title: Funzione logaritmicamente concava
text: # Funzione logaritmicamente concava
  
  In analisi convessa, una funzione non negativa $f:R^{n}\to R_{+}$ è logaritmicamente concava se il suo dominio è un insieme convesso e se soddisfa la disuguaglianza
  
      $f(\theta x+(1-\theta )y)\geq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }$
  
  per ogni $x,y\in domf$ e $0<\theta <1$. Se $f$ è strettamente positiva, ciò è equivalente a dire che il logaritmo della funzione, ossia $\log \circ f$, è una funzione concava; quindi,
  
      $\log f(\theta x+(1-\theta )y)\geq \theta \log f(x)+(1-\theta )\log f(y)$
  
  per ogni $x,y\in domf$ e $0<\theta <1$.
  
  Esempi di funzioni logaritmicamente concave sono le funzioni indicatrici 0-1 di insiemi convessi (che richiedono la definizione più flessibile) e la funzione gaussiana.
  
  Analogamente, una funzione è logaritmicamente convessa se soddisfa la disuguaglianza opposta
  
      $f(\theta x+(1-\theta )y)\leq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }$
  
  per ogni $x,y\in domf$ e $0<\theta <1$.
  
  ## Proprietà
  
  * Una funzione logaritmicamente concava positiva è anche una funzione quasi-concava.
  * Ogni funzione concava che è non negativa sul suo dominio è logaritmicamente concava. Tuttavia, non vale necessariamente il viceversa. Un esempio è la funzione gaussiana $f(x)=\exp(-{\frac {x^{2}}{2}})$ che è logaritmicamente concava poiché $\log f(x)=-{\frac {x^{2}}{2}}$ è una funzione concava di $x$. Ma $f$ non è concava poiché la sua derivata seconda è positiva per $|x|>1$:
  
         $f''(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}(x^{2}-1)\nleq 0$
  * Una funzione non negativa, due volte differenziabile, con un dominio convesso è logaritmicamente concava se e solo se per ogni $x$ tale che $f(x)>0$,
  
         $f(x)\nabla ^{2}f(x)\preceq \nabla f(x)\nabla f(x)^{T}$,
      ossia
         $f(x)\nabla ^{2}f(x)-\nabla f(x)\nabla f(x)^{T}$ è
      semi-definita negativa. Per funzioni di una variabile, questa condizione si riduce a
         $f(x)f''(x)\leq (f'(x))^{2}$
  
  ## Operazioni che conservano la concavità logaritmica
  
  * Prodotto: Il prodotto di funzioni logaritmicamente concave è anch'esso una funzione logaritmicamente concava. Infatti, se $f$ e $g$ sono funzioni logaritmicamente concave, allora $\log f$ e $\log g$ sono concave per definizione. Perciò
  
         $\log \,f(x)+\log \,g(x)=\log(f(x)g(x))$
      è concava e quindi anche $fg$ è logaritmicamente concava.
  * Marginalizzazione: Se $f(x,y):R^{n+m}\to R$ è logaritmicamente concava, allora
  
         $g(x)=\int f(x,y)dy$
      è logaritmicamente concava (vedere disuguaglianza di Prékopa-Leindler).
  * Ciò implica che la convoluzione conserva la concavità logaritmica, poiché $h(x,y)=f(x-y)g(y)$ è logaritmicamente concava se $f$ e $g$ sono logaritmicamente concave, e perciò
  
         $(f*g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy=\int h(x,y)dy$
      è logaritmicamente concava.
  
  ## Distribuzioni logaritmicamente concave
  
  Le distribuzioni logaritmicamente concave sono necessarie per un certo numero di algoritmi, ad esempio adaptive rejection sampling.
  
  Come è noto, molte distribuzioni di probabilità comuni sono logaritmicamente concave. Alcuni esempi:
  
  * la distribuzione normale e le distribuzioni normali multivariate;
  * la distribuzione esponenziale;
  * la distribuzione uniforme su ogni insieme convesso;
  * la distribuzione logistica;
  * la distribuzione dei valori estremi;
  * la distribuzione di Laplace;
  * la distribuzione chi;
  * la distribuzione chi quadrato se il numero di gradi di libertà è >= 2;
  * la distribuzione di Wishart, in cui n >= p + 1;
  * la distribuzione di Dirichlet, in cui tutti i parametri siano >= 1;
  * la distribuzione Gamma se il parametro di forma è >= 1;
  * la distribuzione beta se entrambi i parametri di forma sono >= 1;
  * la distribuzione di Weibull se il parametro di forma è >= 1.
  
  Notiamo che tutte le restrizioni sui parametri hanno la stessa motivazione di base: l'esponente di una quantità non negativa deve essere non negativo in modo che la funzione sia logaritmicamente concava.
  
  Le seguenti distribuzioni sono non logaritmicamente concave per ogni scelta dei parametri:
  
  * la distribuzione t di Student;
  * la distribuzione di Cauchy;
  * la distribuzione di Pareto;
  * la distribuzione lognormale;
  * la distribuzione F.
  
  Notare che la funzione cumulativa di tutte le distribuzioni logaritmicamente concave è anch'essa logaritmicamente concava. Tuttavia, alcune distribuzioni non logaritmicamente concave pure hanno funzioni cumulative logaritmicamente concave:
  
  * la distribuzione lognormale;
  * la distribuzione di Pareto;
  * la distribuzione di Weibull quando il parametro di forma è < 1;
  * la distribuzione Gamma quando il parametro di forma è < 1.
  
  Le seguenti sono alcune tra le proprietà delle distribuzioni logaritmicamente concave:
  
  * se la densità è logaritmicamente concava, tale è la sua funzione cumulativa;
  * se una densità multivariata è logaritmicamente concava, tale è la densità marginale su ogni sottoinsieme di variabili.
  * la somma di due variabili casuali logaritmicamente concave indipendenti è logaritmicamente concava; ciò segue dal fatto che la convoluzione di due funzioni logaritmicamente concave è logaritmicamente concava;
  * il prodotto di due funzioni logaritmicamente concave è logaritmicamente concavo; ciò significa che le densità congiunte ottenute moltiplicando due densità di probabilità (ad esempio la normal-gamma distribution, che ha sempre un parametro di forma >= 1) saranno logaritmicamente concave. Questa proprietà è molto usata nei programmi per i general-purpose basati sul campionamento di Gibbs, quali BUGS e JAGS, che, in tal modo, sono in grado di utilizzare adaptive rejection sampling su una grande varietà di distribuzioni condizionate derivanti dal prodotto di altre distribuzioni.
  