title: Misura vettoriale
text: # Misura vettoriale
  
  In matematica, una misura vettoriale è una generalizzazione del concetto di misura.
  
  ## Definizione
  
  Data un'algebra di insiemi $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ ed uno spazio di Banach $X$, una misura vettoriale finitamente additiva (talvolta detta semplicemente misura) è una funzione $\mu :{\mathcal {F}}\to X$ tale che per ogni coppia di insiemi disgiunti $A$ e $B$ in ${\mathcal {F}}$ si verifica:
  
      $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$
  
  Una misura vettoriale $\mu$ è detta numerabilmente additiva se per ogni successione $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ di insiemi disgiunti in ${\mathcal {F}}$ tale che la loro unione sia in ${\mathcal {F}}$ si ha:
  
      $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$
  
  dove la serie al membro di destra converge nella norma di $X$.
  
  Si può mostrare che una misura vettoriale additiva $\mu$ è numerabilmente additiva se e solo se per ogni successione $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ definita come sopra si verifica:
  
      $\lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(\displaystyle \bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\right\|=0$
  
  dove $\|\cdot \|$ è la norma su $X$.
  
  Le misure vettoriali numerabilmente additive definite su sigma-algebre sono più generali delle nozioni di misura, misura con segno e misura complessa, che sono funzioni numerabilmente additive che mappano rispettivamente sulla retta reale estesa $[0,\infty ]$, $\mathbb {R}$ e $\mathbb {C}$.
  
  ## Variazione di una misura vettoriale
  
  Da una misura vettoriale $\mu :{\mathcal {F}}\to X$, la variazione $|\mu |$ di $\mu$ è definita come:
  
      $|\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|$
  
  dove l'estremo superiore è preso considerando tutte le partizioni:
  
      $A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$
  
  di $A$ in un numero finito di insiemi disgiunti, per ogni $A$ in ${\mathcal {F}}$, e la norma $\|\cdot \|$ è la norma su $X.$
  
  La variazione di $\mu$ è una funzione finitamente additiva che mappa su $[0,\infty ]$. Si ha inoltre:
  
      $||\mu (A)||\leq |\mu |(A)$
  
  per ogni $A$ in ${\mathcal {F}}$. Se $|\mu |(\Omega )$ è finita, la misura $\mu$ è detta essere a variazione limitata. Si può mostrare che se $\mu$ è una misura vettoriale a variazione limitata allora $\mu$ è numerabilmente additiva se e solo se $|\mu |$ è numerabilmente additiva.
  
  