title: Omotetia nel piano complesso
text: # Omotetia nel piano complesso
  
  Si presenta la generica omotetia nel piano complesso di centro $C_{0}(x_{0},y_{0})$ e rapporto $a$, con $a$ numero reale diverso da zero e $C_{0}$ punto del piano complesso (si veda numeri complessi e punti del piano cartesiano).
  
  ## Definizione
  
  Sia $C_{0}=P(z_{0})$ il punto corrispondente al numero complesso $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$, e sia $a$ un numero reale diverso da $0$ e da $1$. L'omotetia $\omega _{C_{0},a}$ di centro $C_{0}$ e rapporto $a$, è la trasformazione che associa ad ogni punto $P=P(z)$, corrispondente del numero complesso $z$, il punto $P'=P'(z')$, corrispondente del numero complesso $z'$, tale che:
  
      ${\vec {C_{0}P'}}=a{\vec {C_{0}P}}.$
  
  Dal momento che
  
      ${\vec {C_{0}P}}=z-z_{0},\quad {\vec {C_{0}P'}}=z'-z_{0},$
  
  si ha che
  
      $z'-z_{0}=a\left(z-z_{0}\right).$
  
  Quindi, introducendo $b:=(1-a)z_{0}$, la scrittura complessa dell'omotetia è:
  
      ${\begin{aligned}\omega _{C_{0},a}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=az+b=a\rho e^{i\theta }+b.\end{aligned}}$
  
  In modo particolare l'omotetia $\omega _{O,a}$ di centro l'origine degli assi $O$ e rapporto $a$, è la trasformazione
  
      ${\begin{aligned}\omega _{O,a}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=az=a\rho e^{i\theta }=a\rho \left(\cos \theta +i\sin \theta \right),\end{aligned}}$
  
  ove si è posto
  
      $z=\rho \left(\cos \theta +i\sin \theta \right).$
  
  Osserviamo inoltre come opera la trasformazione in base al segno del numero $a$:
  
  Quindi:
  
  moltiplicare il numero complesso $z$ per un numero reale $a$ non nullo e diverso da $1$ equivale ad applicare al punto $P(z)$ l'omotetia di rapporto $a$.
  
  ## Esempio
  
  Si determina la scrittura complessa dell'omotetia di centro $C_{0}(-2,4)$ e rapporto $3$.
  
  Il numero complesso corrispondente a questo punto è $z_{0}=-2+4i$.
  
  Quindi, ricordando che l'omotetia si ottiene con $z'-z_{0}=a(z-z_{0})$, si ha che
  
      $z'-(-2+4i)=3(z-(-2+4i))$ cioè $z'=3z+4-8i$.
  