Zweipunktverteilung
# Zweipunktverteilung

Die Zweipunktverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist eine einfache diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auf einer zweielementigen Menge $\{a,b\}$ definiert wird. Bekanntester Spezialfall ist die Bernoulli-Verteilung, die auf $\{0,1\}$ definiert ist.

## Definition

Eine Zufallsvariable $X$ auf $\{a,b\}$ mit $a<b$ heißt zweipunktverteilt, wenn

    $P(X=a)=1-p{\text{ und }}P(X=b)=p$ ist.

Die Verteilungsfunktion ist dann

    $F_{X}(t)={\begin{cases}0&{\text{ falls }}t<a\\1-p&{\text{ falls }}t\in [a,b)\\1&{\text{ falls }}t\geq b\end{cases}}$

## Eigenschaften

Sei im Folgenden $q=1-p$.

### Erwartungswert

Der Erwartungswert einer zweipunktverteilten Zufallsgröße ist

    $E(X)=(1-p)\cdot a+p\cdot b=q\cdot a+p\cdot b$.

### Varianz und weitere Streumaße

Für die Varianz gilt

    $V(X)=E\left((X-E(X))^{2}\right)=p\cdot q\cdot (b-a)^{2}$.

Demnach ist die Standardabweichung

    $\sigma _{X}=(b-a){\sqrt {pq}}$

und der Variationskoeffizient

    $\operatorname {VarK} (X)={\frac {(b-a){\sqrt {pq}}}{qa+pb}}$.

### Symmetrie

Ist $p={\tfrac {1}{2}}$, so ist die Zweipunktverteilung symmetrisch um ihren Erwartungswert.

### Schiefe

Die Schiefe der Zweipunktverteilung ist

    $\operatorname {v} (X)={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}$.

### Wölbung und Exzess

Der Exzess der Zweipunktverteilung ist

    $\gamma (X)={\frac {1-6pq}{pq}}$

und damit ist die Wölbung

    $\beta _{2}(X)={\frac {1-3pq}{pq}}$.

### Höhere Momente

Die $k$-ten Momente ergeben sich als

    $\operatorname {E} (X^{k})=qa^{k}+pb^{k}$.

Dies kann beispielsweise mit der momenterzeugenden Funktion gezeigt werden.

### Modus

Der Modus der Zweipunktverteilung ist

    $x_{D}={\begin{cases}a&{\text{falls }}q>p\\a{\text{ und }}b&{\text{falls }}q=p\\b&{\text{falls }}q<p\end{cases}}$

### Median

Der Median der Zweipunktverteilung ist

    ${\tilde {m}}={\begin{cases}a&{\text{falls }}q\geq p\\b&{\text{falls }}q<p\end{cases}}$

### Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Sind $a,b\in \mathbb {N} _{0}$, so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

    $m_{X}(t)=qt^{a}+pt^{b}$.

### Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist für beliebiges $a,b\in \mathbb {R}$ gegeben als

    $M_{X}(t)=qe^{at}+pe^{bt}$.

### Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für beliebiges $a,b\in \mathbb {R}$ gegeben als

    $\varphi _{X}(t)=qe^{iat}+pe^{ibt}$.

### Konstruktion der Verteilung zu vorgegebenen Parametern

Sind Erwartungswert $m$, Standardabweichung $s$ und Schiefe $t$ vorgegeben, erhält man wie folgt eine passende Zweipunktverteilung:

    $p=(1+t/{\sqrt {4+t^{2}}})/2,$
    $q=1-p,$
    $a=m-s\cdot {\sqrt {q/p}},$
    $b=m+s\cdot {\sqrt {p/q}}.$

### Summen von zweipunktverteilten Zufallsvariablen

Die Zweipunktverteilung ist für $p\in (0,1)$ nicht reproduktiv. Das heißt, wenn $X_{1},X_{2}$ zweipunktverteilt sind, dann ist $X_{1}+X_{2}$ nicht mehr zweipunktverteilt. Einzige Ausnahme ist der degenerierte Fall mit $p=1$ (bzw. $q=1$). Dann handelt es sich um eine Dirac-Verteilung auf $b$ (bzw. auf $a$), die entsprechend reproduktiv und sogar unendlich teilbar ist.

## Beziehung zu anderen Verteilungen

### Beziehung zur Bernoulli-Verteilung

Eine Zweipunktverteilung auf $\{0,1\}$ ist eine Bernoulli-Verteilung.

### Beziehung zur Rademacher-Verteilung

Die Rademacher-Verteilung ist eine Zweipunktverteilung mit $a=-1,b=1,p=q={\frac {1}{2}}$.

