title: Misura logaritmicamente concava
text: # Misura logaritmicamente concava
  
  In matematica, una misura di Borel μ in uno spazio euclideo n-dimensionale $R^n$ è detta logaritmicamente concava se, dati due qualunque sottoinsiemi compatti A e B di $R^n$ e dato λ tale che $0<\lambda <1$, si ha
  
      $\mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda },$
  
  in cui λ A + (1 − λ) B denota la somma di Minkowski di λ A e (1 − λ) B.
  
  ## Esempi
  
  La disuguaglianza di Brunn-Minkowski asserisce che la misura di Lebesgue è logaritmicamente concava. La restrizione della misura di Lebesgue ad ogni insieme convesso è anche logaritmicamente concava.
  
  Da un teorema di Borell, si ha che una misura è logaritmicamente concava se e solo se essa ha una densità rispetto alla misura di Lebesgue su un iperpiano affine e questa densità è una funzione logaritmicamente concava. Dunque, ogni misura gaussiana è logaritmicamente concava.
  
  La disuguaglianza di Prékopa-Leindler mostra che la convoluzione di misure logaritmicamente concave è logaritmicamente concava.
  
  