title: Teorema del coseno
text: # Teorema del coseno
  
  In geometria, il teorema del coseno esprime la relazione tra la lunghezza dei lati di un triangolo e il coseno di uno dei suoi angoli. Può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora al caso di triangoli non rettangoli. Questo teorema, dimostrato già dal persiano Al-Kashi, è noto anche, specialmente in Francia, come teorema di Al-Kashi o anche, specialmente in Italia, come teorema di Carnot, dal nome del matematico francese Lazare Carnot, anche se in realtà il teorema è stato reso popolare dal francese François Viète.
  
  ## Il teorema
  
  Con riferimento alla figura a lato, si desidera trovare la lunghezza di un lato di un qualsiasi triangolo, essendo note le lunghezze degli altri due lati e l'ampiezza dell'angolo tra essi compreso. Si ha:
  
      ${\overline {AB}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}-2\cdot {\overline {AC}}\cdot {\overline {BC}}\cos \gamma .$
  
  ### Dimostrazione con il teorema di Pitagora
  
  Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo $AHB,$ si ha:
  
      ${\overline {AB}}^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2},$
  
  dove ${\overline {AB}}$ indica la lunghezza del segmento $AB.$ Risolvendo il triangolo rettangolo $AHC$ si ha anche:
  
      ${\overline {AH}}={\overline {AC}}\sin \gamma .$
  
  Vale inoltre
  
      ${\overline {BH}}={\overline {BC}}-{\overline {HC}}={\overline {BC}}-{\overline {AC}}\cos \gamma .$
  
  Sostituendo nella prima uguaglianza si ottiene:
  
      ${\overline {AB}}^{2}={\overline {AC}}^{2}\sin ^{2}\gamma +{\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}\cos ^{2}\gamma -2{\overline {BC}}\cdot {\overline {AC}}\cos \gamma .$
  
  Per la relazione fondamentale $\sin ^{2}\gamma +\cos ^{2}\gamma =1,$ questa equazione può essere semplificata in:
  
      ${\overline {AB}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}-2{\overline {BC}}\cdot {\overline {AC}}\cos \gamma .$
  
  Nel caso di un triangolo rettangolo, ossia con $\gamma =\pi /2,$ il terzo addendo del secondo membro è nullo e si ricade nel teorema di Pitagora, mentre se il triangolo è ottusangolo ($\gamma >\pi /2$) la dimostrazione procede allo stesso modo, con la differenza che in questo caso:
  
      ${\overline {HC}}={\overline {AC}}\cos(\pi -\gamma )=-{\overline {AC}}\cos \gamma$
  
  e quindi si trova nuovamente
  
      ${\overline {BH}}={\overline {BC}}+{\overline {HC}}={\overline {BC}}-{\overline {AC}}\cos \gamma .$
  
  ### Dimostrazione con vettori
  
  Si considerino i vettori:
  
      ${\vec {a}}={\vec {AC}};$
      ${\vec {b}}={\vec {BC}};$
      ${\vec {c}}={\vec {AB}}.$
  
  Si può quindi scrivere che:
  
      ${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}.$
  
  Calcolando il modulo al quadrato di ambo i membri si ottiene:
  
      $|{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}-{\vec {b}}|^{2}=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}}),$
      $|{\vec {c}}|^{\,2}=|{\vec {a}}|^{\,2}+|{\vec {b}}|^{\,2}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}},$
  
  dove ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ è il prodotto scalare tra ${\vec {a}}$ e ${\vec {b}}$. Usando infine il fatto che ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos(\gamma )$ si ricava
  
      $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \mathrm {cos} (\gamma ).$
  