title: Distribuzione continua uniforme
text: # Distribuzione continua uniforme
  
  In teoria delle probabilità la distribuzione continua uniforme è una distribuzione di probabilità continua che è uniforme su un insieme, ovvero che attribuisce la stessa probabilità a tutti i punti appartenenti ad un dato intervallo [a,b] contenuto nell'insieme.
  
  ## Definizione
  
  La distribuzione continua uniforme ${\mathcal {U}}(S)$ su un insieme misurabile S, di misura finita non nulla, è una distribuzione di probabilità che attribuisce a tutti i sottoinsiemi di S con la stessa misura la stessa probabilità di verificarsi.
  
  La sua densità di probabilità è un multiplo della funzione indicatrice dell'insieme S,
  
      $f(x)={\frac {1}{\mu (S)}}\ 1_{S}={\begin{cases}1/\mu (S)&x\in S\\0&x\not \in S\end{cases}}$
  
  dove $\mu (S)$ è la misura dell'insieme S.
  
  In particolare ogni sottoinsieme misurabile A di S ha una probabilità di verificarsi proporzionale alla propria misura:
  
      $P(A)={\frac {\mu (A)}{\mu (S)}}$.
  
  ## Su un intervallo
  
  La distribuzione uniforme continua viene solitamente definita su un intervallo $S=[a,b]\subset \mathbb {R}$; in questo caso viene indicata ${\mathcal {U}}(a,b)={\mathcal {U}}([a,b])$.
  
  La sua densità di probabilità è
  
      $f(x)={\frac {1}{b-a}}$ su $[a,b]$.
  
  Come intervallo $[a,b]$, inoltre, viene spesso preso l'intervallo unitario $I=[0,1]$, che può essere sempre ricondotto al caso precedente tramite una trasformazione lineare, ovvero considerando la variabile aleatoria $Y=a+(b-a)X$ al posto di $X$. In particolare, la variabile aleatoria 1-X segue la stessa distribuzione ${\mathcal {U}}(0,1)$.
  
  In questo caso la densità di probabilità diventa
  
      $f(x)=1$ su $I$,
  
  la funzione di ripartizione è
  
      $F(x)=x$ su $I$,
  
  e la probabilità di un intervallo $[x_{1},x_{2}]\subset I$ è pari alla sua lunghezza:
  
      $P([x_{1},x_{2}])=x_{2}-x_{1}\$
  
  (nel caso generale la probabilità di un intervallo è proporzionale alla sua lunghezza).
  
  Per il calcolo delle probabilità i singoli valori f(0) e f(1) sono ininfluenti: basta che la densità di probabilità resti invariata quasi ovunque. Talvolta vengono posti pari a 0, prendendo la funzione indicatrice dell'intervallo aperto $]0,1[$, o a 1/2, prendendo come densità di probabilità la funzione rettangolo (in questo caso la distribuzione è anche chiamata distribuzione rettangolare).
  
  ### Caratteristiche
  
  Se X è una variabile aleatoria di distribuzione uniforme ${\mathcal {U}}(0,1)$, allora $Y=a+(b-a)X$ è una variabile aleatoria di distribuzione uniforme ${\mathcal {U}}(a,b)$, le cui caratteristiche si ricavano facilmente da quelle di X.
  
  Le due variabili aleatorie hanno
  
  * speranza matematica
  
      $E[X]={\frac {1}{2}},\qquad E[Y]=a+(b-a)E[X]={\frac {a+b}{2}}$;
  * varianza
  
      ${\text{Var}}(X)={\frac {1}{12}},\qquad {\text{Var}}(Y)=(a-b)^{2}{\text{Var}}(X)={\frac {(a-b)^{2}}{12}}$;
  * funzione caratteristica
  
      $\phi _{X}(t)=E[e^{itX}]={\frac {e^{it}-1}{it}},\qquad \phi _{Y}(t)=e^{iat}g_{X}((b-a)t)={\frac {e^{ibt}-e^{iat}}{ibt-iat}}$;
  * funzione generatrice dei momenti
  
      $g_{X}(t)=E[e^{tX}]={\frac {e^{t}-1}{t}},\qquad g_{Y}(t)=e^{at}g_{X}((b-a)t)={\frac {e^{bt}-e^{at}}{bt-at}}$;
  
  Dalla funzione generatrice dei momenti si ricavano (per il più generale Y) i momenti semplici
  
      $\mu _{n}(Y)={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}$;
  
  siccome la variabile aleatoria centrata $Y-E[Y]$ segue una distribuzione uniforme su $[-{\tfrac {b-a}{2}},{\tfrac {b-a}{2}}]$, si ricavano immediatamente i momenti centrali di Y
  
      $m_{n}(Y)=\mu _{n}(Y-E[Y])={\begin{cases}{\frac {(b-a)^{n}}{(n+1)2^{n}}}&n=2k\\0&n=2k+1\end{cases}}.$
  
  In particolare si trovano gli indici di asimmetria e di curtosi
  
      $\gamma _{1}(Y)=0,\qquad \gamma _{2}(Y)=-{\frac {6}{5}}$.
  
  Infine, l'entropia di Y è
  
      $H(Y)=\log(b-a)$.
  
  ### Altre distribuzioni
  
  Ogni distribuzione di probabilità univariata (cioè sui numeri reali) è legata alla distribuzione uniforme ${\mathcal {U}}(0,1)$. Se X segue la distribuzione uniforme su $[0,1]$ ed F è una qualunque funzione di ripartizione, prendendo la funzione
  
      $F^{-1}(x)=\inf\{y\in \mathbb {R} \colon F(y)\geqslant x\}$
  
  si può definire una variabile aleatoria
  
      $Y=F^{-1}(X)$
  
  che ha proprio F come funzione di ripartizione.
  
  Ad esempio, $Y=-{\tfrac {\log X}{\lambda }}$ segue la distribuzione esponenziale ${\mathcal {E}}(\lambda )$.
  
  In informatica questa proprietà viene chiamata metodo dell'inversione e viene utilizzata per trasformare un generatore "casuale" di campioni per X in un generatore di campioni per Y.
  
  La somma $X_{1}+X_{2}$ di due variabili aleatorie variabili indipendenti con la medesima distribuzione uniforme ${\mathcal {U}}(a,b)$ segue una distribuzione triangolare simmetrica (distribuzione di Simpson).
  
  Più in generale, la distribuzione di Irwin-Hall descrive la somma $X_{1}+...+X_{n}$ di n variabili aleatorie variabili indipendenti con la medesima distribuzione uniforme ${\mathcal {U}}(0,1)$.
  
  La distribuzione Beta $\mathrm {B} (1,1)$ corrisponde alla distribuzione uniforme ${\mathcal {U}}(0,1)$. Inoltre, se X segue questa distribuzione uniforme, allora $Y=1-{\sqrt[{n}]{X}}$ segue la distribuzione Beta $\mathrm {B} (1,n)$.
  
  Il parallelo della distribuzione continua uniforme tra le distribuzioni discrete è la distribuzione discreta uniforme, definita su un insieme finito S, che attribuisce ad ogni suo sottoinsieme una probabilità di verificarsi pari alla propria cardinalità. (In altri termini è la stessa definizione, con una diversa misura.)
  
  