title: Identità di Picone
text: # Identità di Picone
  
  In analisi matematica, nel settore delle equazioni differenziali ordinarie, l'identità di Picone, il cui nome si deve a Mauro Picone, è un risultato considerato classico per le equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine. È utile per studiare le oscillazioni delle loro soluzioni, ma è stata generalizzata per altri tipi di equazioni differenziali e di equazioni alle differenze.
  
  L'identità di Picone serve per dimostrare il teorema del confronto di Sturm-Picone.
  
  ## Enunciato
  
  Si supponga che $u$ e $v$ siano le soluzioni di due equazioni differenziali omogenee lineari del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta:
  
      $(p_{1}(x)u')'+q_{1}(x)u=0$
  
  e:
  
      $(p_{2}(x)v')'+q_{2}(x)v=0$
  
  Allora, per ogni $x$ tale che $v(x)\neq 0$, vale la seguente identità:
  
      $\left({\frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')\right)'=\left(q_{2}-q_{1}\right)u^{2}+\left(p_{1}-p_{2}\right)u'^{2}+p_{2}\left(u'-v'{\frac {u}{v}}\right)^{2}$
  
  ### Dimostrazione
  
  Basta svolgere i calcoli:
  
  ${\begin{aligned}\left({\frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')\right)'&=\left(up_{1}u'-p_{2}v'u^{2}{\frac {1}{v}}\right)'=\\&=u'p_{1}u'+u(p_{1}u')'-(p_{2}v')'u^{2}{\frac {1}{v}}-p_{2}v'2uu'{\frac {1}{v}}+p_{2}v'u^{2}{\frac {v'}{v^{2}}}=\\&=p_{1}u'^{2}-2p_{2}{\frac {uu'v'}{v}}+p_{2}{\frac {u^{2}v'^{2}}{v^{2}}}+u(p_{1}u')'-(p_{2}v')'{\frac {u^{2}}{v}}=\\&=p_{1}u'^{2}-p_{2}u'^{2}+p_{2}u'^{2}-2p_{2}u'{\frac {uv'}{v}}+p_{2}\left({\frac {uv'}{v}}\right)^{2}-u(q_{1}u)+(q_{2}v){\frac {u^{2}}{v}}=\\&=\left(p_{1}-p_{2}\right)u'^{2}+p_{2}\left(u'-v'{\frac {u}{v}}\right)^{2}+\left(q_{2}-q_{1}\right)u^{2}\end{aligned}}$
  
  