title: Sottogruppo derivato
text: # Sottogruppo derivato
  
  In algebra, in particolare in teoria dei gruppi, il sottogruppo derivato di un gruppo è il sottogruppo generato dai suoi commutatori.
  
  Il derivato di un gruppo $G$ si denota solitamente con $\mathrm {D} G$ o $[G,G]$, mentre l'iterata $n$-esima della derivazione di $G$ si denota con $\mathrm {D} ^{n}G$.
  
  ## Definizione
  
  Sia $(G,\cdot )$ un gruppo, $g,h\in G$. Il commutatore di $g$ e $h$ (in quest'ordine!) si definisce come $[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$. Sia $S=\lbrace [g,h]|g,h\in G\rbrace$l'insieme dei commutatori di $G$. Il derivato $\mathrm {D} G$ si definisce come il sottogruppo generato da $S$, ovvero il più piccolo sottogruppo di $G$ che contiene $S$.
  
  ## Proprietà
  
  Il sottogruppo derivato $\mathrm {D} G$ è un sottogruppo caratteristico di $G$. Infatti, se $\varphi$ è un automorfismo di $G$, allora
  
      $\varphi ([g,h])=\varphi (ghg^{-1}h^{-1})=\varphi (g)\varphi (h)\varphi (g)^{-1}\varphi (h)^{-1}=[\varphi (g),\varphi (h)]\in \mathrm {D} G$,
  
  cioè l'insieme dei commutatori (e quindi il sottogruppo che esso genera, ovvero il sottogruppo derivato) è fissato da ogni automorfismo.
  
  In quanto caratteristico, il derivato è quindi normale in $G$, ed è ben definito il gruppo quoziente $G/\mathrm {D} G$. È chiaro dalle definizioni che $G/\mathrm {D} G$ è sempre abeliano.
  
  Un gruppo è abeliano se e solo se il suo derivato è il gruppo banale. Un sottogruppo normale $N\vartriangleleft G$ fornisce un quoziente $G/N$ abeliano se e solo se $\mathrm {D} G\subseteq N$.
  
  ## Applicazioni
  
  Un'importante applicazione del concetto di derivato di un gruppo è il seguente criterio per la risolubilità di un gruppo finito: se $G$ è un gruppo finito, allora $G$ è risolubile se e solo se la serie dei derivati
  
      $G\supseteq \mathrm {D} G\supseteq \mathrm {D} ^{2}G\supseteq \dots \supseteq \mathrm {D} ^{n}G\supseteq \dots$
  
  termina al gruppo banale, cioè se e solo se esiste $n\in \mathbb {N}$ per cui $\mathrm {D} ^{n}G=\lbrace 1_{G}\rbrace$.
  
  La risolubilità di un gruppo ha conseguenze importanti non solo in teoria dei gruppi, ma anche in sue applicazioni ad esempio alla teoria di Galois. Si veda a tale proposito il concetto di risolubilità per radicali.
  
  