title: Superfattoriale
text: # Superfattoriale
  
  In matematica, esistono più definizioni di superfattoriale.
  
  ## Definizione di Neil Sloane e Simon Plouffe
  
  Secondo la definizione di Neil Sloane e Simon Plouffe data in The Encyclopedia of Integer Sequences (Academic Press, 1995), si definisce superfattoriale di un numero naturale $n$ il prodotto dei numeri fattoriali dei numeri interi minori o uguali a tale numero:
  
      $\mathrm {sf} (n)\equiv \prod _{k=1}^{n}{k!}=1\cdot {2!}\cdot {3!}\cdots {(n-1)!}\cdot {n!}.$
  
  I superfattoriali così definiti rappresentano la successione A000178 dell'OEIS.
  
  Equivalentemente, il superfattoriale è dato dalla formula
  
      $\mathrm {sf} (n)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(j-i),$
  
  che è il determinante della matrice di Vandermonde.
  
  Questa sequenza di superfattoriali comincia (da $n=0$) così:
  
      1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, ...
  
  La generalizzazione del superfattoriale secondo la definizione di Neil Sloane e Simon Plouffe, per i numeri complessi, è rappresentata dalla funzione G di Barnes, poiché si ha
  
      $\mathrm {sf} (n)=G(n+2){\text{ per ogni numero intero }}n$.
  
  ## Definizione di Clifford A. Pickover
  
  Un'altra definizione di superfattoriale, basata sull'operazione di tetrazione, è quella data nel 1995 da Clifford A. Pickover nel suo libro Keys to Infinity:
  
      $n\$\equiv {\begin{matrix}\underbrace {n!^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}} \\n!{\text{ volte}}\end{matrix}},$
  
  ossia
  
      $n\$=n![4]n!,$
  
  dove la notazione $[4]$ indica l'operatore di tetrazione, oppure usando la notazione a frecce di Knuth,
  
      $n\$=(n!)\uparrow \uparrow (n!).$
  
  Questa sequenza di superfattoriali comincia così:
  
      $1\$=1;$
      $2\$=2^{2}=4;$
      $3\$=6[4]6={^{6}}6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}};$
  
  dove si deve intendere:
  
      $a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}.$
  