title: Lemma del cerchio piccolo
text: # Lemma del cerchio piccolo
  
  In analisi complessa, il lemma del cerchio piccolo (o lemma del piccolo arco di cerchio) permette la risoluzione di particolari integrali impropri aventi come integranda una funzione razionale. Tale lemma si divide in due parti.
  
  ## Primo lemma
  
     Sia $\Omega$ un insieme aperto del piano complesso $\mathbb {C}$. Sia $f(z)$ una funzione olomorfa, tale che:
         $\lim _{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})f(z)=0$
     Allora:
         $\lim _{r\rightarrow 0}\int _{\gamma _{r}}f(z)\,dz=0$
  
  ### Dimostrazione
  
  So che:
  
      $\exists \,\varepsilon >0\,\,\exists \,\,\delta (\varepsilon )>0\,:\,\forall \,r<\delta \,\Rightarrow \left|\int _{\gamma _{r}}f(z)\cdot dz\right|<\varepsilon$
  
  Riscrivendo il $\lim _{z-z_{0}}$:
  
      $\exists \,\,\delta >0\,:\,\forall \,z,\left|z-z_{0}\right|<\delta \,\,\Rightarrow \,\left|(z-z_{0})\cdot f(z)\right|<{\frac {\varepsilon }{\phi _{2}-\phi _{1}}}$
  
  Mi calcolo quindi il modulo dell'integrale:
  
      $\left|\int _{\gamma _{r}}f(z)\,dz\right|\leq \int _{\gamma _{r}}\left|f(z)\right|\,dz\leq \int _{\gamma _{r}}{\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})\left|z-z_{0}\right|}}\,dz=$
  
  Poiché per ipotesi $\left|z-z_{0}\right|=r<\delta$, posso portare fuori tutta la frazione, e risolvere l'integrale che è uguale alla lunghezza dell'arco di circonferenza compresa tra i due angoli $\phi _{1},\,\phi _{2}$. Quindi:
  
      $={\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})r}}\,\cdot r(\phi _{2}-\phi _{1})=\varepsilon$
  
  ### Conclusioni
  
  Il primo lemma dimostra che data una $f(z)$ continua in $\Omega \in \mathbb {C}$ con singolarità isolata, precisamente un polo di ordine 1, l'integrale attorno a tale polo risulta nullo. Tale risultato, importante da un punto di vista teorico, è meno importante da un punto di vista risolutivo degli integrali.
  
  ## Secondo lemma
  
     Sia $f(z)$ con polo semplice. Allora
         $\int _{\gamma _{r}}f(z)\,dz=\,(\phi _{2}-\phi _{1})i\operatorname {Res} (f,z_{0})$
  
  ### Dimostrazione
  
  Sviluppando tramite serie di Laurent si otterrà:
  
      $f(z)={\frac {a_{-1}}{z-z_{0}}}+g(z)$
  
  $a_{-1}$ rappresenta il primo termine noto della parte singolare della serie di Laurent. Applicando il segno di integrazione ad ambo i membri ottengo:
  
      $\int _{\gamma _{r}}f(z)\,dz=\int _{\gamma _{r}}{\frac {a_{-1}}{z-z_{0}}}\,dz+\int _{\gamma _{r}}g(z)\,dz$
  
  La $g(z)$ è una funzione regolare e con il primo lemma, dinnanzi calcolato:
  
      $\lim _{z-z_{0}}(z-z_{0})\cdot g(z)=0\Rightarrow \int _{\gamma _{r}}g(z)\,dz=0$
  
  l'integrale della $g(z)$ si annulla.
  
  Parametrizzo la mia curva chiusa $\gamma _{r}$, $z=z_{0}+re^{it}$, con $\phi _{1}\leq t\leq \phi _{2}$. Sostituendo nell'integrale avrò:
  
      $a_{-1}\int _{\phi _{1}}^{\phi _{2}}{\frac {1}{re^{it}}}\,rie^{it}\,dt=a_{-1}\,(\phi _{2}-\phi _{1})i$
  
  di cui il coefficiente $a_{-1}$ rappresenta proprio il $\operatorname {Res} (f,z_{0})$.
  
  ### Conclusioni
  
  Il secondo lemma, rispetto al primo, è molto più utilizzato nella risoluzione di integrali, a patto che il polo presente sia del primo ordine, $n=1$. Per ordini superiori tale lemma non è applicabile alla risoluzione degli integrali.
  
  