Evolute
# Evolute

Die Evolute einer ebenen Kurve ist

Oder auch:

Evoluten stehen in engem Zusammenhang mit den Evolventen einer gegebenen Kurve, denn es gilt: Eine Kurve ist die Evolute jeder ihrer Evolventen.

## Evolute einer parametrisierten Kurve

Beschreibt ${\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]$ eine reguläre Kurve in der euklidischen Ebene, deren Krümmung nirgends 0 ist, und sind $\rho (t)$ der Krümmungskreisradius und ${\vec {n}}(t)$ die zum Krümmungsmittelpunkt weisende Einheitsnormale, so ist

* ${\vec {E}}(t)={\vec {c}}(t)+\rho (t){\vec {n}}(t)$

die Evolute der gegebenen Kurve.

Ist ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}$ und ${\vec {E}}=(X,Y)^{T}$, so ist

* $\displaystyle X(t)=x(t)-{\frac {y'(t)\cdot {\Bigx'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}$ und

    $\displaystyle Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t)\cdot {\Bigx'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}$.

## Eigenschaften der Evolute

Um Eigenschaften einer regulären Kurve herzuleiten, ist es vorteilhaft, die Bogenlänge $s$ der gegebenen Kurve als Parameter zu verwenden. Denn dann gilt (s. Frenetsche Formeln) $\;|{\vec {c}}'|=1\;$ und $\;{\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho \;$. Daraus folgt für den Tangentenvektor der Evolute $\;{\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;$:

    ${\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\;.$

Aus dieser Gleichung ergeben sich die folgenden Eigenschaften einer Evolute:

* Die Evolute ist in Punkten mit $\rho '=0$ nicht regulär, d. h., sie hat in Punkten maximaler oder minimaler Krümmung Spitzen (s. Parabel, Ellipse, Nephroide).
* Die Normalen der gegebenen Kurve sind Tangenten der Evolute, d. h.: Die Evolute ist die Einhüllende der Normalen der gegebenen Kurve.
* In Abschnitten der gegebenen Kurve, in denen $\rho '>0$ bzw. $\rho '<0$ gilt, ist sie eine Evolvente ihrer Evolute. (Im Bild ist die blaue Parabel eine Evolvente der roten Neilschen Parabel.)

Beweis der letzten Eigenschaft: In dem betrachteten Abschnitt sei $\rho '>0$. Eine Evolvente der Evolute lässt sich folgendermaßen beschreiben:

    ${\vec {C}}_{0}={\vec {E}}-{\frac {{\vec {E}}'}{|{\vec {E}}'|}}\;{\Big\int _{0}^{s}|{\vec {E}}'(w)|\;\mathrm {d} w+l_{0}\;{\Big )}\;,$

wobei $l_{0}$ eine Fadenverlängerung bedeutet (s. Evolvente). Mit ${\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;,\;{\vec {E}}'=\rho '{\vec {n}}$ und $\rho '>0$ ergibt sich

    ${\vec {C}}_{0}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}-{\vec {n}}\;{\Big\int _{0}^{s}\rho '(w)\;\mathrm {d} w\;+l_{0}{\Big )}={\vec {c}}+(\rho (0)-l_{0})\;{\vec {n}}\;.$

D. h., für die Fadenverlängerung $l_{0}=\rho (0)$ erhält man die gegebene Kurve wieder.

* Parallele Kurven besitzen dieselbe Evolute.

Beweis: Eine zur gegebenen Kurve im Abstand $d$ parallele Kurve besitzt die Parameterdarstellung ${\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}$ und den Krümmungsradius (s. Parallelkurve) $\rho _{d}=\rho -d$. Die Evolute der Parallelkurve ist also ${\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.$

## Beispiele

### Evolute der Normalparabel

Die Normalparabel lässt sich durch die Parameterdarstellung $(t,t^{2})$ beschreiben. Nach den obigen Formeln ergeben sich für die Evolute die folgenden Gleichungen:

    $X=\cdots =-4t^{3}$
    $Y=\cdots ={\frac {1}{2}}+3t^{2}$

Dies ist die Parameterdarstellung einer Neilschen Parabel.

### Evolute einer Ellipse

Für die Ellipse mit der Parameterdarstellung $(a\cos t,b\sin t)$ ergibt sich:

    $X=\cdots ={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t$
    $Y=\cdots ={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t$

Diese Gleichungen beschreiben eine schiefe Astroide. Elimination von $t$ liefert die implizite Darstellung

* $(aX)^{\tfrac {2}{3}}+(bY)^{\tfrac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{\tfrac {2}{3}}\ .$

## Evoluten bekannter Kurven

* Zu einer Astroide: wiederum eine Astroide (doppelt so groß)
* Zu einer Ellipse: eine schiefe Astroide
* Zu einer Kardioide: wiederum eine Kardioide (ein Drittel so groß)
* Zu einem Kreis: ein Punkt, nämlich dessen Mittelpunkt
* Zu einer Deltoide: wiederum eine Deltoide (dreimal so groß)
* Zu einer Zykloide: eine kongruente Zykloide
* Zu einer Epizykloide: eine vergrößerte Epizykloide
* Zu einer Hypozykloide: eine ähnliche Hypozykloide
* Zu einer logarithmischen Spirale: die gleiche logarithmische Spirale
* Zu einer Nephroide: wiederum eine Nephroide (halb so groß)
* Zu einer Parabel: eine Neilsche Parabel
* Zu einer Traktrix: eine Katenoide (Kettenlinie)
