Zyklische Anordnung
# Zyklische Anordnung

Eine zyklische Anordnung ist eine Anordnung auf einem Kreis (bzw. Kreis (Graphentheorie)). Beispielsweise sind Uhrzeiten, Wochentage oder Monate zyklisch angeordnet.

## Mathematische Definition

Eine zyklische Anordnung auf einer Menge $X$ ist eine Relation $R\subset X^{3}$ auf Tripeln von Elementen aus $X$ mit folgenden Eigenschaften:

* Wenn $\left[a,b,c\right]$ zyklisch angeordnet ist, dann auch $\left[b,c,a\right]$.
* Wenn $\left[a,b,c\right]$ zyklisch angeordnet ist, dann ist $\left[b,a,c\right]$ nicht zyklisch angeordnet.
* Wenn $\left[a,b,c\right]$ und $\left[a,c,d\right]$ zyklisch angeordnet sind, dann ist auch $\left[a,b,d\right]$ zyklisch angeordnet.
* Wenn $a,b,c$ unterschiedliche Elemente sind, dann ist entweder $\left[a,b,c\right]$ oder $\left[c,b,a\right]$ zyklisch angeordnet.

## Zusammenhang mit linearen Ordnungen

Wenn $X$ linear angeordnet ist, dann hat man auch eine zyklische Anordnung durch

    $\left[a,b,c\right]\Longleftrightarrow a<b<c{\mbox{ oder }}b<c<a{\mbox{ oder }}c<a<b$.

Für eine zyklische Anordnung kann man zu jedem $x\in X$ eine lineare Anordnung auf $X\setminus \left\{x\right\}$ definieren durch

    $a<_{x}b\Longleftrightarrow \left[x,a,b\right]$.

Für zwei Elemente $x,y\in X$ stimmen die so definierten linearen Anordnungen auf $X\setminus \left\{x,y\right\}$ überein mit der Ausnahme von $a<_{x}y<_{x}b\Leftrightarrow b<_{y}x<_{y}a$.

