title: Distribuzione T-quadrato di Hotelling
text: # Distribuzione T-quadrato di Hotelling
  
  La distribuzione T-quadrato di Hotelling (chiamata così secondo Harold Hotelling) è una generalizzazione della distribuzione t di Student utilizzata nei test di ipotesi multivariati.
  
  ## Definizione
  
  La statistica T-quadrato di Hotelling è definita come segue:
  
  Siano
  
      ${\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}$
  
  p×1 vettori colonna di numeri reali e
  
      ${\overline {\mathbf {x} }}=(\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n})/n$
  
  le loro medie. Sia
  
      ${\mathbf {W} }=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'/(n-1)$
  
  la matrice non negativa data dalla loro varianza (la trasposta di una matrice $M$ viene indicata com $M'$).
  
  Sia μ un vettore colonna $p\times 1$ noto (in applicazione dei valori medi ipotizzati per la popolazione). La statistica T-quadrato di Hotelling è data da
  
      $T^{2}=({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } }).$
  
  ## Risultati teorici
  
  Se $\mathbf {x} \sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })$ è una variabile casuale con una distribuzione normale multivariata, ${\mathbf {Q} }\sim W_{p}(m,{\mathbf {V} })$ è distribuita come una variabile casuale di Wishart, e sia ${\mathbf {x} }$ che ${\mathbf {Q} }$ sono indipendenti, allora $T^{2}$ è distribuita come una variabile casuale T-quadrato di Hotelling.
  
  Si può dimostrare che se ${\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}\sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })$, sono indipendenti e sia ${\overline {\mathbf {x} }}$ che ${\mathbf {W} }$ sono definiti come sopra allora ${\mathbf {W} }$ è distribuita come una variabile casuale di Wishart con $m=n-1$ gradi di libertà ed è indipendente da ${\overline {\mathbf {x} }}$ e
  
      ${\overline {\mathbf {x} }}\sim N_{p}(\mu ,V/n).$
  
  Inoltre, se entrambe le distribuzioni sono non-singolari, si può dimostrare che
  
      ${\frac {m-p+1}{pm}}T^{2}\sim F_{p,m-p+1}$
  
  dove $F$ è la variabile casuale F di Snedecor.
  
  