title: Insieme perfetto
text: # Insieme perfetto
  
  In matematica, e in particolare in topologia, un insieme perfetto è un insieme chiuso senza punti isolati e uno spazio perfetto è uno spazio topologico senza punti isolati. In questi spazi ogni punto può essere approssimato arbitrariamente bene da altri punti, cioè dato un punto e un intorno del punto esiste un altro punto nell'intorno.
  
  In questo articolo ogni spazio che non è perfetto sarà detto imperfetto.
  
  ## Esempi
  
  La retta reale $\mathbb {R}$ è uno spazio perfetto connesso. Gli spazi di Baire sono spazi perfetti totalmente sconnessi, e pertanto questo vale anche per lo spazio di Cantor $\mathbf {2} ^{\omega }$.
  
  Ogni insieme non vuoto ammette una topologia con la quale è imperfetto: la topologia discreta. Ogni insieme con più di un punto ammette una topologia con la quale è perfetto: la topologia banale.
  
  ## Proprietà
  
  Ogni sottoinsieme aperto di uno spazio perfetto è perfetto.
  
  Ogni spazio perfetto non vuoto ha sottospazi che sono imperfetti con la topologia di sottospazio: i singoletti.
  
  La proprietà di uno spazio topologico di essere perfetto è una proprietà locale: uno spazio è perfetto se e solo se ogni punto ammette una base di intorni tale che ogni intorno in tale base è perfetto nella topologia di sottospazio.
  
  Sia $\{X_{i}\}_{i\in I}$ una famiglia di spazi topologici. Come per ogni proprietà locale, l'unione disgiunta $\bigsqcup _{i}X_{i}$ è perfetta se e solo se ogni $X_{i}$ è perfetto.
  
  Il prodotto cartesiano di una famiglia $\{X_{i}\}_{i\in I}$ è perfetto nella topologia prodotto se e solo se vale almeno una delle seguenti proprietà:
  
  * almeno uno degli spazi $X_{i}$ è perfetto;
  * $I=\varnothing$;
  * è infinito l'insieme degli indici $i\in I$ tali che $X_{i}$ ha almeno due punti.
  
  L'immagine tramite una funzione continua e i quozienti di spazi perfetti non sono necessariamente perfetti. Ma l'immagine di uno spazio perfetto rispetto ad una funzione continua iniettiva è perfetta.
  
  Un insieme perfetto contenuto in uno spazio metrico completo è non numerabile.
  
  