title: Modello a media mobile
text: # Modello a media mobile
  
  In statistica, il modello a media mobile (o MA da moving average) è un modello statistico utilizzato per modellare le serie storiche, sulla base della media mobile dei loro termini passati.
  
  ## Descrizione
  
  In generale il modello viene indicato con MA(q) sta ad indicare una media mobile di $q$ termini passati:
  
      $z_{t}=\alpha _{t}-\omega _{1}\alpha _{t-1}-\ldots -\omega _{q}\alpha _{t-q},$
  
  in cui i parametri $\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{q}$ sono costanti e $\alpha _{t}$ è termine di errore, questa volta presente come regressore nelle $q$ unità temporali considerate.
  
  Dal momento che $q$ è un numero intero, e quindi il processo è composto da un numero finito di termini, questo basta a garantire la stazionarietà dei processi MA(q). La media di un MA(q) è zero poiché questo processo, senza intercetta, si riconduce ad una combinazione lineare di variabili casuali di tipo white noise con media pari a zero. L'autocovarianza, sarà espressa in questo caso da una forma del tipo:
  
      $\gamma _{t}=(-\omega _{k}+\omega _{1}\omega _{k-1}+\omega _{2}\omega _{k-2}+\ldots +\omega _{q}\omega _{k-q})\sigma _{\alpha }^{2},$
  
  con $k=1,2,\ldots ,q$. Per cui risulta:
  
      $\gamma _{t}>0,$ con $k>q.$
  
  La stazionarietà si evince proprio dall'assenza, in ciascuno di questi momenti del processo, di una dipendenza con $t$. In definitiva si ha un processo MA(1) espresso dalla relazione:
  
      $z_{t}=\alpha _{t}-\omega _{1}\alpha _{t-1}.$
  
  Tale equazione può essere espressa anche tramite lag operator come segue:
  
      $z_{t}=(1-\phi B)X_{t}=\alpha _{t}.$
  