title: Interpolazione di Lagrange
text: # Interpolazione di Lagrange
  
  In analisi numerica l'interpolazione di Lagrange è un particolare tipo di interpolazione polinomiale, fu scoperta per la prima volta da Edward Waring nel 1779, successivamente da Leonhard Euler nel 1783 e infine riscoperta da Joseph Louis Lagrange nel 1795.
  
  ## Definizione
  
  Data una funzione $f(x)$ e $n+1$ punti $a_{0},a_{1},a_{2}...a_{n}$ per cui sono noti i valori $f(a_{0}),f(a_{1}),f(a_{2})...f(a_{n})$ si definisce il polinomio interpolatore di Lagrange della funzione $f$ il polinomio
  
  $P(x)=\sum _{i=0}^{n}{f(a_{i})\prod _{j\neq i,j=0}^{n}{\frac {x-a_{j}}{a_{i}-a_{j}}}}$
  
  ## Proprietà
  
  Per ogni $i=1,2...n$ si ha $P(a_{i})=f(a_{i})$ e per qualsiasi $x$ si ha
  
  $f(x)=P(x)+{\frac {1}{n!}}\prod _{i=1}^{n}{(x-a_{i})}f^{(n)}(\xi )$
  
  dove $\xi$ è un valore incognito funzione di $x$ appartenente all'intervallo minimo a cui appartengono i punti $a_{1},a_{2}...a_{n}$ e $x$.
  
  ## Dimostrazione
  
  Per semplicità scriviamo
  
  $p_{n}(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-a_{i})$
  
  per cui
  
  $P(x)=\sum _{i=1}^{n}{f(a_{i})g_{i}(x)}$
  
  dove
  
  $g_{i}(x)={\frac {p_{n}(x)}{(x-a_{i})p_{n}'(a_{i})}}=\prod _{j\neq i}{\frac {x-a_{j}}{a_{i}-a_{j}}}$
  
  ora abbiamo che per ogni $i\neq j$ accade che $g_{i}(a_{j})=0$ poiché l'espressione di $g_{i}(x)$ contiene un fattore $x-a_{j}$ a numeratore, del resto $g_{i}(a_{i})=1$ per ogni $i$ da cui $P(a_{i})=f(a_{i})$.
  
  Adesso consideriamo la funzione
  
  $F(z)=f(z)-P(z)-[f(x)-P(x)]{\frac {p_{n}(z)}{p_{n}(x)}}$
  
  quando $x\neq a_{i}\forall i$, essa ha $n+1$ zeri nei punti $a_{1},a_{2}...a_{n}$ e $x$, derivando $n$ volte
  
  $F^{(n)}(z)=f^{(n)}(z)-P^{(n)}(z)-[f(x)-P(x)]{\frac {p_{n}^{(n)}(z)}{p_{n}(x)}}$
  
  Dall'applicazione del teorema di Rolle per $n$ volte la funzione $F^{(n)}(z)$ ha almeno uno zero $\xi$ nell'intervallo minimo che contiene $a_{1},a_{2}...a_{n}$ e $x$.
  
  Sappiamo che $p_{n}(x)$ è un polinomio di grado $n$ il cui coefficiente di $x^{n}$ è 1, per cui $p_{n}^{(n)}(x)=n!$, invece $P(x)$ è un polinomio di grado $n-1$ per cui $P^{(n)}(x)=0$, infine
  
  $F^{(n)}(z)=f^{(n)}(z)-P^{(n)}(z)-[f(x)-P(x)]{\frac {n!}{p_{n}(x)}}$
  
  $0=F^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-[f(x)-P(x)]{\frac {n!}{p_{n}(x)}}$
  
  da cui
  
  $f(x)-P(x)={\frac {p_{n}(x)}{n!}}f^{(n)}(\xi )$
  
  