title: Approssimazione di Percus-Yevick
text: # Approssimazione di Percus-Yevick
  
  In meccanica statistica l'approssimazione di Percus-Yevick è un relazione di chiusura per risolvere l'equazione di Ornstein-Zernike; viene talvolta indicata come equazione di Percus-Yevick. Viene utilizzato comunemente in fluidodinamica per ottenere espressioni per la funzione di distribuzione radiale.
  
  ## Derivazione
  
  La funzione di correlazione diretta rappresenta la correlazione fra due particelle in un sistema che ne contiene altre $N-2$. Può essere scritta come
  
  $c(r)=g_{\rm {total}}(r)-g_{\rm {indirect}}(r)\,$
  
  dove $g_{\rm {total}}(r)$ è la funzione di distribuzione radiale, ovvero $g(r)=exp[-\beta w(r)]$ (con w(r) potenziale) e $g_{\rm {indiretta}}(r)$ è la funzione di distribuzione radiale senza l'interazione diretta fra le coppie $u(r)$; si scrive cioè $g_{\rm {indiretta}}(r)=exp^{-\beta [w(r)-u(r)]}$. Quindi si approssima $c(r)$ con
  
  $c(r)=e^{-\beta w(r)}-e^{-\beta [w(r)-u(r)]}\,$
  
  Se si sostituisce la funzione $y(r)=e^{\beta u(r)}g(r)$ nell'approssimazione per $c(r)$ si ottiene
  
  $c(r)=g(r)-y(r)=e^{-\beta u}y(r)-y(r)=f(r)y(r)\,$
  
  Questo è il punto chiave dell'approssimazione di Percus-Yevick: se si sostituisce il risultato nell'equazione di Ornstein-Zernike si ottiene l'equazione di Percus-Yevick:
  
  $y(r_{12})=1+\rho \int f(r_{13})y(r_{13})h(r_{23})d\mathbf {r_{3}} \,$
  
  