title: Funzione di Eulero (forma modulare)
text: # Funzione di Eulero (forma modulare)
  
  In matematica, la funzione di Eulero, dal matematico svizzero Leonhard Euler, è definita come
  
      $\phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}),$
  
  per |q| < 1. È un esempio di q-serie, una forma modulare, e fornisce un tipico esempio di relazione tra la combinatoria e l'analisi complessa.
  
  ## Proprietà
  
  Il coefficiente $p(k)$ nell'espansione in serie formale di potenze di $1/\phi (q)$, coincide col numero di partizioni di k. In simboli,
  
      ${\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k},$
  
  dove $p(k)$ è la funzione di partizione di k.
  
  Inoltre, il teorema dei numeri pentagonali di Eulero si può riscrivere come
  
      $\phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2},$
  
  e, in particolare, si noti che $(3n^{2}-n)/2$ è un numero pentagonale.
  
  La funzione di Eulero è collegata alla funzione eta di Dedekind attraverso un'identità di Ramanujan nel seguente modo:
  
      $\phi (q)=q^{-{\frac {1}{24}}}\eta (\tau ),$
  
  dove $q=e^{2\pi i\tau }$ ed entrambe le funzioni hanno la simmetria del gruppo modulare.
  
  