title: Compattificazione di Stone-Čech
text: # Compattificazione di Stone-Čech
  
  La compattificazione di Stone-Čech di uno spazio topologico $X$ è uno spazio topologico compatto (indicato con $\beta X$) tale che ogni funzione continua da $X$ verso uno spazio topologico compatto può essere estesa ad una funzione definita su tutto $\beta X$. Generalmente, si assume che $X$ sia uno spazio di Tychonoff, perché solo in questo caso $\beta X$ estende lo spazio di partenza $X$. Fra le varie compattificazioni di uno spazio topologico, quella di Stone-Čech è la "più grande", contrapposta alla compattificazione di Alexandrov, ottenuta aggiungendo un punto solo.
  
  ## Definizione
  
  La compattificazione di Stone-Čech di uno spazio topologico $X$ è uno spazio $\beta X$ contenente $X$ con queste proprietà:
  
  * $\beta X$ è compatto;
  * $X$ è denso in $\beta X$;
  * per ogni funzione continua
  
      $f:X\to K$
  
  a valori in uno spazio compatto di Hausdorff $K$ esiste una funzione continua
  
      $f':\beta X\to K$
  
  che estende $f$
  
  L'ultima proprietà può essere descritta dicendo che $X$ è $C^*-immerso$ in $\beta X$.
  
  ## Principali proprietà
  
  La compattificazione di Stone-Cech si può vedere come la "massima" compattificazione di uno spazio (mentre la compattificazione di Alexandrov è la più piccola), come indicano le seguenti proprietà:
  
  * è unica a meno di omeomorfismi;
  * è l'unico spazio compatto in cui $X$ è $C^{\star }$-immerso;
  * è il più grande spazio in cui $X$ è $C^{\star }$-immerso.
  
  ## Formulazioni della compattificazione di Stone-Čech
  
  È possibile formulare la compattificazione di Stone-Čech in diversi modi tra di loro equivalenti: ad esempio, le funzioni continue da $X$ all'intervallo chiuso $[0,1]$ costituiscono la compattificazione desiderata.
  
  Un'altra possibile formulazione equivalente è la seguente: dato uno spazio topologico $X$ discreto, la compattificazione di Stone-Cech $\beta X$ è formata da tutti gli ultrafiltri di X. La base della topologia di $\beta X$ possiede come elementi tutti gli ultrafiltri che contengono un dato aperto $A$:
  
  ${\mathcal {B}}=\{p\in \beta X|A\in p\}_{A\in {\mathcal {A}}}$, dove ${\mathcal {A}}$ sono gli aperti della topologia di $X$.
  
  Nel caso di un generico spazio $X$ che sia Tychonoff, la compattificazione di Stone-Cech di $X$ si può ottenere usando gli insiemi massimali costituiti di zero-insiemi.
  
  