title: Ipotrocoide
text: # Ipotrocoide
  
  In geometria, un'ipotrocoide è una rulletta ottenibile come curva tracciata da un punto fissato ad un cerchio $c$ di raggio $r$ e posto a una distanza $d$ dal centro (del cerchio $c$): quando $c$ ruota all'interno di un cerchio più grande, di raggio $R,$ traccia l'ipotrocoide.
  
  Un'ipotrocoide si può individuare con il seguente sistema di equazioni parametriche:
  
      ${\begin{cases}x(\phi )=(R-r)\cos \phi +d\cos \left({R-r \over r}\phi \right)\\y(\phi )=(R-r)\sin \phi -d\sin \left({R-r \over r}\phi \right).\end{cases}}$
  
  L'equazione polare di un'ipotrocoide è
  
      $\rho (\phi )^{2}=(R-r)^{2}+2d(R-r)\cos \left({R \over r}\phi \right)+d^{2},$
  
  dove $\phi$ non è l'angolo polare $\theta ,$ ma, quando $x\neq 0,$ le due variabili sono legate dalla relazione:
  
      $\tan \theta ={\frac {y}{x}}={\frac {(R-r)\sin \phi -d\sin \left({\frac {R-r}{r}}\phi \right)}{(R-r)\cos \phi +d\cos \left({\frac {R-r}{r}}\phi \right)}}.$
  
  Tra i casi speciali di ipotrocoide vi sono l'ipocicloide, relativa a $d=r,$ e l'ellisse, ottenuta quando $R=2r.$
  
  Le ipotrocoidi, così come le epitrocoidi, possono essere tracciate materialmente da una apparecchiatura chiamata spirografo.
  
  