title: Funzione càdlàg
text: # Funzione càdlàg
  
  In matematica, una funzione càdlàg (acronimo dal francese continue à droite, limitée à gauche, che significa continua a destra, limitata a sinistra; in italiano scritto talvolta cadlag) è una funzione di variabile reale che sia in ogni punto continua da destra e possegga limite sinistro finito.
  
  Funzioni càdlàg emergono naturalmente come funzioni di ripartizione. Compaiono quindi nello studio dei processi stocastici che ammettono traiettorie con discontinuità di prima specie.
  
  ## Esempi
  
  * Tutte le funzioni continue sono naturalmente càdlàg.
  * Tutte le funzioni di ripartizione sono càdlàg.
  
  ## Spazio di Skorokhod
  
  Lo spazio di tutte le funzioni càdlàg su un certo dominio $E$ a valori nello spazio metrico $M$ viene detto spazio di Skorokhod. Esso si denota con $D(E;M)$. Tale spazio può essere munito di una topologia. Per semplicità, consideriamo come dominio l'intervallo $[0,T]$ con $T$ finito e come codominio lo spazio euclideo reale.
  
  Dobbiamo prima definire un analogo del modulo di continuità. Per ogni $F\subseteq E$, sia
  
      $w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|$
  
  l'oscillazione di $f$ su $F$; per $\delta >0$, definiamo allora il modulo càdlàg come
  
      $\varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),$
  
  dove l'estremo inferiore è fatto su tutte le partizioni $\Pi$ dell'intervallo $E$ con mesh minore di $\delta$. Si può provare che $f$ è càdlàg se e solo se $\varpi '_{f}(\delta )\to 0$ quando $\delta \to 0$.
  
  Definiamo dunque la distanza di Skorokhod come
  
      $\sigma (f,g):=\inf _{\lambda }\max\{\|\lambda -id_{E}\|_{\infty },\|f-g\circ \lambda \|_{\infty }\}$,
  
  dove $id_{E}$ è l'identità di $E$, $\|\cdot \|_{\infty }$ è la norma uniforme e $\lambda$ varia sull'insieme di tutte le biiezioni continue strettamente monotone su $E$. Si dimostra che effettivamente $\sigma$ è una metrica. La topologia indotta è detta topologia di Skorokhod.
  
  Intuitivamente, il termine $\|\lambda -id_{E}\|_{\infty }$ misura la "distorsione nel tempo" e il termine $\|f-g\circ \lambda \|_{\infty }$ la "distorsione nello spazio".
  
  ### Proprietà
  
  Lo spazio $D(E;M)$ contiene lo spazio $C(E;M)$ delle funzioni continue. Su tale sottospazio la topologia di Skorokhod e la topologia uniforme coincidono.
  
  La metrica $\sigma$ non rende lo spazio di Skorokhod completo; tuttavia esiste una metrica equivalente a $\sigma$ per cui ciò è vero. Tale metrica (e dunque anche $\sigma$) rende inoltre $D(E;M)$ uno spazio separabile e quindi uno spazio polacco.
  
  Come applicazione del teorema di Ascoli, si può mostrare che una successione di misure di probabilità su $D$ è tight se solo se sono verificate le seguenti due condizioni:
  
  * $\lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\|f\|\geq a\}=0,$
  * $\lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0$
  
  con la seconda valida per ogni $\varepsilon >0$.
  
  