Elliptische Koordinaten
# Elliptische Koordinaten

In einem elliptischen Koordinatensystem wird ein Punkt der Ebene durch Angabe der Lage auf konfokalen Ellipsen und Hyperbeln bestimmt. Allgemeiner existieren auch verschiedene Erweiterungen elliptischer Koordinaten zu 3-dimensionalen Koordinaten.

## Definition

Üblicherweise wählt man die zwei Brennpunkte an den Stellen $-c$ und $+c$ auf der $x$-Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Der Punkt mit den elliptischen Koordinaten $(u,v)$ hat dann die kartesischen Koordinaten

    $x=c\cdot \cosh u\cdot \cos v$
    $y=c\cdot \sinh u\cdot \sin v$

mit $u\in \left[0,\infty \right[$ und $v\in \left[0,2\pi \right[$. Fasst man die Ebene als komplexe Ebene auf, so gilt

    $x+iy=c\cdot \cosh(u+iv).$

## Transformationen

Zur Transformation von elliptischen in kartesische Koordinaten $(u,v)\rightarrow (x,y)$ werden die obigen Beziehungen verwendet.

Um die inverse Transformation $(x,y)\rightarrow (u,v)$ durchzuführen, muss man die prinzipielle Idee dieser Koordinaten zu Hilfe nehmen. Diese besagt, dass der Punkt $(x|y)$ sowohl auf einer Ellipse als auch auf einer konfokalen Hyperbel liegen muss. Diese besitzen Halbachsen wie im unteren Abschnitt angegeben. Mithilfe der Ellipsen- und Hyperbelgleichung in kartesischen Koordinaten in Hauptlage folgt daraus:

    ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1={\frac {x^{2}}{(c\cosh u)^{2}}}+{\frac {y^{2}}{(c\sinh u)^{2}}}$
    ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1={\frac {x^{2}}{(c\cos v)^{2}}}-{\frac {y^{2}}{(c\sin v)^{2}}}$

Diese Gleichungen werden durch die oben angegebenen kartesischen Darstellungen erfüllt.

Hieraus lassen sich unter Verwendung der elementaren Beziehungen der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen

    $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$
    $\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$

folgende Transformationsvorschriften ableiten:

    $c^{2}\sinh ^{2}u={\frac {x^{2}+y^{2}-c^{2}}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {x^{2}+y^{2}-c^{2}}{2}}\right)^{2}+c^{2}y^{2}}}=m+{\sqrt {m^{2}+c^{2}y^{2}}}$
    $c^{2}\sin ^{2}v=-{\frac {x^{2}+y^{2}-c^{2}}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {x^{2}+y^{2}-c^{2}}{2}}\right)^{2}+c^{2}y^{2}}}=-m+{\sqrt {m^{2}+c^{2}y^{2}}}$

mit der schreibvereinfachenden Substitution $m:={\tfrac {x^{2}+y^{2}-c^{2}}{2}}$.

Weitere Transformationen wie beispielsweise von ebenen Polarkoordinaten auf elliptische Koordinaten lassen sich durch einen Zwischenschritt über kartesische Koordinaten durchführen.

## Eigenschaften

Die $u$-Koordinatenlinien sind Hyperbeln, die $v$-Koordinatenlinien Ellipsen. Für $u=0$ ist die $v$-Koordinatenlinie zur Verbindungsstrecke der beiden Brennpunkte entartet. Für $v=0$ ist die $u$-Koordinatenlinie zur Halbgeraden $\left[c,\infty \right[$ auf der $x$-Achse entartet, für $v=\pi$ zur dazu spiegelsymmetrischen Halbgerade auf der negativen $x$-Achse. Für $v={\tfrac {\pi }{2}}$ und $v={\tfrac {3\pi }{2}}$ ist die $u$-Koordinatenlinie die positive bzw. die negative $y$-Achse.

Alle Ellipsen und Hyperbeln haben die gleiche lineare Exzentrizität $e=c$. Die Ellipsen, auf denen $u$ konstant ist, haben die große Halbachse $a=c\cosh u$, die kleine Halbachse $b=c\sinh u$ und numerische Exzentrizität $\varepsilon ={\tfrac {1}{\cosh u}}$. Die Hyperbeln, auf denen $v$ konstant ist, haben die reelle Halbachse $a=c\cos v$, die imaginäre Halbachse $b=c\sin v$ und numerische Exzentrizität $\varepsilon ={\tfrac {1}{\cos v}}$.

Die Darstellung in dieser Koordinatenform ist nur möglich, weil Kosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus und Sinus die Beziehungen zwischen großer und kleiner Halbachse ($a^{2}=e^{2}+b^{2}$) bei Ellipsen bzw. reeller und imaginärer Halbachse bei Hyperbeln ($a^{2}=e^{2}-b^{2}$) trivial erfüllen.

## Verallgemeinerung auf drei Dimensionen

Elliptische Koordinaten können auf verschiedene Arten auf den dreidimensionalen Raum erweitert werden.

* Bei zylindrischen elliptischen Koordinaten wird einfach die kartesische $z$-Koordinate als weitere Koordinate hinzugefügt.
* Zwei weitere räumliche Fortsetzungen entstehen durch Rotation der ebenen elliptischen Koordinaten um die große Achse der Ellipsen (prolate spheroidal coordinates) oder um deren kleine Achse (Oblate spheroidal coordinates).
* Die formale Fortsetzung des Konzepts der konfokalen Ellipsen und Hyperbeln führt auf die räumlichen elliptischen Koordinaten, die konfokale Quadriken (Ellipsoide, ein- und zweischalige Hyperboloide) verwenden.

## Anwendungen

Durch die Transformation auf elliptische Koordinaten kann die Schrödinger-Gleichung für das $H_2^+-Molekül$ in Born-Oppenheimer-Näherung komplett separiert, aber dennoch nicht analytisch gelöst werden, da die Separationskonstante und die Energie jeweils explizit in zwei der separierten Differentialgleichungen auftreten.

