title: Equazione differenziale di Bernoulli
text: # Equazione differenziale di Bernoulli
  
  In matematica, l'equazione differenziale di Bernoulli è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine.
  
  Ridotta in forma canonica, si rappresenta come:
  
      $y'+f(x)y=g(x)y^{n}$
  
  con $n$ costante. Se $x_{0}\in (a,b)$ e:
  
      $\left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\qquad \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\}\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\qquad \alpha =2\\\end{array}}\right.$
  
  è una soluzione dell'equazione lineare:
  
      $z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x)$
  
  allora si ha che $y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}$ è una soluzione di:
  
      $y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\qquad y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}$
  
  e ogni equazione di questo tipo ha una soluzione $y\equiv 0$ per $y_{0}=0$ per ogni $\alpha >0$.
  
  ## Metodo di risoluzione
  
  Il metodo di risoluzione fu trovato da Jakob Bernoulli I. Per $n=1$ o $n=0$ l'equazione è riconducibile immediatamente alla soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine. Il metodo risolutivo generale, con n reale qualunque richiede di dividere l'equazione per $y^{n}$ (tenendo conto del fatto che, per $n>0$, $y=0$ rappresenta una soluzione del primo tipo, e che invece per $n<0$ la funzione $y$ deve essere necessariamente diversa da 0 per la condizione di esistenza della funzione che la definisce), ottenendo:
  
      ${\frac {1}{y^{n}}}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {f(x)}{y^{n-1}}}=g(x)$
  
  Si effettua poi la sostituzione $w=1/y^{n-1}$, da cui:
  
      $w'={\frac {1-n}{y^{n}}}{\frac {dy}{dx}}$
  
  si ha:
  
      ${w'}+w(1-n){f(x)}=(1-n)g(x)$
  
  che rientra nel caso generale delle equazioni di primo grado. Riscrivendo come:
  
      ${w'}=w(n-1){f(x)}+(1-n)g(x)=F(x)w+G(x)$
  
  e integrando, si ottiene:
  
      $w=e^{\int {F}}\left(\int {Ge^{-\int {F}}}+c\right)$
  
  da cui poi si ricava la $y$.
  
  Una variante consiste nel sostituire direttamente:
  
      $y=z^{\frac {1}{1-n}}$
  
  nell'equazione:
  
      $y'=-f(x)y+g(x)y^{n}$
  
  in modo che si ha:
  
      $z'=(1-n)y'y^{-n}$
  
  da cui:
  
      $y'=z'{\frac {y^{n}}{1-n}}$
  
  quindi sostituendo e semplificando:
  
      $z'=(1-n)[-f(x)z+g(x)]$
  
  ### Esempio
  
  Sia dato:
  
      $y'+2y\operatorname {sin} x=y^{-2}\operatorname {sin} x$
  
  dividendo si ha:
  
      ${\frac {y'}{y^{-2}}}+{\frac {2\operatorname {sin} x}{y^{-3}}}=\operatorname {sin} x$
  
  ponendo $w={\frac {1}{y^{-3}}}$:
  
      $w'=-w6\operatorname {sin} x+3\operatorname {sin} x$
  
  e integrando:
  
      $w=e^{6\operatorname {cos} x}\left({\frac {1}{2}}e^{-6\operatorname {cos} x}+C\right)={\frac {1}{2}}+Ce^{6\operatorname {cos} x}$
  
  Ricordando che $w=y^{3}$, l'unica radice reale per $y$ è:
  
      $y=^{3}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+Ce^{6\operatorname {cos} x}}}$
  