title: Funzione eta di Dirichlet
text: # Funzione eta di Dirichlet
  
  Per ogni s con $Re(s)>0$ la funzione eta di Dirichlet si definisce come:
  
      $\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots$
  
  Sono disponibili alcune estensioni che portano la serie a convergere per ogni $s\in \mathbb {C}$
  
  ## Correlazione con la funzione zeta di Riemann
  
  Poiché la funzione zeta è definita come:
  
      $\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots$
  
  Possiamo dire che:
  
      ${\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+\cdots$
  
  Ora se aggiungiamo questa somma alla funzione eta avremo che:
  
      $\eta (s)+{\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)=$
      $=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots +{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+\cdots =$
      $=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\cdots$
  
  Se ci aggiungiamo un'altra volta :${\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)$ avremo che:
  
      $\eta (s)+{\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)+{\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)=$
      $=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\cdots +{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+\cdots$
  
  Ossia:
  
      $\eta (s)+{\frac {1}{2^{s-1}}}\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots =\zeta (s)$
  
  E dunque:
  
      $\eta (s)=\zeta (s)-{\frac {1}{2^{s-1}}}\zeta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)$
  
  Si può stabilire una correlazione tra la funzione eta e la funzione zeta di Riemann ζ:
  
      $\eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)$
  
  Poiché la funzione eta converge per ogni $Re(s)>0$ mentre la funzione zeta solo per $Re(s)>1$ la funzione eta può rappresentare un prolungamento analitico dell'altra.
  
  ## Relazione di riflessione
  
  Analogamente alla funzione zeta di Riemann si può dimostrare questa formula di riflessione
  
      $\eta (-s)=-(2^{{s \over 2}\ -1}csch({s\ ln(2) \over 2})+1)\pi ^{-s-1}\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s+1)\eta (s+1).$
  
  Che ci fornisce un prolungamento analitico per il semipiano complesso negativo.
  
  ## Valori particolari
  
  Grazie alla suddetta formula che collega la funzione eta a la funzione zeta si possono ricavare delle forme esatte (o chiuse) per ogni valore in cui la funzione zeta di Riemann è definita esattamente, ovvero per i valori pari di s, mentre per i valori dispari non si dispone ancora di una forma esatta. Nel caso s=0 (nel quale la formula è indeterminata) invece si dispone di un valore adatto poiché è un caso particolare della serie di Mercator.
  
  Ecco dunque i valori per cui si dispone di una forma esatta:
  
      $\!\ \eta (1)=\ln 2$, ossia la serie armonica a segni alterni
      $\eta (2)={\pi ^{2} \over 12}$
      $\eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}$
      $\eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}$
      $\eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}$
      $\eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}$
      $\eta (12)={{61499\pi ^{12}} \over {56855407305}}$
  
  Più in generale per ogni valore pari di s:
  
  $\eta (2s)={{B_{2s}\pi ^{2s}(4^{s}-1)} \over {(2s!)}}$
  
  Dove $B_{s}$ sono i numeri di Bernoulli
  
  Per i valori di s minori di 1 la serie diverge ma è possibile trovare dei prolungamenti analitici:
  
  $\eta (0)=1-1+1-1+1-\cdots ={\frac {1}{2}}$
  
  $\eta (-1)=1-2+3-4+5-\cdots ={\frac {1}{4}}$
  
  Generalizzando per ogni s minore di uno
  
  $\eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}.$
  
  