(121,40,13)-Blockplan
# (121,40,13)-Blockplan

Der (121,40,13)-Blockplan ist in der Mathematik ein spezieller symmetrischer Blockplan (eine bestimmte mathematische Struktur). Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 121×121-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 40 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 13 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 121, k = 40, λ = 13), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

## Eigenschaften

Dieser Blockplan hat die Parameter v = 121, k = 40, λ = 13 und damit folgende Eigenschaften:

* Er besteht aus 121 Blöcken und 121 Punkten.
* Jeder Block enthält genau 40 Punkte.
* Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 13 Punkten.
* Jeder Punkt liegt auf genau 40 Blöcken.
* Je 2 Punkte sind durch genau 13 Blöcke verbunden.

## Existenz und Charakterisierung

Es existieren mindestens $10^{29}$ nichtisomorphe 2-(121,40,13)-Blockpläne. Vier dieser Lösungen sind:

* Lösung 1 mit der Signatur 121·40/20. Sie enthält 7260 Ovale der Ordnung 2.
* Lösung 2 mit der Signatur 121·40/18720. Sie enthält 7260 Ovale der Ordnung 2.
* Lösung 3 mit der Signatur 121·40/40. Sie enthält 7260 Ovale der Ordnung 2.
* Lösung 4 mit der Signatur 121·20. Sie enthält 7260 Ovale der Ordnung 2.

## Liste der Blöcke

Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

* Lösung 1
* Lösung 2
* Lösung 3
* Lösung 4

## Zyklische Darstellung

Es existieren zyklische Darstellungen (Singer-Zyklus) dieses Blockplans, sie sind isomorph zur jeweiligen obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.

* Lösung 1
* Lösung 2
* Lösung 3
* Lösung 4

## Oval

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:

* Lösung 1
* Lösung 2
* Lösung 3
* Lösung 4
