title: Operazione interna
text: # Operazione interna
  
  In matematica, un'operazione interna ad n argomenti (o n-aria) su un insieme $X$ è una funzione che ad ogni n-upla di $X^{n}$ associa un elemento dello stesso $X$.
  
  ## Definizione
  
  Sia $X$ un insieme non vuoto e sia $n\in \mathbb {N}$. Si chiama operazione interna su $X$ una funzione $*$ dal prodotto cartesiano $X^{n}$ a valori in $X$:
  
      $*:X^{n}\to X$
  
  Equivalentemente, sia $m\in \mathbb {N}$, si chiama operazione interna su $X$ una funzione $*$:
  
      $*:X_{1}\times \ldots \times X_{m-1}\to X_{m}$
  
  se $X_{1}=\ldots =X_{m-1}=X_{m}=X$.
  
  Se $n=2$, l'operazione è detta operazione binaria interna su $X$ e l'immagine della coppia di punti $(x,y)$ si denota preferibilmente con la notazione di operazione $x*y$ piuttosto che con la notazione funzionale $*(x,y)$.
  
  Un insieme non vuoto dotato di una sola operazione interna è detto avere struttura di magma o di gruppoide.
  
  Il motivo principale per cui può essere necessario verificare che un'arbitraria operazione $*$ sia o meno interna su un insieme $X$ (pure arbitrario purché non vuoto) sta nel fatto che solo se l'operazione è interna la coppia $(X,*)$ può essere considerata come struttura algebrica. Alternativamente, si può dire che condizione necessaria affinché una coppia $(X,*)$ sia una struttura algebrica è che l'operazione $*$ verifichi la proprietà di chiusura su $X$.
  
  ### Operazione esterna
  
  Un'operazione non interna su un insieme $X$ si dice operazione esterna.
  
  ## Esempi
  
  ### Operazioni interne
  
  L'operazione di somma usualmente denotata con + è interna sull'insieme dei numeri naturali e così pure lo è sugli interi, sui razionali, sui reali ed anche sui complessi.
  
  Analogamente, il prodotto è operazione interna su ciascuno degli stessi insiemi.
  
  Le operazioni di massimo comun divisore e di minimo comune multiplo sono operazioni interne sull'insieme dei numeri naturali.
  
  Le operazioni di unione ed intersezione sono interne sull'insieme delle parti di un insieme.
  
  Il prodotto vettoriale è operazione interna sull'insieme delle terne di numeri reali:
  
      $\wedge :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$
         $({\vec {v}},{\vec {w}})\mapsto {\vec {v}}\wedge {\vec {w}}$
  
  ### Operazioni esterne
  
  Il prodotto scalare è un'operazione esterna sull'insieme delle terne di numeri reali:
  
      $\cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$
         $({\vec {v}},{\vec {w}})\mapsto {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}$
  
  essa ha infatti valori nel campo reale su cui è definito lo spazio vettoriale $\mathbb {R} ^{3}$ e non nello spazio vettoriale stesso.
  
  Il prodotto di un vettore per uno scalare è ancora operazione esterna all'insieme delle terne di numeri reali:
  
      $\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$
         $(k,{\vec {v}})\mapsto k{\vec {v}}$
  
  in quanto se la si pensa come funzione
  
      $\cdot :A\times B\to C$
  
  si ha che anche in questo caso gli insiemi $A$, $B$ e $C$ non sono tutti e tre uguali.
  
  Il prodotto misto:
  
      $\cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$
         $({\vec {v}},{\vec {w}},{\vec {z}})\mapsto {\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\cdot {\vec {z}}$
  
  è infine ancora un'operazione (ternaria) esterna su $\mathbb {R} ^{3}$.
  
  