title: Combinazione lineare
text: # Combinazione lineare
  
  In matematica, una combinazione lineare è un'operazione principalmente usata nell'ambito dell'algebra lineare. Una combinazione lineare di alcuni elementi di uno spazio vettoriale è un'espressione del tipo:
  
      $a_{1}v_{1}+\ldots +a_{n}v_{n}$
  
  dove i $v_{i}$ sono elementi dello spazio vettoriale e gli $a_{i}$ sono scalari. Il risultato di questa combinazione è un nuovo elemento dello spazio. Questa nozione molto generale si applica in vari contesti: si possono scrivere ad esempio combinazioni lineari di vettori nel piano o nello spazio, di matrici, di polinomi o di funzioni.
  
  ## Definizioni
  
  ### Combinazione lineare
  
  Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$. Siano $v_{1},\ldots ,v_{n}$ vettori di $V$. Una combinazione lineare di questi è il vettore individuato dalla seguente scrittura:
  
      $a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\ldots +a_{n}v_{n}$
  
  dove $a_{1},\ldots ,a_{n}$ sono scalari, cioè elementi di $K$. Gli scalari nella precedente espressione possono essere scelti arbitrariamente e sono detti coefficienti della combinazione lineare.
  
  ### Combinazione affine e convessa
  
  Se il campo $K$ è il campo $\mathbb {R}$ dei numeri reali e i coefficienti sono tutti non-negativi, cioè:
  
      $a_{i}\geq 0$
  
  per ogni $i$, la combinazione è chiamata positiva.
  
  Quando i coefficienti hanno come somma 1:
  
      $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=1$
  
  la combinazione è detta affine. Una combinazione lineare sia positiva che affine è detta combinazione convessa. Entrambe queste nozioni sono utili in geometria affine, per definire le nozioni di coordinate affini e coordinate baricentriche.
  
  ## Proprietà
  
  ### Unicità della combinazione
  
  In genere, cioè per una generica scelta dei vettori $v_{i}$, il vettore:
  
      $v=a_{1}v_{1}+\ldots a_{n}v_{n}$
  
  non determina univocamente la combinazione lineare, cioè la sequenza dei suoi coefficienti: lo stesso $v$ può essere il risultato di combinazioni lineari differenti degli stessi vettori $v_{1},\ldots ,v_{n}$.
  
  Se i vettori sono indipendenti, la combinazione lineare è però unica.
  
  ### Sottospazio generato
  
  I vettori $v$ che si ottengono come combinazioni lineari di $n$ vettori fissati, al variare degli scalari $a_{1},\ldots ,a_{n}$, formano un sottospazio vettoriale di $V$, chiamato sottospazio generato. Si indica generalmente con:
  
      $\mathrm {Span} (v_{1},\ldots ,v_{n}):=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\ |\ a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}$
  
  ## Generalizzazioni
  
  Le definizioni di combinazione lineare e span lineare possono essere generalizzate dagli spazi vettoriali ai moduli o agli anelli. Ad esempio, si può parlare di combinazione lineare $am+bn$ di due numeri interi $m$ e $n$, dove $a$ e $b$ sono coefficienti interi.
  
  