title: Distribuzione di Spearman
text: # Distribuzione di Spearman
  
  In teoria della probabilità la distribuzione di Spearman è la distribuzione di probabilità discreta, utilizzata nell'ambito della statistica non parametrica, della variabile casuale $R_{S}$ (coefficiente di correlazione per ranghi di Spearman) per verificare l'ipotesi nulla che non vi è correlazione tra due variabili quantitative o qualitative ordinali. Fu ideata da Charles Spearman nel 1904.
  
  ## Costruzione delle probabilità esatte
  
  Può essere costruita costruendo tutti i casi in cui la prima variabile già ordinata (pertanto ha i ranghi $r_i=i)$ e la seconda assuma uno dei possibili ordini. Per ciascuno dei casi viene calcolato il valore $ρ_s$ e si costruisce la tabella delle probabilità di ciascuno dei valori possibili.
  
  ## Esempio con N=4
  
  ### Le 24 possibili osservazioni
  
  Nel caso di N=4 osservazioni, assumendo che per la prima variabile vale sempre $r_i=i,$ si possono calcolare i vari $ρ_s$
  
  ### Distribuzione delle probabilità per il test a una coda
  
  I ρ risultano così distribuiti
  
  ### Distribuzione delle probabilità per il test a due code
  
  Nel caso si volesse fare il test ad una sola coda, si calcolano le probabilità effettuando prima i valori assoluti di ρ
  
  ## Approssimazioni per N grandi
  
  Per N grandi, la trasformazione
  
      $t={\frac {\rho _{s}}{\sqrt {(1-\rho _{s}^{2})/(n-2)}}}$
  
  è distribuita approssimativamente come una variabile casuale t di Student con N-2 gradi di libertà
  
  e
  
      $z=\rho _{s}{\sqrt {N-1}}$
  
  è distribuita approssimativamente come una variabile casuale normale
  
  