title: Figura di Lissajous
text: # Figura di Lissajous
  
  In matematica e in fisica, per figura di Lissajous si intende il grafico di una curva data dal sistema di equazioni parametriche
  
      $x=A_{x}\sin(\omega _{x}t+\phi _{x}),\quad y=A_{y}\sin(\omega _{y}t+\phi _{y}),$
  
  dove $A_{x}$ e $A_{y}$ sono le ampiezze, $\omega _{x}$ e $\omega _{y}$ sono le pulsazioni e $\phi _{x}$ e $\phi _{y}$ sono le fasi di due moti oscillatori ortogonali.
  
  Tali curve sono state studiate in dettaglio dal fisico Jules Antoine Lissajous (1822 - 1880). In precedenza, nell'anno 1815, erano state oggetto di studio dell'astronomo americano Nathaniel Bowditch (1773 - 1838), motivo per cui sono chiamate anche figure di Bowditch.
  
  L'aspetto di queste figure è molto sensibile al rapporto ${\frac {\omega _{x}}{\omega _{y}}}$ tra le due pulsazioni.
  
  In particolare, quando tale rapporto è pari a uno, la figura risulta essere, in generale, un'ellisse, che diventa una circonferenza nel caso in cui sia anche $A_{x}=A_{y}$, $\phi _{x}=-{\frac {\pi }{2}}$ e $\phi _{y}=0$ (moti oscillatori tra loro in quadratura), o degenera a un segmento nel caso in cui sia anche $\phi _{x}=0$, $\phi _{y}=0$ (moti oscillatori tra loro in fase). Un'altra semplice figura di Lissajous è la parabola, che si ottiene quando ${\frac {\omega _{x}}{\omega _{y}}}=2$ e $\phi _{x}=0$, $\phi _{y}=0$. Altri rapporti producono curve più complicate, che sono chiuse solo se il rapporto ${\frac {\omega _{x}}{\omega _{y}}}$ è razionale. La forma di queste curve spesso ricorda un nodo tridimensionale, e in effetti molti tipi di nodi, quando vengono proiettati su un piano, diventano figure di Lissajous.
  
  Seguono alcuni esempi di figure di Lissajous con $\phi _{x}={\frac {\pi }{2}}$ e $\phi _{y}=0$.
  
  * $\omega _{x}=1,\omega _{y}=2$
  * $\omega _{x}=3,\omega _{y}=2$
  * $\omega _{x}=3,\omega _{y}=4$
  * $\omega _{x}=5,\omega _{y}=4$
  * $\omega _{x}=5,\omega _{y}=6$
  * $\omega _{x}=9,\omega _{y}=8$
  