title: Lemma della farfalla
text: # Lemma della farfalla
  
  Il lemma della farfalla è un risultato utilizzato nell'algebra.
  
  Siano $U$ e $V$ due sottogruppi di un gruppo $G$, siano $H$ e $K$ sottogruppi normali di $U$ e $V$ rispettivamente, allora:
  
  * $H(U\cap K)$ è normale in $H(U\cap V)$
  * $(H\cap V)K$ è normale in $(U\cap V)K$
  
  I gruppi quozienti inoltre risultano isomorfi:
  
      $H(U\cap V)/H(U\cap K)\cong (U\cap V)K/(H\cap V)K$
  
  ## Dimostrazione
  
  Una possibile dimostrazione del Lemma è:
  
  Si verifica che $H(U\cap K)$ è normale in $H(U\cap V)$.
  
  Si può osservare che $U\cap K$ è normale in $U\cap V$, infatti $\forall k\in U\cap K$ e $\forall v\in U\cap V$ si ha:
  
  ${\begin{cases}vkv^{-1}\in K,&{\text{perché}}\ K\ {\text{è normale in}}\ V,\\vkv^{-1}\in U,&{\text{perché}}\ k,v\in U.\end{cases}}\implies vkv^{-1}\in U\cap K$.
  
  Poiché ogni gruppo ė normale in sé si ha che $H(U\cap K)$ ė normale in $H(U\cap V)$.
  
  Si verifica che $(H\cap V)K$ è normale in $(U\cap V)K$.
  
  Si può osservare che $H\cap V$ è normale in $U\cap V$. Infatti, $\forall k\in H\cap V$ e $\forall v\in U\cap V$, si ha:
  
  ${\begin{cases}vkv^{-1}\in U,&{\text{perché}}\ H\ {\text{è normale in}}\ U,\\vkv^{-1}\in V,&{\text{perché}}\ k,v\in V.\end{cases}}\implies vkv^{-1}\in H\cap V.$
  
  Poiché ogni gruppo ė normale in sé si ha che $(H\cap V)K$ è normale in $(U\cap V)K$.
  
  La combinazione di gruppi e gruppi quoziente diventa chiara quando la visualizziamo nel diagramma di sottogruppi che dà il nome al Lemma:
  
  Nel diagramma sono dati $H,K,U,V,$ tutti gli altri punti del diagramma corrispondono a certi gruppi che si possono determinare nel modo seguente:
  
  * L'intersezione di due segmenti che vanno verso il basso corrispondono all'intersezione di gruppi;
  * L'intersezione di due linee che vanno verso l'alto corrisponde al prodotto.
  
  Consideriamo i due parallelogrammi che formano le ali della farfalla, otteniamo l'isomorfismo dei gruppi quoziente come segue:
  
  $(H(U\cap V))/(H(U\cap K))(U\cap V)/((H\cap V)(U\cap K))\cong (U\cap V)K/(H\cap V)K$
  
  Infatti il lato in comune ai due parallelogrammi ha come punto iniziale $U\cap V$,
  
  e come punto finale $(H\cap V)(U\cap K)$. Si ha l'isomorfismo:
  
  $(H(U\cap V))/(H(U\cap K))\cong (U\cap V)/((H\cap V)(U\cap K))$
  
  Applicando il teorema di isomorfismo:
  
  $G/((G\cap N))\cong GN/N$,
  
  Con $G=U\cap V$ e $N=H(U\cap K)$.
  
  Questo dà l'isomorfismo di sinistra.
  
  L'isomorfismo di destra si ottiene per simmetria.
  
  Da cui $(H(U\cap V))/(H(U\cap K))\cong (U\cap V)K/(H\cap V)K$.
  
  Q.E.D.
  
  