Toroidspule
# Toroidspule

Eine Toroidspule, auch Kreisringspule, Ringspule oder Ringkernspule genannt, ist in der Elektrotechnik eine speziell geformte Spule, die aus einem Kern in Form eines Kreisringes besteht (sogenannter Ringkern), um den herum der elektrische Leiter gewickelt wird. Die Besonderheit dieser Bauform liegt darin, dass sich der magnetische Fluss fast ausschließlich im kreisförmigen Kern ausbreitet und das meist störende Streufeld im Außenraum der Kreisringspule vergleichsweise schwach ist. Tokamaks für die Fusionsforschung und der ATLAS-Detektor am CERN sind prominente Beispiele für die großtechnische Anwendung von Toroidspulen.

## Ausführungsformen und Anwendungen

Kreisringspulen werden vor allem in passiven elektrischen Filtern zur Unterdrückung unerwünschter hochfrequenter Störungen eingesetzt. Die Ausführung kann dabei als klassische Spule mit nur einem Leiter erfolgen; aber auch zwei oder mehr Leiter auf dem Spulenkörper sind möglich. Um eine magnetische Sättigung des Kerns zu vermeiden, sind entweder entsprechende Werkstoffe als Kernmaterial notwendig oder es wird in den Kreisring künstlich ein Luftspalt eingebaut. Wird jedoch eine Drossel mit zwei oder mehr Wicklungen so betrieben, dass die Summe aller Ströme Null ist, heben sich die einzelnen Magnetfelder auf, Sättigung wird vermieden und man spricht von einer stromkompensierten Drossel. Während eine Ringkerndrossel ohne Luftspalt (Pulverkern-Drosseln zählen nicht dazu) schon bei kleinen Strömen in Sättigung geht, kann man mit einer stromkompensierten Drossel hohe Induktivitäten zur EMV-Filterung gegen Gleichtaktstörungen erreichen, ohne dass der Kern in Sättigung gerät. Im Nutzsignal bzw. Schaltungsstromkreis ist nur die Streuinduktivität der Drossel sichtbar, die aber nur einen Bruchteil der Nenninduktivität beträgt.

Toroidspulen mit zwei oder mehr Wicklungen werden als wesentliches Bauelement auch in Fehlerstromschutzschaltern zur Erkennung eines Fehlerstromes eingesetzt.

Ein weiterer Einsatzbereich ist die Verwendung als Transformator. Dabei wird die Spannung von einer Wicklung, der Primärseite, auf die zweite Wicklung, die Sekundärseite, übertragen. In dieser Anwendung darf der Kern keinen Luftspalt aufweisen. Siehe Ringkerntransformator.

## Berechnung der Induktivität

Die Induktivität L einer Toroidspule mit einer Wicklung mit N Windungen und einem rechteckigen Kern der Breite b, dem Innenradius r und dem Außenradius R lässt sich näherungsweise bei dünnem Draht mit der Formel

    $L=N^{2}\cdot {\frac {\mu _{0}\mu _{r}b}{2\pi }}\cdot \ln {\frac {R}{r}}$

berechnen. Dabei ist $μ_0$ die magnetische Feldkonstante und $μ_r$ die Permeabilitätszahl des Kernmaterials. Statt der Radien können auch die entsprechenden Durchmesser eingesetzt werden.

Wenn der relative Unterschied zwischen äußerem und innerem Radius des Ringes gering ist, der mittlere Radius mit $r_{\mathrm {m} }=(R+r)/2$ und die Querschnittsfläche des Ringes mit A bezeichnet wird, so kann man die Induktivität der Ringspule näherungsweise zu

    $L=N^{2}\cdot {\frac {\mu _{0}\mu _{r}A}{2\pi \,r_{\mathrm {m} }}}$

berechnen.

Wenn die Spule zusätzlich von einem Luftspalt der Länge $l$ unterbrochen wird, gilt

   $L=N^{2}\cdot {\frac {\mu _{0}\mu _{r}A}{2\pi r_{m}+l(\mu _{r}-1)}}$

## Magnetfelder der Toroidspule

### Magnetisches Feld im Inneren der Spule

Betrachtet man das Magnetfeld im Inneren einer Toroidspule mit geringem Durchmesser gegenüber ihrem Radius $r_{m}$, so lässt sich dieses mittels dem Ampèreschen Gesetz herleiten. Man betrachte eine Toroidspule mit Umfang $U$, Windungszahl $N$ und Stromstärke $I$:

    $\oint \limits _{U}{\vec {H}}\ {\text{d}}{\vec {s}}=I\ N$

Da das H-Feld stets parallel zum Integrationsweg verläuft (Kreisform durch das Innere der Spule), ist das Skalarprodukt hier gleich dem Produkt der Beträge.

    $\Rightarrow H\cdot U=H\cdot 2\pi r_{m}=I\ N$

Mit dem mittleren Radius $r_{m}$ der Spule. Auflösen nach $H$ ergibt:

    $\Rightarrow H={\frac {I\ N}{2\pi r_{m}}}$ bzw. $B=\mu _{0}\mu _{r}{\frac {I\ N}{2\pi r_{m}}}$ wenn man $B=\mu _{0}\mu _{r}H$ benutzt.

**Magnetisches Feld im Inneren mit Luftspalt**

Ist die Toroidspule durch einen Luftspalt der Länge $l$ unterbrochen, so wird aus obigem Zusammenhang ebenfalls mit dem Ampèreschen Gesetz der Folgende:

    $\Rightarrow H_{S}\cdot U'+H_{L}\cdot l=I\ N$

wobei $H_{S}$ das Feld in der Spule der Länge $U'=2\pi r_{m}-l$ und $H_{L}$ das Feld im Luftspalt beschreiben.

Ist nun $l\ll U'$ und vernachlässigt man die Streufelder an den Enden der Spule, so kann $B_{S}\approx B_{L}$ gesetzt werden, weil sich beim Übergang zwischen Materialien die Normalkomponente des B-Feldes nicht ändert. Damit ergibt sich:

    $H_{S}(2\pi r_{m}-l)+H_{L}\cdot l=B_{L}\left({\frac {2\pi r_{m}-l}{\mu _{0}\mu _{r}}}+{\frac {l}{\mu _{0}}}\right)=IN$

und somit für die magnetische Flussdichte $B_{L}$ im Luftspalt:

    $B_{L}={\frac {\mu _{0}IN}{{\frac {2\pi r_{m}-l}{\mu _{r}}}+l}}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}IN}{2\pi r_{m}+l(\mu _{r}-1)}}$

### Magnetisches Feld außerhalb der Spule

Außerhalb der Spule kann man die Toroidspule wegen ihrer Kreisform vereinfacht als Leiterschleife mit dem Radius $r_{m}$ betrachten.

Für eine Gerade die senkrecht zur Kreisfläche, die von der Toroidspule umlaufen wird, steht und durch deren Mittelpunkt läuft, gilt:

    $B(z)={\frac {\mu _{0}I}{2}}\,{\frac {r_{m}^{2}}{\left(r_{m}^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}}$

wobei $z$ der Abstand bzgl. der $Z$-Achse beschreibt, falls die Toroidspule im Ursprung in der $X$-$Y$-Ebene eines 3-dimensionalen kartesisches Koordinatensystems liegt.

Insbesondere gilt dann für den Mittelpunkt (also $z=0$):

    $B(0)={\frac {\mu _{0}I}{2r_{m}}}$
