title: Vita media
text: # Vita media
  
  La vita media $\tau$ di un nucleo radioattivo è statisticamente il tempo medio che deve trascorrere prima che il radionuclide decada. Più precisamente è il tempo dopo il quale il numero dei nuclei iniziali si è ridotto a un fattore 1/e del numero iniziale. Tale valore è legato al tempo di dimezzamento (o emivita) e alla costante di decadimento $\lambda$ dalla semplice relazione:
  
      $\tau ={\frac {1}{\lambda }}={\frac {t_{1/2}}{\ln 2}}$
  
  dove con $\tau$ si è indicata la vita media e con $t_{1/2}$ il tempo di dimezzamento.
  
  ## Derivazione matematica
  
  Se al tempo $t=0$ si hanno $N_{0}$ nuclei radioattivi, il numero $N(t)$ di nuclei ancora non decaduti al tempo $t$ sarà dato dalla relazione:
  
      $N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-t/\tau }=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}$
  
  dove $\lambda$ è la costante di decadimento, $\tau$ è la vita media mentre $t_{1/2}$ è il tempo di dimezzamento. La vita media di un elemento radioattivo mi dà l'intervallo di tempo in cui il numero di particelle presenti $N$ si riduce di ${\frac {1}{e}}$ volte relativamente al numero iniziale di particelle:
  
  $N(\tau )={\frac {N_{0}}{e}}={\frac {N_{0}}{2,718}}$
  
  Il nome "vita media" dipende dal fatto che può essere calcolato come media integrale nel seguente modo:
  
      $\tau :=\langle t\rangle ={\frac {\int _{0}^{\infty }{tN_{0}e^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t}}{\int _{0}^{\infty }{N_{0}e^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t}}}={\frac {1}{\lambda }}$
  
  dove $e^{-\lambda t}$ rappresenta la probabilità del radionuclide di sopravvivere nell'intervallo che va da zero fino all'istante t.
  
  