title: Mollificatore
text: # Mollificatore
  
  In matematica, più precisamente in analisi funzionale, un mollificatore è una funzione di variabile reale che soddisfa certe proprietà di regolarità e di limitatezza del supporto.
  
  Le successioni di mollificatori sono usate spesso per approssimare (in un senso ben preciso) funzioni che presentano delle discontinuità o degli "angoli" mediante funzioni più regolari, che localmente sono costruite tramite una media integrale del valore della funzione nel punto.
  
  ## Definizione
  
  Un mollificatore è una funzione $\rho :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ che soddisfa le seguenti proprietà:
  
  * $\rho \in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$
  * ${\mbox{supp}}(\rho )\subset B\left(0,{\frac {1}{n}}\right)$
  * $\rho \geq 0$
  * $\int _{\mathbb {R} ^{n}}\rho =1$
  
  dove con ${\mbox{supp}}(\rho )$ si intende il supporto di $\rho$, cioè la chiusura dell'insieme di punti dove $\rho$ non si annulla, e $B\left(0,{\frac {1}{n}}\right)$ è la palla centrata nell'origine di raggio $1/n$.
  
  Si dimostra che esistono infinite successioni di mollificatori; una possibile costruzione è la seguente:
  
      $\rho _{1}(x)={\begin{cases}e^{1 \over ||x||^{2}-1}&{\mbox{ se }}||x||<1\\0&{\mbox{ se }}||x||\geq 1\end{cases}}$
      $\rho _{n}(x)=c_{n}\rho _{1}(nx)$
  
  dove $c_{n}$ è una costante che normalizza l'integrale a 1.
  
  ## Proprietà e utilizzi
  
  In analisi funzionale e teoria delle distribuzioni si lavora di solito con funzioni "regolari", cioè possedenti un certo numero di derivate, costruendo strumenti per estrapolare informazioni e dare risultati su esse. Se ciò non è possibile, si tenta di "regolarizzare" una funzione, cioè approssimarla con funzioni regolari, che tendano alla funzione originaria in una certa topologia funzionale.
  
  I mollificatori si prestano bene allo scopo: se ad es. $u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ è la funzione da regolarizzare (ad esempio localmente integrabile), allora la funzione:
  
      $\rho *u(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\rho (y)u(x-y)dy$
  
  per le proprietà della convoluzione è liscia e dunque altamente regolare. Tale funzione si presenta come una media pesata dei valori di $u$ per punti vicini a $x$, in quanto per definizione di $\rho$ l'integranda è non nulla solo in una palla centrata in $x$ di raggio $1/n$ e assume valori massimi (che quindi per l'integrale "contano" di più) per valori molto vicini a $x$.
  
  La bontà di questa costruzione è assicurata dai seguenti risultati:
  
  * Se $u$ è continua allora $\rho _{n}*u$ converge a $u$ uniformemente sui compatti.
  * Se $u\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$, con $p<\infty$, allora $\rho _{n}*u$ converge a $u$ in norma $L^{p}$.
  
  Quest'ultimo risultato consente anche di dimostrare che lo spazio delle funzioni test è denso sia in $L^{p}$ che nello spazio di Sobolev $W^{1,p}$ per $p<\infty$.
  
  