title: Teorema dell'ideale principale
text: # Teorema dell'ideale principale
  
  In matematica, il teorema dell'ideale principale (a volte citato, in tedesco, come Hauptidealsatz) è un teorema di algebra commutativa che stabilisce un'importante proprietà degli anelli commutativi noetheriani.
  
  È stato dimostrato da Wolfgang Krull nel 1928.
  
  ## Enunciato e forme generali
  
  L'altezza di un ideale primo P è l'estremo superiore n della lunghezza delle catene di ideali primi
  
      $P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq P_{n}=P$
  
  discendenti da P; un primo minimale su un ideale I è un ideale primo P tale che non esiste alcun primo Q tale che $I\subseteq Q\subsetneq P$.
  
  Nella sua forma basilare, il teorema afferma che se x è un elemento di un anello noetheriano A e P un primo minimale sull'ideale principale (x), allora l'altezza di P è 0 oppure 1; in particolare, se x è nilpotente l'altezza è 0, mentre se x non è un divisore dello zero allora l'altezza è 1.
  
  Il teorema può essere generalizzato ad ideali non principali: se I è un ideale generato da n elementi e P un primo minimale su I, allora l'altezza di P è al più n. Tale enunciato è detto teorema dell'altezza.
  
  Un'ulteriore generalizzazione riguarda il rapporto con gli anelli quoziente: essa afferma che, se I è generato da n elementi, P è un primo minimale su I e l'altezza di P/I in R/I è k, allora l'altezza di P in R è al più n+k.
  
  È valido anche un viceversa di questi due teoremi: se P è un ideale primo di altezza n, allora esiste un ideale I generato da n elementi tale che P è minimo su I.
  
  Il teorema non è valido se l'anello non è noetheriano: ad esempio, se A è un anello di valutazione, gli ideali sono linearmente ordinati; di conseguenza, se la dimensione di A è maggiore di 1, per ogni ideale primo non massimale esistono elementi x tali che P è contenuto in (x): in questo caso, l'altezza dei primi minimali su (x) sarà maggiore dell'altezza di P.
  
  ## Conseguenze
  
  Il teorema dell'ideale principale e la sua generalizzazione hanno diverse conseguenze. La prima è che, se P è un ideale primo generato da $p_1,$ ..., $p_n,$ allora P stesso ha altezza al più n; quindi ogni ideale primo in un anello noetheriano ha altezza finita. Ne segue che la dimensione di un anello locale noetheriano è finita, in quanto è uguale all'altezza del suo ideale massimale.
  
  Il teorema dell'ideale principale permette di dimostrare che, se $P\subset Q$ sono ideali primi tali che esiste un altro ideale primo contenuto propriamente tra di loro, allora ne esistono infiniti altri; e che se A è noetheriano allora la dimensione dell'anello dei polinomi A[X] è uguale a $\dim(A)+1$.
  
  Ulteriori conseguenze sono alcune proprietà di stabilità degli anelli di Cohen-Macaulay.
  
  