title: Distribuzione di Cantor
text: # Distribuzione di Cantor
  
  In teoria della probabilità la distribuzione di Cantor è una distribuzione di probabilità la cui funzione di ripartizione è la funzione di Cantor. Essa è una distribuzione singolare, o continua singolare: non è né assolutamente continua né discreta.
  
  Se consideriamo la costruzione dell'insieme di Cantor, riassunta nell'immagine sotto:
  
      $C_{0}=[0,1]$
      $C_{1}=[0,1/3]\bigcup [2/3,1]$
      $C_{2}=[0,1/9]\bigcup [2/9,1/3]\bigcup [2/3,7/9]\bigcup [8/9,1]$
      $C_{3}=[0,1/27]\bigcup [2/27,1/9]\bigcup [2/9,7/27]\bigcup [8/27,1/3]$
               $\bigcup [2/3,19/27]\bigcup [20/27,7/9]\bigcup [8/9,25/27]\bigcup [26/27,1]$
      $\vdots$
  
  abbiamo che una variabile casuale con la distribuzione di Cantor è l'unica tale che, per ogni $n$, essa è distribuita uniformemente sul singolo insieme $C_{n}$, cioè su ogni riga dell'immagine sotto la probabilità di un singolo intervallino è $1/2^{n}$.
  
  ## Momenti
  
  * $E(X)={1 \over 2}$
  
  La varianza si ottiene dalla legge della varianza totale: se consideriamo Y come l'indicatore dell'evento "esce testa in un lancio di moneta"
  
      $\operatorname {var} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {var} (X\mid Y))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (X\mid Y))$
      $={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} \left\{{\begin{matrix}P(1/6)=1/2\\P(5/6)=1/2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{9}}.$
  
  Da cui otteniamo
  
  * $\operatorname {var} (X)={1 \over 8}$
  