title: Costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing
text: # Costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing
  
  La costante Gauss-Kuzmin-Wirsing (il nome deriva dai matematici Carl Gauss, Rodion Osievich Kuzmin e Eduard Wirsing) è una costante matematica che si incontra in combinatoria ed è importante nello studio dell'efficienza dell'algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comune divisore. Non è noto se sia irrazionale. È legata alla funzione Zeta di Riemann.
  
  ## Definizione
  
  Sia G l'operatore Gauss-Kuzmin-Wirsing, cioè:
  
      Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle [Gf](x) = \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{(x+n)^2} f \left(\frac {1}{x+n}\right).}
  
  L'autovalore maggiore in valore assoluto è 1 e corrisponde alla funzione:
  
      ${\frac {\ln 2}{1+x}}.$
  
  Il secondo autovalore è la costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing e vale all'incirca:
  
      $\lambda =0,30366300289...$
  
  Eduard Wirsing ha mostrato che, se $F_{n}(x)$ è la distribuzione Gauss-Kuzmin, allora:
  
      $\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n}(x)-\ln(1-x)}{(-\lambda )^{n}}}=\Psi (x),$
  
  dove $\Psi (x)$ è una funzione analitica tale che $\Psi (0)=\Psi (1)=0$.
  
  ## Relazione con la funzione Zeta di Riemann
  
  L'operatore GKW è legato alla funzione Zeta di Riemann. La funzione Zeta di Riemann può essere scritta così:
  
      $\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-s\int _{0}^{1}h(x)x^{s-1}\;dx$
  
  questo implica che:
  
      $\zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\int _{0}^{1}dx\;x\left[Gx^{s-1}\right]$
  
  dopo un cambio di variabile.
  
  