title: Corpo con manici
text: # Corpo con manici
  
  In geometria, un corpo con manici è uno spazio topologico ottenuto agganciando alcuni "manici" alla palla tridimensionale.
  
  Si tratta di un oggetto usato in topologia della dimensione bassa, specialmente nello studio delle 3-varietà.
  
  ## Definizione
  
  Un corpo con $k$ manici è una particolare 3-varietà con bordo. Può essere definita in modo equivalente in uno dei modi seguenti:
  
  * una 3-varietà con bordo $M$ contenente $k$ dischi disgiunti propriamente immersi $D_{1},\ldots ,D_{k}$ tali che la varietà ottenuta tagliando $M$ lungo questi è omeomorfa al disco
  
      $D=\{x\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ |x|\leq 1\}.$
  * la 3-varietà con bordo $M$ ottenuta scegliendo nel bordo $\partial D$ del disco $2k$ dischi 2-dimensionali disgiunti e incollandoli a coppie;
  * la somma connessa al bordo di $k$ oggetti, che possono essere tori solidi e bottiglie di Klein solide.
  
  Il numero $k$ è il genere del corpo con manici.
  
  ### Orientabilità
  
  Il corpo con manici è orientabile se è soddisfatta una di queste richieste equivalenti:
  
  * Il corpo con manici è omeomorfo ad un sottoinsieme di $\mathbb {R} ^{3}$.
  * Il corpo è ottenuto incollando dischi tramite mappe che invertono l'orientazione.
  * Il corpo è somma connessa di soli tori solidi
  
  Spesso per "corpo con manici" si intende implicitamente un corpo con manici orientabile.
  
  ## Proprietà
  
  Un corpo con manici è uno spazio compatto.
  
  ### Bordo
  
  Il bordo del corpo con manici di genere $k$ è una superficie compatta e senza bordo. Se il corpo è orientabile, la superficie è orientabile e di genere $k$. Altrimenti la superficie è non orientabile e di genere $2k$.
  
  ### Equivalenza omotopica
  
  Un corpo con manici di genere $k$ è omotopicamente equivalente ad un grafo. La sua caratteristica di Eulero è $1-k$.
  
  