title: Funzione gudermanniana
text: # Funzione gudermanniana
  
  La funzione gudermanniana collega le funzioni trigonometriche alle funzioni iperboliche senza ricorrere ai numeri complessi.
  
  Viene definita come
  
      ${\rm {gd}}(x)=2\arctan e^{x}-{\pi \over 2}.$
  
  Dalla definizione discendono le seguenti identità:
  
      $\sinh(x)\,=\,\tan({\mbox{gd}}(x))$
      $\cosh(x)\,=\,\sec({\mbox{gd}}(x))$
      ${\mbox{csch}}(x)\,=\,\cot({\mbox{gd}}(x))$
      $\tanh(x)\,=\,\sin({\mbox{gd}}(x))$
      ${\mbox{sech}}(x)\,=\,\cos({\mbox{gd}}(x))$
      $\coth(x)\,=\,\csc({\mbox{gd}}(x))$
  
  La sua funzione inversa è
  
      ${\rm {gd}}^{-1}(x)\,=\,\ln(\tan x+\sec x),$
  
  Questa è il nucleo della proiezione di Mercatore.
  
  Si dimostrano inoltre le seguenti identità:
  
      ${d \over dx}\,{\mbox{gd}}(x)={\mbox{sech}}(x)$
      ${d \over dx}\,{\mbox{gd}}^{-1}(x)=\sec(x)$
  