(183,14,1)-Blockplan
# (183,14,1)-Blockplan

Der (183,14,1)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 183 × 183 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 14 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 1 Eins in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 183, k = 14, λ = 1), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

## Bezeichnung

Dieser symmetrische 2-(183,14,1)-Blockplan wird Projektive Ebene oder Desarguessche Ebene der Ordnung 13 genannt.

## Eigenschaften

Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 183, k = 14, λ = 1 und damit folgende Eigenschaften:

* Er besteht aus 183 Blöcken und 183 Punkten.
* Jeder Block enthält genau 14 Punkte.
* Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 1 Punkt.
* Jeder Punkt liegt auf genau 14 Blöcken.
* Je 2 Punkte sind durch genau 1 Block verbunden.

## Existenz und Charakterisierung

Es existiert (bis auf Isomorphie) mindestens ein 2-(183,14,1) - Blockplan. Diese Lösung ist:

* Lösung 1 mit der Signatur 183·4004

## Liste der Blöcke

Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

* Lösung 1

## Zyklische Darstellung

Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.

* Lösung 1

## Orthogonale Lateinische Quadrate (MOLS)

Diese Projektive Ebene der Ordnung 13 ist äquivalent mit diesen 12 MOLS der Ordnung 13:

    ${\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{13}{c}}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\2&3&6&11&10&4&13&1&8&12&7&9&5\\3&6&4&7&12&11&5&2&1&9&13&8&10\\4&11&7&5&8&13&12&6&3&1&10&2&9\\5&10&12&8&6&9&2&13&7&4&1&11&3\\6&4&11&13&9&7&10&3&2&8&5&1&12\\7&13&5&12&2&10&8&11&4&3&9&6&1\\8&1&2&6&13&3&11&9&12&5&4&10&7\\9&8&1&3&7&2&4&12&10&13&6&5&11\\10&12&9&1&4&8&3&5&13&11&2&7&6\\11&7&13&10&1&5&9&4&6&2&12&3&8\\12&9&8&2&11&1&6&10&5&7&3&13&4\\13&5&10&9&3&12&1&7&11&6&8&4&2\end{array}}\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{13}{c}}1&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&2\\2&6&11&10&4&13&1&8&12&7&9&5&3\\3&4&7&12&11&5&2&1&9&13&8&10&6\\4&7&5&8&13&12&6&3&1&10&2&9&11\\5&12&8&6&9&2&13&7&4&1&11&3&10\\6&11&13&9&7&10&3&2&8&5&1&12&4\\7&5&12&2&10&8&11&4&3&9&6&1&13\\8&2&6&13&3&11&9&12&5&4&10&7&1\\9&1&3&7&2&4&12&10&13&6&5&11&8\\10&9&1&4&8&3&5&13&11&2&7&6&12\\11&13&10&1&5&9&4&6&2&12&3&8&7\\12&8&2&11&1&6&10&5&7&3&13&4&9\\13&10&9&3&12&1&7&11&6&8&4&2&5\end{array}}\end{bmatrix}}$
    ${\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{13}{c}}1&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&2&3\\2&11&10&4&13&1&8&12&7&9&5&3&6\\3&7&12&11&5&2&1&9&13&8&10&6&4\\4&5&8&13&12&6&3&1&10&2&9&11&7\\5&8&6&9&2&13&7&4&1&11&3&10&12\\6&13&9&7&10&3&2&8&5&1&12&4&11\\7&12&2&10&8&11&4&3&9&6&1&13&5\\8&6&13&3&11&9&12&5&4&10&7&1&2\\9&3&7&2&4&12&10&13&6&5&11&8&1\\10&1&4&8&3&5&13&11&2&7&6&12&9\\11&10&1&5&9&4&6&2&12&3&8&7&13\\12&2&11&1&6&10&5&7&3&13&4&9&8\\13&9&3&12&1&7&11&6&8&4&2&5&10\end{array}}\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{13}{c}}1&5&6&7&8&9&10&11&12&13&2&3&4\\2&10&4&13&1&8&12&7&9&5&3&6&11\\3&12&11&5&2&1&9&13&8&10&6&4&7\\4&8&13&12&6&3&1&10&2&9&11&7&5\\5&6&9&2&13&7&4&1&11&3&10&12&8\\6&9&7&10&3&2&8&5&1&12&4&11&13\\7&2&10&8&11&4&3&9&6&1&13&5&12\\8&13&3&11&9&12&5&4&10&7&1&2&6\\9&7&2&4&12&10&13&6&5&11&8&1&3\\10&4&8&3&5&13&11&2&7&6&12&9&1\\11&1&5&9&4&6&2&12&3&8&7&13&10\\12&11&1&6&10&5&7&3&13&4&9&8&2\\13&3&12&1&7&11&6&8&4&2&5&10&9\end{array}}\end{bmatrix}}$
    ${\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{13}{c}}1&6&7&8&9&10&11&12&13&2&3&4&5\\2&4&13&1&8&12&7&9&5&3&6&11&10\\3&11&5&2&1&9&13&8&10&6&4&7&12\\4&13&12&6&3&1&10&2&9&11&7&5&8\\5&9&2&13&7&4&1&11&3&10&12&8&6\\6&7&10&3&2&8&5&1&12&4&11&13&9\\7&10&8&11&4&3&9&6&1&13&5&12&2\\8&3&11&9&12&5&4&10&7&1&2&6&13\\9&2&4&12&10&13&6&5&11&8&1&3&7\\10&8&3&5&13&11&2&7&6&12&9&1&4\\11&5&9&4&6&2&12&3&8&7&13&10&1\\12&1&6&10&5&7&3&13&4&9&8&2&11\\13&12&1&7&11&6&8&4&2&5&10&9&3\end{array}}\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{13}{c}}1&7&8&9&10&11&12&13&2&3&4&5&6\\2&13&1&8&12&7&9&5&3&6&11&10&4\\3&5&2&1&9&13&8&10&6&4&7&12&11\\4&12&6&3&1&10&2&9&11&7&5&8&13\\5&2&13&7&4&1&11&3&10&12&8&6&9\\6&10&3&2&8&5&1&12&4&11&13&9&7\\7&8&11&4&3&9&6&1&13&5&12&2&10\\8&11&9&12&5&4&10&7&1&2&6&13&3\\9&4&12&10&13&6&5&11&8&1&3&7&2\\10&3&5&13&11&2&7&6&12&9&1&4&8\\11&9&4&6&2&12&3&8&7&13&10&1&5\\12&6&10&5&7&3&13&4&9&8&2&11&1\\13&1&7&11&6&8&4&2&5&10&9&3&12\end{array}}\end{bmatrix}}$
    ${\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{13}{c}}1&8&9&10&11&12&13&2&3&4&5&6&7\\2&1&8&12&7&9&5&3&6&11&10&4&13\\3&2&1&9&13&8&10&6&4&7&12&11&5\\4&6&3&1&10&2&9&11&7&5&8&13&12\\5&13&7&4&1&11&3&10&12&8&6&9&2\\6&3&2&8&5&1&12&4&11&13&9&7&10\\7&11&4&3&9&6&1&13&5&12&2&10&8\\8&9&12&5&4&10&7&1&2&6&13&3&11\\9&12&10&13&6&5&11&8&1&3&7&2&4\\10&5&13&11&2&7&6&12&9&1&4&8&3\\11&4&6&2&12&3&8&7&13&10&1&5&9\\12&10&5&7&3&13&4&9&8&2&11&1&6\\13&7&11&6&8&4&2&5&10&9&3&12&1\end{array}}\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{13}{c}}1&9&10&11&12&13&2&3&4&5&6&7&8\\2&8&12&7&9&5&3&6&11&10&4&13&1\\3&1&9&13&8&10&6&4&7&12&11&5&2\\4&3&1&10&2&9&11&7&5&8&13&12&6\\5&7&4&1&11&3&10&12&8&6&9&2&13\\6&2&8&5&1&12&4&11&13&9&7&10&3\\7&4&3&9&6&1&13&5&12&2&10&8&11\\8&12&5&4&10&7&1&2&6&13&3&11&9\\9&10&13&6&5&11&8&1&3&7&2&4&12\\10&13&11&2&7&6&12&9&1&4&8&3&5\\11&6&2&12&3&8&7&13&10&1&5&9&4\\12&5&7&3&13&4&9&8&2&11&1&6&10\\13&11&6&8&4&2&5&10&9&3&12&1&7\end{array}}\end{bmatrix}}$
    ${\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{13}{c}}1&10&11&12&13&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&12&7&9&5&3&6&11&10&4&13&1&8\\3&9&13&8&10&6&4&7&12&11&5&2&1\\4&1&10&2&9&11&7&5&8&13&12&6&3\\5&4&1&11&3&10&12&8&6&9&2&13&7\\6&8&5&1&12&4&11&13&9&7&10&3&2\\7&3&9&6&1&13&5&12&2&10&8&11&4\\8&5&4&10&7&1&2&6&13&3&11&9&12\\9&13&6&5&11&8&1&3&7&2&4&12&10\\10&11&2&7&6&12&9&1&4&8&3&5&13\\11&2&12&3&8&7&13&10&1&5&9&4&6\\12&7&3&13&4&9&8&2&11&1&6&10&5\\13&6&8&4&2&5&10&9&3&12&1&7&11\end{array}}\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{13}{c}}1&11&12&13&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\2&7&9&5&3&6&11&10&4&13&1&8&12\\3&13&8&10&6&4&7&12&11&5&2&1&9\\4&10&2&9&11&7&5&8&13&12&6&3&1\\5&1&11&3&10&12&8&6&9&2&13&7&4\\6&5&1&12&4&11&13&9&7&10&3&2&8\\7&9&6&1&13&5&12&2&10&8&11&4&3\\8&4&10&7&1&2&6&13&3&11&9&12&5\\9&6&5&11&8&1&3&7&2&4&12&10&13\\10&2&7&6&12&9&1&4&8&3&5&13&11\\11&12&3&8&7&13&10&1&5&9&4&6&2\\12&3&13&4&9&8&2&11&1&6&10&5&7\\13&8&4&2&5&10&9&3&12&1&7&11&6\end{array}}\end{bmatrix}}$
    ${\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{13}{c}}1&12&13&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\2&9&5&3&6&11&10&4&13&1&8&12&7\\3&8&10&6&4&7&12&11&5&2&1&9&13\\4&2&9&11&7&5&8&13&12&6&3&1&10\\5&11&3&10&12&8&6&9&2&13&7&4&1\\6&1&12&4&11&13&9&7&10&3&2&8&5\\7&6&1&13&5&12&2&10&8&11&4&3&9\\8&10&7&1&2&6&13&3&11&9&12&5&4\\9&5&11&8&1&3&7&2&4&12&10&13&6\\10&7&6&12&9&1&4&8&3&5&13&11&2\\11&3&8&7&13&10&1&5&9&4&6&2&12\\12&13&4&9&8&2&11&1&6&10&5&7&3\\13&4&2&5&10&9&3&12&1&7&11&6&8\end{array}}\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{13}{c}}1&13&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\2&5&3&6&11&10&4&13&1&8&12&7&9\\3&10&6&4&7&12&11&5&2&1&9&13&8\\4&9&11&7&5&8&13&12&6&3&1&10&2\\5&3&10&12&8&6&9&2&13&7&4&1&11\\6&12&4&11&13&9&7&10&3&2&8&5&1\\7&1&13&5&12&2&10&8&11&4&3&9&6\\8&7&1&2&6&13&3&11&9&12&5&4&10\\9&11&8&1&3&7&2&4&12&10&13&6&5\\10&6&12&9&1&4&8&3&5&13&11&2&7\\11&8&7&13&10&1&5&9&4&6&2&12&3\\12&4&9&8&2&11&1&6&10&5&7&3&13\\13&2&5&10&9&3&12&1&7&11&6&8&4\end{array}}\end{bmatrix}}$

## Oval

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung dieses Blockplans:

* Lösung 1
