title: Distanza di Hausdorff
text: # Distanza di Hausdorff
  
  In geometria, la distanza di Hausdorff è una particolare definizione di distanza introdotta da Felix Hausdorff per misurare la distanza tra due sottoinsiemi di uno spazio metrico.
  
  ## Definizione
  
  Dato uno spazio metrico $X$ e due sottoinsiemi $A,B\subseteq X$ definiamo qualche quantità preliminare: si dice distanza di un punto dall'insieme $A$ la quantità
  
      $d(x,A):=\inf _{y\in A}d(x,y)$.
  
  Si definisce eccedenza di A su B la quantità
  
      $e(A,B):=\sup _{x\in A}d(x,B)$.
  
  Si definisce dunque distanza di Hausdorff tra $A$ e $B$ la quantità
  
      $d(A,B):={\mbox{max}}\{e(A,B),e(B,A)\}$
  
  ## Proprietà
  
  La distanza di Hausdorff è una funzione $d:P(X)\times P(X)\to \mathbb {R} _{0}^{+}$. Essa soddisfa le seguenti proprietà:
  
  * se $A=B$ allora $d(A,B)=0$
  * $d(A,B)=d(B,A)$
  * $d(A,B)\leq d(A,C)+d(C,B)$
  
  Tali proprietà la rendono una pseudometrica sull'insieme delle parti di $X$. Essa soddisfa anche l'ultima proprietà di una metrica (cioè $d(A,B)=0$ implica $A=B$) se $A$ e $B$ sono chiusi.
  
  ## Campi applicativi
  
  La distanza di Hausdorff consente di definire un concetto di continuità per multifunzioni, cioè per funzioni $F:A\to P(B)$. Se si munisce $P(B)$ della distanza di Hausdorff ed $A$ è uno spazio quantomeno topologico, è naturale dire $F$ continua in $x_{0}$ se
  
      per ogni $\epsilon >0$ esiste un intorno di $x_{0}$ tale che per ogni $x$ in quell'intorno è $d(F(x),F(x_{0}))<\epsilon$.
  
  Al di fuori della matematica, la distanza di Hausdorff trova utilizzo in svariati campi di ricerca tra cui la computer vision e la bioinformatica. Sovente si applicano varie metriche onde trovare una stima affidabile dell'errore.
  
  