title: Test F
text: # Test F
  
  In statistica il test F per il confronto di due varianze è un test di ipotesi basato sulla distribuzione F di Fisher-Snedecor e volto a verificare l'ipotesi che due popolazioni che seguono entrambe distribuzioni normali abbiano la stessa varianza.
  
  ## Procedimento
  
  Se le popolazioni X e Y seguono rispettivamente le distribuzioni normali ${\mathcal {N}}(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})$ e ${\mathcal {N}}(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})$, allora
  
  * i campioni $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ e $Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{m}$ si suppongono indipendenti, i primi isonomi a X e i secondi isonomi a Y;
  * gli stimatori delle varianze osservate $S_{X}^{2}$ e $S_{Y}^{2}$ sono variabili aleatorie indipendenti;
  * le variabili aleatorie ${\tfrac {n-1}{\sigma _{X}^{2}}}S_{X}^{2}$ e ${\tfrac {m-1}{\sigma _{Y}^{2}}}S_{Y}^{2}$ seguono rispettivamente le distribuzioni chi quadro $\chi ^{2}(n-1)$ e $\chi ^{2}(m-1)$;
  * il rapporto $F={\tfrac {\sigma _{Y}^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}{\frac {S_{X}^{2}}{S_{Y}^{2}}}$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor ${\mathcal {F}}(n-1,m-1)$.
  
  ## Variabile di decisione
  
  Sotto l'ipotesi $H_{0}=(\sigma _{X}^{2}=\sigma _{Y}^{2})$, ovvero se le due popolazioni hanno la stessa varianza, allora la variabile aleatoria
  
      $F={\frac {S_{X}^{2}}{S_{Y}^{2}}}$
  
  segue la distribuzione di Fisher-Snedecor
  
      ${\mathcal {F}}(n-1,m-1)$
  
  di parametri n-1 e m-1, dove n e m sono le numerosità dei due campioni.
  
  La scelta del numeratore non influenza il test: sotto l'ipotesi nulla la variabile aleatoria $1/F$ segue la distribuzione ${\mathcal {F}}(m-1,n-1)$.
  
  ## Il test
  
  Come regione di accettazione, al livello di significatività α, viene preso l'intervallo compreso tra i quantili di ordine ${\frac {\alpha }{2}}$ e $1-{\frac {\alpha }{2}}$, mentre la regione di rifiuto è quella esclusa:
  
      ${\mathcal {A}}=]f_{\frac {\alpha }{2}},f_{1-{\frac {\alpha }{2}}}[;\qquad {\mathcal {R}}=]0,f_{\frac {\alpha }{2}}[\ \cup \ ]f_{1-{\frac {\alpha }{2}}},\infty [$
  
  Un valore appartenente all'intervallo $]0,f_{\frac {\alpha }{2}}[$ suggerisce che la varianza di X sia minore della varianza di Y, mentre un valore appartenente all'intervallo $]f_{1-{\frac {\alpha }{2}}},\infty [$ suggerisce l'inverso.
  
  ## Econometria
  
  In molti casi la statistica F può essere calcolata con un processo più diretto:
  
      $F={\frac {\left({\frac {{\mbox{SSR}}_{1}-{\mbox{SSR}}_{2}}{p_{2}-p_{1}}}\right)}{\left({\frac {{\mbox{SSR}}_{2}}{n-p_{2}}}\right)}}$
  
  dove $SSR_i$ è la somma dei quadrati residui (dall'inglese Sum of Square Residuals) del modello i.
  
  In econometria vale anche la seguente formula di moltiplicazioni tra matrici:
  
      $F={\frac {(R{\hat {\beta }}-r)({\hat {RVar({\widehat {\beta }})R'}})^{-1}(R{\hat {\beta }}-r)}{q}}$
  
  dove:
  
  * $R$ è la matrice dei vincoli;
  * $r$ è il parametro d'eguagliaza;
  * $({\hat {RVar({\widehat {\beta }})R'}})^{-1}$ è l'inversa della matrice con le covarianze;
  * $q$ è il numero dei vincoli di $H_{0}$.
  
  Solitamente gli strumenti sono rilevanti se F ≥ 10
  
  Una tavola dei valori critici del test F può essere trovata qui.
  
  ## Applicazione alla comparazione di diverse statistiche $\chi ^{2}$
  
  In analisi dei dati il test F viene comunemente usato per confrontare i risultati ottenuti con due diversi metodi e valutati con l'estimatore $\chi ^{2}$. Se si hanno due variabili $\chi _{1}^{2}$ e $\chi _{2}^{2}$ che seguono la distribuzione di $\chi ^{2}$ a $\nu _{1}$ e $\nu _{2}$ gradi di libertà rispettivamente, si può costruire la variabile $f$:
  
  $f={\frac {\chi _{1}^{2}/\nu _{1}}{\chi _{2}^{2}/\nu _{2}}}$
  
  che sarà distribuita secondo la Distribuzione F:
  
  $p(f;\nu _{1},\nu _{2})={\frac {\Gamma [(\nu _{1}+\nu _{2})/2]}{\Gamma [\nu _{1}/2]\Gamma [\nu _{2}/2]}}\left({\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}\right)^{\nu _{1}/2}{\frac {f^{1/2(\nu _{1}-2)}}{(1+f\nu _{1}/\nu _{2})^{1/2(\nu _{1}+\nu _{2})}}}\quad$.
  
  Per capire se $\chi _{1}^{2}$ e $\chi _{2}^{2}$ siano consistenti si usa, quindi, l'integrale della distribuzione di probabilità per $f$:
  
  $P_{f}({f^{0};\nu _{1},\nu _{2}})=\int _{f^{0}}^{\infty }p(f,\nu _{1},\nu _{2})df$
  
  dove $f^{0}$ è il particolare valore di $f$ ottenuto.
  
  Il valore di $P_{f}$ fornisce la probabilità di trovare un valore di $f$ pari a $f^{0}$ o più alto da dati casuali se $\chi _{1}^{2}$ e $\chi _{2}^{2}$ sono in accordo.
  
  Tipicamente il test F usato per i $\chi ^{2}$ confronta due fit applicati agli stessi dati per capire se uno è migliore dell'altro. Se il valore di $P_{f}$ è minore del livello di confidenza scelto (ad es. 5%), si ha una significativa differenza nella bontà dei due fit.
  
  