title: Spazio botte
text: # Spazio botte
  
  In matematica, in particolare in analisi funzionale, uno spazio botte (in inglese barrelled space) è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso $E$ che condivide diverse caratteristiche degli spazi di Fréchet. Gli spazi botte, introdotti dal gruppo di matematici Nicolas Bourbaki, sono studiati soprattutto perché per essi è valida una forma del principio dell'uniforme limitatezza.
  
  Un insieme $A\subset E$ è detto bilanciato se:
  
      $\alpha x\in A\qquad \forall x\in A\quad \forall |\alpha |<1$
  
  L'insieme bilanciato $A$ è detto assorbente se esiste $\alpha >0$ tale che:
  
      $\alpha x\in A\qquad \forall x\in E$
  
  Un insieme botte è un insieme convesso, bilanciato, assorbente e chiuso.
  
  Uno spazio botte è uno spazio vettoriale topologico con una topologia localmente convessa tale per cui ogni insieme botte è un intorno del vettore nullo.
  
  ## Esempi
  
  * In uno spazio vettoriale semi-normato la sfera unitaria chiusa è un insieme botte.
  * Ogni spazio vettoriale topologico localmente convesso ha una base di intorni costituita da insiemi botte.
  * Gli spazi di Fréchet, in particolare gli spazi di Banach, sono spazi botte. In generale, tuttavia, gli spazi normati non sono spazi botte.
  * Gli spazi di Montel sono spazi botte.
  * Gli spazi localmente convessi che sono spazi di Baire sono spazi botte.
  * Gli spazi separati e gli spazi completi sono spazi botte.
  