title: Sistema numerico ternario bilanciato
text: # Sistema numerico ternario bilanciato
  
  «Perhaps the prettiest number system of all is the balanced ternary notation»
  
  «Forse il sistema numerico più grazioso di tutti è la notazione ternaria bilanciata»
  
  (Donald E. Knuth)
  
  Il ternario bilanciato è un sistema numerico posizionale non standard. È un sistema in base 3, che, a differenza del sistema ternario standard, usa come cifre -1, 0 e 1 anziché 0, 1 e 2. Le potenze di 3 usate per rappresentare il numero possono avere quindi coefficiente positivo, nullo o negativo.
  
  La seguente tabella elenca i primi 12 numeri scritti nel sistema decimale, ternario e ternario bilanciato (viene usato il simbolo 1 per rappresentare la cifra -1).
  
  | Decimale | Ternario | Ternario bilanciato |
  | - | - | - |
  | $1$ | $1$ | $1$ |
  | $2$ | $2$ | $1{\bar {1}}$ |
  | $3$ | $10$ | $10$ |
  | $4$ | $11$ | $11$ |
  | $5$ | $12$ | $1{\bar {1}}{\bar {1}}$ |
  | $6$ | $20$ | $1{\bar {1}}0$ |
  | $7$ | $21$ | $1{\bar {1}}1$ |
  | $8$ | $22$ | $10{\bar {1}}$ |
  | $9$ | $100$ | $100$ |
  | $10$ | $101$ | $101$ |
  | $11$ | $102$ | $11{\bar {1}}$ |
  | $12$ | $110$ | $110$ |
  | $13$ | $111$ | $111$ |
  | $14$ | $112$ | $1{\bar {1}}{\bar {1}}{\bar {1}}$ |
  
  ## Aritmetica
  
  ### Addizione
  
  La tavola di addizione è molto semplice, tenendo solo conto che si può avere un riporto negativo
  
      ${\begin{array}{cc}1&+\\0&=\\\hline 1&\\\end{array}}\ {\begin{array}{cc}1&+\\1&=\\\hline 1{\bar {1}}&\\\end{array}}\ {\begin{array}{cc}1&+\\{\bar {1}}&=\\\hline 0&\\\end{array}}\ {\begin{array}{cc}{\bar {1}}&+\\{\bar {1}}&=\\\hline {\bar {1}}1&\\\end{array}}$
  
  ### Sottrazione
  
  La sottrazione si effettua invertendo le cifre del numero da sottrarre e sommando.
  
  ### Moltiplicazione
  
  Anche la moltiplicazione si effettua in modo piuttosto semplice, riducendosi a una serie di cambi di segno e addizioni, come nel seguente esempio, nel quale viene eseguita l'operazione 23 × 17 = 391:
  
      ${\begin{aligned}&10{\bar {1}}{\bar {1}}\ \times \\&1{\bar {1}}0{\bar {1}}\ =\\\hline &{\bar {1}}011\\0&000\\{\bar {1}}0&11\\10{\bar {1}}&{\bar {1}}\\\hline 1{\bar {1}}{\bar {1}}&{\bar {1}}111\end{aligned}}$
  
  ### Numeri negativi
  
  Il sistema ternario bilanciato non ha bisogno di un segno meno per rappresentare i numeri negativi. Per cambiare il segno di un numero basta cambiare il segno delle sue cifre.
  
      $1{\bar {1}}1{\bar {1}}=20$
      ${\bar {1}}1{\bar {1}}1=-20$
  
  La possibilità di rappresentare anche i numeri negativi ha un costo sulle cifre da usare rispetto al sistema ternario standard, infatti, per rappresentare un generico numero n nel sistema ternario bilanciato occorrono $int[log_{3}({2\left\vert n\right\vert })]$ cifre, superiori o tutt'al più uguali alle $int[log_{3}({\left\vert n\right\vert })]+1$ cifre nel sistema ternario standard.
  
  