title: Distribuzione generalizzata dei valori estremi
text: # Distribuzione generalizzata dei valori estremi
  
  In teoria della probabilità la distribuzione generalizzata dei valori estremi (dall'inglese generalized extreme value distribution, in sigla GEV), o distribuzione di Fisher-Tippett, è una famiglia di distribuzioni di probabilità che raccoglie la distribuzione di Fréchet, la distribuzione di Weibull e la distribuzione di Gumbel (come caso al limite).
  
  Questa famiglia è comune nella teoria dei valori estremi, dove descrive il limite dei massimi $M_{n}=\max\{X_{1},X_{2},...,X_{n}\}$ in una successione di variabili aleatorie indipendenti, secondo il teorema dei valori estremi.
  
  Il secondo nome con cui è conosciuta deriva dagli statistici britannici Fisher e Tippett.
  
  ## Definizione
  
  Una distribuzione generalizzata dei valori estremi è caratterizzata da tre parametri reali $(\mu ,\ \sigma ,\ \xi )$ con $\sigma >0$ e $\xi \neq 0$; il suo supporto dipende dai valori dei parametri.
  
  La sua funzione di ripartizione è definita come:
  
      $F(x)=e^{-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}}$,
  
  per i valori di $x$ che soddisfano:
  
      $\xi \cdot x\geq \xi \cdot \mu -\sigma$
  
  ### Classificazione
  
  Prendendo
  
      $a=\mu -{\frac {\sigma }{\xi }},\qquad b={\frac {\sigma }{\xi }},\qquad c={\frac {1}{\xi }}$,
  
  la funzione di ripartizione può essere scritta come:
  
      $F(x)=e^{-({\tfrac {x-a}{b}})^{-c}}$.
  
  **Distribuzione di Fréchet**
  
  Per $\xi >0$ la distribuzione è una distribuzione di Fréchet generalizzata di parametri $(a,b,c)$
  
  **Distribuzione di Weibull**
  
  Per $\xi <0$ la distribuzione "riprende" una distribuzione di Weibull generalizzata di parametri $(a,b,-c)$, descrivendone la funzione di sopravvivenza; più precisamente le due distribuzioni descrivono due variabili aleatorie opposte, $X$ e $-X$.
  
  **Distribuzione di Gumbel**
  
  Per $\xi =0$ la distribuzione non è definita, ma al limite $\xi \to 0$ si ottiene:
  
      $\lim _{\xi \to 0}F_{\xi }(x)=e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}$,
  
  che corrisponde alla distribuzione di Gumbel.
  
  