfere planetarie, l'altezza di scala è l'incremento di altitudine necessario a far variare la pressione atmosferica di un valore e. Tale valore rimane costante se la temperatura rimane costante.
  
  H può essere calcolato da:
  
      $H={\frac {kT}{mg}}$
  
  o in alternativa da
  
      $H={\frac {RT}{Mg}}$
  
  dove:
  
  * k = costante di Boltzmann = $1,38×10^{−23}$ $J·K^{−1}$
  * R = costante dei gas
  * T = temperatura atmosferica media in kelvin = 250 K per la Terra
  * m = massa di una molecola di gas (in kg)
  * M = massa di una mole di gas
  * g = accelerazione di gravità sulla superficie planetaria (m/s²)
  
  La pressione (forza per unità di area) a una data altitudine è il risultato del peso dell'atmosfera soprastante. Se all'altezza z l'atmosfera ha una densità ρ e una pressione p, lo spostamento infinitesimo verticale verso l'alto dz provocherà una diminuzione di pressione dP eguale al peso dello strato di atmosfera di spessore dz.
  
  Per cui:
  
      ${\frac {dP}{dz}}=-g\rho$
  
  dove g è l'accelerazione di gravità. Per piccoli dz è possibile considerare g come costante; il segno meno indica che la pressione diminuisce all'aumentare dell'altezza. Pertanto usando l'equazione di stato per un gas ideale di massa molecolare media M alla temperatura T, la densità può essere espressa come
  
      $\rho ={\frac {MP}{kT}}$
  
  Combinando queste equazioni si ottiene
  
      ${\frac {dP}{P}}={\frac {-dz}{\frac {kT}{Mg}}}$
  
  che può essere incorporata nell'equazione per H vista sopra per dare:
  
      ${\frac {dP}{P}}=-{\frac {dz}{H}}$
  
  che non varia se non varia la pressione. Integrando e assumendo che $P_0$ sia la pressione all'altezza z = 0 (pressione a livello del mare), la pressione all'altezza z può essere scritta come:
  
      $P=P_{0}\exp \left(-{\frac {z}{H}}\right)$
  
  Questo implica un decadimento esponenziale della pressione con l'altezza.
  
  Nell'atmosfera terrestre, la pressione a livello del mare $P_0$ è in media di $1,01×10^5$ Pa, mentre la massa molecolare media dell'aria secca è 28,964 u; ne consegue pertanto che 28,964 × $1,660×10^{−27}$ = $4,808×10^{−26}$ kg e g = 9,81 m/s². Essendo funzione della temperatura, l'altezza di scala dell'atmosfera terrestre è perciò 1,38/(4,808 × 9,81) × $10^3$ = 29,26 m/deg.
  
  Per alcuni valori rappresentativi della temperatura dell'aria, l'altezza di scala è:
  
      T = 290 K, H = 8500 m
      T = 273 K, H = 8000 m
      T = 260 K, H = 7610 m
      T = 210 K, H = 6000 m
  
  Questi valori andrebbero confrontati con la temperatura e la densità dell'atmosfera terrestre in un grafico NRLMSISE-00, dove si vede che la densità dell'aria diminuisce da 1200 $g/m^3$ a livello del mare a $0,5^3$ = 0,125 $g/m^3$ a 70 km, che corrisponde a un fattore 9600, indicando un fattore di scala di 70/ln(9600) = 7,64 km, consistente con una temperatura media dell'aria in quell'intervallo prossima a 260 K.
  
  È da notare che:
  
  * La densità è correlata alla pressione dalla legge dei gas perfetti, pertanto – a parte qualche scostamento legato al fatto che la temperatura varia – anche la densità diminuirà esponenzialmente con l'altezza partendo da un valore a livello del mare di $ρ_0$ all'incirca uguale a 1,2 kg $m^{−3}.$
  * Per altezze superiori a 100 km, la diffusione molecolare implica che ogni specie atomica molecolare ha la propria altezza di scala.
  
  ## Esempi planetari
  
  I valori approssimati di scala per alcuni corpi del sistema solare sono:
  
  * Sole: ≈130 km
  * Venere: 15,9 km
  * Terra: 8,5 km
  * Marte: 11,1 km
  * Giove: 27 km
  * Saturno: 59,5 km
     * Titano: 40 km
  * Urano: 27,7 km
  * Nettuno: 19,1–20,3 km
  