title: Modello CIR
text: # Modello CIR
  
  Il modello CIR è il metodo più famoso per la valutazione dei contratti appartenenti alla famiglia degli IRS (Interest Rate Sensitive) a cui appartiene anche il contratto Interest Rate Swap.
  
  ## Elementi introduttivi
  
  Si definisce spot rate (ovvero tasso locale oppure tasso a breve o infine tasso di rendimento istantaneo) $r(t)$ l'intensità istantanea di interesse in $t$ di uno zcb (zero coupon bond) con scadenza in $t+dt$ (currently maturing bond); si pone:
  
  $r(t):=\lim _{T\to T_{0}}r(t,t+dt)=\lim _{T\to T_{0}}-{\frac {\ln {v(t,t+dt)}}{T}}=\lim _{T\to T_{0}}{\delta (t,t+dt)}$
  
  con $T>t$
  
  Si definisce $dZt$ come:
  
  $\xi (t){\sqrt[{2}]{dt}}$
  
  sapendo che $\xi (t)$ è un fattore di disturbo casuale che avrà:
  
         $\ {\textrm {var}}[\xi (t)]=1$
  
  e
  
  ## Equazione generale di valutazione
  
  L'equazione generale di valutazione di qualsiasi contratto Interest Rate Sensitive, che non paghi dividenti, è un'equazione differenziale alle derivate parziali di secondo ordine (di tipo parabolico) deterministica e che deve essere soddisfatta dal prezzo $Y(t)$ di qualsivoglia contratto in ogni istante t.
  
  Per la determinazione di tale equazione, si partirà dalla stima del prezzo del derivato (scritto su spot rate) che è un processo stocastico descritto da una equazione differenziale stocastica; in formule:
  
  $dY(t)=\left({\frac {\partial Y(t)}{\partial t}}+f(r,t){\frac {\partial Y(t)}{\partial r(t)}}+{\frac {1}{2}}g^{2}(r,t){\frac {\partial ^{2}Y(t)}{\partial ^{2}r(t)}}\right)dt+\left(g(r,t){\frac {\partial Y(t)}{\partial r(t)}}\right)dZt$
  
  