title: Estrapolazione di Richardson
text: # Estrapolazione di Richardson
  
  L'estrapolazione di Richardson è un metodo che permette la costruzione di approssimazioni numeriche di ordine superiore a partire da formule di ordine inferiore. Prende il nome da Lewis Fry Richardson, che introdusse il metodo agli inizi del XX secolo, ed è una tecnica importante in analisi numerica, definita da alcuni autori come un metodo per "trasformare il piombo in oro" e "la cui importanza difficilmente può essere sopravvalutata".
  
  Applicazioni dell'estrapolazione di Richardson includono il metodo di Romberg, che applica l'estrapolazione di Richardson alla regola del trapezio, e l'algoritmo di Bulirsch-Stoer per la soluzione di equazioni differenziali ordinarie.
  
  ## Formulazione
  
  Sia data una funzione $A^{*}$ e una sua approssimazione numerica $A(h)$ con passo $h$ e errore di troncamento di ordine $O(h^{k_{0}})$
  
      $A^{*}=A(h)+e$
  
  il cui residuo $e=O(h^{k_{0}})$ ha forma
  
      $e=C_{0}h^{k_{0}}+C_{1}h^{k_{1}}+C_{2}h^{k_{2}}+\cdots$
  
  dove $C_{i}$ sono costanti ignote e $k_{i}$ sono costanti note e tali che $k_{i+1}>k_{i}\;\forall i$.
  
  Applicando l'approssimazione $A$ con passo ${\frac {h}{t}}$, dove $t>0$ è una costante arbitraria, si ottiene
  
      $A^{*}=A\left({\frac {h}{t}}\right)+C_{0}\left({\frac {h}{t}}\right)^{k_{0}}+O\left(h^{k_{1}}\right).$
  
  Moltiplicando entrambi i membri per $t^{k_{0}}$ e sottraendo la formula originale
  
      $A^{*}=A(h)+C_{0}h^{k_{0}}+O(h^{k_{1}})$
  
  il termine di errore di ordine $k_{0}$ si cancella
  
      $t^{k_{0}}A^{*}-A^{*}=t^{k_{0}}A\left({\frac {h}{t}}\right)-A(h)+{\cancel {t^{k_{0}}C_{0}\left({\frac {h}{t}}\right)^{k_{0}}}}-{\cancel {C_{0}h^{k_{0}}}}+O(h^{k_{1}})$
  
  ottenendo una nuova formula di ordine $k_{1}>k_{0}$
  
      $A^{*}={\frac {t^{k_{0}}A\left({\frac {h}{t}}\right)-A(h)}{t^{k_{0}}-1}}+O(h^{k_{1}})$
  
  Il metodo può essere applicato ricorsivamente, costruendo una successione di formule
  
      $A_{i+1}(h)={\frac {t^{k_{0}}A_{i}\left({\frac {h}{t}}\right)-A_{i}(h)}{t^{k_{0}}-1}}$
  
  con $A_{0}(h)=A(h)$, tale che $A^{*}=A_{i}(h)+O(h^{k_{i}})$.
  
  