(91,10,1)-Blockplan
# (91,10,1)-Blockplan

Der (91,10,1)-Blockplan ist ein spezieller Symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 91 × 91 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 10 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 1 Eins in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 91, k = 10, λ = 1), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

## Bezeichnung

Dieser symmetrische 2-(91,10,1)-Blockplan wird Projektive Ebene oder Desarguessche Ebene der Ordnung 9 genannt.

## Eigenschaften

Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 91, k = 10, λ = 1 und damit folgende Eigenschaften:

* Er besteht aus 91 Blöcken und 91 Punkten.
* Jeder Block enthält genau 10 Punkte.
* Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 1 Punkt.
* Jeder Punkt liegt auf genau 10 Blöcken.
* Je 2 Punkte sind durch genau 1 Block verbunden.

## Existenz und Charakterisierung

Es existieren genau vier nichtisomorphe 2-(91,10,1) - Blockpläne. Diese Lösungen sind:

* Lösung 1 (selbstdual) mit der Signatur 91·840. Sie enthält 58968 Ovale der Ordnung 10. Dies ist die Desarguessche Ebene
* Lösung 2 (selbstdual) mit der Signatur 91·840. Sie enthält 9720 Ovale der Ordnung 10. Dies ist die Hughes Ebene
* Lösung 3 (dual zur Lösung 4) mit der Signatur 91·840. Sie enthält 2808 Ovale der Ordnung 10. Dies ist die erste Hall Ebene
* Lösung 4 (dual zur Lösung 3) mit der Signatur 91·840. Sie enthält 2808 Ovale der Ordnung 10. Dies ist die zweite Hall Ebene

## Liste der Blöcke

Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

* Lösung 1
* Lösung 2
* Lösung 3
* Lösung 4

## Zyklische Darstellung

Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) für Lösung 1 dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.

* Lösung 1

## Orthogonale Lateinische Quadrate (MOLS)

Diese Projektive Ebene der Ordnung 9 ist äquivalent mit diesen 8 MOLS der Ordnung 9:

* Lösung 1

    ${\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&6&4&9&8&1&5&7&3\\3&4&7&5&2&9&1&6&8\\4&9&5&8&6&3&2&1&7\\5&8&2&6&9&7&4&3&1\\6&1&9&3&7&2&8&5&4\\7&5&1&2&4&8&3&9&6\\8&7&6&1&3&5&9&4&2\\9&3&8&7&1&4&6&2&5\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&3&4&5&6&7&8&9&2\\2&4&9&8&1&5&7&3&6\\3&7&5&2&9&1&6&8&4\\4&5&8&6&3&2&1&7&9\\5&2&6&9&7&4&3&1&8\\6&9&3&7&2&8&5&4&1\\7&1&2&4&8&3&9&6&5\\8&6&1&3&5&9&4&2&7\\9&8&7&1&4&6&2&5&3\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&4&5&6&7&8&9&2&3\\2&9&8&1&5&7&3&6&4\\3&5&2&9&1&6&8&4&7\\4&8&6&3&2&1&7&9&5\\5&6&9&7&4&3&1&8&2\\6&3&7&2&8&5&4&1&9\\7&2&4&8&3&9&6&5&1\\8&1&3&5&9&4&2&7&6\\9&7&1&4&6&2&5&3&8\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&5&6&7&8&9&2&3&4\\2&8&1&5&7&3&6&4&9\\3&2&9&1&6&8&4&7&5\\4&6&3&2&1&7&9&5&8\\5&9&7&4&3&1&8&2&6\\6&7&2&8&5&4&1&9&3\\7&4&8&3&9&6&5&1&2\\8&3&5&9&4&2&7&6&1\\9&1&4&6&2&5&3&8&7\end{bmatrix}}$
    ${\begin{bmatrix}1&6&7&8&9&2&3&4&5\\2&1&5&7&3&6&4&9&8\\3&9&1&6&8&4&7&5&2\\4&3&2&1&7&9&5&8&6\\5&7&4&3&1&8&2&6&9\\6&2&8&5&4&1&9&3&7\\7&8&3&9&6&5&1&2&4\\8&5&9&4&2&7&6&1&3\\9&4&6&2&5&3&8&7&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&7&8&9&2&3&4&5&6\\2&5&7&3&6&4&9&8&1\\3&1&6&8&4&7&5&2&9\\4&2&1&7&9&5&8&6&3\\5&4&3&1&8&2&6&9&7\\6&8&5&4&1&9&3&7&2\\7&3&9&6&5&1&2&4&8\\8&9&4&2&7&6&1&3&5\\9&6&2&5&3&8&7&1&4\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&8&9&2&3&4&5&6&7\\2&7&3&6&4&9&8&1&5\\3&6&8&4&7&5&2&9&1\\4&1&7&9&5&8&6&3&2\\5&3&1&8&2&6&9&7&4\\6&5&4&1&9&3&7&2&8\\7&9&6&5&1&2&4&8&3\\8&4&2&7&6&1&3&5&9\\9&2&5&3&8&7&1&4&6\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&9&2&3&4&5&6&7&8\\2&3&6&4&9&8&1&5&7\\3&8&4&7&5&2&9&1&6\\4&7&9&5&8&6&3&2&1\\5&1&8&2&6&9&7&4&3\\6&4&1&9&3&7&2&8&5\\7&6&5&1&2&4&8&3&9\\8&2&7&6&1&3&5&9&4\\9&5&3&8&7&1&4&6&2\end{bmatrix}}$
* Lösung 2

    ${\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&3&1&5&6&4&8&9&7\\3&1&2&6&4&5&9&7&8\\4&5&6&7&8&9&1&2&3\\5&6&4&8&9&7&2&3&1\\6&4&5&9&7&8&3&1&2\\7&8&9&1&2&3&4&5&6\\8&9&7&2&3&1&5&6&4\\9&7&8&3&1&2&6&4&5\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&3&2&7&9&8&4&6&5\\2&1&3&8&7&9&5&4&6\\3&2&1&9&8&7&6&5&4\\4&6&5&1&3&2&7&9&8\\5&4&6&2&1&3&8&7&9\\6&5&4&3&2&1&9&8&7\\7&9&8&4&6&5&1&3&2\\8&7&9&5&4&6&2&1&3\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&4&7&3&6&9&2&5&8\\2&5&8&1&4&7&3&6&9\\3&6&9&2&5&8&1&4&7\\4&7&1&6&9&3&5&8&2\\5&8&2&4&7&1&6&9&3\\6&9&3&5&8&2&4&7&1\\7&1&4&9&3&6&8&2&5\\8&2&5&7&1&4&9&3&6\\9&3&6&8&2&5&7&1&4\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&5&9&8&3&4&6&7&2\\2&6&7&9&1&5&4&8&3\\3&4&8&7&2&6&5&9&1\\4&8&3&2&6&7&9&1&5\\5&9&1&3&4&8&7&2&6\\6&7&2&1&5&9&8&3&4\\7&2&6&5&9&1&3&4&8\\8&3&4&6&7&2&1&5&9\\9&1&5&4&8&3&2&6&7\end{bmatrix}}$
    ${\begin{bmatrix}1&6&8&5&7&3&9&2&4\\2&4&9&6&8&1&7&3&5\\3&5&7&4&9&2&8&1&6\\4&9&2&8&1&6&3&5&7\\5&7&3&9&2&4&1&6&8\\6&8&1&7&3&5&2&4&9\\7&3&5&2&4&9&6&8&1\\8&1&6&3&5&7&4&9&2\\9&2&4&1&6&8&5&7&3\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&7&4&2&8&5&3&9&6\\2&8&5&3&9&6&1&7&4\\3&9&6&1&7&4&2&8&5\\4&1&7&5&2&8&6&3&9\\5&2&8&6&3&9&4&1&7\\6&3&9&4&1&7&5&2&8\\7&4&1&8&5&2&9&6&3\\8&5&2&9&6&3&7&4&1\\9&6&3&7&4&1&8&5&2\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&8&6&9&4&2&5&3&7\\2&9&4&7&5&3&6&1&8\\3&7&5&8&6&1&4&2&9\\4&2&9&3&7&5&8&6&1\\5&3&7&1&8&6&9&4&2\\6&1&8&2&9&4&7&5&3\\7&5&3&6&1&8&2&9&4\\8&6&1&4&2&9&3&7&5\\9&4&2&5&3&7&1&8&6\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&9&5&6&2&7&8&4&3\\2&7&6&4&3&8&9&5&1\\3&8&4&5&1&9&7&6&2\\4&3&8&9&5&1&2&7&6\\5&1&9&7&6&2&3&8&4\\6&2&7&8&4&3&1&9&5\\7&6&2&3&8&4&5&1&9\\8&4&3&1&9&5&6&2&7\\9&5&1&2&7&6&4&3&8\end{bmatrix}}$
* Lösung 3

    ${\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&3&1&5&6&4&8&9&7\\3&1&2&6&4&5&9&7&8\\4&5&6&7&8&9&1&2&3\\5&6&4&8&9&7&2&3&1\\6&4&5&9&7&8&3&1&2\\7&8&9&1&2&3&4&5&6\\8&9&7&2&3&1&5&6&4\\9&7&8&3&1&2&6&4&5\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&3&2&7&9&8&4&6&5\\2&1&3&8&7&9&5&4&6\\3&2&1&9&8&7&6&5&4\\4&6&5&1&3&2&7&9&8\\5&4&6&2&1&3&8&7&9\\6&5&4&3&2&1&9&8&7\\7&9&8&4&6&5&1&3&2\\8&7&9&5&4&6&2&1&3\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&4&7&3&6&9&2&5&8\\2&5&8&1&4&7&3&6&9\\3&6&9&2&5&8&1&4&7\\4&7&1&8&2&5&9&3&6\\5&8&2&9&3&6&7&1&4\\6&9&3&7&1&4&8&2&5\\7&1&4&5&8&2&6&9&3\\8&2&5&6&9&3&4&7&1\\9&3&6&4&7&1&5&8&2\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&5&9&8&3&4&6&7&2\\2&6&7&9&1&5&4&8&3\\3&4&8&7&2&6&5&9&1\\4&8&3&5&9&1&2&6&7\\5&9&1&6&7&2&3&4&8\\6&7&2&4&8&3&1&5&9\\7&2&6&3&4&8&9&1&5\\8&3&4&1&5&9&7&2&6\\9&1&5&2&6&7&8&3&4\end{bmatrix}}$
    ${\begin{bmatrix}1&6&8&5&7&3&9&2&4\\2&4&9&6&8&1&7&3&5\\3&5&7&4&9&2&8&1&6\\4&9&2&3&5&7&6&8&1\\5&7&3&1&6&8&4&9&2\\6&8&1&2&4&9&5&7&3\\7&3&5&8&1&6&2&4&9\\8&1&6&9&2&4&3&5&7\\9&2&4&7&3&5&1&6&8\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&7&4&2&8&5&3&9&6\\2&8&5&3&9&6&1&7&4\\3&9&6&1&7&4&2&8&5\\4&1&7&9&6&3&8&5&2\\5&2&8&7&4&1&9&6&3\\6&3&9&8&5&2&7&4&1\\7&4&1&6&3&9&5&2&8\\8&5&2&4&1&7&6&3&9\\9&6&3&5&2&8&4&1&7\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&8&6&9&4&2&5&3&7\\2&9&4&7&5&3&6&1&8\\3&7&5&8&6&1&4&2&9\\4&2&9&6&1&8&3&7&5\\5&3&7&4&2&9&1&8&6\\6&1&8&5&3&7&2&9&4\\7&5&3&2&9&4&8&6&1\\8&6&1&3&7&5&9&4&2\\9&4&2&1&8&6&7&5&3\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&9&5&6&2&7&8&4&3\\2&7&6&4&3&8&9&5&1\\3&8&4&5&1&9&7&6&2\\4&3&8&2&7&6&5&1&9\\5&1&9&3&8&4&6&2&7\\6&2&7&1&9&5&4&3&8\\7&6&2&9&5&1&3&8&4\\8&4&3&7&6&2&1&9&5\\9&5&1&8&4&3&2&7&6\end{bmatrix}}$
* Lösung 4

    ${\begin{bmatrix}1&3&2&7&9&8&4&6&5\\2&1&3&8&7&9&5&4&6\\3&2&1&9&8&7&6&5&4\\4&6&5&1&3&2&7&9&8\\5&4&6&2&1&3&8&7&9\\6&5&4&3&2&1&9&8&7\\7&9&8&4&6&5&1&3&2\\8&7&9&5&4&6&2&1&3\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&3&1&5&6&4&8&9&7\\3&1&2&6&4&5&9&7&8\\4&5&6&7&8&9&1&2&3\\5&6&4&8&9&7&2&3&1\\6&4&5&9&7&8&3&1&2\\7&8&9&1&2&3&4&5&6\\8&9&7&2&3&1&5&6&4\\9&7&8&3&1&2&6&4&5\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&7&4&2&8&5&3&9&6\\2&8&5&3&9&6&1&7&4\\3&9&6&1&7&4&2&8&5\\4&1&7&9&6&3&8&5&2\\5&2&8&7&4&1&9&6&3\\6&3&9&8&5&2&7&4&1\\7&4&1&6&3&9&5&2&8\\8&5&2&4&1&7&6&3&9\\9&6&3&5&2&8&4&1&7\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&9&5&6&2&7&8&4&3\\2&7&6&4&3&8&9&5&1\\3&8&4&5&1&9&7&6&2\\4&3&8&2&7&6&5&1&9\\5&1&9&3&8&4&6&2&7\\6&2&7&1&9&5&4&3&8\\7&6&2&9&5&1&3&8&4\\8&4&3&7&6&2&1&9&5\\9&5&1&8&4&3&2&7&6\end{bmatrix}}$
    ${\begin{bmatrix}1&8&6&9&4&2&5&3&7\\2&9&4&7&5&3&6&1&8\\3&7&5&8&6&1&4&2&9\\4&2&9&6&1&8&3&7&5\\5&3&7&4&2&9&1&8&6\\6&1&8&5&3&7&2&9&4\\7&5&3&2&9&4&8&6&1\\8&6&1&3&7&5&9&4&2\\9&4&2&1&8&6&7&5&3\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&4&7&3&6&9&2&5&8\\2&5&8&1&4&7&3&6&9\\3&6&9&2&5&8&1&4&7\\4&7&1&8&2&5&9&3&6\\5&8&2&9&3&6&7&1&4\\6&9&3&7&1&4&8&2&5\\7&1&4&5&8&2&6&9&3\\8&2&5&6&9&3&4&7&1\\9&3&6&4&7&1&5&8&2\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&6&8&5&7&3&9&2&4\\2&4&9&6&8&1&7&3&5\\3&5&7&4&9&2&8&1&6\\4&9&2&3&5&7&6&8&1\\5&7&3&1&6&8&4&9&2\\6&8&1&2&4&9&5&7&3\\7&3&5&8&1&6&2&4&9\\8&1&6&9&2&4&3&5&7\\9&2&4&7&3&5&1&6&8\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&5&9&8&3&4&6&7&2\\2&6&7&9&1&5&4&8&3\\3&4&8&7&2&6&5&9&1\\4&8&3&5&9&1&2&6&7\\5&9&1&6&7&2&3&4&8\\6&7&2&4&8&3&1&5&9\\7&2&6&3&4&8&9&1&5\\8&3&4&1&5&9&7&2&6\\9&1&5&2&6&7&8&3&4\end{bmatrix}}$

## Oval

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:

* Lösung 1
* Lösung 2
* Lösung 3
* Lösung 4
