(57,8,1)-Blockplan
# (57,8,1)-Blockplan

Der (57,8,1)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 57 × 57 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 8 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 1 Eins in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 57, k = 8, λ = 1), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

## Bezeichnung

Dieser symmetrische 2-(57,8,1)-Blockplan wird projektive Ebene oder Desarguessche Ebene der Ordnung 7 genannt.

## Eigenschaften

Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 57, k = 8, λ = 1 und damit folgende Eigenschaften:

* Er besteht aus 57 Blöcken und 57 Punkten.
* Jeder Block enthält genau 8 Punkte.
* Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 1 Punkt.
* Jeder Punkt liegt auf genau 8 Blöcken.
* Je 2 Punkte sind durch genau 1 Block verbunden.

## Existenz und Charakterisierung

Es existiert (bis auf Isomorphie) genau ein 2-(57,8,1) - Blockplan. Er ist selbstdual und hat die Signatur 57*280. Er enthält 16758 Ovale der Ordnung 8.

## Liste der Blöcke

Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

## Inzidenzmatrix

Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung

## Zyklische Darstellung

Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.

## Orthogonale Lateinische Quadrate (MOLS)

Diese Projektive Ebene der Ordnung 7 ist äquivalent mit diesen 6 MOLS der Ordnung 7:

    ${\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\2&4&6&3&1&7&5\\3&6&5&7&4&1&2\\4&3&7&6&2&5&1\\5&1&4&2&7&3&6\\6&7&1&5&3&2&4\\7&5&2&1&6&4&3\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&3&4&5&6&7&2\\2&6&3&1&7&5&4\\3&5&7&4&1&2&6\\4&7&6&2&5&1&3\\5&4&2&7&3&6&1\\6&1&5&3&2&4&7\\7&2&1&6&4&3&5\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&4&5&6&7&2&3\\2&3&1&7&5&4&6\\3&7&4&1&2&6&5\\4&6&2&5&1&3&7\\5&2&7&3&6&1&4\\6&5&3&2&4&7&1\\7&1&6&4&3&5&2\end{bmatrix}}$
    ${\begin{bmatrix}1&5&6&7&2&3&4\\2&1&7&5&4&6&3\\3&4&1&2&6&5&7\\4&2&5&1&3&7&6\\5&7&3&6&1&4&2\\6&3&2&4&7&1&5\\7&6&4&3&5&2&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&6&7&2&3&4&5\\2&7&5&4&6&3&1\\3&1&2&6&5&7&4\\4&5&1&3&7&6&2\\5&3&6&1&4&2&7\\6&2&4&7&1&5&3\\7&4&3&5&2&1&6\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&7&2&3&4&5&6\\2&5&4&6&3&1&7\\3&2&6&5&7&4&1\\4&1&3&7&6&2&5\\5&6&1&4&2&7&3\\6&4&7&1&5&3&2\\7&3&5&2&1&6&4\end{bmatrix}}$

## Oval

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung dieses Blockplans:

