title: Distribuzione logistica
text: # Distribuzione logistica
  
  In teoria delle probabilità la distribuzione logistica è una distribuzione di probabilità continua definita sui numeri reali e legata all'equazione logistica descritta dal matematico belga Pierre François Verhulst.
  
  Viene utilizzata in molti degli ambiti che descrivono modelli di crescita tramite l'equazione logistica.
  
  ## Definizione
  
  La distribuzione logistica è una distribuzione di probabilità la cui funzione di ripartizione risolve l'equazione logistica
  
      $F'={\frac {1}{s}}F(1-F),$
  
  con $s>0.$
  
  La distribuzione logistica di parametri $(s,\mu )$ ha funzione di ripartizione
  
      $F(x)={\frac {1}{1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}}},$
  
  e funzione di densità di probabilità
  
      $f(x)=F'(x)={\frac {e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}}{s\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{2}}}.$
  
  Le due funzioni possono anche essere espresse in termini di funzioni iperboliche come
  
      $f(x)={\tfrac {1}{4s}}(\cosh {\tfrac {x-\mu }{2s}})^{-2},$
      $F(x)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh {\tfrac {x-\mu }{2s}},$
  
  dove $\cosh(t)={\tfrac {e^{t}+e^{-t}}{2}}$ è il coseno iperbolico e $\tanh(t)={\tfrac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$ la tangente iperbolica.
  
  ### Caratteristiche
  
  La distribuzione logistica di parametri $(s,\mu )$ ha densità di probabilità simmetrica rispetto a $\mu$, dove assume il valore massimo. In particolare ha speranza matematica, mediana e moda pari a $\mu$, mentre il suo indice di asimmetria è $0.$
  
  I quantili $q_{\alpha }$ di ordine $\alpha$ possono essere determinati tramite l'inversa della funzione di ripartizione,
  
      $q_{\alpha }=F^{-1}(\alpha )=\mu +s\log {\tfrac {\alpha }{1-\alpha }}.$
  
  La funzione $\log {\tfrac {x}{1-x}}$ è detta funzione logit.
  
  I momenti centrali della distribuzione sono
  
      $m_{k}=\int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{k}f(x)dx=\int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{k}dF(x)=\int _{0}^{1}\left(s\log {\tfrac {t}{1-t}}\right)^{k}dt=s^{k}\pi ^{k}(2^{k}-2)|B_{k}|,$
  
  dove $B_{k}$ è il $k$-esimo numero di Bernoulli.
  
  In particolare la distribuzione ha varianza ${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}$ e coefficiente di curtosi $\gamma _{2}={\frac {6}{5}}.$
  
  ## Altre distribuzioni
  
  La distribuzione log-logistica (o loglogistica) è la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria $X$ il cui logaritmo $\log X$ segua la distribuzione logistica.
  
  