title: Teorema della farfalla
text: # Teorema della farfalla
  
  In matematica, e in particolare in geometria euclidea, il teorema della farfalla afferma che:
  
      sia $M$ il punto medio di una corda $PQ$ di un cerchio e siano $AB$ e $CD$ altre due corde passanti per $M$ e siano $X$ e $Y$ i punti di intersezione tra le corde $AD$ e $BC$ e la corda $PQ$ rispettivamente. Allora $M$ sarà il punto medio di $XY$.
  
  ## Dimostrazione
  
  Siano $XX'$ e $XX''$ le perpendicolari, condotte da $X$, rispettivamente a $AM$ e a $DM$. In modo analogo, siano $YY'$ e $YY''$ le perpendicolari, condotte da $Y$, rispettivamente a $BM$ e a $CM$.
  
  Adesso, poiché
  
         $\triangle MXX'\sim \triangle MYY',\,$
      ${MX \over MY}={XX' \over YY'},$
         $\triangle MXX''\sim \triangle MYY'',\,$
      ${MX \over MY}={XX'' \over YY''},$
         $\triangle AXX'\sim \triangle CYY'',\,$
      ${XX' \over YY''}={AX \over CY},$
         $\triangle DXX''\sim \triangle BYY',\,$
      ${XX'' \over YY'}={DX \over BY},$
  
  Dalle precedenti equazioni, si può facilmente dedurre che
  
      $\left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''},$
      $={AX.DX \over CY.BY},$
      $={PX.QX \over PY.QY},$
      $={(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)},$
      $={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},$
  
  poiché $PM$ = $MQ$
  
  Ora,
  
      ${(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.$
  
  Pertanto, possiamo concludere che $MX=MY,$, ovvero $M$ è il punto medio di $XY.$
  
  