title: Funzione beta di Dirichlet
text: # Funzione beta di Dirichlet
  
  In matematica la funzione beta di Dirichlet, nota anche come funzione beta di Catalan, è una funzione speciale strettamente collegata alla funzione zeta di Riemann. È una particolare L-funzione di Dirichlet, la L-funzione per il carattere alternato di periodo quattro.
  
  ## Definizione
  
  La funzione beta di Dirichlet è definita come
  
      $\beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},$
  
  o anche
  
      $\beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.$
  
  In entrambe le definizioni si assume che Re(s)>0.
  
  È anche possibile definirla in termini della funzione zeta di Hurwitz valida nell'intero piano complesso s:
  
      $\beta (s)=4^{-s}\left(\zeta (s,{{1} \over {4}})-\zeta (s,{{3} \over {4}})\right)$.
  
  ## Equazione funzionale
  
  L'equazione funzionale estende la funzione beta al lato sinistro del piano complesso, cioè quello con Re(s)<0. È definita come
  
      $\beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos {\frac {\pi s}{2}}\,\beta (1-s)$
  
  dove Γ(s) è la funzione Gamma.
  
  ## Valori speciali
  
  Alcuni valori notevoli della funzione beta di Dirichlet sono:
  
      $\beta (0)={\frac {1}{2}}$,
      $\beta (1)\;=\;\tan ^{-1}(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}}$,
      $\beta (2)\;=\;K$,
  
  dove K è la costante di Catalan, e
  
      $\beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}}$.
      $\beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}}$
      $\beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}}$
  
  Più in generale, per ogni intero positivo k:
  
      $\beta (2k+1)={{{({-1})^{k}}{E_{2n}}} \over {2(2k!)}}({1 \over 2}{\pi })^{2k+1}$,
  
  dove $\!\ E_{n}$ sono i numeri di Eulero. Per interi k ≤ 0, questa si estende in:
  
      $\beta (k)={{E_{k}} \over {2}}$.
  
  quindi la funzione si azzera per tutti i valori integrali negativi dispari dell'argomento.
  
  