title: Funzione integrale esponenziale
text: # Funzione integrale esponenziale
  
  In matematica, la funzione integrale esponenziale è una funzione speciale complessa caratterizzata tramite l'integrale definito del rapporto tra la funzione esponenziale e il suo argomento.
  
  ## Definizione
  
  La funzione integrale esponenziale ${\mbox{Ei}}(x)$ viene definita come:
  
      ${\mbox{Ei}}(x):=-\int _{-x}^{+\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\mathrm {d} t$
  
  Dato che $1/t$ diverge per $t\to 0$, il precedente integrale si deve intendere come valore principale di Cauchy:
  
      ${\mbox{Ei}}(x)=\lim _{\delta \to 0}\left[\int _{-\infty }^{-\delta }{\frac {e^{t}}{t}}\mathrm {d} t+\int _{\delta }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\mathrm {d} t\right]$
  
  L'algoritmo di Risch mostra che non si tratta di una funzione elementare.
  
  Per valori complessi dell'argomento si utilizza la funzione:
  
      ${\rm {E}}_{1}(z)=\int _{z}^{+\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\mathrm {d} t\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi$
  
  che tramite prolungamento analitico può essere estesa a tutto il piano complesso. L'integrale esponenziale è così anche definito come:
  
      ${\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x)$
  
  Si ha inoltre che per valori positivi di $\mathrm {Re} (z)$:
  
      $\mathrm {E} _{1}(z)=\int _{1}^{+\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt=\int _{0}^{1}{\frac {e^{-z/u}}{u}}\,du\qquad \mathrm {Re} (z)\geq 0$
  
  L'integrale esponenziale è strettamente collegato alla funzione integrale logaritmica, definibile come:
  
      ${\mbox{li}}(x):={\mbox{Ei}}(\ln(x))$
  
  per tutti gli $x$ reali positivi diversi da $1$.
  
  ## Sviluppo in serie
  
  Integrando lo sviluppo di Taylor di $e^{-t}/t$ si può derivare il seguente sviluppo in serie per $x\in \mathbb {R}$:
  
      $\mathrm {Ei} (x)=\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!k}}\qquad x\neq 0$
  
  dove $\gamma$ denota la costante di Eulero-Mascheroni. Per argomenti complessi si generalizza con:
  
      $\mathrm {E_{1}} (z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!k}}\qquad |\mathrm {Arg} (z)|<\pi$
  
  Tale somma converge per ogni $z\in \mathbb {C}$. Una serie che converge più velocemente si deve a Ramanujan:
  
      ${\rm {Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\exp {(x/2)}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}$
  
  Esiste anche una serie divergente che approssima l'integrale esponenziale, ottenuta integrando $ze^{z}\mathrm {E_{1}} (z)$ per parti:
  
      $\mathrm {E_{1}} (z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}$
  
  che ha un errore dell'ordine di $O(N!z^{-N})$ ed è valida per grandi valori di $\mathrm {Re} (z)$.
  
  Dalle serie precedenti si evince che $\mathrm {E_{1}}$ si comporta come un esponenziale negativo per grandi valori dell'argomento, e come un logaritmo per valori piccoli. Quando l'argomento è reale e positivo si ha:
  
      ${\frac {1}{2}}e^{-x}\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<\mathrm {E_{1}} (x)<e^{-x}\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0$
  
  come mostrato nel grafico a lato.
  
  ## Funzione intera
  
  Sia ${\mbox{Ei}}(x)$ che la funzione ${\rm {E}}_{1}(x)$ possono essere espresse mediante una funzione intera:
  
      ${\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-e^{-t}}{t}}\mathrm {d} t=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}$
  
  Con questa funzione e la funzione logaritmo si possono utilizzare come definizioni le seguenti uguaglianze:
  
      $\mathrm {E_{1}} (z)=-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z)\qquad |\mathrm {Arg} (z)|<\pi$
      $\mathrm {Ei} (x)=\gamma +\ln x-\mathrm {Ein} (-x)\qquad x>0$
  
  ## Generalizzazioni
  
  Una generalizzazione della funzione integrale esponenziale è:
  
      ${\rm {E}}_{n}(x)=\int _{1}^{+\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,dt$
  
  che può essere scritto come caso particolare della funzione gamma incompleta:
  
      ${\rm {E}}_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x)$
  