title: Funzione integrabile
text: # Funzione integrabile
  
  Nel calcolo infinitesimale, una funzione integrabile o funzione sommabile rispetto ad un dato operatore integrale è una funzione il cui integrale esiste ed il suo valore è finito. I due integrali più usati sono l'integrale di Riemann e l'integrale di Lebesgue, e la definizione dipende da quale operatore integrale si utilizza. Data la maggior diffusione e generalità dell'integrale di Lebesgue rispetto agli altri, tuttavia, per funzione integrabile si intende solitamente integrabile secondo Lebesgue. Nella maggior parte dei casi i termini "integrabile" e "sommabile" sono sinonimi, ma può capitare che uno dei due sia usato per il caso più generale di funzioni il cui integrale esiste e può essere infinito.
  
  ## Integrale di Lebesgue
  
  Dato uno spazio di misura $(X,{\mathcal {A}},\mu )$, una funzione semplice $s$ è una combinazione lineare finita di funzioni indicatrici di insiemi misurabili.
  
      $s:X\to \mathbb {R} ,s(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x)$
  
  si definisce l'integrale di Lebesgue come:
  
      $\int _{X}s(x)d\mu :=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k})$
  
  Una funzione $f:X\to \mathbb {R}$ non negativa si dice integrabile secondo Lebesgue se esiste finito l'estremo superiore:
  
      $\sup _{s}\int _{X}s(x)d\mu =:\int _{X}f(x)d\mu \$
  
  dove $s$ è una arbitraria funzione semplice tale che $s\leq f$. L'insieme delle funzioni che soddisfano tale definizione è detto insieme delle funzioni integrabili su X secondo Lebesgue rispetto alla misura $\mu$, o anche insieme delle funzioni sommabili, ed è denotato con $L^{1}(\mu )$.
  
  In generale, una qualsiasi funzione si dice integrabile se lo sono le funzioni non negative:
  
      $f^{+}(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x)&{\mbox{se}}\quad f(x)\geq 0\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.$
      $f^{-}(x)=\left\{{\begin{matrix}-f(x)&{\mbox{se}}\quad f(x)<0\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.$
  
  che sono rispettivamente la parte positiva e parte negativa di $f$.
  
  Si definisce in tal caso:
  
      $\int _{X}f(x)d\mu :=\int _{X}f^{+}(x)d\mu -\int _{X}f^{-}(x)d\mu$
  
  ## Integrale di Riemann
  
  Una funzione $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ limitata si dice integrabile secondo Riemann se esiste finito il limite:
  
      $\lim _{\delta \to 0}S(f,P,\{t_{i}\})=:\int _{a}^{b}f(x)dx$
  
  dove $P=\{x_{1}...,x_{n}\}$ è una arbitraria partizione dell'intervallo $[a,b]$ con calibro minore di $\delta$ (il calibro di una partizione è la massima ampiezza tra i sottointervalli della partizione data), $t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$ e:
  
      $S(f,P,\{t_{i}\})=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})$
  
  Il limite deve essere inteso nel seguente modo. Per ogni $\varepsilon >0$ esiste un $\delta >0$ tale che per ogni partizione di $[a,b]$ con calibro minore di $\delta$ e per ogni scelta dei relativi punti $t_{i}$ vale:
  
      $\left|\int _{a}^{b}f(x)dx-S(f,P,\{t_{i}\})\right|<\varepsilon$
  
  ## Altri operatori di integrazione
  
  Tra gli altri tipi di operatori integrali vi sono:
  
  * Integrale di Riemann-Stieltjes
  * Integrale di Lebesgue-Stieltjes
  * Integrale di Bochner
  * Integrale di Darboux
  * Integrale di Daniell
  * Integrale di Itō
  * Integrale di Henstock-Kurzweil
  