title: Topologia finale
text: # Topologia finale
  
  In matematica, in particolare in topologia generale, la topologia finale o topologia forte su un insieme rispetto ad una famiglia di funzioni è la topologia più fine tale per cui le funzioni della famiglia sono continue.
  
  La struttura duale alla topologia finale è detta topologia iniziale.
  
  ## Definizione
  
  Dato un insieme $X$ e una famiglia di spazi topologici $Y_{i}$ in cui sono definite le funzioni $f_{i}:Y_{i}\to X$, la topologia finale $\tau$ su $X$ è la topologia più fine tale per cui ogni funzione:
  
      $f_{i}:Y_{i}\to (X,\tau )$
  
  è continua.
  
  Esplicitamente, nella topologia finale un insieme $U\subset X$ è aperto se e solo se $f_{i}^{-1}(U)$ è aperto in $Y_{i}$ per ogni indice $i$.
  
  ## Proprietà
  
  Un sottoinsieme di $X$ è aperto o chiuso se e solo se la preimmagine relativa a $f_{i}$ è rispettivamente aperta o chiusa in $Y_{i}$ per ogni indice $i$.
  
  La topologia finale su $X$ può essere caratterizzata dalla seguente proprietà: una funzione $g:X\to Z$ è continua se e solo se $g\circ f_{i}$ è continua per ogni indice $i$. Dalle proprietà della topologia naturale definita sull'unione disgiunta degli insiemi di una famiglia di spazi topologici segue che, data una qualsiasi famiglia di funzioni continue $f_{i}:Y_{i}\to X$, esiste un'unica funzione continua:
  
      $f\colon \coprod _{i}Y_{i}\to X$
  
  Se la famiglia di funzioni $f_{i}$ ricopre $X$ (ovvero ogni $x\in X$ è nell'immagine di qualche $f_{i}$) allora $f$ è una mappa quoziente se e solo se $X$ possiede la topologia finale determinata dalle mappe $f_{i}$.
  
  