title: Ovale di Cassini
text: # Ovale di Cassini
  
  In matematica, un ovale di Cassini è un luogo geometrico di punti $P$ del piano tali che, considerati due punti del piano fissati $F_{1}$ e $F_{2}$ è costante il prodotto della distanza di $P$ da $F_{1}$ per la distanza di $P$ da $F_{2}.$ Formalmente, se denotiamo con $d(A,B)$ la distanza tra due punti $A$ e $B$ del piano, i punti di un ovale di Cassini soddisfano l'equazione:
  
      $d(F_{1},P)d(F_{2},P)=b^{2}$
  
  nella quale $b$ è un reale positivo.
  
  I punti $F_{1}$ e $F_{2}$ sono detti fuochi dell'ovale.
  
  Gli ovali di Cassini prendono il loro nome dall'astronomo Giovanni Domenico Cassini; talora sono chiamati ovali cassiniani.
  
  Se consideriamo che i fuochi siano $F_{1}=(a,0)$ e $F_{2}=(-a,0),$ per un reale positivo $a,$ i punti dell'ovale soddisfano l'equazione:
  
      $((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}.$
  
  Equazioni equivalenti in coordinate cartesiane sono:
  
      $(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}$
  
  e
  
      $(x^{2}+y^{2}+a^{2})^{2}-4a^{2}x^{2}=b^{4}.$
  
  Un'equazione equivalente in coordinate polari è
  
      $r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}.$
  
  La forma dell'ovale dipende dal rapporto $b/a.$ Quando $b/a$ è maggiore di 1, il luogo è costituito da un singolo cappio connesso. Quando $b/a$ è inferiore a 1, il luogo è costituito da due cappi sconnessi. Quando $b/a=1,$ il luogo si riduce a una lemniscata.
  
  Se $a=b,$ la curva è razionale, ma in generale l'ovale di Cassini presenta una coppia di punti doppi all'infinito nel piano proiettivo complesso, per $x=\pm i,$ $y=1$ e $z=0$ e nessun'altra singolarità; essa quindi è una curva algebrica piana di genere 1, e quindi è birazionalmente equivalente a una curva ellittica.
  
  Applicando un'omotetia, più precisamente sostituendo $ax$ con $x$ e $ay$ con $y,$ otteniamo la famiglia di curve a un parametro caratterizzate dell'equazione
  
      $(x^{2}+y^{2}+1)^{2}-4x^{2}=b^{4}$
  
  che ha come j-invariante
  
      $j=16{\frac {(b^{8}-16b^{4}+16)^{3}}{b^{16}(1-b^{4})}}.$
  
  Si osservi che la definizione dell'ovale di Cassini si può comparare con la definizione di ellisse, curva per la quale è costante, invece che il prodotto delle distanze, la somma delle distanze
  
      $d(F_{1},P)+d(F_{2},P).$
  