title: Distribuzione normale inversa
text: # Distribuzione normale inversa
  
  In teoria delle probabilità la distribuzione normale inversa (o gaussiana inversa) è una distribuzione di probabilità continua dipendente da due parametri definita sui numeri reali positivi. È usata tra l'altro nel Modello lineare generalizzato.
  
  ## Definizione
  
  Una distribuzione normale inversa con parametri $\lambda >0$ e $\mu >0$ ha come funzione di densità di probabilità
  
  $f(x)=\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\displaystyle -{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}$
  
  per x > 0.
  
  ## Caratteristiche
  
  Il valore atteso di una variabile casuale normale inversa X è
  
      $\operatorname {E} (X)=\mu$.
  
  La varianza è
  
      $\operatorname {Var} (X)={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}$.
  
  per cui la deviazione standard
  
      $\sigma ={\sqrt {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}$
  
  e il coefficiente di variazione è
  
      $\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}$.
  
  Il coefficiente di asimmetria viene indicato con
  
      $\operatorname {v} (X)=3{\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}$.
  
  La funzione caratteristica è data da
  
      $\phi _{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}is}{\lambda }}}}\right)}$.
  
  mentre la funzione generatrice dei momenti della v.c. normale inversa è
  
      $m_{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}s}{\lambda }}}}\right)}$.
  
  ## Teorema
  
  ### Somma di v.c. normali inverse identiche
  
  Siano $X_{1},\dots ,X_{n}$ tutte variabili casuali distribuite come una normale inversa con i parametri $\lambda$ e $\mu$, allora la loro media ${\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$ è nuovamente una v.c. normale inversa, ma con i parametri $n\lambda$ e $\mu$.
  
  