title: Derivatore analogico
text: # Derivatore analogico
  
  In elettronica il derivatore analogico è un importante utilizzo dell'amplificatore operazionale. Prima dell'avvento dell'elettronica digitale l'utilizzo degli amplificatori operazionali era notevole per ottenere operazioni matematiche tramite segnali, come la derivazione e l'integrazione.
  
  ## Circuito derivatore ideale
  
  L'appellativo ideale è necessario quando si parla di amplificatori operazionali poiché si introducono ipotesi semplificative notevoli e per molti versi valide. Dalla figura si vede che il derivatore ideale è costituito da un amplificatore operazionale invertente con un condensatore in serie all'ingresso. Poiché non entra corrente nell'amplificatore allora la corrente che attraversa il condensatore è la stessa che attraversa la resistenza: $I_{1}=I_{2}$ per cui
  
      $I_{1}=C{\frac {dV_{in}}{dt}}=I_{2}=-{\frac {V_{out}}{R}}$
  
  Ricaviamo $V_{out}$ da questa:
  
      $V_{out}=-RC{\frac {dV_{in}}{dt}}$
  
  cioè la tensione di uscita è la derivata della tensione di ingresso. In tal modo associando alla tensione di ingresso un segnale, in uscita otteniamo il segnale derivato (e amplificato).
  
  Il difetto principale del derivatore ideale è che per tempi molto brevi, l'amplificatore operazionale va in saturazione.
  
  ## Derivatore reale
  
  Nella realtà il derivatore ideale tende a oscillare a causa di problemi di stabilità connessi al crescere della frequenza. Per ottenere un circuito derivatore reale inseriamo una resistenza in serie al condensatore, molto piccola. Anche in questo caso uguagliamo le correnti che attraversano l'amplificatore operazionale:
  
      $I_{2}=C{\frac {dV_{c}}{dt}}$
  
  dove $V_{c}$ è la tensione ai capi del condensatore. Ma questa tensione è data dalla tensione di ingresso a cui va sottratta la tensione sulla resistenza $R_{1}$ cioè:
  
      $V_{c}=V_{in}-V_{R_{1}}$
  
  per cui:
  
      $I_{2}=C{\frac {dV_{in}}{dt}}-C{\frac {dV_{R_{1}}}{dt}}=C{\frac {dV_{in}}{dt}}-R_{1}C{\frac {dI_{2}}{dt}}$
  
  otteniamo così un'equazione differenziale:
  
      ${\frac {dI_{2}}{dt}}+{\frac {1}{R_{1}C}}I_{2}-{\frac {1}{R_{1}}}{\frac {dV_{in}}{dt}}=0$
  
  la cui soluzione è:
  
      $I_{2}=e^{-t/\tau _{2}}\left[k+{\frac {1}{R_{1}}}\int {\frac {dV_{in}}{dt}}e^{t\tau _{1}}\,dt\right]$
  
  dove $\tau _{2}=CR_{2}$ e $\tau _{1}=R_{1}C$ e k è una costante di integrazione da determinare imponendo le condizioni iniziali cioè imponendo il valore $I_{2}(t=0)$. Naturalmente per ottenere la risposta in tensione:
  
      $V_{out}=-I_{2}R_{2}$
  
  Notiamo che il circuito reale si comporta come un buon derivatore per tempi lunghi cioè per $\tau _{1}$ molto piccola, che in genere significa $R_{1}$ molto piccola.
  
  