title: Spazio di Fock
text: # Spazio di Fock
  
  Nella teoria quantistica dei campi lo spazio di Fock è uno spazio di Hilbert usato nel formalismo della seconda quantizzazione per descrivere stati quantistici a numero variabile di particelle.
  
  Lo spazio di Fock è stato introdotto dal fisico Vladimir Fock, che lo descrisse nel testo Konfigurationsraum und zweite Quantelung.
  
  Matematicamente è definito come lo spazio di Hilbert $H$ risultante dalla somma diretta del prodotto tensoriale di spazi di Hilbert di singola particella:
  
      $F_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}$
  
  dove $S_{\nu }$ è l'operatore di simmetrizzazione o antisimmetrizzazione, dipendentemente dal tipo di particelle descritte: nel caso di bosoni si ha $\nu =+$, nel caso di fermioni $\nu =-$.
  
  La base dello spazio di Fock è costituita dagli stati di Fock.
  
  ## Definizione
  
  Lo spazio di Fock è definito come lo spazio di Hilbert $H$ risultante dalla somma diretta del prodotto tensoriale di spazi di Hilbert di singola particella:
  
      $F_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus H\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\right)\right)\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\otimes H\right)\right)\oplus \ldots$
  
  Dove $\mathbb {C}$ rappresentano gli stati privi di particelle, $H$ gli stati di una particella, $S_{\nu }(H\otimes H)$ stati di due particelle identiche, e così via.
  
  Un generico stato in $F_{\nu }(H)$ è dato da:
  
      $|\Psi \rangle _{\nu }=\psi _{0}\oplus |\psi _{1}\rangle \oplus |\psi _{11},\psi _{12}\rangle _{\nu }\oplus \ldots$
  
  dove $\,\psi _{0}$ è un numero complesso, $|\psi _{1}\rangle \in H$, $|\psi _{11},\psi _{12}\rangle _{\nu }\in S_{\nu }(H\otimes H)$, e così via.
  
  Per
  
      $|\Psi \rangle _{\nu }=\psi _{0}\oplus |\psi _{1}\rangle \oplus |\psi _{11},\psi _{12}\rangle _{\nu }\oplus \ldots$
      $|\Phi \rangle _{\nu }=\phi _{0}\oplus |\phi _{1}\rangle \oplus |\phi _{11},\phi _{12}\rangle _{\nu }\oplus \ldots$
  
  il prodotto interno su $F_{\nu }(H)$ è definito come
  
      $\langle \Psi |\Phi \rangle _{\nu }:=\psi _{0}^{*}\phi _{0}+\langle \psi _{1}|\phi _{1}\rangle +\langle \psi _{11},\psi _{12}|\phi _{11},\phi _{12}\rangle _{\nu }+\ldots$
  
  dove si è usato il prodotto interno su ognuno degli spazi di Hilbert di ognuna delle $n$ particelle.
  
  