title: Insieme localmente chiuso
text: # Insieme localmente chiuso
  
  In matematica, un sottoinsieme $S$ di uno spazio topologico $(X,\mathrm {T} )$ si dice localmente chiuso se soddisfa le seguenti condizioni equivalenti:
  
  * $S$ è aperto nella sua chiusura;
  * $S$ è aperto in un chiuso di $X$;
  * $S$ è chiuso in un aperto di $X$;
  * per ogni punto $x$ di $S$ esiste un intorno aperto $U$ di x tale che $S\cap U$ è chiuso in $U$;
  * $S$ è intersezione di un aperto e un chiuso di $X$.
  
  ## Osservazioni
  
  Se $S$ è un sottoinsieme localmente chiuso di $X$, allora l'insieme $\Omega =(X\setminus {\bar {S}})\cup S$ è il più grande aperto di $X$ in cui $S$ è chiuso. Infatti, se $A$ è un altro aperto in cui $S$ è chiuso risulta $S={\bar {S}}\cap A$ e quindi $\Omega =(X\setminus {\bar {S}})\cup ({\bar {S}}\cap A)=((X\setminus {\bar {S}})\cup {\bar {S}}))\cap ((X\setminus {\bar {S}})\cup A)=(X\setminus {\bar {S}})\cup A$ per cui $\Omega$ è aperto e $A\subseteq \Omega$.
  
  ## Esempi
  
  * Nella retta reale, l'intervallo [0, 1) è localmente chiuso, in quanto intersezione dell'aperto (-a, 1) e del chiuso [0, 1+a] (con a>0).
  * Il sottoinsieme $A=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y>0,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}\cup \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\leq 0,\ x^{2}+y^{2}<1\}$ di $\mathbb {R} ^{2}$ munito della usuale topologia euclidea è localmente chiuso.
  * Ogni sottovarietà differenziabile di $\mathbb {R} ^{n}$ è uno spazio localmente chiuso.
  