Verlet-Algorithmus
# Verlet-Algorithmus

Der Verlet-Algorithmus ist eine Methode zur numerischen Lösung der Newton’schen Bewegungsgleichungen. Er entsteht aus dem Leapfrog-Verfahren durch Elimination der Geschwindigkeitsberechnungen. Der Verlet-Algorithmus wird oft bei Molekulardynamik-Simulationen in der theoretischen Chemie verwendet. Der Algorithmus ist nach Loup Verlet benannt.

## Herleitung

Es werden zwei Taylor-Entwicklungen dritter Ordnung der Position ${\vec {x}}(t)$ aufgestellt. Dabei wird eine davon vorwärts $(t+\Delta t)$ und eine rückwärts $(t-\Delta t)$ in der Zeit entwickelt. Hierbei ist ${\vec {v}}$ die Geschwindigkeit und ${\vec {a}}$ die Beschleunigung.

    ${\vec {x}}(t+\Delta t)={\vec {x}}(t)+{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {b}}\Delta t^{3}+O(\Delta t^{4})$
    ${\vec {x}}(t-\Delta t)={\vec {x}}(t)-{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}-{\frac {1}{6}}{\vec {b}}\Delta t^{3}+O(\Delta t^{4})$

Addition der beiden Gleichungen ergibt

    ${\vec {x}}(t+\Delta t)=2{\vec {x}}(t)-{\vec {x}}(t-\Delta t)+{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})$.

Dies ist die allgemeine Gleichung des Verlet-Algorithmus. Die Beschleunigung ${\vec {a}}(t)$ hängt dabei vom Potenzial $V$ und der Masse des Teilchens $m$ ab, sie kann mit

    ${\vec {a}}(t)=-{\frac {1}{m}}\nabla V(x(t))={\frac {\vec {F}}{m}}$

bestimmt werden.

## Anwendung

Ist die Position ${\vec {x}}_{0}$ bekannt, muss zuerst die Position ${\vec {x}}_{1}$ über

    ${\vec {x}}_{1}={\vec {x}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\Delta t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\Delta t^{2}$

bestimmt werden. Sind dann die Positionen ${\vec {x}}_{0}$ und ${\vec {x}}_{1}$ bekannt, können über Iteration des Verlet-Algorithmus alle folgenden ${\vec {x}}_{n}$ bestimmt werden.

    ${\vec {x}}_{n+1}=2{\vec {x}}_{n}-{\vec {x}}_{n-1}+{\vec {a}}_{n}\Delta t^{2}$

Der Verlet-Algorithmus liefert nur Positionen und keine Geschwindigkeiten. Diese müssen deshalb extra bestimmt werden, um daraus $E_{kin}$ und damit die Gesamtenergie zu berechnen. Dies ist notwendig, um die Energieerhaltung zu überprüfen.

