title: Modello di compensazione
text: # Modello di compensazione
  
  In fisica matematica, e soprattutto in biologia matematica, un sistema dinamico definito dall'equazione differenziale
  
      ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=xr(x)$
  
  dove $r(x)$ è il tasso di crescita pro-capite, si dice modello di compensazione se sono verificate le seguenti proprietà:
  
  * $\left.{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right|_{x=0}=0$
  * in un intorno di $0$ il tasso di crescita ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$ cresce
  * da un certo punto in poi il tasso di crescita diminuisce.
  
  Formalmente, tali condizioni si traducono in:
  
  * $r(x)\geq 0\qquad \forall \quad 0\leq x\leq K$
  * $r'(x)\geq 0\qquad \forall \quad 0\leq x\leq K^{*}\qquad$ dove $K^{*}<K$
  * $r'(x)\leq 0\qquad \forall \quad K^{*}\leq x\leq K$
  * $r''(x)\leq 0\qquad \forall \quad 0\leq x\leq K$
  
  ## Significato biologico
  
  Nel caso di sistemi biologici, ossia se $x$ rappresenta una popolazione, il modello di compensazione è caratterizzato da un alto aumento di tasso di crescita pro-capite per popolazione bassa, fino a un assestamento superato un certo valore di individui.
  
  Un esempio è quello di popolazioni che, in assenza di competizione (ovvero quando vi sono solo pochi individui), si riproducono con tassi simili al modello di Malthus, e in seguito diminuiscono la velocità di riproduzione fino a raggiungere un tasso nullo quando la popolazione raggiunge un punto d'equilibrio stabile (ad esempio quello pari alla carrying capacity nell'equazione logistica).
  
  