title: Duopolio di Stackelberg
text: # Duopolio di Stackelberg
  
  Il duopolio di Stackelberg è un modello economico, utilizzato anche in teoria dei giochi, inventato nel 1934 da Heinrich Freiherr von Stackelberg.
  
  Esso descrive un mercato in cui vi sono due imprese, una leader, che sceglie per prima, ed una follower $q_{2}$ che muove per seconda, dopo aver visto cosa ha fatto la leader $q_{1}$.
  
  Come nel modello del duopolio di Cournot le imprese scelgono la quantità e non i prezzi.
  
  Si ragiona in relazione alla quantità come nel modello di Cournot. L'impresa Leader calcola la funzione di reazione dell'impresa Follower e sceglierà il suo output basandosi su di essa. Dopo aver calcolato la funzione di reazione q*2 (impresa follower), l'impresa Leader la sostituirà all'interno della sua funzione di reazione, al posto del parmetro q2 e otterà la propria funzione di reazione ottimizzata q*1, relativa alla quantità q*2.
  
  L'output generale è dato da Q = q*1 + q*2 e Il Prezzo di Equilibrio viene ricavato sostituendo Q all'interno della funzione di domanda inversa P = A -BQ.
  
  L'equilibrio Stackelberg-Nash è l'intersezione tra le due funzioni di reazione.
  
  ## Esempio
  
  Ipotizziamo la seguente domanda di mercato: $P(q)=a-q=a-q_{1}-q_{2}$
  
  Supponendo che i payoff delle imprese coincidano con il loro profitto, definiamo il profitto come:
  
      $\Pi _{i}(q_{1},q_{2})=q_{i}[(a-q_{1}-q_{2})-c]$
  
  La coppia di quantità $(q_{1};q_{2})$ è un equilibrio di Nash se massimizza i profitti di entrambe le imprese. Per calcolarne i valori sviluppiamo la domanda per l'impresa 2 (follower):
  
      $\Pi _{2}(q_{1},q_{2})=aq_{2}-(q_{2})^{2}-q_{1}q_{2}-cq_{2}$
  
  Quindi la massimizziamo derivando su $q_{2}$:
  
      ${\frac {\partial \Pi _{2}}{\partial q_{2}}}\Rightarrow q_{2}={\frac {a-q_{1}-c}{2}}$ [*]
  
  Fino a qui l'esempio è identico al duopolio di Cournot. Nel modello Stackelberg invece si chiede ora di massimizzare i profitti dell'impresa 1 (leader) tenendo conto della massimizzazione dell'impresa 2. Ciò si effettua inserendo la $q_{2}$ sopracitato all'interno dell'equazione di profitto $q_{1}$:
  
      $\Pi _{1}(q_{1},{\frac {a-q_{1}-c}{2}})=q_{1}\left[\left(a-\left({\frac {a-q_{1}-c}{2}}\right)-q_{1}\right)-c\right]=aq_{1}-q_{1}\left({\frac {a-q_{1}-c}{2}}\right)-(q_{1})^{2}-cq_{1}$
      ${\frac {\partial \Pi _{1}}{\partial q_{1}}}\Rightarrow q_{1}={\frac {a-c}{2}}$
  
  A questo punto troviamo $q_{2}$ della follower sostituendo il $q_{1}$ che abbiamo appena trovato all'interno dell'equazione [*] del modello di Cournot:
  
      $q_{2}={\frac {a-({\frac {a-c}{2}})-c}{2}}={\frac {a-c}{4}}$
  
  Ipotizzando a = 1 e c = 0 l'equilibrio di duopolio di Stackelberg è pari a:
  
      $q_{1}={\frac {1}{2}}$
      $q_{2}={\frac {1}{4}}$
  