title: Equazione differenziale di Abel
text: # Equazione differenziale di Abel
  
  In matematica, l'equazione differenziale di Abel, che prende il nome dal matematico Niels Abel, è un'equazione differenziale ordinaria della forma:
  
      $y'=f_{3}(x)y^{3}+f_{2}(x)y^{2}+f_{1}(x)y+f_{0}(x)\,$
  
  dove $f_{3}(x)\neq 0$. Se $f_{3}(x)=0$ e $f_{0}(x)=0$, oppure $f_{2}(x)=0$ e $f_{0}(x)=0$, l'equazione si riduce all'equazione di Bernoulli, mentre se $f_{3}(x)=0$ diventa l'equazione di Riccati.
  
  ## Equazione del secondo tipo
  
  La sostituzione $y=1/u$ produce una seconda equazione differenziale di Abel detta "del secondo tipo":
  
      $uu'=-f_{0}(x)u^{3}-f_{1}(x)u^{2}-f_{2}(x)u-f_{3}(x)$
  
  che si trova in letteratura anche senza il termine al cubo:
  
      $yy'=f(x)y^{2}+g(x)y+h(x)$
  
  da non confondere con l'equazione di Riccati. Sostituendo in quest'ultima:
  
      $y=e^{\int {f(x)dx}}z=Ez$
  
  l'equazione assume la forma:
  
      $zz'={\frac {g}{E}}z+{\frac {h}{E^{2}}}$
  
  Introducendo la variabile indipendente:
  
      $u=\int {\frac {g}{E}}$
  
  l'equazione si riduce alla forma canonica:
  
      $z{\frac {dz}{du}}-z=\Phi (u)$
  
  La funzione $\Phi$ è definita parametricamente da:
  
      $\left\{{\begin{matrix}\Phi (u)={\frac {h(x)}{g(x)E(x)}}\\u=\int {\frac {g(x)}{E(x)}}\\\end{matrix}}\right.$
  
  Ridotta in forma canonica, sono noti in letteratura molti casi risolvibili.
  
  