title: Cerchio di Apollonio
text: # Cerchio di Apollonio
  
  Il cerchio di Apollonio è il luogo geometrico formato dai punti del piano tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissati è costante. Talora viene chiamato con questo nome uno qualunque dei cerchi che risolve il problema di Apollonio.
  
  Il nome deriva da Apollonio di Perga, geometra e astronomo greco, che per primo dimostrò che il luogo descritto era una circonferenza; tale proprietà può in effetti essere usata come definizione alternativa di circonferenza.
  
  ## Equazione cartesiana
  
  Fissiamo due punti $A$ e $B$, in modo che $A$ coincida con l'origine degli assi e $B$ sia posto a distanza $d$ da esso. Un generico punto $P$ del cerchio di Apollonio è caratterizzato dalla relazione:
  
      ${\frac {AP}{BP}}=k$,
  
  dove $k$ è una costante positiva. Traducendo le distanze in coordinate cartesiane si ha
  
      ${\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {\left(x-d\right)^{2}+y^{2}}}}=k$,
  
  che elevando al quadrato e semplificando i denominatori diventa
  
      $x^{2}+y^{2}=k^{2}\left(x-d\right)^{2}+k^{2}y^{2}$.
  
  Riorganizzando l'equazione e normalizzando i coefficienti di secondo grado si ottiene l'equazione della circonferenza in forma canonica:
  
      $x^{2}+y^{2}-{\frac {2k^{2}d}{\left(k^{2}-1\right)}}x+{\frac {k^{2}d^{2}}{\left(k^{2}-1\right)}}=0$.
  
  ## Proprietà
  
  Dall'equazione cartesiana sopra riportata è possibile dedurre alcune proprietà del cerchio di Apollonio:
  
  * il centro del cerchio è posto in $C\left({\frac {k^{2}}{k^{2}-1}}d,0\right)$, e si trova sempre sul prolungamento del segmento $AB$;
  * il raggio del cerchio vale ${\frac {kd}{k^{2}-1}}$;
  * per $k=1$ il cerchio di Apollonio degenera nell'asse del segmento $AB$; per $k>1$ il cerchio contiene il punto $B$; per $0<k<1$ il cerchio contiene il punto $A$;
  * quando il rapporto tra le distanze è uguale alla sezione aurea, il cerchio ha raggio pari alla lunghezza del segmento $AB$.
  