title: Onduloide
text: # Onduloide
  
  In geometria, un onduloide è una superficie avente curvatura media costante e diversa da zero, e quindi una superficie di Delaunay, ottenuta come superficie di rivoluzione di una catenaria ellittica: ruotando cioè un'ellisse lungo una linea fissata (facendola quindi rotolare), tracciando il fuoco e rivoluzionando la curva risultante, detta ondularia, attorno alla suddetta linea. Nel 1841, Charles-Eugène Delaunay dimostrò che le uniche superfici di rivoluzione con curvatura media costante erano quelle ottenute ruotando le rullette delle coniche. Queste superfici sono il piano, il cilindro, la sfera, il catenoide, l'onduloide e il nodoide.
  
  ## Formulazione
  
  L'equazione differenziale dell'ondularia è: $y^{2}+{\frac {2ay}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=-b^{2}$.
  
  Partendo da questa, siano $\operatorname {sn} (u,k)$ la funzione seno di Jacobi e $\operatorname {dn} (u,k)$ la funzioni ellittica di Jacobi, siano $\operatorname {F} (z,k)$ l'integrale ellittico incompleto di prima specie e $\operatorname {E} (z,k)$ l'integrale ellittico incompleto di seconda specie, siano a la lunghezza dell'asse maggiore dell'ellisse ed e l'eccentricità della stessa e infine sia k un valore fisso compreso tra 0 e 1 e chiamato "modulo", date queste variabili l'equazione parametrica dell'ondularia è:
  
      $\operatorname {x} (u)=-a(1-e)(\operatorname {F} (\operatorname {sn} (u,k),k)+\operatorname {F} (1,k))-a(1+e)(\operatorname {E} (\operatorname {sn} (u,k),k)+\operatorname {E} (1,k))\,$
      $\operatorname {y} (u)=a(1+e)\operatorname {dn} (u,k)\,$
  
  La formula per la superficie di rivoluzione detta onduloide è quindi:
  
      $\operatorname {X} (u,v)=\langle \operatorname {x} (u),\operatorname {y} (u)\cos(v),\operatorname {y} (u)\sin(v)\rangle \,$
  
  ## Proprietà
  
  La proprietà più interessante dell'onduloide è il fatto di avere una curvatura media costante. Attraverso l'intera superficie, essa è infatti sempre il reciproco del doppio della lunghezza dell'asse maggiore: 1/(2a).
  
  Inoltre, le geodetiche su un onduloide obbediscono alla relazione di Clairaut e il loro comportamento è quindi prevedibile.
  
  