Peres-Horodecki-Kriterium
# Peres-Horodecki-Kriterium

Das Peres-Horodecki-Kriterium (oder PPT-Kriterium von englisch positive partial transpose criterion) für die Dichtematrix $\rho$ eines aus zwei quantenmechanischen Systemen $A$ und $B$ zusammengesetzten Systems ist eine notwendige Bedingung für die Separabilität der Dichtematrix.

Im Falle von 2x2 und 2x3 Dimensionen ist das Peres-Horodecki-Kriterium auch hinreichend, d h. alle Zustände, die das Kriterium erfüllen sind separabel. In höherdimensionalen Räumen ist das Kriterium nicht mehr hinreichend: es gibt auch verschränkte Zustände, die die PPT-Bedingung erfüllen („PPT-verschränkte Zustände“) und weitere Methoden müssen zur Hand genommen werden, um sie von separablen Zuständen zu unterscheiden.

## Definition

Gegeben sei ein allgemeiner, gemischter Zustand $\rho _{AB}$, welcher auf ${\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}$ wirkt. Dann gilt

    $\rho _{AB}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|$.

Die bezüglich $B$ partiell transponierte Matrix wird definiert als

    $\rho _{AB}^{T_{B}}:=I\otimes T(\rho _{AB})=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes (|k\rangle \langle l|)^{T}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |l\rangle \langle k|=\sum _{ijkl}p_{lk}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|$.

Partiell bedeutet in diesem Fall, dass nur ein Teil des Zustandes transponiert wird. Im Ausdruck $I\otimes T(\rho )$ wird ersichtlich, dass der Einheitsoperator $I$ auf $A$ wirkt und ihn somit unverändert lässt, und die Transposition $T$ auf $B$ wirkt.

Das Peres-Horodecki-Kriterium besagt, dass falls $\rho _{AB}$ separabel ist, dann $\rho _{AB}^{T_{B}}$ positiv semidefinit ist, d. h. nur nicht-negative Eigenwerte haben. Umgekehrt bedeutet das, dass falls $\rho _{AB}^{T_{B}}$ negative Eigenwerte besitzt, das System verschränkt ist. Im Allgemeinen kommt es nicht darauf an, ob wie im Beispiel System $B$ transponiert wird oder System $A$ mit $\rho _{AB}^{T_{A}}$, da $\rho _{AB}^{T_{A}}$ und $\rho _{AB}^{T_{B}}=(\rho _{AB}^{T_{A}})^{T}$ dieselben Eigenwerte haben.

## Beispiele

Die Qubit-Familie der Werner-Zustände werden betrachtet:

    $\rho _{AB}=p|\Psi ^{-}\rangle \langle \Psi ^{-}|+(1-p){\frac {I}{4}}$

Die Dichtematrix lautet

    $\rho ={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&0\\0&p+1&-2p&0\\0&-2p&p+1&0\\0&0&0&1-p\end{pmatrix}}$

und die partiell transponierte Matrix

    $\rho ^{T_{B}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&-2p\\0&p+1&0&0\\0&0&p+1&0\\-2p&0&0&1-p\end{pmatrix}}$.

Der niedrigste Eigenwert ist $(1-3p)/4$. Daraus folgt, dass der Zustand für $p>1/3$ verschränkt ist.

Beispiele für PPT-verschränkte Zustände auf $H=\mathbf {C} ^{4}\otimes \mathbf {C} ^{4}$ sind die Dichtematritzen

    ${\frac {1}{7b+1}}{\begin{pmatrix}b&0&0&0&0&b&0&0\\0&b&0&0&0&0&b&0\\0&0&b&0&0&0&0&b\\0&0&0&b&0&0&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1+b}{2}}&0&0&{\tfrac {\sqrt {1-b^{2}}}{2}}\\b&0&0&0&0&b&0&0\\0&b&0&0&0&0&b&0\\0&0&b&0&{\tfrac {\sqrt {1-b^{2}}}{2}}&0&0&{\tfrac {1+b}{2}}\\\end{pmatrix}}$.

für Werte von $0<b<1$. Die Matrix ist in der Standardbasis $|i\rangle \otimes |j\rangle ,i,j=1,\dots ,4$ angegeben.

