title: Distribuzione di Dagum
text: # Distribuzione di Dagum
  
  In teoria delle probabilità la distribuzione di Dagum è una distribuzione di probabilità continua, dipendente da tre parametri, utilizzata nell'ambito delle analisi della distribuzione del reddito e della ricchezza. Venne descritta da Camilo Dagum nel 1977 nell'articolo A new Model of Personal Income Distribution: specification and estimation, comparso in "Economie Appliquée".
  
  ## Metodologia
  
  ### La funzione di ripartizione
  
  La funzione di ripartizione è definita per valori non negativi ($x\geq 0$)
  
      $F(x)=\alpha +(1-\alpha )(1-\lambda x^{-\delta })^{\beta }$
  
  dove si interpreta che
  
      se $\alpha =0$ allora si applica ai casi nei quali X descrive un reddito, ovvero un flusso, in un intervallo di tempo continuo
      se $0<\alpha <1$ allora si applica ai casi nei quali X descrive la ricchezza, ovvero uno stock, in un istante di tempo
  
  La F(x) è la soluzione all'equazione differenziale
  
      $f(x)=\beta _{1}\left(1-\left({\frac {F(x)-\alpha }{1-\alpha }}\right)^{\beta _{2}}\right){\frac {F(x)-\alpha }{x}}$
  
  dove
  
      f(x) è la funzione di densità di probabilità
      β = 1 / β2
      δ = β1 β2
      λ = $e^c,$ dove c è la costante d'integrazione
  
  ### La funzione di densità di probabilità
  
  La funzione di densità di probabilità è data da
  
      $f(x)=(1-\alpha )\beta \lambda \delta x^{-(1+\delta )}(1-\lambda x^{-\delta })^{-(1+\beta )}$ per x>0
  
  mentre per x=0 assume il valore α.
  
  ### I momenti di ordine k
  
  I momenti di ordine k sono definiti solo per k<δ
  
      $\mu _{k}=(1-\alpha )\beta \lambda ^{k/\delta }B(\beta +k/\delta ;1-k/\delta )$
  
  dove B(. ; .) è la funzione Beta.
  
  Il valore atteso diventa pertanto
  
      $\mu _{k}=(1-\alpha )\beta \lambda ^{1/\delta }B(\beta +1/\delta ;1-1/\delta )$
  
  ### Moda e mediana
  
  moda
  
      $moda=\lambda ^{1/\delta }({\frac {\beta \delta -1}{1+\delta }})^{1/\delta }$
  
  mediana:
  
      $mediana=\lambda ^{1/\delta }(1-({\frac {1/2-\alpha }{1-\alpha }})^{1/\beta })^{-1/\delta }$
  