title: Teorema di continuità di Kolmogorov
text: # Teorema di continuità di Kolmogorov
  
  In matematica, il teorema di continuità di Kolmogorov è un risultato che garantisce che un processo stocastico che soddisfa alcune restrizioni sulla propria crescita è continuo (o, più precisamente, ammette una versione continua). Prende il nome dal matematico russo Andrej Kolmogorov.
  
  ## Enunciato
  
  Sia $X:[0,+\infty )\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ un processo stocastico, e supponiamo che esistano tre numeri $\alpha >0$, $\beta >0$ e $K>0$ tali che
  
      $\mathbb {E} \left[|X_{t}-X_{s}|^{\alpha }\right]\leq K|t-s|^{1+\beta }$
  
  per ogni $s,t\in [0,+\infty )$.
  
  Allora esiste una versione continua di $X$, ovvero esiste un processo ${\tilde {X}}$ continuo, tale che $X_{t}={\tilde {X}}_{t}$ quasi certamente per ogni $t$. Inoltre, l'applicazione $t\to {\tilde {X}}_{t}$ è holderiana di esponente $\gamma$ per ogni $\gamma \leq {\frac {\beta }{\alpha }}$.
  
  ### Enunciato generale
  
  Il teorema può essere generalizzato al caso in cui il processo non sia indicizzato solo su $[0,+\infty )$.
  
  Sia $D\subset \mathbb {R} ^{m}$ un aperto, e sia $(X_{y})_{y\in D}$ una famiglia di variabili aleatorie d-dimensionali su $\Omega$. Supponiamo che esistano tre numeri $\alpha >0$, $\beta >0$ e $K>0$ tali che
  
      $\mathbb {E} \left[|X_{y}-X_{z}|^{\alpha }\right]\leq K\|y-z\|^{m+\beta }$
  
  per ogni $y,z\in D$.
  
  Allora esiste una versione continua di $X$, ovvero esiste una famiglia $({\tilde {X}}_{y})_{y\in D}$ tale che $X_{y}={\tilde {X}}_{y}$ quasi certamente per ogni $y\in D$ e tale che l'applicazione $y\to {\tilde {X}}_{y}$ è continua. Inoltre, $y\to {\tilde {X}}_{y}$ è anche holderiana di esponente $\gamma$ per ogni $\gamma \leq {\frac {\beta }{\alpha }}$.
  
  ## Esempi
  
  Il teorema di continuità di Kolmogorov può essere usato per dimostrare che il moto browniano standard in $\mathbb {R} ^{n}$ ha una versione continua: basta scegliere $\alpha =4$, $\beta =1$ e $K=n(n+2)$
  
  