title: Distribuzione di Bernoulli
text: # Distribuzione di Bernoulli
  
  In teoria delle probabilità la distribuzione di Bernoulli (o bernoulliana) è una distribuzione di probabilità su due soli valori: $0$ e $1$, detti anche fallimento e successo. Prende il nome dallo scienziato svizzero Jakob Bernoulli (1654-1705).
  
  ## Definizione
  
  Una variabile aleatoria discreta $X$ ha distribuzione di Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$ di parametro $p\in [0,1]$ se e solo se
  
      $P(X=1)=p,$
      $P(X=0)=q=1-p,$
  
  ossia
  
      $P(X=i)=p^{i}(1-p)^{1-i}$ per $i=0,1.$
  
  Il valore atteso è
  
      $\mathrm {E} (X)=0\cdot p^{0}(1-p)^{1-0}+1\cdot p^{1}(1-p)^{1-1}=p,$
  
  e la varianza è
  
      $\mathrm {Var} (X)=pq=p(1-p).$
  
  ## Altre leggi
  
  Un processo di Bernoulli è una successione di variabili aleatorie indipendenti $X_{i}$ di uguale distribuzione di Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$, dette prove di Bernoulli. Da tale processo si possono definire le seguenti ulteriori leggi. La distribuzione binomiale descrive la probabilità del numero di successi in $n$ prove di Bernoulli, ovvero della variabile aleatoria
  
      $S_{n}=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}.$
  
  La distribuzione geometrica e più in generale la distribuzione di Pascal descrivono il tempo del primo e del $k$-esimo successo rispettivamente, ovvero le variabili aleatorie $T=T_{1}$ e $T_{k}$ definite come
  
      $T_{k}=\min\{t\colon S_{t}=k\}.$
  