title: Equazione di Clapeyron
text: # Equazione di Clapeyron
  
  L'equazione di Clapeyron (o equazione di Clausius–Clapeyron) descrive la variazione della pressione con la temperatura lungo la curva di equilibrio tra due fasi di una stessa sostanza:
  
      ${\frac {dp}{dT}}={\frac {\lambda }{T(V_{B}-V_{A})}}$
  
  dove:
  
  * p è la pressione
  * T è la temperatura
  * λ è il calore latente (per unità di massa) di transizione da una fase all'altra
  * V è il volume specifico delle due fasi A e B.
  
  Tale equazione regola i cambiamenti di stato per transizioni solido-vapore, solido-liquido e liquido-vapore.
  
  ## Storia
  
  L'equazione di Clausius–Clapeyron è stata suggerita da Émile Clapeyron nel 1834, per poi essere migliorata nel 1850 da Rudolf Clausius.
  
  ## Derivazione dell'equazione
  
  Prima di procedere con la derivazione dell'equazione di Clausius-Clapeyron ricordiamo alcuni risultati preliminari riguardanti l'energia libera di Gibbs.
  
  * Per sistemi costituiti da due fasi di una stessa sostanza coesistenti a pressione e temperatura costanti, all'equilibrio si deve avere l'uguaglianza delle energie libere di Gibbs molari delle due fasi;
  
      $G_{A}=G_{B}\qquad (1)$
  * Valgono le seguenti relazioni:
  
         ${\begin{aligned}{\frac {\partial G}{\partial T}}&=-S\qquad (2a)\\{\frac {\partial G}{\partial p}}&=V\qquad (2b)\end{aligned}}$
  
  Procediamo ora con la dimostrazione. Differenziando la (1) otteniamo:
  
      ${\mbox{d}}G_{A}(T,p)={\mbox{d}}G_{B}(T,p)$
      ${\frac {\partial G_{A}}{\partial T}}dT+{\frac {\partial G_{A}}{\partial p}}dp={\frac {\partial G_{B}}{\partial T}}dT+{\frac {\partial G_{B}}{\partial p}}dp$
  
  Utilizzando le (2):
  
      $V_{A}{\mbox{d}}p-S_{A}{\mbox{d}}T=V_{B}{\mbox{d}}p-S_{B}{\mbox{d}}T$
      ${\frac {{\mbox{d}}p}{{\mbox{d}}T}}={\frac {S_{B}-S_{A}}{V_{B}-V_{A}}}.$
  
  Dato che le transizioni di fase avvengono a temperatura costante:
  
      $S_{B}-S_{A}=\int _{A}^{B}{\frac {\delta Q}{T}}={\frac {1}{T}}\int _{A}^{B}\delta Q={\frac {\lambda }{T}};$
  
  sostituendo otteniamo infine il risultato cercato:
  
      ${\frac {{\mbox{d}}p}{{\mbox{d}}T}}={\frac {\lambda }{T(V_{B}-V_{A})}}$
  