title: Distribuzione Poisson-Gamma
text: # Distribuzione Poisson-Gamma
  
  In teoria della probabilità la distribuzione Poisson-Gamma è una distribuzione di probabilità discreta che svolge un importante ruolo nell'ambito dell'inferenza bayesiana. È la distribuzione di probabilità associata a una variabile casuale poissoniana, Poiss(λ), in cui il parametro λ non è costante ma varia come una variabile casuale Gamma; in altre parole è una mistura di Poisson in cui il parametro λ ha distribuzione Gamma. Si tratta di una generalizzazione della distribuzione casuale binomiale negativa al caso di parametri non interi.
  
  La funzione di probabilità è data da
  
      $P(X=x|a,b,\nu )=\left({\frac {b}{b+\nu }}\right)^{a}{\frac {1}{\Gamma (a)}}{\frac {\Gamma (a+x)}{x!}}\left({\frac {\nu }{b+\nu }}\right)^{x}$
  
  dove $a>0$ e $b>0$.
  
  Il valore atteso è dato da
  
      $E(X)=\nu {\frac {a}{b}}$
  
  e la varianza
  
      $Var(X)=a{\frac {\nu }{b}}\left(1+{\frac {\nu }{b}}\right)=E(X)\left(1+{\frac {\nu }{b}}\right)$
  
  e dunque in questo caso la varianza è sempre maggiore del valore atteso, al contrario di guanto accade per la distribuzione di Poisson dove questi due parametri coincidono.
  
  Nel caso particolare in cui $a$ è un numero intero, si ha che $X+a\sim NBin\left(a,{\frac {b}{b+\nu }}\right)$, dove NBin indica la variabile casuale binomiale negativa, motivo per la quale la Poisson-Gamma può essere vista come la generalizzazione della binomiale negativa ai numeri reali.
  
  