title: Fascio di piani
text: # Fascio di piani
  
  Un fascio di piani è un insieme formato da infiniti piani, aventi una retta in comune (fascio proprio) oppure paralleli fra di loro (fascio improprio).
  
  ## Equazione del fascio di piani
  
  Un fascio di piani ha equazione analoga a quella di un piano, in cui i coefficienti sono però determinati a meno di un parametro libero $k$ di primo grado; ad ogni valore del parametro corrisponde un piano del fascio:
  
      $a(k)x+b(k)y+c(k)z+d(k)=0$.
  
  Nel caso di un fascio proprio, è sempre possibile eseguire un raccoglimento parziale del parametro $k$ in modo da separare l'equazione del piano come segue:
  
      $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}+k(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2})=0$;
  
  i due piani:
  
      ${\begin{matrix}\Pi _{1}:&a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0\\\Pi _{2}:&a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\end{matrix}}$
  
  sono detti generatori del fascio e individuano la retta appartenente a tutti i piani del fascio. $\Pi _{1}$ si ottiene per $k=0$, mentre $\Pi _{2}$, pur appartenendo al fascio, non è ricavabile per alcun valore reale attribuibile al parametro, ma è soltanto approssimabile tramite i piani ottenuti per valori molto grandi di $k$.
  
  Un fascio improprio è formato da piani paralleli fra di loro, con in comune la stessa normale, pertanto il parametro $k$ compare soltanto nel termine noto. In questo caso è possibile prendere come generatori due piani qualunque appartenenti al fascio.
  
  ## Combinazione lineare di piani
  
  La definizione più generale di fascio di piani utilizza un parametro reale proiettivo: dati i due piani $\Pi _{1}$ e $\Pi _{2}$ di equazioni:
  
      ${\begin{matrix}\Pi _{1}:&a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0\\\Pi _{2}:&a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\end{matrix}}$,
  
  il fascio di piani da essi generato è definito dalla combinazione lineare delle due equazioni:
  
      $\mu (a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1})+\lambda (a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2})=0$,
  
  dove $\mu$ e $\lambda$ sono due parametri reali non entrambi nulli. Se i due piani generatori sono paralleli, si ottiene un fascio improprio, altrimenti si ottiene un fascio proprio i cui piani hanno in comune la retta individuata dai due generatori.
  
  A differenza delle precedenti equazioni, quest'ultima contiene tutti i piani del fascio. Posto $\mu \neq 0$, ogni coppia $(\lambda ,\mu )$ con lo stesso rapporto ${\frac {\lambda }{\mu }}$ individua lo stesso piano e può essere identificata dal singolo parametro $k={\frac {\lambda }{\mu }}\in \mathbb {R}$. La coppia di parametri si può allora considerare come un unico parametro nel piano proiettivo $[\lambda ,\mu ]\in \mathbb {P}$.
  
  ## Sezione piana di un fascio di piani
  
  L'intersezione di un fascio di piani con un piano non appartenente al fascio è un fascio di rette. Se il fascio di piani è proprio (una retta in comune), anche il fascio di rette che si ottiene è proprio (un punto in comune); se invece il fascio di piani è improprio (piani paralleli), il corrispondente fascio di rette è improprio (rette parallele).
  
  