title: Funzione di Mittag-Leffler
text: # Funzione di Mittag-Leffler
  
  La funzione di Mittag-Leffler $E_{\alpha ,\beta }(z)$ è una funzione speciale introdotta dal matematico svedese Gösta Mittag-Leffler nel 1903. È definita con la serie di potenze:
  
      $E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}}$
  
  dove $\Gamma$ è la funzione Gamma.
  
  Le funzioni di Mittag-Leffler sono importanti nella teoria delle equazioni alle derivate parziali di ordine frazionale.
  
  ## Casi speciali
  
  Funzione esponenziale:
  
      $E_{1,1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp(z).$
  
  Funzione degli errori:
  
      $E_{1/2,1}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z).$
  
  Somma di una progressione geometrica:
  
      $E_{0,1}(z)={\frac {1}{1-z}}.$
  
  Funzione iperbolica:
  
      $E_{2,1}(z)=\cosh({\sqrt {z}}).$
  
  ## Rappresentazione integrale di Mittag-Leffler
  
      $E_{\alpha ,\beta }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {t^{\alpha -\beta }e^{t}}{t^{\alpha }-z}}\,dt$
  
  dove C passa per $-\infty$ e contiene le singolarità e i punti ramificati dell'integrando.
  
  