title: Processo di nascita e morte
text: # Processo di nascita e morte
  
  Un processo di nascita e morte è un processo stocastico markoviano a tempo continuo su spazio degli stati l'insieme dei numeri naturali, che simula l'andamento di una popolazione i cui unici cambiamenti siano le nascite e le morti. In altre parole, se il processo si trova in uno stato n, può solamente passare o allo stato n+1 (nascita) o allo stato n-1 (morte). I processi di nascita e morte hanno importanti applicazioni in biologia, teoria delle code, demografia.
  
  ## Definizione
  
  Un processo di nascita e morte è un processo stocastico su $\mathbb {N}$ che soddisfa le seguenti proprietà:
  
  * Gli incrementi sono indipendenti, ovvero la quantità di passaggi di stato in intervalli disgiunti sono indipendenti tra loro.
  * Se il processo si trova in n, la probabilità di una nascita in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo, ovvero per $h\rightarrow 0$
  
      $\mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}=1)=\lambda _{n}h+o(h)$
  * Se il processo si trova in n>0, la probabilità di una morte in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo, ovvero per $h\rightarrow 0$
  
      $\mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}=-1)=\mu _{n}h+o(h)$
  * Se il processo si trova in n, la probabilità che il processo si allontani per più di due stati è trascurabile, ovvero, per $h\rightarrow 0$
  
      $\mathbb {P} (|N_{t+h}-N_{t}|\geq 2)=o(h)$
  
  Le quantità $λ_n$ e $μ_n$ sono i coefficienti di natalità e di mortalità.
  
  ## Proprietà
  
  * Il processo soddisfa la proprietà di Markov
  * Il processo soddisfa la proprietà di Markov forte
  * La probabilità che il processo resti nello stesso stato in un piccolo intervallo di tempo è data da, per $h\rightarrow 0$
  
      $\mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}=0)=1-(\mu _{n}+\lambda _{n})h+o(h)$
  * Il tempo di attesa tra un passaggio di stato e il successivo ha legge esponenziale di parametro $(λ_n$ + $μ_n)$
  * Il processo di Poisson è un caso particolare di processo di nascita e morte nel caso in cui $μ_n=0$ e $λ_n=λ$ per ogni n
  