title: Equazione trinomia
text: # Equazione trinomia
  
  Le equazioni trinomie sono quelle riconducibili alla forma:
  
      $ax^{2n}+bx^{n}+c=0,$
  
  dove $n$ è un intero positivo, $a$, $b$ e $c$ sono numeri reali (oppure complessi) e $a\neq 0$.
  
  ## Descrizione
  
  Parametrizzando come segue:
  
      $x^{n}=y,$
  
  si può riscrivere l'equazione in termini di $y$:
  
      $ay^{2}+by+c=0.$
  
  Risolvendo quest'equazione quadratica (detta equazione risolvente o ausiliaria) e sostituendo nella relazione precedente è possibile trovare facilmente le soluzioni cercate.
  
  1. Caso in cui $n$ è pari.
  
  * Se la risolvente ammette due soluzioni positive distinte $y_{1}$ e $y_{2},$ allora l'equazione trinomia ammette le quattro soluzioni reali $\pm {\sqrt[{n}]{y_{1}}}$ e $\pm {\sqrt[{n}]{y_{2}}}$ (che si riducono a tre se una soluzione della risolvente è nulla).
  * Se la risolvente ammette due soluzioni discordi, l'equazione trinomia ammette due soluzioni reali, corrispondenti alle due radici n-esime reali della soluzione positiva.
  * Se la risolvente ammette una soluzione reale $y_{1},$ allora la trinomia ammette due soluzioni se $y_{1}>0,$ una se $y_{1}=0,$ nessuna se $y_{1}<0.$
  * Se la risolvente non ammette soluzioni reali, lo stesso dicasi per l'equazione originaria.
  
  2. Caso in cui $n$ è dispari.
  
  * Se la risolvente ammette due soluzioni distinte $y_{1}$ e $y_{2},$ allora l'equazione trinomia ammette le due soluzioni reali ${\sqrt[{n}]{y_{1}}}$ e ${\sqrt[{n}]{y_{2}}}$.
  * Se la risolvente ammette una soluzione reale $y_{1},$ allora la trinomia ammette la soluzione ${\sqrt[{n}]{y_{1}}}.$
  * Se la risolvente non ammette soluzioni reali, lo stesso dicasi per l'equazione originaria.
  
  Soluzioni complesse
  
  Nel campo dei numeri complessi se $z_{1}$ e $z_{2}$ sono le due soluzioni della risolvente, allora le $2n$ soluzioni sono date da:
  
      ${\sqrt[{n}]{z_{1}}}e^{\frac {2\pi k}{n}},\qquad {\text{con }}k=0,1,\ldots ,n-1,$
      ${\sqrt[{n}]{z_{2}}}e^{\frac {2\pi k}{n}},\qquad {\text{con }}k=0,1,\ldots ,n-1.$
  