Vollständige Induktion
# Vollständige Induktion

Die vollständige Induktion ist eine mathematische Beweismethode, nach der eine Aussage für alle natürlichen Zahlen bewiesen wird, die größer oder gleich einem bestimmten Startwert sind. Da es sich um unendlich viele Zahlen handelt, kann eine Herleitung nicht für jede Zahl einzeln erbracht werden. Sie ist ein deduktives Verfahren.

Der Beweis, dass die Aussage $\operatorname {A} (n)$ für alle $n\geq n_{0}$ ($n_{0}$ meist 1 oder 0) gilt, wird dabei in zwei Etappen durchgeführt:

* Im Induktionsanfang wird die Gültigkeit der Aussage $\operatorname {A} (n_{0})$ für eine kleinste Zahl $n_{0}$ gezeigt.
* Im Induktionsschritt wird für ein beliebiges $n\geq n_{0}$ die Gültigkeit der Aussage $\operatorname {A} (n+1)$ aus der Gültigkeit von $\operatorname {A} (n)$ geschlussfolgert.

Oder weniger formal formuliert:

* Induktionsanfang: Es wird bewiesen, dass die Aussage für die kleinste Zahl, den Startwert, gilt.
* Induktionsschritt: Folgendes wird bewiesen: Gilt die Aussage für eine beliebige Zahl, so gilt sie auch für deren Nachfolger.

Ausgehend vom Beweis für den Startwert erledigt der Induktionsschritt den Beweis für alle natürlichen Zahlen oberhalb des Startwertes.

Dieses Beweisverfahren ist von grundlegender Bedeutung für die Arithmetik und Mengenlehre und damit für alle Gebiete der Mathematik.

## Aussageformen

Die vollständige Induktion befasst sich mit der Gültigkeit von Aussageformen $\operatorname {A} (n)$.

Beispiel (Siehe Gaußsche Summenformel):

    $\operatorname {A} (n):1+2+3+\dots +n={\tfrac {n\cdot (n+1)}{2}}$ für $n\geq 1$

Wenn man Werte für $n\in \mathbb {N}$ einsetzt, erhält man Aussagen, die wahr oder falsch sind.

    $\operatorname {A} (1):1={\tfrac {1\cdot (1+1)}{2}}$
    $\operatorname {A} (2):1+2={\tfrac {2\cdot (2+1)}{2}}$
    $\operatorname {A} (3):1+2+3={\tfrac {3\cdot (3+1)}{2}}$
    $\vdots$

Die Aussagen im obigen Beispiel sind offensichtlich alle wahr. Da man das nicht für alle (unendlich viele) Zahlen nachrechnen kann, bedarf es eines besonderen Beweisverfahrens. Dieses liefert die vollständige Induktion.

Die Aussageform $\operatorname {A} (n)$ ist allgemeingültig, wenn sie für alle $n\in \mathbb {N}$ wahr ist.

Um die Allgemeingültigkeit der Aussageform $\operatorname {A} (n)$ zu beweisen, zeigt man Folgendes:

* $\operatorname {A} (1)$ (Induktionsanfang) und
* aus der Aussage (der Induktionsannahme) $\operatorname {A} (n)$ folgt stets die Aussage $\operatorname {A} (n+1)$, und zwar für alle $n\in \mathbb {N}$. (Das ist der Induktionsschritt.)

## Veranschaulichung

Die Methode der vollständigen Induktion ist mit dem Dominoeffekt vergleichbar: Wenn der erste Dominostein fällt und durch jeden fallenden Dominostein der nächste umgestoßen wird, wird schließlich jeder Dominostein der unendlich lang gedachten Kette irgendwann umfallen.

Die Allgemeingültigkeit einer Aussageform $\operatorname {A} (n)$ ist für $n=1,2,3,\ldots$ bewiesen, wenn $\operatorname {A} (1)$ gültig ist (der erste Stein fällt um) und wenn zusätzlich gilt $\operatorname {A} (n)\Rightarrow \operatorname {A} (n+1)$ für $n=1,2,3,\ldots$ (jeder Stein reißt beim Umfallen den nächsten Stein mit).

## Etymologie und Geschichte

Die Bezeichnung Induktion leitet sich ab von lat. inductio, wörtlich „Hineinführung“. Der Zusatz vollständig signalisiert, dass es sich hier im Gegensatz zur philosophischen Induktion, die aus Spezialfällen ein allgemeines Gesetz erschließt und kein exaktes Schlussverfahren ist, um ein anerkanntes deduktives Beweisverfahren handelt.

Das Induktionsprinzip steckt latent bereits in der von Euklid überlieferten pythagoreischen Zahlendefinition: „Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge.“ Euklid führte aber noch keine Induktionsbeweise, sondern begnügte sich mit intuitiven, exemplarischen Induktionen, die sich aber vervollständigen lassen. Auch andere bedeutende Mathematiker der Antike und des Mittelalters hatten noch kein Bedürfnis nach präzisen Induktionsbeweisen. Vereinzelte Ausnahmen im hebräischen und arabischen Sprachraum blieben ohne Nachfolge.

Lange galt ein Beweis von Franciscus Maurolicus von 1575 als älteste explizite vollständige Induktion (unten ausgeführt). Er erörterte aber das allgemeine Beweisverfahren noch nicht. Erst Blaise Pascal thematisierte das Induktionsprinzip mit Induktionsanfang und Induktionsschritt in seinem Traité du triangle arithmétique von 1654. Zur Verbreitung von Induktionsbeweisen trug ab 1686 Jakob I Bernoulli wesentlich bei.

Das Beweisverfahren wurde dann 1838 von Augustus De Morgan erstmals als Induktion oder sukzessive Induktion bezeichnet. 1888 prägte schließlich Richard Dedekind in seiner Schrift Was sind und was sollen die Zahlen? den Begriff vollständige Induktion. Über dieses Werk aus der Gründerzeit der Mengenlehre wurde sie zum allgemein bekannten, etablierten Beweisprinzip, auf das seither kein Zweig der Mathematik mehr verzichten kann. Ein Jahr später, 1889, formulierte Giuseppe Peano mit den Peanoschen Axiomen den ersten formalisierten Kalkül für die natürlichen Zahlen mit einem Induktionsaxiom, aus dem das Beweisschema der vollständigen Induktion herleitbar ist. Er zeigte mit formaler Strenge, dass aus seinen Zahlaxiomen, zu denen das Induktionsaxiom gehört, die ganze Arithmetik bis hin zu den reellen Zahlen ableitbar ist. Dadurch machte er die fundamentale Bedeutung und die Leistungskraft der Induktion voll bewusst.

## Definition

Seit Richard Dedekind ist die vollständige Induktion folgendermaßen festgelegt:

    Um zu beweisen, dass eine Aussage für alle natürlichen Zahlen $n\geq n_{0}$ gilt, genügt es zu zeigen,
* dass sie für $n=n_{0}$ gilt und
* dass aus der Gültigkeit der Aussage für eine Zahl $n\geq n_{0}$ stets auch ihre Gültigkeit für den Nachfolger $n+1$ folgt.

Als formale Schlussregel mit Ableitungsoperator $\vdash$ lautet die vollständige Induktion für eine Aussage $\operatorname {A} (n)$ und eine natürliche Zahl $n_{0}$:

    $\operatorname {A} (n_{0})$ und $\forall n\in \mathbb {N} \colon (n\geq n_{0}\land \operatorname {A} (n)\Rightarrow \operatorname {A} (n+1))\ \vdash \ \forall n\in \mathbb {N} \colon (n\geq n_{0}\Rightarrow \operatorname {A} (n))$

Diese Schlussregel ist eine kompakte Formulierung des Beweisschemas der vollständigen Induktion, das didaktisch etwas ausführlicher formuliert werden kann:

    Soll die Formel $\operatorname {A} (n)$ für alle natürlichen Zahlen $n\geq n_{0}$ bewiesen werden, dann genügen dazu zwei Beweisschritte:
   * der Induktionsanfang: der Beweis von $\operatorname {A} (n_{0})$,

   * der Induktionsschritt (auch »Schluss von $n$ auf $n+1$« genannt): der Beweis der Induktionsbehauptung $\operatorname {A} (n+1)$ aus $n\geq n_{0}$ und der Induktionsvoraussetzung (auch Induktionsannahme, engl. induction hypothesis) $\operatorname {A} (n)$.

    Nach obiger Schlussregel folgt dann die Verallgemeinerung der Formel $\operatorname {A} (n)$ auf alle natürlichen Zahlen $n\geq n_{0}$ (der abschließende Induktionsschluss).

Die für natürliche Zahlen $k\in K$ aus einer Menge $K\subseteq \mathbb {N}$ zu beweisende Aussage $\operatorname {A} (k)$ tritt hierbei in mindestens 3 Rollen auf:

    (1)als Induktionsbehauptungfür ein (einzelnes) beliebiges $n\in K$ (2)als Induktionsvoraussetzungfür endlich viele kleinere natürliche Zahlen $k\in K$ (3)als zu beweisende allgemeine Aussagefür alle (und damit für unendlich viele) $n\in K$

Meist ist $n_{0}=0$ oder $n_{0}=1$. $n_{0}>1$ ist jedoch möglich.

Denn da die Aussage $\operatorname {A} (n)$ für $n\geq n_{0}$ gleichwertig ist zur Aussage $B(n):=A(n+n_{0})$ für $n\geq 0$, lässt sich Dedekinds Induktion auf die vollständige Induktion von 0 aus zurückführen:

    ${\begin{array}{llll}\operatorname {B} (0){,}&&&\forall n\in \mathbb {N} \colon (\operatorname {B} (n)&\Rightarrow \operatorname {B} (n+1))\ &&&\vdash \ \forall n\in \mathbb {N} \colon &\operatorname {B} (n)\\\Uparrow &&&&\Uparrow &&&&\Downarrow \\\operatorname {A} (0+n_{0}){,}&&&\forall n\in \mathbb {N} \colon (\operatorname {A} (n+n_{0})&\Rightarrow \operatorname {A} (n+1+n_{0}))\ &&&&\operatorname {A} (n+n_{0})\end{array}}$

## Die Axiomatik der natürlichen Zahlen durch Peano

Peano bewies 1889 mit vollständiger Induktion die grundlegenden Rechenregeln für die Addition und Multiplikation: das Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und Distributivgesetz.

## Das Axiom der vollständigen Induktion

Die vollständige Induktion ist ein Axiom der natürlichen Zahlen. Meist wird sie jedoch aus dem gleichwertigen fünften Peano-Axiom, dem Induktionsaxiom, hergeleitet. Dieses lautet:

Ist $\,K$ eine Teilmenge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ mit den Eigenschaften:

* $\,1$ ist ein Element von $\,K$
* Mit $\,n$ aus $\,K$ ist stets auch $\,n+1$ aus $\,K$,

dann ist $\,K=\mathbb {N}$.

Auch in anderen Konzepten der natürlichen Zahlen sind die Peano-Axiome und damit auch das Beweisverfahren der vollständigen Induktion herleitbar, zum Beispiel bei der Definition der natürlichen Zahlen

* als von 1 erzeugte geordnete Halbgruppe, die der zitierten pythagoreischen Zahlendefinition entspricht
* als frei von 1 erzeugtes Monoid, das von der Addition der Zahlen ausgeht
* als Algebra mit Nachfolger-Abbildung, die Dedekinds Zahlendefinition entspricht
* als kleinste induktive Menge, nämlich als kleinste Menge, die das Unendlichkeitsaxiom erfüllt, wie es in der Mengenlehre üblich ist
* als Klasse der endlichen Ordinalzahlen, die nur eine allgemeine Mengenlehre ohne Unendlichkeitsaxiom voraussetzt

## Beispiele

### Gaußsche Summenformel

Die Gaußsche Summenformel lautet:

Für alle natürlichen Zahlen $n\geq 1$ gilt die Aussage :

| $\operatorname {A} (n):\Longleftrightarrow$ | $1+2+\cdots +n$ | $={\frac {n(n+1)}{2}}$. |
| - | - | - |

Sie kann durch vollständige Induktion bewiesen werden.

Der Induktionsanfang ergibt sich unmittelbar:

| $\operatorname {A} (1)\Longleftrightarrow$ | $1$ | $={\frac {1(1+1)}{2}}$. |
| - | - | - |

Im Induktionsschritt ist zu zeigen, dass für $n\geq 1$ aus der Induktionsvoraussetzung

| $\operatorname {A} (n)\Longleftrightarrow$ | $1+2+\cdots +n$ | $={\frac {n(n+1)}{2}}$ |
| - | - | - |

die Induktionsbehauptung

| $\operatorname {A} (n\!+\!1)\Longleftrightarrow$ | $1+2+\cdots +(n\!+\!1)$ | $={\frac {(n\!+\!1){\bigl(n\!+\!1)+1{\bigr )}}{2}}$ |
| - | - | - |
| | | $={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$ |

(mit $(n\!+\!1)$ an der Stelle des $n$ der Induktionsvoraussetzung) folgt.

Dies gelingt folgendermaßen:

    ${\color {red}1+2+\cdots +n}+(n+1)$${\color {red}={\frac {n(n+1)}{2}}}+(n+1)$(rot markiert die Induktionsvoraussetzung) $={\frac {n(n+1)+2(n+1)}{2}}$ (Nach Ausklammern von $(n+1)$ ergibt sich …) $=1+2+\cdots +(n\!+\!1)$$={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$(… die Induktionsbehauptung $\operatorname {A} (n\!+\!1)$ wie oben angegeben.)

Abschließend der Induktionsschluss: Damit ist die Aussage $\operatorname {A} (n)$ für alle $n\geq 1$ bewiesen.

### Summe ungerader Zahlen (Maurolicus 1575)

Die schrittweise Berechnung der Summe der ersten $n$ ungeraden Zahlen legt die Vermutung nahe: Die Summe aller ungeraden Zahlen von $1$ bis $2n-1$ ist gleich dem Quadrat von $n$:

    $1=1$
    $1+3=4$
    $1+3+5=9$
    $1+3+5+7=16$

Der zu beweisende allgemeine Satz lautet: $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}$. Ihn bewies Maurolicus 1575 mit vollständiger Induktion. Ein Beweis mit heute geläufigen Rechenregeln liest sich folgendermaßen:

Der Induktionsanfang $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{1}(2i-1)=1^{2}$ mit $n=1$ ist wegen $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{1}(2i-1)=2\cdot 1-1=1=1^{2}$ leicht nachgeprüft.

Als Induktionsschritt ist zu zeigen: Wenn $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}$, dann $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n+1}(2i-1)=(n+1)^{2}$. Er ergibt sich über folgende Gleichungskette, bei der in der zweiten Umformung die Induktionsvoraussetzung angewandt wird:

    ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n+1}(2i-1)\;&=\;\;{\color {red}\sum _{i=1}^{n}(2i-1)}+(2(n+1)-1)\\&\ {\color {red}=\;\;\ n^{2}}+2(n+1)-1=n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}\end{aligned}}$
    (Die Induktionsvoraussetzung ist rot markiert.)

### Bernoullische Ungleichung

Die Bernoullische Ungleichung lautet für reelle Zahlen $\,x$ mit $x\geq -1$ und natürliche Zahlen $n\geq 0$

    $(1+x)^{n}\geq 1+nx$.

Der Induktionsanfang mit $n=0$ gilt hier wegen $(1+x)^{0}=1\geq 1$ (wobei die Definitionslücke an der Stelle $x=-1$ durch $\lim _{x\searrow -1}(1+x)^{0}=1$ stetig ergänzt ist).

Den Induktionsschritt gewinnt man über folgende Ableitung, die im zweiten Schritt die Induktionsvoraussetzung verwendet, wobei obige Bedingung für $\,x$ dafür sorgt, dass der Term nicht negativ wird:

    ${\begin{aligned}(1+x)^{n+1}&={\color {red}(1+x)^{n}}\cdot (1+x)\,\,{\color {red}\geq \;(1+nx)}\cdot (1+x)\\&=1+x+nx+nx^{2}\;\geq \;1+x+nx\\&=1+(n+1)x.\end{aligned}}$
    (Die Induktionsvoraussetzung ist rot markiert.)

Das zweimalige Vorkommen des $\geq$-Zeichens (in gleicher Richtung) lässt sich vereinfachen zu:

    $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x.$

### Pferde-Paradox

Das Pferde-Paradox ist ein Standardbeispiel für eine fehlerhafte Anwendung der vollständigen Induktion und illustriert die Bedeutung des Zusammenspiels von Induktionsverankerung und Induktionsschritt. Bei ihm wird die unsinnige Aussage, dass in einer Herde von $n$ Pferden alle immer die gleiche Farbe besitzen, anhand einer scheinbar korrekten Induktion bewiesen. Dabei ist der Induktionsschritt selbst korrekt, würde aber die Induktionsverankerung bei einem $n\geq 2$ benötigen, während der (fehlerhafte) Beweis die Induktion bei $n=1$ verankert und somit schon der Schritt von $n=1$ auf $n=2$ scheitert.

## Induktionsvarianten

### Induktion mit beliebigem Anfang

Induktionsbeweis der Ungleichung $2^{n}\geq n^{2}$ für natürliche Zahlen $n\geq 4$:

    Der Induktionsanfang für $\,n=4$ ergibt sich mit $2^{4}=16\geq 16=4^{2}$.
    Der Induktionsschritt gilt aufgrund folgender Ableitung, die im zweiten Schritt die Induktionsvoraussetzung und im vierten und sechsten Schritt die Voraussetzung $n\geq 4$ anwendet:
       ${\begin{array}{lll}2^{n+1}&=2\cdot 2^{n}\geq 2\cdot n^{2}&=n^{2}+n\cdot n\geq n^{2}+4n\\&=n^{2}+2n+2n&\geq n^{2}+2n+2\cdot 4\\&\geq n^{2}+2n+1&=(n+1)^{2}.\end{array}}$

Die endlich vielen Fälle, die solch ein allgemeinerer Induktionsbeweis nicht abdeckt, können einzeln untersucht werden. Im Beispiel ist die Ungleichung für $n=3$ offenbar falsch.

### Starke Induktion

**Induktion mit mehreren Vorgängern**

In manchen Induktionsbeweisen kommt man in der Induktionsvoraussetzung mit dem Bezug auf einen einzigen Vorgänger nicht aus, bspw. wenn eine Rekursionsformel mehrere Vorgänger enthält. Der Induktionsanfang ist dann für mehrere Startwerte durchzuführen. Ist zur Ableitung einer Formel etwa die Induktionsvoraussetzung für $n$ und $n-1$ nötig, dann ist ein Induktionsanfang für zwei aufeinander folgende Zahlen, also etwa 0 und 1, erforderlich. Als Induktionsvoraussetzung kann auch die Aussage für alle Zahlen zwischen dem Startwert und $n$ dienen. Ein Beispiel ist der Beweis, dass jede natürliche Zahl $n\geq 2$ einen Primzahl-Teiler hat:

    Induktionsanfang: 2 ist durch die Primzahl 2 teilbar.
    Induktionsschritt: Die Aussage sei für alle $m$ mit $2\leq m\leq n$ erfüllt. Ist nun $n+1$ eine Primzahl, so ist $n+1$ selbst der gesuchte Teiler, und die Behauptung ist bewiesen. Ist $\,n+1$ keine Primzahl, so gibt es zwei Zahlen $a,b\in \mathbb {N}$ mit $a\cdot b=n+1$ und $1<a<n+1$. In diesem Fall besitzt $a$ gemäß Induktionsannahme (= Induktionsvoraussetzung) einen Primzahl-Teiler, etwa $p$. Dann teilt $p$ auch $n+1$ und ist Primzahl-Teiler von $n+1$. Damit ist auch für diesen zweiten Fall die Behauptung bewiesen.

**Formale Definition**

Die Aussage $\operatorname {A} (n)$ ist für alle $n\geq n_{0}$ gültig, wenn Folgendes für jedes beliebige $n\geq n_{0}$ gezeigt wird:

    (Induktionsschritt:)$\bigwedge _{m=n_{0}}^{n-1}\operatorname {A} (m)\implies \operatorname {A} (n)$ .

Das Beweisschema der starken Induktion besteht demgemäß nur aus dem Induktionsschritt.

Der Induktionsschritt ist also der Nachweis, dass :

| | für jedes $n\geq n_{0}$ |
| - | - |
| | die Induktionsvoraussetzung | $\textstyle \bigwedge _{m=n_{0}}^{n-1}\operatorname {A} (m)$ |
| | die Induktionsbehauptung | $\operatorname {A} (n)$ nach sich zieht. |
| Dann folgt die Verallgemeinerung ||
| | (der Induktionsschluss): | Die Aussage $\operatorname {A} (n)$ gilt für alle $n\geq n_{0}$. |

Induktionsanfänge, wie sie in der gewöhnlichen Induktion vorkommen, also bspw. der Nachweis der Aussage $\operatorname {A} (n_{0})$, sind im Induktionsschritt enthalten. Es kann überdies vorkommen, dass mehr als eine Anfangsaussage vorab zu zeigen ist (siehe Fibonacci-Folge).

Offensichtlich folgt die (in der Einleitung formulierte) gewöhnliche vollständige Induktion aus der starken Induktion. Man kann aber auch die starke Induktion mit Hilfe der gewöhnlichen vollständigen Induktion beweisen.

Beweis :

Zu zeigen ist:

Wenn für alle $n\geq n_{0}$

aus $\bigwedge _{m=n_{0}}^{n-1}\operatorname {A} (m)$$\left.{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right\rbrace$(Induktionsvoraussetzung gewöhnlich ⇒ stark)

$\operatorname {A} (n)$ folgt,

dann gilt

$\operatorname {A} (n)$ für alle $n\geq n_{0}$.(Induktionsschluss gewöhnlich ⇒ stark)

Wir definieren die folgende Aussage $\operatorname {B}$ für natürliche Zahlen $n\in \mathbb {N} ,n\geq n_{0}$

$\operatorname {B} (n):\Longleftrightarrow \bigwedge _{m=n_{0}}^{n-1}\operatorname {A} (m)$

und zeigen ihre Gültigkeit mittels gewöhnlicher vollständiger Induktion.

Induktionsanfang: Da $\operatorname {B} (n_{0})\Longleftrightarrow \textstyle \bigwedge _{m=n_{0}}^{n_{0}-1}\operatorname {A} (m)\Longleftrightarrow \bigwedge _{m\in \emptyset }\operatorname {A} (m)$, die leere Und-Verknüpfung ist, gilt $\operatorname {B} (n_{0})$ gemäß Anmerkung sofort.

(Gewöhnlicher) Induktionsschritt von $n$ nach $n+1$:

Sei $n\geq n_{0}$ beliebig und es gelte $\operatorname {B} (n)$, d. h. es gelte

$\bigwedge _{m=n_{0}}^{n-1}\operatorname {A} (m)$.

Wegen der (Induktionsvoraussetzung gewöhnlich ⇒ stark) folgt daraus

$\operatorname {A} (n)$.

Zusammengenommen mit $\textstyle \bigwedge _{m=n_{0}}^{n-1}\operatorname {A} (m)$ ergibt dies

$\bigwedge _{m=n_{0}}^{n}\operatorname {A} (m)$.

Damit haben wir $\operatorname {B} (n+1)$ gezeigt, welches $\Longleftrightarrow \textstyle \bigwedge _{m=n_{0}}^{n}\operatorname {A} (m)$ ist, und der gewöhnliche Induktionsschritt ist fertig. Wir schließen (gewöhnlicher Induktionsschluss):

Für alle $n\in \mathbb {N} ,n\geq n_{0}$ gilt $\operatorname {B} (n)$.

Wegen $\operatorname {B} (n)\Longleftrightarrow \textstyle \bigwedge _{m=n_{0}}^{n-1}\operatorname {A} (m)$ ergibt sich a fortiori der starke Induktionsschluss:

Für alle $n\in \mathbb {N} ,n\geq n_{0}$ gilt $\operatorname {A} (n)$.  ■ :

Trotz dieser prinzipiellen Gleichwertigkeit in der Beweisstärke ist der Unterschied in der Ausdrucksstärke wegen der beliebig vielen Startwerte und der Möglichkeit des Rückgriffs auf beliebig viele Vorgänger groß, besonders bei rekursiven Definitionen. Das bedeutet aber keineswegs, dass letztere Definitionen nicht in gewöhnliche Rekursionen überführt werden können.

**Formale Definition**

**Beispiel**

* Die Folge $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ sei definiert durch die Rekursionsformel   $a_{n}:=\sum _{m=1}^{n-1}ma_{m}$. Dann gilt:   $\forall n\in \mathbb {N} \colon a_{n}=0$. Der Beweis mittels starker Induktion ist trivial. Die Rekursion lässt sich jedoch auch unschwer in eine auf einen einzigen Vorgänger umformen:   $a_{n}=\sum _{m=1}^{n-2}ma_{m}+(n-1)\,a_{n-1}={\bigl1+(n-1){\bigr )}\,a_{n-1}$   $(n\geq 2)$.

### Induktion mit Vorwärts-Rückwärts-Schritten

Augustin-Louis Cauchy führte 1821 eine Induktionsvariante vor, bei der der vorwärts gerichtete Induktionsschritt Sprünge macht (nämlich von $2^{k}$ nach $2^{k+1}$) und die entstandenen Lücken nachträglich durch eine rückwärts gerichtete Herleitung von $2^{k}$ nach $n<2^{k}$ auf einen Schlag gefüllt werden.

Beispiel: Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

### Weitere Induktionsvarianten

Es gibt auch Sachlagen, bei denen Aussagen über alle ganzen Zahlen (positive und negative) mit vollständiger Induktion bewiesen werden können. Der Beweis in die positive Richtung geschieht wie gewohnt mit einem beliebigen Induktionsanfang und dem positiven Induktionsschritt von $n$ nach $n+1$. Danach kann es möglich sein, den Induktionsschritt in die negative Richtung von $n$ nach $n-1$ auszuführen. Beispielsweise lässt sich bei der Fibonacci-Folge die Rekursionsgleichung in die Gegenrichtung umstülpen.

Die vollständige Induktion ist von natürlichen Zahlen verallgemeinerbar auf Ordinalzahlen. Bei Ordinalzahlen, die größer als die natürlichen Zahlen sind, spricht man dann von transfiniter Induktion.

Die Induktion ist auch übertragbar auf sogenannte fundierte Mengen, die eine der Zahlenordnung vergleichbare Ordnungsstruktur aufweisen; hier spricht man zuweilen von struktureller Induktion.

## Rekursive oder induktive Definition

Die rekursive Definition – auch induktive Definition genannt – ist ein der vollständigen Induktion analoges Verfahren, bei der ein Term durch einen Rekursionsanfang und einen Rekursionsschritt definiert wird.

Beispiel einer rekursiven Funktion

    $f(n)={\begin{cases}1&&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n=1\\n+f(n-1)&&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n>1\\\end{cases}}$

Mit Hilfe der vollständigen Induktion kann man beweisen (Gaußsche Summenformel):

    $f(n)={\frac {n(n+1)}{2}}$

Die geschlossene Formel erspart die umständliche rekursive Berechnung.

Umgekehrt zeigt das nächste Beispiel, dass eine rekursive Berechnung günstiger sein kann.

Beispiel einer rekursiv definierten Funktion:

    $f(x,n)={\begin{cases}\\\\\\\\\end{cases}}$ $1$für $n=0$, $x\cdot f(x,n-1)$für $n\geq 1$ und $n$ ungerade, $f\left(x^{2},{\tfrac {n}{2}}\right)$für $n\geq 2$ und $n$ gerade.

Man kann mit Hilfe der vollständigen Induktion nach $n$ zeigen, dass

    $f(x,n)=x^{n}$  für $n\geq 0$ ist.

Der Vorteil dieser rekursiven Definition ist, dass man bei der Berechnung hoher Potenzen nicht $n$ Multiplikationen, sondern nur Multiplikationen in der Größenordnung von $\ln(n)$ hat. Sehr hohe Potenzen werden zum Beispiel bei der RSA-Verschlüsselung von Nachrichten verwendet.

Die rekursive Definition hat wie die Induktion allerlei differenzierte Varianten.

