title: Indice di Divisia
text: # Indice di Divisia
  
  L'indice di Divisia, dal nome dell'economista francese François-Jean-Marie Divisia, è un indice definito in ambito continuo utilizzato per la misurazione delle variazioni nei volumi e nei prezzi di determinati aggregati.
  
  Adattamenti al caso discreto dell'indice di Divisia, e quindi sue approssimazioni empiriche, sono:
  
  * l'indice di Laspeyres;
  * l'indice di Paasche;
  * l'indice di Fisher;
  * l'indice di Törnqvist.
  
  ## Calcolo dell'indice
  
  Il valore di un aggregato risulta uguale alla somma delle quantità degli elementi che lo compongono moltiplicati per i rispettivi prezzi. Indicando con $\ X_{t}$ il valore dell'aggregato X al tempo t, con $\ p_{it}$ e $\ q_{it}$, rispettivamente, il prezzo e la quantità dell'elemento i al tempo t, avremo:
  
      $\ X_{t}=\sum _{i}p_{it}\ q_{it}$
  
  Derivando rispetto al tempo e dividendo per $\ X_{t}$ otteniamo:
  
      ${\frac {{\dot {X}}_{t}}{X_{t}}}=\sum _{i}{\frac {q_{it}}{\sum _{i}p_{it}\ q_{it}}}{\dot {p}}_{it}+\sum _{i}{\frac {p_{it}}{\sum _{i}p_{it}\ q_{it}}}{\dot {q}}_{it}$
  
  dove $\ {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}$.
  
  Dall'equazione precedente otteniamo:
  
      ${\frac {{\dot {X}}_{t}}{X_{t}}}=\sum _{i}v_{it}{\frac {{\dot {p}}_{it}}{p_{it}}}+\sum _{i}v_{it}{\frac {{\dot {q}}_{it}}{q_{it}}}$
  
  dove $\ v_{it}$ è la quota di i sul totale nel periodo t, ovvero:
  
      $v_{it}={\frac {q_{it}p_{it}}{\sum _{i}p_{it}\ q_{it}}}$
  
  Essendo:
  
      ${\frac {d\log x}{dt}}={\frac {\dot {x}}{x}}$
  
  una formulazione alternativa è:
  
      (1) $\ {\frac {d\log X_{t}}{dt}}=\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {p}_{it}}{dt}}+\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {q}_{it}}{dt}}$
  
  Nelle equazioni precedenti il primo addendo rappresenta la variazione dell'aggregato osservabile a seguito della variazione dei prezzi, costanti le quantità, mentre il secondo registra i cambiamenti imputabili alle variazioni nei volumi, costanti i prezzi.
  
  In caso di un solo bene avremmo:
  
      $\ X_{t}=P_{t}\ Q_{t}$
  
  da cui:
  
      (2) $\ {\frac {d\log X_{t}}{dt}}={\frac {d\log P_{t}}{dt}}+{\frac {d\log Q_{t}}{dt}}$
  
  Notando il parallelismo tra la (1) e la (2) possiamo scrivere:
  
      $\ {\frac {d\log P_{t}}{dt}}=\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {p}_{it}}{dt}}$
      $\ {\frac {d\log Q_{t}}{dt}}=\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {q}_{it}}{dt}}$
  
  Consideriamo la prima equazione. Dato un anno base (0), la variazione dell'indice tra l'anno base ed un anno T sarà dato da:
  
      $\int _{0}^{T}{\frac {d\log P_{t}}{dt}}dt=\int _{0}^{T}\left(\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {p}_{it}}{dt}}\right)dt$
  
  da cui, integrando, otteniamo:
  
      $\log {\frac {P_{T}}{P_{0}}}=\int _{0}^{T}\left(\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {p}_{it}}{dt}}\right)dt$
  
  L'indice dei prezzi di Divisia è dunque uguale a:
  
      ${\frac {P_{T}}{P_{0}}}=\exp \left(\int _{0}^{T}\left(\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {p}_{it}}{dt}}\right)dt\right)$
  
  Analogamente, l'indice dei volumi di Divisia è dato da:
  
      ${\frac {Q_{T}}{Q_{0}}}=\exp \left(\int _{0}^{T}\left(\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {q}_{it}}{dt}}\right)dt\right)$
  