title: Ipocicloide
text: # Ipocicloide
  
  L'ipocicloide è una curva piana appartenente alla categoria delle rullette ossia delle curve generate da una figura che rotola su di un'altra. L'ipocicloide infatti è definita come la curva generata da un punto di una circonferenza che rotola sulla parte interna di un'altra circonferenza. Essa è un caso particolare di ipotrocoide.
  
  ## Forma matematica
  
  La rappresentazione parametrica di un'ipocicloide generata da una circonferenza di raggio $b$ che rotola (senza strisciare) su di una circonferenza di raggio $a$ (con $a>b$) è data da:
  
      ${\begin{cases}x=\left(a-b\right)\cos \phi +b\cos \left({\frac {a-b}{b}}\phi \right)\\y=\left(a-b\right)\sin \phi -b\sin \left({\frac {a-b}{b}}\phi \right).\end{cases}}$
  
  L'ipocicloide è una funzione continua ed è differenziabile ovunque tranne sulle cuspidi.
  
  Se ${\frac {a}{b}}$ è un numero razionale allora l'ipocicloide è una curva chiusa con ${\frac {a}{b}}$ cuspidi. In particolare se ${\frac {a}{b}}=n\in \mathbb {N} ,$ allora l'ipocicloide ha $n$ cuspidi; invece se ${\frac {a}{b}}\in \mathbb {Q\smallsetminus Z} ,$ allora l'ipocicloide ha un numero di cuspidi pari al numeratore della frazione ai minimi termini che deriva da ${\frac {a}{b}}$ (quindi supponendo $(a,b)=1$ abbiamo esattamente $a$ cuspidi). Se invece ${\frac {a}{b}}$ è un numero irrazionale la curva non si chiude mai.
  
  