title: Teorema del sollevamento dell'omotopia
text: # Teorema del sollevamento dell'omotopia
  
  Il teorema di sollevamento dell'omotopia è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia, che collega le nozioni di rivestimento e di omotopia.
  
  ## Definizione di sollevamento
  
  Sia $p:E\to X$ un rivestimento e $f:Y\to X$ un'applicazione continua fra spazi topologici. Un sollevamento di $f$ è una applicazione continua $g:Y\to E$ tale che:
  
      $f=p\circ g.$
  
  ## Enunciato del teorema
  
  Siano dati un rivestimento fra spazi topologici
  
      $p:E\to X\,\!$
  
  e due applicazioni continue
  
      $a:I\to E,\quad F:I^{2}\to X$
  
  definite sull'intervallo $I=[0,1]$ e sul quadrato $I^{2}$, tali che $p(a(t))=F(t,0)$ per ogni $t$.
  
  Allora esiste, ed è unico, un sollevamento
  
      $G:I^{2}\to E\,\!$
  
  di $F$ tale che $G(t,0)=a(t)$ per ogni $t$.
  
  ## Dimostrazione
  
  Basta dimostrare l'esistenza: l'unicità segue dalla connessione di $I^{2}$ e dal teorema di unicità del sollevamento.
  
  La costruzione del sollevamento $G$ è invece fatta sfruttando la semplice connessione e la compattezza di $I^{2}$. Grazie alla compattezza esiste un $N>0$ tale che ogni quadratino
  
      $Q_{i,j}=\left[{\frac {i}{N}},{\frac {i+1}{N}}\right]\times \left[{\frac {j}{N}},{\frac {j+1}{N}}\right]$
  
  contenuto in $I^{2}$ (quindi con $i<N,j<M$) ha immagine $F(Q_{i,j})$ contenuta in un aperto uniformemente rivestito. Quindi la funzione $F$, ristretta al quadratino $Q_{i,j}$, ammette un sollevamento. I quadratini $Q_{i,j}$ ricoprono il quadrato $I^{2}$: grazie alla semplice connessione, tutti questi sollevamenti possono quindi essere "incollati" coerentemente in modo da formare un sollevamento $G$ con le proprietà richieste.
  
  ## Corollario
  
  Siano $p:E\to X$ un rivestimento e $f:S^{2}\to X$ un'applicazione continua. Per ogni coppia di punti y ∈ $S^2,$ e ∈ $p^{−1}(f(y))$ esiste un unico sollevamento g : $S^2$ → E dell'applicazione f tale che g(y) = e.
  
  