title: Equivalenza sinistra-destra tra matrici
text: # Equivalenza sinistra-destra tra matrici
  
  In matematica, e più precisamente in algebra lineare, due matrici $A$ e $B$ sono SD-equivalenti quando esistono due matrici invertibili $M$ e $N$ tali che:
  
      $A=MBN$
  
  La sigla SD sta per equivalenza sinistra-destra.
  
  La SD-equivalenza è una relazione di equivalenza, e induce quindi una partizione dell'insieme $M(m,n,K)$ di tutte le matrici $m\times n$ a valori in un campo $K$. Si tratta di una relazione di equivalenza più semplice della più usata similitudine: due matrici risultano essere SD-equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.
  
  ## Definizione
  
  Siano $A$ e $B$ due matrici $m\times n$, Queste sono SD-equivalenti se esistono due matrici invertibili $M$ e $N$ (la prima $m\times m$, la seconda $n\times n$) tali che:
  
      $A=MBN$
  
  ## Rango
  
  Il rango è un invariante completo per la SD-equivalenza: questo vuol dire che due matrici $m\times n$ sono SD-equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.
  
  In particolare, ogni matrice $A$ è SD-equivalente ad una matrice del tipo:
  
      $B={\begin{pmatrix}I_{r}&0_{r,n-r}\\0_{m-r,r}&0_{m-r,n-r}\end{pmatrix}}$
  
  dove $r$ è il rango di $A$, $I_{r}$ è la matrice identità $r\times r$ e $0_{k,h}$ è la matrice nulla $k\times h$.
  
  ## Relazioni con le altre equivalenze
  
  Due matrici simili sono anche SD-equivalenti. L'opposto non è però vero in generale. Ad esempio, le matrici costanti di un dato ordine multiple dell'identità sono tutte SD-equivalenti, mentre ciascuna di esse da sola costituisce una classe di similitudine; ancora due matrici con lo stesso rango ma con diverso determinante (oppure con autovalori differenti) sono SD-equivalenti ma non simili; evidenti coppie di queste matrici hanno la forma $(M,cM)$ con c $\neq 1$.
  
  