title: Processo di Poisson
text: # Processo di Poisson
  
  Un processo di Poisson, dal nome del matematico francese Siméon-Denis Poisson, è un processo stocastico che simula il manifestarsi di eventi che siano indipendenti l'uno dall'altro e che accadano continuamente nel tempo. Il processo è definito da una collezione di variabili aleatorie $N_{t}$ per $t>0,$ che vengono viste come il numero di eventi occorsi dal tempo 0 al tempo $t.$ Inoltre il numero di eventi tra il tempo $a$ e il tempo $b$ è dato come $N_{b}-N_{a}$ ed ha una distribuzione di Poisson. Ogni traiettoria del processo (ovvero ogni possibile mappa da $t$ a $N_{t}(\omega ),$ dove $\omega$ appartiene allo spazio di probabilità su cui è definita $N$) è una funzione a gradino sui numeri interi
  
  Il processo di Poisson è un processo a tempo continuo: la sua controparte a tempo discreto è il processo di Bernoulli. Il processo di Poisson è uno dei più famosi processi di Lévy. I processi di Poisson sono anche un esempio di catena di Markov a tempo continuo.
  
  ## Definizione
  
  Esistono tre definizioni equivalenti di processo di Poisson:
  
  ### Definizione infinitesimale
  
  Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:
  
  * $N_{0}=0.$
  * Il numero di eventi contati in intervalli di tempo disgiunti sono indipendenti, ossia le variabili aleatorie
  
         $N_{t_{k}}-N_{t_{k-1}},\dots ,N_{t_{1}}-N_{t_{0}},\qquad \forall t_{0}=0<t_{1}<\dots <t_{k},$
      sono indipendenti.
  * La probabilità di un evento in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza, ossia, per $h\rightarrow 0$
  
         $\mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}=1)=\lambda h+o(h).$
      La costante di proporzionalità $\lambda$ è detta intensità del processo.
  * La probabilità che accada più di un evento in un piccolo intervallo di tempo è trascurabile, ossia
  
         $\mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}>1)=o(h).$
  
  ### Costruzione attraverso i tempi di attesa
  
  Consideriamo degli eventi che si manifestano a distanze aleatorie $S_{k}$ l'uno dall'altro, dove gli $S_{k}$ sono distribuzioni esponenziali di parametro $\lambda$, ognuna indipendente dalle altre. Allora il processo definito da
  
      $N_{t}=\sup {\left\{n:\sum _{k=1}^{n}{S_{k}}\leq t\right\}}$
  
  è un processo di Poisson di intensità $\lambda .$
  
  ### Definizione attraverso le probabilità di transizione
  
  Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:
  
  * $N_{0}=0.$
  * Gli incrementi sono stazionari (ovvero la distribuzione del numero di eventi che accadono in un certo intervallo dipende solo dalla lunghezza dell'intervallo) e hanno distribuzione di Poisson di parametro $\lambda t,$ ossia:
  
         $\mathbb {P} (N_{t+\tau }-N_{t}=k)={\frac {e^{-\lambda \tau }(\lambda \tau )^{k}}{k!}},\qquad k=0,1,\ldots .$
  
  ## Proprietà
  
  Oltre a quelle elencate nelle definizioni, il processo di Poisson soddisfa altre proprietà:
  
  * Il processo di Poisson soddisfa la proprietà di Markov.
  * Il processo di Poisson soddisfa la proprietà di Markov forte.
  * Il tempo del n-esimo evento ha distribuzione Gamma $\Gamma \left(n,{\frac {1}{\lambda }}\right)$.
  * Sapendo che in un certo intervallo di tempo è accaduto un solo evento, si ha che la sua distribuzione è uniforme.
  * Se $N_{t}$ e $M_{t}$ sono due processi di Poisson indipendenti di intensità $\lambda$ e $\mu$, allora $Z_{t}=N_{t}+M_{t}$ è un processo di Poisson di intensità $\lambda +\mu .$
  * Il processo di Poisson è un processo di Lévy.
  