Isodynamischer Punkt
# Isodynamischer Punkt

Die beiden isodynamischen Punkte gehören zu den ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks.

Gegeben sei ein Dreieck ABC mit den Halbierenden seiner Innen- und Außenwinkel. $U_a$ sei der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von $\alpha$ mit der Geraden BC, $V_a$ der Schnittpunkt der entsprechenden Außenwinkelhalbierenden mit BC. Entsprechend seien die Punkte $U_b$ und $V_b$ (jeweils auf CA) sowie $U_c$ und $V_c$ (jeweils auf AB) definiert. Dann haben die drei Kreise mit den Durchmessern $|U_a$ $V_a|,$ $|U_b$ $V_b|$ und $|U_c$ $V_c|$ zwei Punkte S und S' gemeinsam. S wird als 1. isodynamischer Punkt bezeichnet (Kimberling-Nummer $X_{15}$), S' als 2. isodynamischer Punkt (Kimberling-Nummer $X_{16}$).

## Koordinaten

Isodynamische Punkte ($X_{15}$ und $X_{16}$) :

| Trilineare Koordinaten | $\sin \left(\alpha \pm {\frac {\pi }{3}}\right)\,:\,\sin \left(\beta \pm {\frac {\pi }{3}}\right)\,:\,\sin \left(\gamma \pm {\frac {\pi }{3}}\right)$ |
| - | - |
| Baryzentrische Koordinaten | $a\sin \left(\alpha \pm {\frac {\pi }{3}}\right)\,:\,b\sin \left(\beta \pm {\frac {\pi }{3}}\right)\,:\,c\sin \left(\gamma \pm {\frac {\pi }{3}}\right)$ |

## Eigenschaften

* Die beiden isodynamischen Punkte sind isogonal konjugiert zu den beiden Fermat-Punkten.
* Die Inversion (Kreisspiegelung) am Umkreis führt einen der beiden isodynamischen Punkte in den anderen über.
* Die Fußpunktdreiecke der beiden isodynamischen Punkte sind gleichseitig.
* Die isodynamischen Punkte liegen auf der Brocard-Achse.
* Bei den drei Kreisen handelt es sich um Kreise des Apollonios, deren Mittelpunkte kollinear sind.
