title: Principio di fase stazionaria
text: # Principio di fase stazionaria
  
  In matematica, il principio di fase stazionaria è un principio di base dell'analisi asintotica, applicata agli integrali oscillatori:
  
      $I(k)=\int _{a}^{b}g(x)e^{ikf(x)}\,dx$
  
  in cui $i={\sqrt {-1}}$ e $k\rightarrow +\infty$. Fu introdotto da Lord Kelvin nel 1877.
  
  ## Ipotesi
  
  * $x\in R$;
  * $k$ è un numero intero, reale e tendente ad infinito;
  * $f$ e $g$ sono due funzioni reali, continue e lisce (cioè $C^{\infty }$) $\forall x\in R$;
  
  ## Risultati
  
  * Se $f(x)$ non possiede punti stazionari su $a\leq x_{0}\leq b$, integrando per parti si ottiene:
  
      $I(k)\cong {\frac {g(b)}{ikf'(b)}}e^{ikf(b)}-{\frac {g(a)}{ikf'(a)}}e^{ikf(a)}$
  * Se $f(x)$ è stazionario in un unico punto $a<x_{0}<b$
  
      $I(k)\cong g(x_{0}){\sqrt {\frac {2\pi }{k\left|{f''(x_{0})}\right|}}}e^{i\left[kf(x_{0})\pm {\frac {\pi }{4}}f''(x_{0})\right]}$
  * Se $f(x)$ possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite inferiore dell'integrale Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): x_{0}=a
  
      $I(k)\cong {\frac {g(b)}{ikf'(b)}}e^{ikf(b)}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}}g(x_{0})e^{ikf(x_{0})}e^{i\pm {\frac {\pi }{4}}}$
  * Se $f(x)$ possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite superiore dell'integrale $x_{0}=b$
  
      $I(k)\cong -{\frac {g(a)}{ikf'(a)}}e^{ikf(a)}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}}g(x_{0})e^{ikf(x_{0})}e^{i\pm {\frac {\pi }{4}}}$
  