title: Teorema della bisettrice
text: # Teorema della bisettrice
  
  Il teorema della bisettrice dell'angolo interno di un triangolo è un teorema della geometria elementare che è una particolare conseguenza del teorema di Talete.
  
  ## Enunciato
  
  In un triangolo due lati stanno fra loro come le parti in cui resta diviso il terzo lato dalla bisettrice dell'angolo interno ad esso opposto.
  
  In altri termini: dato il triangolo ABC sia AL la bisettrice dell'angolo interno in A; sussiste allora la proporzione
  
  $\scriptstyle BA:AC=BL:LC$
  
  ## Dimostrazione
  
  Si conduca dal vertice C la parallela alla retta AL fino a incontrare il prolungamento del lato BA dalla parte di A nel punto D. Il triangolo ACD è isoscele perché i suoi angoli in C e in D sono congruenti. Infatti:
  
  $\scriptstyle A{\widehat {C}}D=C{\widehat {A}}L$ perché alterni interni rispetto alle rette parallele AL e DC tagliate dalla trasversale AC;
  
  $\scriptstyle A{\widehat {D}}C=B{\widehat {A}}L$ perché corrispondenti rispetto alle rette parallele AL e DC tagliate dalla trasversale AD;
  
  $\scriptstyle C{\widehat {A}}L=B{\widehat {A}}L$ perché parti uguali dello stesso angolo.
  
  Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza è allora
  
  $\scriptstyle A{\widehat {D}}C=A{\widehat {C}}D$. Si ha pertanto che i segmenti AC e AD sono congruenti.
  
  Per il teorema di Talete sussiste la proporzione
  
  $\scriptstyle BA:AD=BL:LC$
  
  e poiché AC e AD sono congruenti anche
  
  $\scriptstyle BA:AC=BL:LC$
  
  