title: Modello di Klein
text: # Modello di Klein
  
  Il modello di Klein è un modello di geometria iperbolica, introdotto da Eugenio Beltrami per dimostrare l'indipendenza del V postulato di Euclide dai primi quattro. La descrizione del modello come spazio metrico è dovuta successivamente a Arthur Cayley ed approfondita successivamente da Felix Klein.
  
  Come il disco di Poincaré, il modello di Klein è una palla $n$-dimensionale. La geometria è definita però in modo differente: le geodetiche nel modello di Klein sono infatti segmenti e non archi di circonferenza. La maggiore semplicità nella descrizione delle geodetiche è però controbilanciata da una maggiore complicazione nella descrizione degli angoli fra queste: il modello di Klein non è infatti un modello conforme, gli angoli fra rette non sono cioè quelli usuali del piano euclideo.
  
  ## Definizione
  
  Il modello di Klein è un modello di geometria iperbolica definito sulla palla $n$-dimensionale
  
      $B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|<1\}$
  
  dotata di una geometria diversa da quella euclidea. Tale geometria può essere introdotta in vari modi. La dimensione $n$ è arbitraria, ma la più studiata è senza dubbio la dimensione $n=2$: in questo caso lo spazio è veramente un disco (senza il bordo), centrato nell'origine e di raggio unitario.
  
  ### Distanza
  
  La distanza fra due punti è definita nel modo seguente. Siano $u$ e $v$ due punti del disco. Siano $u'$ e $v'$ i punti di intersezione della retta $r$ passante per $u$ e $v$ con il bordo del disco
  
      $\partial B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|=1\}.$
  
  I punti $u',u,v,v'$ giacciono con questo ordine sulla retta $r$. La distanza fra $u$ e $v$ è
  
      $d(u,v)={\frac {1}{2}}\ln {\big\operatorname {b} (v',u',u,v){\big )}$
  
  ovvero il logaritmo naturale del birapporto dei quattro punti. Con questa distanza il modello di Klein è uno spazio metrico.
  
  