title: Formula di Bretschneider
text: # Formula di Bretschneider
  
  In geometria, la formula di Bretschneider per il calcolo dell'area di un quadrilatero corrisponde alla seguente espressione:
  
      $A={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}$
  
  Dove a, b, c, d sono i lati del quadrilatero, p è il semiperimetro, $\alpha$ e $\gamma$ sono i due angoli opposti.
  
  La scoperta di tale formula si deve al matematico tedesco Carl Anton Bretschneider nel 1842. La formula di Bretschneider funziona per ogni quadrilatero, a prescindere dal fatto che esso sia ciclico o meno.
  
  ## Dimostrazione
  
  Indichiamo con A l'area del quadrilatero. Allora abbiamo
  
      ${\begin{aligned}A&=\operatorname {Area} ({\stackrel {\vartriangle }{ADB}})+\operatorname {Area} ({\overset {\vartriangle }{BDC}})=\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}\end{aligned}}$
  
  Perciò
  
      $4A^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .\,$
  
  Il teorema del coseno implica che
  
      $a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,\,$
  
  poiché entrambi i lati sono uguali al quadrato della lunghezza della diagonale BD. Ciò può essere riscritto nella forma
  
      ${\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .$
  
  Sostituendo questo nella formula di sopra per $4A^{2}$, si ottiene
  
      $4A^{2}+{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma ).\,$
  
  Questo può essere scritto come
  
      $16A^{2}=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).$
  
  Introducendo il semiperimetro
  
      $p={\frac {a+b+c+d}{2}},$
  
  la formula sopra diventa
  
      $16A^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)$
  
  da cui segue la formula di Bretschneider.
  
  ## Formule affini
  
  La formula di Bretschneider generalizza la formula di Brahmagupta per l'area di un quadrilatero ciclico, la quale a sua volta generalizza la formula di Erone per l'area di un triangolo. Si nota infatti che, per un quadrilatero ciclico, l'argomento del coseno è ${\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}}$, quindi il coseno è nullo e il secondo termine del radicando scompare.
  
  