title: Equilibrio secolare
text: # Equilibrio secolare
  
  In chimica nucleare, lequilibrio secolare è una situazione nella quale la quantità di un isotopo radioattivo rimane costante perché il suo tasso di produzione (dovuto, ad es., al decadimento di un isotopo padre) è uguale al suo tasso di decadimento.
  
  ## Equilibrio secolare nel decadimento radioattivo
  
  L'equilibrio secolare può avvenire in una catena di decadimento radioattivo soltanto se l'emivita del radionuclide figlio B è molto più breve del radionuclide padre A. In tale situazione, il tasso di decadimento di A, e quindi il tasso di produzione di B, è approssimativamente costante, perché l'emivita di A è molto lunga paragonata alle scale temporali considerate. La quantità del radionuclide B si accumula fino a quando il numero di atomi di B che decade per unità di tempo diventa uguale al numero di atomi che viene prodotto per unità di tempo; la quantità del radionuclide B raggiunge, quindi, un valore costante, di equilibrio. Assumendo che la concentrazione iniziale del radionuclide B sia zero, per raggiungere l'equilibrio completo di solito si impiegano diverse emivite del radionuclide B.
  
  La quantità del radionuclide B, quando si raggiunge l'equilibrio secolare, è determinata dalla quantità del suo genitore A e dalle emivite dei due radionuclidi. Questo si può vedere dal tasso temporale di variazione del numero di atomi del radionuclide B:
  
      ${\frac {dN_{B}}{dt}}=\lambda _{A}N_{A}-\lambda _{B}N_{B}$,
  
  dove $λ_A$ e $λ_B$ sono le costanti di decadimento dei radionuclidi A e B, legati alle loro emivite $t_{1/2}$ da $\lambda ={\frac {ln(2)}{t_{1/2}}}$, mentre $N_A$ ed $N_B$ sono il numero degli atomi di A e B a un dato istante.
  
  L'equilibrio secolare avviene quando $dN_{B}/dt=0$, ovvero quando:
  
      $N_{B}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}}}N_{A}$.
  
  Su tempi abbastanza lunghi, almeno paragonabili all'emivita del radionuclide A, l'equilibrio secolare è soltanto approssimativo; $N_A$ decade fino ad esaurirsi secondo
  
      $N_{A}(t)=N_{A}(0)e^{-\lambda _{A}t}$,
  
  e la quantità di "equilibrio" del radionuclide B si riduce a sua volta.
  
  Per periodi brevi paragonati all'emivita di A risulta $\lambda _{A}t\ll 1$. Conseguentemente l'esponenziale può essere approssimato a 1 e si ottiene $N_{A}(t)\approx N_{A}(0)$, ovvero la quantità di radionuclidi A rimane circa costante e pari al valore iniziale. Il che porta ad un valore costante di radionuclidi B dato dalla formula precedente.
  
  