title: Distribuzione di Maxwell-Jüttner
text: # Distribuzione di Maxwell-Jüttner
  
  In fisica, e in particolare nella teoria della relatività, la distribuzione di Maxwell-Jüttner è la distribuzione delle velocità delle particelle in un gas ideale di particelle relativistiche. Simile alla distribuzione di Maxwell-Boltzmann, la distribuzione di Maxwell-Jüttner considera un gas ideale classico nel quale le particelle sono diluite e non interagiscono in modo significativo tra di loro. A differenza della distribuzione classica di Maxwell, però, si considerano anche gli effetti della relatività ristretta: per temperature T basse, ovvero molto inferiori a $mc^{2}/k$ (dove m indica la massa del tipo di particella che compone il gas, c la velocità della luce e k la costante di Boltzmann), queste due distribuzioni sono identiche.
  
  La distribuzione viene attribuita a Ferencz Jüttner, che la ricavò nel 1911. È poi diventata nota come distribuzione di Maxwell-Jüttner in analogia con la distribuzione Maxwell-Boltzmann.
  
  ## La funzione di distribuzione
  
  All'aumentare della temperatura del gas, quando il valore $kT$ si avvicina o supera la soglia $mc^{2}$, la distribuzione di probabilità per $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ in questo gas relativistico di Maxwell è data dalla distribuzione Maxwell-Jüttner:
  
      $f(\gamma )={\frac {\gamma ^{2}\beta }{\theta K_{2}(1/\theta )}}\exp \left(-{\frac {\gamma }{\theta }}\right)$
  
  dove $\beta ={\frac {v}{c}}={\sqrt {1-1/\gamma ^{2}}},$ $\theta ={\frac {kT}{mc^{2}}},$ e $K_{2}$ è la funzione di Neumann.
  
  In alternativa, si può riformulare in termini della quantità di moto:
  
      $f(\mathbf {p} )={\frac {1}{4\pi m^{3}c^{3}\theta K_{2}(1/\theta )}}\exp \left(-{\frac {\gamma (p)}{\theta }}\right)$
  
  dove $\gamma (p)={\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}$. L'equazione di Maxwell-Jüttner è covariante, ma non è manifestamente covariante, e la temperatura del gas non varia con la velocità del gas.
  
  ## Limiti
  
  Alcuni dei limiti delle distribuzioni di Maxwell-Jüttner sono gli stessi del modello ideale di gas nella fisica classica: si trascurano le interazioni e gli effetti quantistici. Un'ulteriore limitazione, che invece non è importante nel gas ideale classico, è che la distribuzione di Maxwell-Jüttner non tiene conto delle antiparticelle.
  
  