title: Similitudine nel piano complesso
text: # Similitudine nel piano complesso
  
  Si definisce similitudine nel piano complesso, di rapporto $k$, con $k$ numero reale non nullo, la composizione di un'isometria (si veda trasformazione geometrica piana) del piano complesso e di una omotetia nel piano complesso di rapporto $k$.
  
  Le similitudini nel piano complesso possono essere suddivise in similitudini dirette e similitudini inverse.
  
  ## Similitudine diretta
  
  È la trasformazione data da
  
      ${\begin{aligned}\Sigma \colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=az+b,\end{aligned}}$
  
  con $|a|=k$ e $a,b\in \mathbb {C}$.
  
  ### Proprietà
  
  Si osserva che:
  
  * se $a=1$ e $b=0$, la trasformazione è l'identità $z'=z$ e tutti i punti del piano complesso sono uniti (si veda trasformazione geometrica piana);
  * se $a=1$ e $b\neq 0$, la trasformazione è una traslazione $z'=z+b$, quindi nessun punto è unito;
  * se $a\neq 1$, la trasformazione ha un solo punto unito $W$ corrispondente del numero complesso $w$ soluzione dell'equazione $w=aw+b$, cioè
  
         $w={\frac {b}{1-a}}.$
  
  ### Esempio
  
  Studio della trasformazione $z'=2(1-i)z-3i$.
  
  Questa è una similitudine diretta relativa ai parametri:
  
      $a=2(1-i)$ e $b=-3i.$
  
  Il numero complesso $w$ corrispondente al punto unito si ottiene risolvendo l'equazione $w=2(1-i)w-3i$.
  
  Svolgendo i calcoli quindi
  
      $w={\frac {-3i}{1-2\left(1-i\right)}}={\frac {3i}{1-2i}}={\frac {3i\left(1+2i\right)}{5}}=-{\frac {6}{5}}+{\frac {3}{5}}i.$
  
  ## Similitudine indiretta
  
  È la trasformazione data da
  
      ${\begin{aligned}\Sigma \colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=a{\overline {z}}+b,\end{aligned}}$
  
  con $|a|=k$ e $a,b\in \mathbb {C}$.
  
  