title: Superficie cartesiana esplicita
text: # Superficie cartesiana esplicita
  
  Una funzione $z=f(x,y)$ di classe $C^{1}$ definita nell'insieme aperto $\Omega$, rappresenta una superficie cartesiana esplicita.
  
  ## Piano tangente
  
  Se la superficie è differenziabile in tutti i punti $(x_{0},y_{0},z_{0})$ della superficie allora esiste il piano tangente:
  
      $\zeta =f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x-x_{0})+f_{y}(y-y_{0})$
  
  ## Normale
  
  Noto il piano tangente si possono definire due vettori normali:
  
      ${\vec {n}}=\pm \{f_{x},f_{y},-1\}$
  
  e quindi normalizzando otteniamo due versori normali:
  
      ${\vec {n}}=\pm {\frac {\{f_{x},f_{y},-1\}}{\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}}$
  
  ## Area di una superficie cartesiana esplicita
  
  L'area di una superficie cartesiana esplicita è data dalla somma di tutte le superfici infinitesime che vogliamo approssimino la nostra superficie. Al limite di queste superfici infinitesime che tendono a zero (o ugualmente al limite del numero di superfici infinitesime che tende all'infinito) la somma tende all'integrale:
  
      $A(S)=\iint _{\Omega }{\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}\,dxdy$
  
  ## Parametrizzazione
  
  Qualsiasi superficie cartesiana esplicita si può parametrizzare:
  
  ${\begin{cases}x=u\\y=v\\z=\phi (u,v)\end{cases}}$
  
  In tal modo valgono tutte le considerazioni fatte per le superfici parametriche.
  
  