title: Equazione di Eulero
text: # Equazione di Eulero
  
  In matematica, l'equazione di Eulero o equazione di Eulero-Cauchy è un'equazione differenziale ordinaria omogenea a coefficienti variabili della forma:
  
      $x^{n}y^{(n)}(x)+a_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\ldots +a_{n-1}xy'(x)+a_{n}y(x)=0$
  
  La sostituzione $x=e^{u}$ mostra che la ricerca di soluzioni per questo tipo di equazioni differenziali si può ridurre alla risoluzione di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Da questa osservazione segue che le soluzioni delle equazioni omogenee di Eulero si possono scrivere come combinazioni lineari di funzioni della forma:
  
      $x^{\lambda }\log ^{m}x$
  
  ove $\lambda$ è un numero complesso e $m$ è un intero non negativo.
  
  Nella sua forma più generale (non omogenea):
  
      $\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}y^{(i)}(x)=f(x)\qquad a_{n}\neq 0$
  
  è stata studiata da Eulero a partire dal 1740.
  
  ## Equazione del secondo ordine
  
  L'equazione di Eulero più comune è quella di secondo grado:
  
      $x^{2}y''+a_{1}xy'+a_{2}y=0$
  
  dove $a_{1}$ e $a_{2}$ sono numeri reali. Viene utilizzata in svariati contesti, ad esempio nello studio dell'equazione di Laplace.
  
  Assumendo che l'equazione ammetta una soluzione banale del tipo:
  
      $y=x^{m}$
  
  differenziando si ha:
  
      ${\frac {dy}{dx}}=mx^{m-1}\qquad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m(m-1)x^{m-2}$
  
  Sostituendo nell'equazione di partenza:
  
      $x^{2}(m(m-1)x^{m-2})+a_{1}x(mx^{m-1})+a_{2}(x^{m})=0$
  
  e riordinando i termini:
  
      $m^{2}+(a_{1}-1)m+a_{2}=0$
  
  Si può ora risolvere in funzione di $m$, ottenendo tre casi di particolare interesse:
  
  * Caso 1: si hanno due radici distinte $m_{1}$ e $m_{2}$.
  * Caso 2: si ha una radice reale $m$ multipla.
  * Caso 3: si hanno due radici complesse $m_{1,2}=\alpha \pm i\beta$
  
  Nel primo caso la soluzione è:
  
      $y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}$
  
  Nel secondo è:
  
      $y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}$
  
  Per ottenere questa soluzione si deve applicare il metodo di riduzione dell'ordine dopo aver trovato una soluzione $y=x^{m}$.
  
  Nel terzo caso la soluzione è:
  
      $y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))$
  
  con:
  
      $\alpha =\mathop {\rm {Re}} (m)\qquad \beta =\mathop {\rm {Im}} (m)$
  
  Per $c_{1}\,$ e $c_{2}\,$ nel piano reale. Questa forma si ottiene ponendo $x=e^{t}$ ed utilizzando la formula di Eulero.
  
  