title: Cono (algebra lineare)
text: # Cono (algebra lineare)
  
  In algebra lineare, un cono è un sottoinsieme C di uno spazio vettoriale V chiuso rispetto alla moltiplicazione per scalari positivi, cioè
  
      $v\in C,\lambda >0\Rightarrow \lambda v\in C$
  
  Perché questa definizione abbia senso è dunque necessario che nel campo degli scalari sia definito un concetto di "positività", dunque di campo ordinato (come possono essere tipicamente i numeri reali, ma anche i numeri razionali o quelli algebrici).
  
  In modo più compatto, usando la notazione $\lambda C=\{\lambda v:v\in C\}$, un cono è determinato dalla proprietà $C=\lambda C$.
  
  ## Proprietà
  
  I coni sono chiusi rispetto all'unione, l'intersezione e il passaggio al complementare. Inoltre l'immagine di un cono attraverso una applicazione lineare è ancora un cono e l'insieme "somma"
  
      $C+D=\{v+w:v\in C,w\in D\}$
  
  è ancora un cono, così come gli insiemi $\lambda C$ (anche per scalari negativi) e di conseguenza $-C$.
  
  ## Cono di un insieme
  
  Il cono di un insieme X è dato dalla chiusura di X rispetto alla operazione che definisce un cono, cioè è l'insieme che contiene i vettori di X e tutti i loro multipli positivi. Con una notazione sintetica analoga a prima, se $X=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ e il campo è quello reale, il cono generato da X è dato da $\mathbb {R} ^{+}x_{1}\cup \ldots \cup \mathbb {R} ^{+}x_{n}$.
  
  ## Terminologia
  
  Un cono si dice puntato se contiene l'origine e non contiene nessuna coppia di vettori opposti, cioè $C\cap -C=\{0\}$.
  
  Un cono C si dice convesso se
  
      $\lambda v+\mu w\in C$
  
  per ogni v,w in C e per ogni coppia di scalari $\lambda ,\mu >0$ (o equivalentemente, se $\lambda C+\mu C=C$). Evidentemente, un cono convesso è un insieme convesso e la "somma" di due coni $C+D$ corrisponde al cono convesso generato dalla loro unione.
  
  Ogni sottospazio vettoriale di V è un cono convesso.
  
  