title: Biforcazione transcritica
text: # Biforcazione transcritica
  
  In Matematica una biforcazione transcritica è una biforcazione locale nella quale, al variare del parametro, si ha un cambiamento di stabilità dei punti d'equilibrio.
  
  ## Descrizione
  
  Sia prima che dopo la biforcazione vi sono, infatti, un punto d'equilibrio stabile ed uno instabile. Ad un certo valore critico i due punti coincidono e si scambiano la stabilità. In tal modo il punto instabile diventa stabile e viceversa.
  
  L'esempio classico di biforcazione transcritica è dato dall'equazione differenziale
  
      ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=rx-x^{2}$
  
  L'equazione è simile a quella dell'equazione logistica, solo che in questo caso sia $x$ che $r$ possono assumere valori qualunque, sia positivi che negativi (mentre nella logistica non avrebbe senso considerare popolazioni negative).
  
  Studiando il campo vettoriale al variare di $r$ si nota come i due punti di equilibrio restino sempre $x=0$ ed $x=r$, sebbene le stabilità cambino a seconda del parametro.
  
  * Se $r<0$ vi è un punto di equilibrio instabile in $x=-r$ ed uno stabile in $x=0$.
  * Se $r=0$ i due punti di equilibrio collidono nel solo $x=0$ instabile a sinistra e stabile a destra. È questo il valore in cui si ha lo scambio di stabilità tra i due punti.
  * Se $r>0$ vi è un punto di equilibrio instabile in $x=0$ ed uno stabile in $x=r$.
  
  Dal diagramma di biforcazione si vede la presenza di due rami: uno stabile coincidente con l'asse delle ascisse per $r<0$ e con la bisettrice principale per $r>0$ e l'altro instabile speculare rispetto all'origine.
  
  