Signatur (Modelltheorie)
# Signatur (Modelltheorie)

In der mathematischen Logik und insbesondere in der Modelltheorie besteht eine Signatur aus der Menge der Symbole, die in der betrachteten Sprache zu den üblichen, rein logischen Symbolen hinzukommt, und einer Abbildung, die jedem Symbol der Signatur eine Stelligkeit eindeutig zuordnet. Während die logischen Symbole wie $\forall ,\exists ,\land ,\lor ,\rightarrow ,\leftrightarrow ,\neg$ stets als „für alle“, „es gibt ein“, „und“, „oder“, „folgt“, „äquivalent zu“ bzw. „nicht“ interpretiert werden, können durch die semantische Interpretation der Symbole der Signatur verschiedene Strukturen (insbesondere Modelle von Aussagen der Logik) unterschieden werden. Die Signatur ist der spezifische Teil einer elementaren Sprache.

Beispielsweise lässt sich die gesamte Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre in der Sprache der Prädikatenlogik erster Stufe und dem einzigen Symbol $\in$ (neben den rein logischen Symbolen) formulieren; in diesem Fall ist die Symbolmenge der Signatur gleich $\{\in \}$.

## Motivation

Sollen Aussagen über ein bestimmtes Gebiet formalisiert werden, ist zunächst zu entscheiden, über welche Objekte und welche Beziehungen Aussagen getroffen werden sollen. Für jedes benennbare Objekt wird eine Konstante eingeführt und für jede Beziehung ein Relationssymbol. Beispielsweise, um über die Anordnung von natürlichen Zahlen zu sprechen, wird für jede Zahl eine Konstante eingeführt und Relationssymbole $<$ (kleiner als) und $>$ (größer als).

Meistens braucht man darüber hinaus noch Funktionen, mit denen man über den Konstanten rechnen kann, z. B. ein Symbol $(+)$ für die Addition der natürlichen Zahlen.

Somit gibt es drei Arten von Symbolen, die in Signaturen vorkommen können:

* Konstantensymbole: Sie stehen für genau einen Wert.
* Funktionssymbole: Sie stehen jeweils für eine eindeutige Zuordnung von Werten auf andere.
* Relationssymbole (Prädikate): Sie stehen jeweils für eine Beziehung, also für eine Zuordnung von Werten zueinander, die nicht eindeutig sein muss. Eine Beziehung wird oft ausgedrückt als die Teilmenge aller Tupel, für die das Prädikat gilt.

## Einordnung und Abgrenzung

Nicht zur Signatur gehören Variablensymbole, deren Wert in der Formel nicht interpretiert wird, und weitere Zeichen, die dem Aufbau einer Aussage bzw. Formel dienen. Alle diese Zeichen gemeinsam bilden die von der Signatur erzeugte „elementare Sprache“. Eine Sprache $L$ umfasst also mehr Zeichen als die zugehörige Signatur ${\boldsymbol {S}}(L).$

Die zur Bildung logischer Aussagen und Formeln erlaubten Zeichen kann man somit grob einteilen in

* Zeichen, die die Struktur (den Aufbau) der Aussage oder Formel definieren:
   * Junktorensymbole, zum Beispiel $\land ,\lor ,\rightarrow ,\leftrightarrow ,\neg$
   * Quantorensymbole, zum Beispiel $\forall ,\exists ,\exists ^{1}$
* Terminale Zeichen, die für Werte und deren Beziehungen stehen:
   * Variablen, zum Beispiel $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots$
   * Symbole der Signatur
      * Konstantensymbole, zum Beispiel $0,1,e$
      * Funktionssymbole, zum Beispiel $+,^{-1},f$
      * Relationssymbole (Prädikate), zum Beispiel $\sim ,<,\in$
* Technische Zeichen
   * Gliederungszeichen, wie die Klammern $(,)$
   * andere, wie ${\boldsymbol {,}}$ (Komma) $\dots$

Manche Autoren verzichten auf einen Teil der Junktoren und Quantoren, z. B. kann $\exists ^{1}$ mit Hilfe der anderen dieser Zeichen erklärt werden. Unter Ausnutzung der Dualität können $\land ,\forall$ (oder umgekehrt $\lor ,\exists$) entfallen.

Terme gehören nicht zur Signatur, diese werden aber aus den logischen Symbolen, den Variablen und den Funktionen- und Konstantensymbolen der Signatur und aus Variablen nach festen Bildungsregeln aufgebaut.

Werden Terme als Argumente in die Relationssymbole eingesetzt, entstehen atomare Aussagen der Prädikatenlogik. Auch Vergleiche von Termen $t_{1}=t_{2}$ gelten in der Prädikatenlogik als atomare Aussagen. Aus ihnen können durch Verknüpfungen (Junktoren und Quantoren) zusammengesetzte Aussagen gebildet werden, siehe Prädikatenlogik erster Stufe §Ausdrücke.

## Definition

Es seien ${\mathcal {C}},{\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {R}}$ paarweise disjunkte Mengen von nichtlogischen Zeichen. Man nennt dann jedes Zeichen in ${\mathcal {S}}:={\mathcal {C}}\cup {\mathcal {F}}\cup {\mathcal {R}}$ ein Symbol und ${\mathcal {S}}$ eine Symbolmenge, wenn durch eine Abbildung $\sigma \colon {\mathcal {S}}\to \mathbb {N} _{0}$ jedem Zeichen in ${\mathcal {S}}$ wie folgt eine Stelligkeit genannte Zahl eindeutig zugeordnet wird:

* $\sigma (c)=0$ für alle $c\in {\mathcal {C}},$
* $\sigma (f)\in \mathbb {N}$ für alle $f\in {\mathcal {F}}$ und
* $\sigma (R)\in \mathbb {N}$ für alle $R\in {\mathcal {R}}.$

${\boldsymbol {S}}:=({\mathcal {S}},\sigma )$ heißt dann eine Signatur und jedes $c\in {\mathcal {C}}$ wird als ein Konstantensymbol, jedes $f\in {\mathcal {F}}$ als ein Funktionssymbol und jedes $R\in {\mathcal {R}}$ als ein Relationssymbol bezeichnet.

Eine Signatur ${\boldsymbol {S}}=({\mathcal {S}},\sigma )$ heißt endlich, falls ${\mathcal {S}}$ eine endliche Menge ist. Wenn eine Signatur keine Relationssymbole hat, wird sie eine algebraische Signatur genannt, wenn sie dagegen keine Konstanten- und keine Funktionssymbole besitzt, eine relationale Signatur.

