title: 600-celle
text: # 600-celle
  
  In geometria quadridimensionale, la 600-cella (detta anche tetraplesso, da "complesso di tetraedri", esacosicoro o politetraedro) è uno dei sei policori regolari. È considerato la naturale estensione in dimensione 4 dell'icosaedro.
  
  ## Descrizione
  
  Una 600-cella è l'inviluppo convesso di 120 punti nello spazio euclideo 4-dimensionale $\mathbb {R} ^{4}$. Sia
  
      $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$
  
  I punti sono i seguenti:
  
  * 16 vertici del tipo:
  
      $\left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}}\right)$
  * 8 vertici del tipo:
  
      $(0,0,0,\pm 1)$ e sue permutazioni
  * 96 vertici del tipo:
  
      $\left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {\varphi }{2}},\pm {\frac {1}{2\varphi }},0\right)$ e le sue permutazioni pari.
  
  I primi 16 punti sono i vertici di un ipercubo, gli 8 seguenti sono quelli di un esadecacoro, e i 24 punti insieme formano i vertici di un 24-celle.
  
  I 120 punti formano un sottogruppo dei quaternioni.
  
  ## Proiezioni
  
  Un poliedro 3-dimensionale può essere disegnato sul piano (bidimensionale): il disegno che ne risulta è generalmente l'immagine di una proiezione del poliedro sul piano. Analogamente, ogni policoro 4-dimensionale può essere proiettato nello spazio 3-dimensionale. L'immagine di questa proiezione dipende dal modo in cui il policoro è posizionato nello spazio euclideo 4-dimensionale (che in matematica è indicato con il simbolo $\mathbb {R} ^{4}$).
  
  ### Proiezioni sul piano bidimensionale
  
  Proiezioni ortografiche :
  
  | Centrata su un vertice, mostra simmetria decagonale | Una proiezione ortografica nel poligono di Petrie 30-gonale |
  | - | - |
  | Centrata su un vertice, mostra simmetria quadrata | Centrata su una faccia triangolare, mostra simmetria esagonale |
  
  Confronto animato a fotogrammi sincronizzati della 600-cella usando la proiezione ortogonale isometrica (a sinistra) e in prospettiva (a destra).
  
  ## Sviluppo
  
  Lo sviluppo dell'esacosicoro è composto da 600 tetraedri regolari uniti in modo da avere, a due a due, una sola faccia in comune.
  
  ## Dualità
  
  La 600-cella è duale dell'iperdodecaedro o 120-cella, come l'icosaedro è duale del dodecaedro.
  
  ## Relazione di Eulero
  
  Per questo policoro vale la relazione (4-dimensionale!) di Eulero, dove V è il numero di vertici, F è il numero di facce, S è il numero di spigoli e C è il numero di celle:
  
      $V+F=S+C.$
  
  In questo caso 120 + 1200 = 720 + 600, cioè 1320 = 1320.
  
  