Regression der partiellen kleinsten Quadrate
# Regression der partiellen kleinsten Quadrate

Regression der partiellen kleinsten Quadrate (Partielle Kleinste-Quadrate-Regression, PLS) ist ein Regressionsmodell, ähnlich zu Hauptkomponentenregression, bei dem die Eingabe iterativ in latente Räume projiziert wird, welche möglichst korreliert mit dem Ausgaberaum sind. Aus diesen Projektionen werden mehrere hierarchische lineare Regressionsmodelle aufgebaut.

## Kernidee des Algorithmus

Gegeben seinen $n$ Gepaarte Zufallsstichproben $({\vec {x}}_{i},{\vec {y}}_{i}),i\in {1,...,n}$. Die Regression der partiellen kleinsten Quadrate sucht im ersten Schritt $j=1$ die normierten Richtung ${\vec {v}}_{j}$, ${\vec {w}}_{j}$ so, dass die Korrelation maximiert wird $\max _{{\vec {v}}_{j},{\vec {w}}_{j}}E_{{\vec {X}},{\vec {Y}}}[\underbrace {({\vec {v}}_{j}\cdot {\vec {X}})} _{z_{j}}\underbrace {({\vec {w}}_{j}\cdot {\vec {Y}})} _{r_{j}}]=\max _{{\vec {v}}_{j},{\vec {w}}_{j}}{\vec {v}}_{j}E_{{\vec {X}},{\vec {Y}}}[{\vec {X}}{\vec {Y}}]\cdot {\vec {w}}_{j},$ mit Korrelationsmatrix im letzten Term und $|{\vec {v}}_{j}|=1$, $|{\vec {w}}_{j}|=1$

Da die gepaarten Stichproben $({\vec {x}}_{i},{\vec {y}}_{i})$ zufällig aus der gemeinsamen Verteilung $P({\vec {X}},{\vec {Y}})$ gezogen wurden (also $({\vec {X}}_{i},{\vec {Y}}_{i})\sim P({\vec {X}},{\vec {Y}})$ gilt), kann der Erwartungswert wie in Importance Sampling geschätzt werden:

    $\max _{{\vec {v}}_{j},{\vec {w}}_{j}}{\hat {E}}_{X,Y}[\underbrace {({\vec {v}}_{j}\cdot {\vec {X}})} _{z_{j}}\underbrace {({\vec {w}}_{j}\cdot {\vec {Y}})} _{r_{j}}]=\max _{{\vec {v}}_{j},{\vec {w}}_{j}}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}[\underbrace {({\vec {v}}_{j}\cdot {\vec {x_{i}}})} _{z_{i,j}}\underbrace {({\vec {w}}_{j}\cdot {\vec {y_{i}}})} _{r_{i,j}}]$
* ${\vec {v}}_{j}$ ist Input-Loading-Vektor im $j$-ten Schritt
* ${\vec {w}}_{j}$ ist der Output-Loading-Vektor im $j$-ten Schritt
* die Projektion $z_{i,j}$ ist der Input-Score der Stichprobe $i$
* die Projektion $r_{i,j}$ ist der Output-Score der Stichprobe $i$

Für den $j+1$-ten Schritt werden die Daten im Eingaberaum „deflated“ (jedoch nicht im Ausgaberaum) und dann erneut Richtungen ${\vec {v}}_{j+1}$, ${\vec {w}}_{j+1}$ gesucht: ${\vec {x}}_{i}^{(j+1)}={\vec {x}}_{i}^{(j)}-({\vec {v}}_{j}{\vec {x}}_{i}^{(j)}){\vec {v}}_{j}={\vec {x}}_{i}^{(j)}-z_{i,j}{\vec {v}}_{j}$

### Matrixnotation

Dieser Algorithmus kann in Matrix-Schreibweise notiert werden: Dazu sammeln wir die Beobachtungen ${\vec {x}}_{1}\dots {\vec {x}}_{n}$ in einer Matrix $X$ der Dimension $n\times f_{x}$ (mit $f_{x}$ der Zahl der Merkmale im Eingaberaum), sodass jede Zeile der Matrix eine Beobachtung ist (analog für die Beobachtungen ${\vec {y}}_{1}\dots {\vec {y}}_{n}$). Es gilt somit: $X_{\alpha ,\beta }=({\vec {x}}_{\alpha })_{\beta }.$ Für jede Beobachtung gilt nun, dass sie in der Basis der Loading-Vektoren dargestellt werden kann ${\vec {x}}_{\alpha }=\sum _{j}({\vec {x}}_{\alpha }{\vec {v}}_{j}){\vec {v}}_{j}+{\vec {\epsilon }}_{\alpha }=\sum _{j}z_{\alpha ,j}{\vec {v}}_{j}+{\vec {\epsilon }}_{\alpha }$, mit einem Restterm ${\vec {\epsilon }}_{\alpha }$. Für das Matrixelement gilt daher $X_{\alpha ,\beta }=\sum _{j}z_{\alpha ,j}({\vec {v}}_{j})_{\beta }+({\vec {\epsilon }}_{\alpha })_{\beta }=(ZV+\mathrm {E} )_{\alpha ,\beta }$, bzw für die Matrix:

    $X=ZV+\mathrm {E}$,
    analog für $Y=RW+\Gamma$.

Manchmal wird statt der Matrix V auch mit ihrer transponierten ${\tilde {V}}=V^{T}$ gearbeitet, dann gilt:

    $X=Z{\tilde {V}}^{T}+\mathrm {E}$ und
    $Y=R{\tilde {W}}^{T}+\Gamma$

## Ergebnis

Nach Auffinden der Loading-Vektoren findet häufig eine Interpretation der Loading-Vektoren sowie der Input-Scores statt.

Im Biplot werden die Input-Scores $(z_{i,j=1},z_{i_{j}=2})$ ausgewählter PLS-Schritte dargestellt, z. B. j=1 und j=2 („Component 1“ and „Component 2“ im Bild). Dadurch entsteht eine Punkt-Wolke der Projektionen der (in höheren Schritten durch Deflation modifizierten) Eingabedaten $x_{i}$ auf die Richtungen ${\vec {v}}_{j}$. Die Pfeile im Biplot werden durch die Projektionen der künstlichen Daten ${\vec {{\hat {x}}_{1}}}={\begin{pmatrix}1\\0\\\dots \\0\end{pmatrix}}$, ${\vec {{\hat {x}}_{2}}}={\begin{pmatrix}0\\1\\\dots \\0\end{pmatrix}}\dots$ und der jeweils korrespondierenden Input-Scores $({\hat {z}}_{1,j=1}=({\vec {v}}_{1})_{1},{\hat {z}}_{1,j=2}=({\vec {v}}_{2})_{1})$ erhalten. Da diese künstlichen Daten jeweils ein Merkmal one-hot encoden, kann ihnen eindeutig ein Merkmal zugewiesen werden, welches im Biplot oft direkt an den Pfeil geschrieben wird.

## Vorteile

Im Vergleich zur Hauptkomponentenanalyse werden nicht die Richtungen maximaler Varianz im Eingaberaum gefunden, sondern die Richtungen maximaler Korrelation von Ein- und Ausgabedaten. Man könnte sonst beispielsweise x-Variablen eine hohe Gewichtung geben, die eine hohe Varianz besitzen, jedoch gar nicht mit der Zielvariablen korrelieren.

