title: Funzione di Gompertz-Makeham
text: # Funzione di Gompertz-Makeham
  
  La funzione di Gompertz-Makeham è una nota legge analitica di sopravvivenza impiegata nella matematica attuariale.
  
  Essa è rappresentata dalla funzione:
  
      $l_{x}=k\cdot s^{x}\cdot g^{c^{x}}$
  
  Le ipotesi che vengono assunte mediante questo modello sono che:
  
  1) sia presente una componente di mortalità per causa accidentale. 2) sia presente una componente dovuta all'invecchiamento con forza crescente al crescere dell'età x dell'individuo
  
  risultando in una forza complessiva di mortalità pari a:
  
      $\ \mu _{x}=\alpha +\beta c^{x}$
  
  con alfa e beta maggiori di 0, e c maggiore di 1.
  
  Sfruttando la relazione tra forza di mortalità e legge di sopravvivenza, si ottiene:
  
      $l_{x}=l_{a}\cdot e^{-\int _{a}^{x}{(\alpha +\beta c^{u})du}}=l_{a}\cdot e^{-[\alpha u+\beta {\frac {c^{u}}{\log c}}]_{a}^{x}}$
      $=l_{a}\cdot e^{\alpha a+\beta \cdot {\frac {c^{a}}{\log c}}}\cdot e^{-ax}\cdot e^{-\beta {\frac {c^{x}}{\log c}}}$
  
  Ponendo infine:
  
      $l_{a}\cdot e^{\alpha a+\beta \cdot {\frac {c^{a}}{\log c}}}=k$
      $\ e^{-\alpha }=s$
      $\ e^{-{\frac {\beta }{\log c}}}=g$
  
  si ottiene così l'equazione iniziale.
  
  