title: Distribuzione logaritmica
text: # Distribuzione logaritmica
  
  In teoria delle probabilità la distribuzione logaritmica (o della serie logaritmica) è una distribuzione di probabilità discreta sui numeri interi positivi che esprime lo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo naturale,
  
      $\log(1-x)=-{\Bigx+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+...{\Big )}$.
  
  La distribuzione venne descritta da Ronald Fisher in uno studio sulla genetica delle popolazioni.
  
  ## Definizione
  
  La distribuzione logaritmica di parametro $p\in ]0,1[$ attribuisce le probabilità
  
      $P(n)={\frac {1}{-\log(1-p)}}{\frac {p^{n}}{n}}={\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}{\frac {p^{n}}{n}}$ per $n>0$.
  
  Siccome la serie di Taylor (o di Maclaurin) di $-\log(1-x)$ ha raggio di convergenza 1, la probabilità totale è 1.
  
  La funzione di ripartizione è
  
      $F(n)=1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(n+1,0)}{\log(1-p)}}$,
  
  dove $\mathrm {B} _{p}$ è la funzione Beta incompleta.
  
  ## Caratteristiche
  
  Una variabile aleatoria $X$ con distribuzione logaritmica di parametro $p$ ha
  
  * momenti semplici
  
      $\mu _{k}=E[X^{k}]={\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}\sum _{n>0}n^{k-1}p^{k}$,
  
  tramite i quali si possono esprimere
  
  * la speranza matematica
  
      $E[X]={\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}{\frac {p}{1-p}}$
  * e la varianza
  
      ${\text{Var}}(X)=E[X^{2}]-E[X]^{2}={\frac {1}{-(1-p)^{2}\log(1-p)}}-{\Big{\frac {p}{-(1-p)\log(1-p)}}{\Big )}^{2}$.
  
  La funzione generatrice dei momenti è
  
      $g_{X}(t)=E[e^{tX}]={\frac {1}{-\log(1-p)}}\sum _{n>0}{\frac {(pe^{t})^{n}}{n}}={\frac {\log(1-pe^{t})}{\log(1-p)}}$.
  
  Inoltre siccome la funzione $p^{n}/n$ è decrescente, $P(n)$ assume il valore massimo in 1, la moda.
  
  ## Altre distribuzioni
  
  ### Formula ricorsiva
  
  La distribuzione logaritmica di parametro $p$ soddisfa la ricorsione di Panjer
  
      $P(n)=(p+{\tfrac {-p}{n}})P(n-1)$ per $n>1$
  
  ma è limitata al supporto $\mathbb {N} \setminus \{0\}$. (La distribuzione di Panjer con gli stessi parametri definisce una distribuzione degenere, con $P(1)=(p-p)P(0)=0$.)
  
  ### Distribuzione composta di Poisson
  
  Se la variabile aleatoria $N$ segue una distribuzione di Poisson allora la somma di $N$ variabili aleatorie indipendenti $X_{1},...,X_{N}$ con una stessa distribuzione logaritmica,
  
      $X_{1}+...+X_{N}$,
  
  segue una distribuzione di Pascal (o binomiale negativa).
  
  In altri termini, la distribuzione di Pascal è una distribuzione composta di Poisson della distribuzione logaritmica.
  
  