title: Costante di Gauss
text: # Costante di Gauss
  
  In matematica, la costante di Gauss, indicata con la lettera $G$, è definita come il reciproco della media aritmetico-geometrica tra 1 e ${\sqrt {2}}$:
  
      $G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0,8346268\dots$
  
  La costante prende il nome dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss, il quale il 30 maggio 1799 scoprì che:
  
      $G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}$
  
  e quindi:
  
      $G={\frac {1}{2\pi }}\beta \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)$
  
  dove $\beta$ indica la funzione beta di Eulero.
  
  La costante di Gauss non deve essere confusa con la costante gravitazionale di Gauss.
  
  ## Relazioni con altre costanti
  
  La costante di Gauss può essere usata per esprimere la funzione gamma per 1/4:
  
      $\Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}$
  
  e, dato che $\pi$ e $\Gamma ({\tfrac {1}{4}})$ sono algebricamente indipendenti, con $\Gamma ({\tfrac {1}{4}})$ irrazionale, la costante di Gauss è necessariamente un numero trascendente.
  
  ### Costanti delle lemniscate
  
  La costante di Gauss può essere ustata per definire le costanti delle lemniscate, la prima delle quali è:
  
      $L_{1}=\pi G$
  
  e la seconda:
  
      $L_{2}={\frac {1}{2G}}$
  
  che compaiono nella ricerca della lunghezza d'arco di una lemniscata.
  
  ## Altre formule
  
  La seguente è una formula che esprime $G$ in relazione alla funzione theta di Jacobi:
  
      $G=\theta _{01}^{2}(e^{-\pi })$
  
  così come la seguente serie, rapidamente convergente:
  
      $G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.$
  
  La costante può anche essere espressa come prodotto infinito:
  
      $G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).$
  
  La costante di Gauss ha come frazione continua [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].
  
  