title: Teorema di non discriminazione quantistico
text: # Teorema di non discriminazione quantistico
  
  Il teorema di non discriminazione quantistico afferma che, dati i postulati della meccanica quantistica, non è possibile distinguere con certezza tra due stati non ortogonali di un sistema quantistico di cui si disponga un'unica copia. È invece possibile determinare lo stato con un errore. È possibile inoltre ridurre l'errore ad una quantità piccola a piacere, con tecniche come la tomografia quantistica, aumentando opportunamente le copie a disposizione.
  
  Il teorema è equivalente al teorema di no-cloning quantistico: clonando un numero sufficiente di volte lo stato sarebbe infatti idealmente possibile determinarlo con errore piccolo a piacere. È notevole il fatto che pure essendo i risultati dei due teoremi in accordo, essi derivino da postulati differenti. Il teorema di no-cloning infatti utilizza unicamente il postulato di evoluzione unitaria, mentre il teorema di non discriminazione si basa sul postulato di misura.
  
  Il teorema è inoltre legato ad altri risultati di teoria dell'informazione quantistica. In particolare impedisce il trasferimento di informazione più veloce della luce nel caso del teletrasporto quantistico.
  
  ## Enunciato del teorema
  
  Si consideri un sistema quantistico H e si supponga di voler determinare con sicurezza se H è in uno dei due stati non ortogonali
  
      $|\psi _{1}\rangle ,|\psi _{2}\rangle ,\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\beta \neq 0$.
  
  Per ottenere ciò sarebbe necessario disporre di una POVM tale che
  
      $\langle \psi _{j}|E_{i}|\psi _{j}\rangle =\delta _{ij}$.
  
  ovvero di una misura che restituisca l'indice dello stato del sistema con probabilità uno.
  
  Il teorema di non discriminazione afferma che una POVM con queste proprietà non può esistere.
  
  ### Dimostrazione
  
  La dimostrazione si limiterà per semplicità al caso del qubit. Il teorema è comunque vero in generale.
  
  Si supponga per assurdo che la POVM esista. Allora dev'essere
  
      $\langle \psi _{1}|E_{2}|\psi _{1}\rangle =0$.
  
  In particolare
  
      ${\sqrt {E_{2}}}|\psi _{1}\rangle =0$
  
  dove con ${\sqrt {E_{2}}}$ si è indicata l'unica radice quadrata positiva dell'operatore positivo $E_{2}$.
  
  Si scriva ora
  
      $|\psi _{2}\rangle =\alpha |\phi \rangle +\beta |\psi _{1}\rangle$
  
  dove $|\phi \rangle$ e $|\psi _{1}\rangle$ formano una base ortonormale per il qubit e dev'essere
  
      $|\alpha |^{2}=1-|\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle |^{2}=1-|\beta |^{2}<1$.
  
  Allora
  
      $\langle \psi _{2}|E_{2}|\psi _{2}\rangle =|\alpha |^{2}\langle \phi |E_{2}|\phi \rangle <1$
  
  dato che
  
      $\langle \phi |E_{2}|\phi \rangle \leq 1$.
  
  Ma per ipotesi
  
      $\langle \psi _{2}|E_{2}|\psi _{2}\rangle =1$.
  
  Si è quindi giunti ad una contraddizione.
  
  