title: Funzione definita a tratti
text: # Funzione definita a tratti
  
  In matematica una funzione definita a tratti (o semplicemente funzione a tratti) è una funzione definita da varie sottofunzioni, ciascuna delle quali è definita su un certo sottodominio, cioè su un sottoinsieme del dominio della funzione definita a tratti. Questi sottodomini formano una partizione del dominio della funzione definita a tratti.
  
  ## Notazione
  
  Una funzione definita a tratti tipica è la funzione valore assoluto. La notazione standard è la seguente:
  
      $|x|={\begin{cases}-x,&{\text{se }}x<0,\\x,&{\text{se }}x\geq 0.\end{cases}}$
  
  La funzione è definita dalle sottofunzioni $-x$ e $x$, valide rispettivamente negli intervalli $(-\infty ,0)$ e $[0,\infty )$.
  
  ## Continuità
  
  Una funzione definita a tratti è continua su un dato intervallo se rispetta le seguenti condizioni:
  
  * la funzione è definita su tutto l'intervallo;
  * le sottofunzioni sono continue nei sottodomini;
  * non ci sono discontinuità nella frontiera di ciascun sottodominio.
  
  La funzione in figura, ad esempio, è continua nei sottointervalli $(-\infty ,x_{0})$ e $[x_{0},+\infty )$ in cui è definita a tratti, ma non è continua nell'intero dominio, dato che contiene un punto di discontinuità a salto: il punto $x_{0}$.
  
  ## Esempi
  
  Le seguenti funzioni sono definite a tratti:
  
  * funzioni a gradino, funzioni definite da sottofunzioni costanti;
     * funzione gradino di Heaviside;
     * funzione segno;
  * funzioni lineari a tratti, definite da sottofunzioni lineari;
     * valore assoluto;
  * funzione spline, funzione costituita da un insieme di polinomi raccordati tra loro, il cui scopo è interpolare in un intervallo un insieme di punti, in modo tale che la funzione sia continua almeno fino ad un dato ordine di derivate in ogni punto dell'intervallo.
  