title: Coefficiente multinomiale
text: # Coefficiente multinomiale
  
  Il coefficiente multinomiale è un'estensione del coefficiente binomiale. Per un numero intero non negativo $n,$ e un vettore intero non negativo $\mathbf {k}$ di norma uno ($\|\mathbf {k} \|_{1}$) uguale a $n$, il coefficiente multinomiale è definito come
  
      ${n \choose \mathbf {k} }:={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{r}k_{i}!}},$
  
  ed è sempre un numero naturale.
  
  ( ${\prod _{i=1}^{r}}$ è il simbolo della produttoria).
  
  ## Teorema multinomiale
  
  Come generalizzazione del teorema binomiale vale il cosiddetto teorema multinomiale:
  
      $(x_{1}+\ldots +x_{r})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}\cdot \prod _{i=1}^{r}x_{i}^{k_{i}},$
  
  ovvero
  
      ${\bigg\sum _{i=1}^{r}x_{i}{\bigg )}^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n!\cdot \prod _{i=1}^{r}{\frac {x_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}},$
  
  dove $\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}$ indica la sommatoria di tutte le possibili erruple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a $n$.
  
  Una forma più compatta della precedente formula fa uso della notazione multi-indice e della contrazione tensoriale:
  
      $x^{n}=\sum _{k=n}n!{\frac {\mathbf {x} ^{\mathbf {k} }}{\mathbf {k} !}},$
  
  con le norme unitarie:
  
      $k=\sum _{i=1}^{r}k_{i}=\left\|\mathbf {k} \right\|_{1},$
      $x=\sum _{i=1}^{r}x_{i}=\left\|\mathbf {x} \right\|_{1},$
  
  e:
  
      $\mathbf {x} ^{\mathbf {k} }=(x_{1}^{k_{1}},x_{2}^{k_{2}},\ldots ,x_{r}^{k_{r}})\in \mathbb {R} ^{r}.$
  
  ## Applicazioni
  
  Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi $n$ oggetti in $r$ scatole, tali che $k_{1}$ oggetti stiano nella prima scatola, $k_{2}$ nella seconda, e così via.
  
  Inoltre il coefficiente multinomiale dà il numero delle permutazioni di $n$ oggetti, di cui $k_{1}$ uguali tra loro, $k_{2}$ uguali tra loro e così via, potendo un qualsiasi $k_{i}$ essere uguale a $1$, e avendosi così $\sum _{i=1}^{r}k_{i}=n$.
  
  Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della variabile casuale multinomiale:
  
      $P(\mathbf {x} =\mathbf {k} )={n \choose \mathbf {k} }\cdot \prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}},$
  
  una variabile casuale discreta.
  
  Per $x_{i}$ = 1 si ha:
  
      $r^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n!\cdot \prod _{i=1}^{r}{\frac {1}{k_{i}!}}}$.
  
  ## Esempio
  
  Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco skat). Quanti sono questi modi?
  
      ${32 \choose 10,10,10,2}={\frac {32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!}}=2.753.294.408.504.640$
  