title: Costante di Mills
text: # Costante di Mills
  
  In matematica, si definisce costante di Mills il numero reale positivo $\theta$ tale che la funzione
  
      $f(n)=\lfloor \theta ^{3^{n}}\rfloor$
  
  generi numeri primi per ogni n intero positivo, dove $\lfloor \theta \rfloor$ indica la funzione parte intera di $\theta$. L'esistenza di una costante di questo tipo è stata provata nel 1947 da Mills; il che lo portò ad enunciare il teorema di Mills.
  
  Assumendo l'ipotesi di Riemann, il valore della costante, approssimato a 20 cifre decimali, è
  
      $\theta \approx 1.30637788386308069046...,$
  
  mentre i numeri primi generati dalla costante di Mills sono
  
      $2,11,1361,2521008887...$
  
  (Sequenza A051245 dell'OEIS), e sono chiamati primi di Mills.
  
  ## Approssimazioni della costante di Mills
  
  Non si conosce una formula chiusa per la costante di Mills, il che ne rende impossibile l'approssimazione a priori. Quel che è possibile fare è determinare la successione dei primi di Mills tramite una stima del valore della costante, e da questi ricavarne un valore maggiormente preciso.
  
  Nel 2005 Chris Caldwell e Yuan-You Cheng trovarono però un metodo per calcolare circa 7000 cifre di $\theta$ (assumendo l'ipotesi di Riemann): partendo dalla successione dei primi di Mills (sopra menzionati), ricavati mediante una non definitiva approssimazione della costante, dimostrarono che è possibile calcolare i successivi primi della successione e tramite una generalizzazione del Teorema di Mills, anziché usando la costante di Mills. Calcolati così altri primi di Mills più grandi ($p_{n}$), è possibile approssimare più precisamente $\theta$, tramite la formula:
  
      $\theta =\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{3^{n}}]{p_{n}}}.$
  