title: Classe limite
text: # Classe limite
  
  In analisi matematica, la classe limite è un concetto legato a quello di sottosuccessione e limite di una successione. Si tratta dell'insieme dei valori cui è possibile far tendere una sottosuccessione di una data successione, e come tale può essere di cardinalità finita o infinita, ma non l'insieme vuoto.
  
  ## Definizione
  
  Sia $\{x_{n}\}_{n}$ una successione di numeri reali; si dice che $\alpha$ è un valore limite della successione se esiste una sottosuccessione $\{x_{n_{k}}\}_{k}$ per cui
  
      $\lim _{k\to +\infty }{x_{n_{k}}}=\alpha$.
  
  Non è necessario che la successione sia regolare (cioè convergente o divergente); infatti anche una successione irregolare ammette sempre sottosuccessioni regolari.
  
  La classe limite della successione è l'insieme dei valori limite; cioè, se $C$ indica la classe limite di $\{x_{n}\}_{n}$:
  
      $C=\{\alpha \in \mathbb {R} :\exists \{x_{n_{k}}\}_{k}{\underset {k\to +\infty }{\ \ \longrightarrow \ \alpha }}\}$.
  
  ### Esempi
  
  * $x_{n}=\sin {\frac {n\pi }{2}}$;
  
      In questo caso $C=\{-1,0,1\}$; infatti $\{x_{n}\}_{n\geq 0}=\{0,1,0,-1,\cdots \}$, quindi una sottosuccessione può constare solo dei valori $0,1,-1$; le sottosuccessioni banali del tipo $\{x_{2n}\}_{n}=\{0,0,0,\cdots \},\{x_{4n+1}\}=\{1,1,1,\cdots \},\{x_{4n-1}\}=\{-1,-1,-1,\cdots \}$, ad esempio, ammettono come valori limite $0,1,-1$ rispettivamente.
  * $x_{n}=n\sin {\frac {n\pi }{2}}$;
  
      In questo caso $C=\{-\infty ,0,+\infty \}$; infatti $\{x_{n}\}_{n\geq 0}=\{0,1,0,-2,0,3,\cdots \}$, e una sottosuccessione deve valere definitivamente zero o in alternativa non essere limitata.
  
  ## Proprietà
  
  La classe limite di una successione non è mai vuota. Infatti, se $\{x_{n}\}_{n}$ è limitata, allora la sua chiusura è compatta, e quindi la successione ammette una sottosuccessione convergente (teorema di Bolzano-Weierstrass). Se invece non è limitata superiormente (o inferiormente), si può trovare una sottosuccessione del tipo $\{x_{j}\}_{j}$ con
  
      $x_{j}={\underset {i<j}{\max }}{\ x_{i}}$
  
  (o
  
      $x_{j}={\underset {i<j}{\min }}{\ x_{i}}$)
  
  che ammette come limite $+\infty$ (o $-\infty$).
  
  L'intersezione tra la classe limite e l'insieme dei numeri reali (cioè la classe limite cui sono stati tolti eventualmente i punti all'infinito) è un insieme chiuso. Infatti, se $\alpha \in \mathbb {R}$ è di accumulazione per $C\cap \mathbb {R}$, allora esistono $\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n},\cdots$ che avvicinano indefinitamente $\alpha$; questi $\alpha _{i}$ sono limiti di sottosuccessioni di $\{x_{n}\}$, quindi possiamo trovare una sottosuccessione che si avvicina indefinitamente ad $\alpha$, usando come "paletti" i valori limite $\alpha _{i}$ (cui possiamo avvicinarci a piacere per sottosuccessioni).
  
  Inoltre la classe limite, intesa come sottoinsieme di ${\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ (il cosiddetto $\mathbb {R}$ esteso) ammette sempre massimo e minimo; infatti, se $\{x_{n}\}$ è illimitata (ad esempio superiormente), allora $+\infty \in C$, e $\max C=+\infty$; altrimenti, se $\{x_{n}\}$ è limitata (ad esempio superiormente), allora lo è anche $C$ (o esisterebbe un valore limite strettamente maggiore dell'estremo superiore della successione), e poiché $C\cap \mathbb {R}$ è chiuso, esso contiene il proprio superiore, e quindi ammette massimo. Un analogo ragionamento prova che la classe limite ammette minimo.
  
  ## Limite superiore e limite inferiore
  
  Data una successione, si definisce limite superiore di tale successione il massimo della sua classe limite:
  
      ${\underset {n\to +\infty }{\limsup }}{\ x_{n}}={\underset {n\to +\infty }{\overline {\lim }}}{x_{n}}:=\max {C}$;
  
  similmente si definisce il limite inferiore di tale successione il minimo della sua classe limite:
  
      ${\underset {n\to +\infty }{\liminf }}{\ x_{n}}={\underset {n\to +\infty }{\underline {\lim }}}{x_{n}}:=\min {C}$.
  
  È chiaro, per le argomentazioni del paragrafo precedente, che tali valori esistono sempre. In generale, essi saranno differenti (ovviamente si avrà $\liminf x_{n}\leq \limsup x_{n}$); se tuttavia questi valori coincidono, se cioè la classe limite consta di un solo elemento, allora tutte le sottosuccessioni convergono allo stesso valore limite. Questa è condizione necessaria e sufficiente per garantire la convergenza della successione principale, cioè:
  
      $\exists \lim _{n\to +\infty }{x_{n}}\in {\overline {\mathbb {R} }}\iff {\underset {n\to +\infty }{\liminf }}{\ x_{n}}={\underset {n\to +\infty }{\limsup }}{\ x_{n}}\iff |C|=1$,
  
  dove $|\cdot |$ indica la cardinalità dell'insieme.
  
  