title: Teorema dei seni
text: # Teorema dei seni
  
  In trigonometria, il teorema dei seni (noto anche come teorema di Eulero) esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.
  
  Si consideri il triangolo generico ABC rappresentato nella figura a lato, in cui gli angoli sono indicati da lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle corrispondenti lettere latine minuscole.
  
      $a={\overline {BC}},~~\alpha =C{\hat {A}}B$
      $b={\overline {AC}},~~\beta =A{\hat {B}}C$
      $c={\overline {AB}},~~\gamma =B{\hat {C}}A$
  
  Vale quindi
  
      ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2S}}=2R$
  
  dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC e
  
      $S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$
  
  è l'area del triangolo ricavata dal semiperimetro p grazie alla formula di Erone.
  
  La relazione di proporzionalità viene formulata a volte in questo modo:
  
      $a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma$.
  
  ## Applicazioni
  
  Il teorema può essere adoperato
  
  * per determinare il raggio del cerchio circoscritto:
  
      $R={\frac {a}{2\,\sin \alpha }}$
  * per la risoluzione di un triangolo dati un angolo, un lato adiacente all'angolo e il lato opposto (vedere figura a lato):
  
      $\alpha =\mathrm {arcsen} \,{\frac {a\,\sin \beta }{b}}$.
  
  ## Generalizzazione alle geometrie non euclidee
  
  Per una superficie non euclidea dalla curvatura K, il raggio di curvatura ρ è
  
      $\rho =1/{\sqrt {|K|}}$.
  
  Si definiscono quindi le dimensioni ridotte del triangolo:
  
      $a={\overline {BC}}/\rho$,
      $b={\overline {AC}}/\rho$,
      $c={\overline {AB}}/\rho$.
  
  Nel caso di un triangolo sferico, a, b e c corrispondono alle misure angolari dei segmenti degli archi grandi [BC], [AC] e [AB] (vedere figura).
  
  ### Geometria sferica
  
  In un triangolo sferico ABC tracciato sulla sfera di centro O e di raggio ρ, il teorema del seno è espresso da
  
      ${\frac {\sin a}{\sin \alpha }}={\frac {\sin b}{\sin \beta }}={\frac {\sin c}{\sin \gamma }}={\frac {6V_{OABC}}{\rho ^{3}\,\sin a\ \sin b\ \sin c}}$,
  
  dove $V_{OABC}$ è il volume del tetraedro OABC.
  
  ### Geometria iperbolica
  
  In un triangolo iperbolico, il teorema dei seni si esprime con
  
      ${\frac {\mathrm {senh} \,a}{\sin \alpha }}={\frac {\mathrm {senh} \,b}{\sin \beta }}={\frac {\mathrm {senh} \,c}{\sin \gamma }}$.
  
  ## Generalizzazione al tridimensionale (euclideo)
  
  Si consideri un tetraedro $A_1A_2A_3A_4$ nello spazio tridimensionale. La figura di lato mostra un tetraedro proiettato su un piano e indica le notazioni di vertici, facce e angoli del tetraedro:
  
  * $S_k$ la faccia opposta al vertice $A_k;$
  * $s_k$ la superficie di $S_k;$
  * $Δ_k$ il piano su cui giace $S_k;$
  * $θ_{ij}$ l'angolo diedro ${\widehat {(\Delta _{i},\Delta _{j})}}$.
  
  Il seno dell'angolo triedro in corrispondenza del vertice $A_1$ si definisce nel modo seguente:
  
      $\sin A_{1}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta _{23}-\cos ^{2}\theta _{24}-\cos ^{2}\theta _{34}-2\cos \theta _{23}\cos \theta _{24}\cos \theta _{34}}}{\sin \theta _{23}\ \sin \theta _{24}\ \sin \theta _{34}}}$;
  
  E in modo analogo per gli altri angoli triedri.
  
  Vale quindi
  
      ${\frac {s_{1}}{\sin A_{1}}}={\frac {s_{2}}{\sin A_{2}}}={\frac {s_{3}}{\sin A_{3}}}={\frac {s_{4}}{\sin A_{4}}}={\frac {2s_{1}s_{2}s_{3}s_{4}}{9V}}$,
  
  dove V è il volume del tetraedro.
  
  