title: Teorema di Gauss-Markov
text: # Teorema di Gauss-Markov
  
  Il teorema di Gauss-Markov, così chiamato in onore dei matematici Carl Friedrich Gauss e Andrej Markov, è un teorema in statistica matematica che afferma che in un modello lineare in cui i disturbi hanno valore atteso nullo, sono incorrelati e omoschedastici, gli stimatori lineari corretti più efficienti sono gli stimatori ottenuti con il metodo dei minimi quadrati.
  
  ## Enunciato del teorema
  
  In termini più formali, si consideri un modello lineare in notazione matriciale:
  
      $y=X\beta +\varepsilon ,$
  
  dove $\mathrm {E} [\varepsilon ]=0$ e $\mathrm {E} [\varepsilon \varepsilon ']=\sigma ^{2}I$ (con $A'$ si indica la matrice trasposta della matrice $A$); essendo
  
      ${\hat {\beta }}=(X'X)^{-1}X'y$
  
  il vettore degli stimatori dei minimi quadrati, allora qualunque stimatore alternativo
  
      $b=Ly$
  
  ottenuto come combinazione lineare degli $y$ è tale per cui:
  
      $\mathrm {Var} \left(b\right)-\mathrm {Var} \left({\hat {\beta }}\right)=\mathrm {E} \left[\left(b-\beta \right)\left(b-\beta \right)'\right]-\mathrm {E} \left[\left({\hat {\beta }}-\beta \right)\left({\hat {\beta }}-\beta \right)'\right]$
  
  è una matrice semidefinita positiva.
  
  ## Dimostrazione
  
  Si consideri un generico stimatore lineare $b=Ly$; si decomponga la matrice $L$ come:
  
      $L=D+(X'X)^{-1}X'.$
  
  Si impone a questo punto che $b$ sia uno stimatore corretto, ossia:
  
      $\mathrm {E} \left[b\right]=\mathrm {E} \left[Dy+(X'X)^{-1}X'y\right]=\beta .$
  
  Evidentemente, ciò è possibile solo se $DX=0$ (e, ovviamente, $\mathrm {E} [L\varepsilon ]=\mathrm {E} [D\varepsilon ]=0$). La matrice delle covarianze di $b$ è data da:
  
      $\mathrm {E} \left[(b-\beta )(b-\beta )'\right]=\mathrm {E} \left[(D+(X'X)^{-1}X')\varepsilon \varepsilon '(D+(X'X)^{-1}X')'\right]=\sigma ^{2}(DD'+(X'X)^{-1}),$
  
  poiché la correttezza di $b$ impone che $DX=0$. Nell'espressione sopra si riconosce la matrice delle covarianze degli stimatori dei minimi quadrati $\mathrm {Var} ({\hat {\beta }})=\sigma ^{2}(X'X)^{-1}$; è immediato osservare che la matrice $\sigma ^{2}DD'=\mathrm {Var} (b)-\mathrm {Var} ({\hat {\beta }})$ è semi-definita positiva, in quanto $\sigma ^{2}>0$ e:
  
      $v'DD'v=(D'v)'(D'v)=||D'v||^{2}\geq 0,\quad \forall v\neq 0,$
  
  così che la tesi del teorema risulta dimostrata.
  
  