title: Trasformata di Park
text: # Trasformata di Park
  
  La trasformata di Park è una trasformazione di variabili applicabile a un sistema elettrico trifase in regime qualsiasi (anche transitorio). Essa associa a una terna di grandezze (come ad esempio tensione o corrente) un'altra terna, ai fini di evidenziare il comportamento del sistema utilizzando un differente sistema di riferimento. È stata inizialmente proposta da Robert H. Park, da cui il nome.
  
  ## Definizione
  
  Utilizzando una notazione matriciale, si può definire la trasformazione attraverso la matrice:
  
      $K_{P}={\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&\sin {\left(\theta \right)}&0\\-\sin {\left(\theta \right)}&\cos {\left(\theta \right)}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
  
  Dove θ è detto angolo di Park.
  
  Per effettuare la trasformazione, detti $u_{DQZ}$ il vettore delle grandezze nel riferimento di Park e $u_{XYZ}$ il vettore nel riferimento reale
  
      $u_{DQZ}=K_{P}\cdot u_{XYZ}$.
  
  Analogamente, si definisce la trasformazione inversa
  
      $u_{XYZ}=K_{P}^{-1}\cdot u_{DQZ}$.
  
  Si consideri la trasformata di Clarke, definita come:
  
      $K_{C}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}$.
  
  Combinando le due precedenti trasformate
  
      $K_{CP}=K_{P}\cdot K_{C}$
  
  Otteniamo la trasformazione di asse diretto-quadratura-omopolare:
  
      $K_{CP}={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&\cos {\left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)}&\cos {\left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)}\\-\sin {\left(\theta \right)}&-\sin {\left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)}&-\sin {\left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}$
  
  E la trasformazione inversa:
  
      $K_{CP}^{-1}={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&-\sin {\left(\theta \right)}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\\cos {\left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)}&-\sin {\left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\\cos {\left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)}&-\sin {\left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}$
  
  ## Riferimento di trasformata
  
  La scelta dell'angolo θ definisce il riferimento di trasformata. Scelte comuni possono essere:
  
      $\theta =costante$: trasformazione su assi fissi
      $\omega ={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\omega _{e}$ (detta $\omega _{e}$ la pulsazione del sistema di riferimento): trasformazione con riferimento sincrono
      $\omega ={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\omega _{e}$ e $\theta =\theta _{e}$ ( detti $\omega _{e}$ e $\theta _{e}$la pulsazione e l'angolo del sistema di riferimento) : trasformazione con riferimento sincrono orientato
  
  ## Utilizzi
  
  La trasformazione di Park viene utilizzata per semplificare le equazioni che modellano il comportamento di vari apparecchi elettrici, fra cui:
  
  * Macchina a induzione
  * Macchina sincrona
  * Inverter
  
  In particolare, molti schemi di controllo della velocità o della coppia erogata dalle macchine asincrona e sincrona implementano la trasformata di Park nelle loro equazioni. Allo stesso modo, la trasformata di Park viene impiegata nel sistema di controllo della potenza attiva e reattiva erogata dagli inverter connessi alla rete elettrica.
  
  