Leibniz-Reihe
# Leibniz-Reihe

Die Leibniz-Reihe ist eine Formel zur Annäherung an die Kreiszahl $\pi$, die Gottfried Wilhelm Leibniz in den Jahren 1673–1676 entwickelte und 1682 in der Zeitschrift Acta Eruditorum erstmals veröffentlichte. Sie lautet:

    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\dotsb ={\frac {\pi }{4}}$.

Diese Formel war dem indischen Mathematiker Madhava bereits im 14. Jahrhundert, weswegen sie mittlerweile auch Madhava-Leibniz-Reihe genannt wird, und dem schottischen Mathematiker Gregory vor 1671 bekannt; Leibniz entdeckte sie für die kontinentaleuropäische Mathematik neu. Die Reihe wird daher manchmal auch zusätzlich nach Gregory benannt.

Die Konvergenz dieser Reihe folgt unmittelbar aus dem Leibniz-Kriterium. Die Konvergenz ist logarithmisch.

## Herleitung

Die Leibniz-Reihe kann so hergeleitet werden:

    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{1}x^{2k}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{2k}{\biggr ]}\mathrm {d} x=$
    $=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{2}+1}}\,\mathrm {d} x={\biggl\arctan(x){\biggr ]}_{x=0}^{x=1}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}$

Auf der Geometrischen Reihe basiert die Umwandlung von der unendlichen Summe der Standard-Polynomfunktionen zur gezeigten gebrochen rationalen Funktion.

## Konvergenzgeschwindigkeit

Das Restglied der Summe nach $n$ Summanden beträgt

    $R_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}-{\frac {\pi }{4}}=-\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$.

Mit der Fehlerabschätzung des Leibniz-Kriteriums gilt

    $|R_{n}|\leq {\frac {1}{2n+1}}$.

Genauere Betrachtungen zeigen sogar, dass

    $|R_{n}|<{\frac {1}{4n}}$.

Mit $n$ Summanden kann man also $s$ Nachkommastellen mit einem Fehler < 0,5 in der $s$-ten Nachkommastelle erhalten:

    $s(n)=\lg(2n)$.

Die Anzahl benötigter Summanden $n$ für $s$ sinnvolle Nachkommastellen im Ergebnis beträgt entsprechend

    $n(s)={\frac {1}{2}}\cdot 10^{\textstyle s}$.

## Eine Liste von Partialsummen, die sich aus Leibniz’ Formel ergeben

Mit Hilfe der Leibniz-Reihe lässt sich eine Näherung der Kreiszahl $\pi$ berechnen, denn es ist

    $\pi =4\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=\lim \limits _{n\to \infty }\left(4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)$.

Die folgende Liste zeigt die Folgenglieder der Folge von Partialsummen der mit 4 multiplizierten Leibniz-Reihe.

Da die Folge nur sehr langsam konvergiert, ist sie zur effizienten Berechnung von $\pi$ nicht geeignet, auch nicht nach Umformungen.

Bemerkenswert ist die Tatsache, dass in der letzten Tabellenzeile die 9. Nachkommastelle noch nicht richtig ist, hingegen die nächsten 6 (...589793...) mit der Kreiszahl $\pi$ übereinstimmen.

    n (Anzahl der berechneten Brüche) $4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$ (Ergebnis) $4\cdot \sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$ (Ergebnis) Mittelwert 22,66666666666666653,46666666666666683,0666666666666664 42,89523809523809523,33968253968253943,1174603174603175 83,01707181707181693,25236593471887583,1347188758953464 163,07915339419742613,20036551540954723,1397594548034866 323,11035027369868593,17188873523714763,1411195044679165 643,12596860697328753,15697635891127203,1414724829422798 1003,13159290355855283,15149340107099053,1415431523147719 10003,14059265383979283,14259165433954293,1415921540896679 100003,14149265359004293,14169264359054303,1415926485902927 1000003,14158265358979353,14160265348979413,1415926535397936 10000003,14159165358979303,14159365358879323,1415926535892931 100000003,14159255358979283,14159275358978273,1415926535897878 1000000003,14159264358979323,14159266358979313,1415926535897931 10000000003,14159265258979303,14159265458979323,1415926535897931

## Konvergenz-Beschleunigung

Die Eulersche Reihentransformation erzeugt aus der Leibniz-Reihe die schneller konvergierende Reihe (Nicolas Fatio, 1705)

    ${\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 2}{1\cdot 3\cdot 5}}+...+{\frac {1\cdot 2...n}{1\cdot 3\cdot 5...(2n+1)}}+...\right).$

Verbesserte Verfahren mit anderen Reihen sind im Artikel Kreiszahl aufgeführt.

## Analoge Abwandlungen

Zur Leibniz-Reihe können einige analoge Abwandlungen erstellt werden.

Das bekannteste Analogon ist die unendliche alternierende Differenz aller natürlicher Zahlen, welche direkt zum Logarithmus Naturalis von Zwei führt:

    $1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\dotsb =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\approx 0{,}6931471805599453=\ln(2)$

Herleitung dieses Wertes:

    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{1}x^{k}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{k}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x+1}}\,\mathrm {d} x=\ln(2)$

Dies ist ein kubisches Analogon zur Leibniz-Reihe:

    $1-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{10}}+\dotsb =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{3k+1}}\approx 0{,}835648848264721={\frac {1}{9}}{\sqrt {3}}\pi +{\frac {1}{3}}\ln(2)$

Herleitung dieses Wertes:

    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{3k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{1}x^{3k}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{3k}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{3}+1}}\,\mathrm {d} x=$
    $=\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{x^{2}-x+1}}+{\frac {1}{3}}\,{\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{6}}\,{\frac {2x-1}{x^{2}-x+1}}\,\mathrm {d} x=$
    $={\biggl \{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\arctan {\bigl{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,(2x-1){\bigr ]}+{\frac {1}{6}}\ln {\biggl{\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}-x+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}=$
    $={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\arctan {\bigl{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}{\bigr )}-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\arctan {\bigl-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}{\bigr )}+{\frac {1}{6}}\ln(4)={\frac {1}{9}}{\sqrt {3}}\,\pi +{\frac {1}{3}}\ln(2)$

Und das ist ein quartisches Analogon zur Leibniz-Reihe:

    $1-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{13}}+\dotsb =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4k+1}}\approx 0{,}866972987339911={\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\,\pi +{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}\operatorname {arsinh} (1)$

Herleitung dieses Wertes:

    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{1}x^{4k}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{4k}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{4}+1}}\,\mathrm {d} x=$
    $=\int _{0}^{1}{\frac {1}{4}}\,{\frac {1}{x^{2}+{\sqrt {2}}\,x+1}}+{\frac {1}{4}}\,{\frac {1}{x^{2}-{\sqrt {2}}\,x+1}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\,{\frac {2x+{\sqrt {2}}}{x^{2}+{\sqrt {2}}\,x+1}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\,{\frac {2x-{\sqrt {2}}}{x^{2}-{\sqrt {2}}\,x+1}}\,\mathrm {d} x=$
    $={\biggl{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\arctan {\bigl{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1}}{\bigr )}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\ln {\bigl{\frac {x^{2}+{\sqrt {2}}\,x+1}{x^{2}-{\sqrt {2}}\,x+1}}{\bigr )}{\biggr ]}_{x=0}^{x=1}=$
    $={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\arctan(1)+{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\ln {\bigl{\frac {2+{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}{\bigr )}={\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\,\pi +{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}\operatorname {arsinh} (1)$
