Liste multivariater und matrixvariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen
# Liste multivariater und matrixvariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diese Liste multivariater und matrixvariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen enthält multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen und matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen, unterteilt in diskrete multivariate Verteilungen, absolutstetige multivariate Verteilungen und matrixvariate Verteilungen.

## Notation

Es gelten folgende Konventionen:

* Ist $x\in \mathbb {R} ^{n}$, so ist $x>0$ und $x\geq 0$ komponentenweise zu verstehen, also $x\geq 0$ genau dann, wenn $x_{i}\geq 0$ für alle $i$
* Ist $X\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, so bezeichnen die Ordnungssymbole die Loewner-Halbordnung, also $X>0$ genau dann wenn $X$ positiv definit ist und $X>Y$ genau dann, wenn $X-Y>0$
* $\mathbf {1} _{k}$ bezeichnet den Einsvektor der Länge $k$ und $\mathbf {1} _{k\times k}$ die $k\times k$-Einheitsmatrix.

Abkürzend wird verwendet

    $a_{1}+a_{2}+\dots +a_{k}=\mathbf {1} _{k}^{T}a$, wobei $a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})$ ist.
    $\operatorname {etr} (A)=\exp(\operatorname {spur} (A))$.

für ein $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$. $\operatorname {spur} (A)$ bezeichnet hier die Spur der Matrix $A$.

## Diskret Multivariat

| Name | Träger | Parameter | Wahrscheinlichkeitsfunktion | Bemerkung |
| - | - | - | - | - |
| Multinomial-Verteilung, Polynomial-Verteilung | $x\in \mathbb {N} _{0}^{k}$, $\mathbf {1} _{k}^{T}x=n$ | $p$ stochastischer Vektor aus $\mathbb {R} ^{k}$ | $f(x)={n \choose x}\;\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{x_{i}}$ | Verallgemeinerung der Binomial-Verteilung, ${n \choose x}$ ist der Multinomialkoeffizient |
| Negativmultinomial-Verteilung, Negative Multinomial-Verteilung, Negative Polynomial-Verteilung | $x\in \mathbb {N} _{0}^{k}$ | $p\in \mathbb {R} ^{k}$, $p_{i}\in (0,1)$, $\mathbf {1} _{k}^{T}p\leq 1$, $\alpha \in (0,+\infty )$ | :$f(x)={\frac {\Gamma (\alpha +\mathbf {1} _{k}^{T}x)(1-\mathbf {1} _{k}^{T}p)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )\prod _{i=1}^{k}x_{i}!}}\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{x_{i}}$ | Verallgemeinerung der negativen Binomialverteilung |
| Multivariate hypergeometrische Verteilung, allgemeine hypergeometrische Verteilung | $x\in \mathbb {N} _{0}^{k}$, $x_{1}+\dots +x_{k}=n$ | $B\in \mathbb {N} _{0}^{k}$, $\mathbf {1} _{k}^{T}B=N$, $n,N\in \mathbb {N}$, $n\leq N$ | $f(x)={\binom {N}{n}}^{-1}\prod _{i=1}^{k}{\binom {B_{i}}{x_{i}}}$ | Verallgemeinerung der hypergeometrischen Verteilung |
| Polyhypergeometrische Verteilung | $x\in \mathbb {N} _{0}^{k}$, $\mathbf {1} _{k}^{T}x\leq n$ | $n,N\in \mathbb {N}$, $n\leq N$, $K\in \{1,\dots ,N-1\}^{k}$, $\mathbf {1} _{k}^{T}K\leq N$ | $f(x)={\binom {n}{M}}^{-1}{\binom {1-\mathbf {1} _{k}^{T}K}{n-\mathbf {1} _{k}^{T}x}}\prod _{i=1}^{k}{\binom {K_{i}}{x_{i}}}$ | Verallgemeinerung der multivariaten hypergeometrischen Verteilung |
| Multivariate Poisson-Verteilung | $\mathbb {N} _{0}^{k}$ | $\alpha \in \mathbb {R} ^{k}$, $\alpha >0$ | $f(x):=\prod _{i=1}^{k}e^{-\alpha _{i}}{\frac {\alpha _{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}}$ | - |
| Pólya/Eggenberger-Verteilung | $x\in \mathbb {N} _{0}^{k}$, $\mathbf {1} _{k}^{T}x\leq n$ | $n\in \mathbb {N}$, $a\in (0,+\infty )$, $b\in \mathbb {R} ^{k}$, $b>0$, $\mathbf {1} _{k}^{T}b\leq a$ | $f(x)={\frac {{\binom {a+n-1-\mathbf {1} _{k}^{T}(b-x)}{n+\mathbf {1} _{k}^{T}x}}\prod _{i=1}^{k}{\binom {b_{i}+x_{i}-1}{x_{i}}}}{\binom {a+n-1}{n}}}$ | - |

## Absolutstetig Multivariat

| Name | Träger | Parameter | Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion | Bemerkung |
| - | - | - | - | - |
| Mehrdimensionale Normalverteilung, multivariate Normalverteilung | $\mathbb {R} ^{n}$ | $\mu \in \mathbb {R} ^{n}$, $\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}$, $\Sigma >0$. | :$f(x)={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{p}\det(\Sigma )}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{T}\Sigma ^{-1}(x-\mu )\right)$ | Verallgemeinerung der Normalverteilung |
| Dirichlet-Verteilung (der Ordnung $K$) | $x\in \mathbb {R} ^{K}$, $\mathbf {1} _{K}^{T}x=1$, $x\geq 0$ | $\alpha \in \mathbb {R} ^{n}$, $\alpha >0$ | $f(x)={\frac {\Gamma \left(\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}{\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}$ | - |

## Matrixvariat

| Name | Träger | Parameter | Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion | Bemerkung |
| - | - | - | - | - |
| Matrixvariate Normalverteilung (englisch matrix variate normal distribution) | $\mathbb {R} ^{n\times p}$ | $M\in \mathbb {R} ^{n\times p}$, $U\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, $V\in \mathbb {R} ^{p\times p}$, $U>0$, $V>0$ | $f(X)={\frac {\operatorname {etr} \left(-{\frac {1}{2}}\left[V^{-1}(X-M)^{T}U^{-1}(X-M)\right]\right)}{(2\pi )^{np/2}\det(V)^{n/2}\det(U)^{p/2}}}$ | Verallgemeinerung der Normalverteilung |
| Wishart-Verteilung | $\mathbb {R} ^{p\times p}$ | $V\in \mathbb {R} ^{p\times p}$, $V>0$, Freiheitsgrad $n\geq p$ | $f(X)={\frac {\det(X)^{\tfrac {n-p-1}{2}}\operatorname {etr} \left(-{\tfrac {1}{2}}V^{-1}X\right)}{2^{\tfrac {np}{2}}\det(V)^{\tfrac {n}{2}}\Gamma _{p}({\tfrac {n}{2}})}}$ | Hierbei bezeichnet $\Gamma _{p}(\cdot )$ die Multivariate Gamma-Funktion. Die Wishart-Verteilung ist die matrixvariate Verallgemeinerung der Chi-Quadrat-Verteilung. |
| Matrixvariate Studentsche t-Verteilung (englisch matrix variate t-distribution) | $\mathbb {R} ^{n\times p}$ | $M\in \mathbb {R} ^{n\times p}$, $\Omega \in \mathbb {R} ^{p\times p}$, $\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}$, $\Omega >0,\Sigma >0$, Freiheitsgrad $\nu$ | $f(X)={\frac {\Gamma _{p}\left({\tfrac {\nu +n+p-1}{2}}\right)}{(\pi )^{\tfrac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +p-1}{2}}\right)}}\det(\Omega )^{-{\tfrac {n}{2}}}\det(\Sigma )^{-{\tfrac {p}{2}}}$ $\cdot \det \left(\mathbb {1} _{n\times n}+\Sigma ^{-1}(X-M)\Omega ^{-1}(X-M)^{T}\right)^{-{\frac {\nu +n+p-1}{2}}}$ | Verallgemeinerung der studentschen t-Verteilung |
| Matrixvariate Beta-Verteilung (englisch matrix variate beta-type-I distribution) | $X\in \mathbb {R} ^{p\times p}$, $0<X<\mathbb {1} _{p\times p}$ | $a>{\tfrac {1}{2}}(p-1),\,b>{\tfrac {1}{2}}(p-1)$ | $f(X)={\frac {1}{\beta _{p}(a,b)}}\det(X)^{a-(p+1)/2}\det(\mathbb {1} _{p\times p}+X)^{b-(p+1)/2}$ | Verallgemeinerung der Beta-Verteilung |
| Matrixvariate inverse Beta-Verteilung (englisch matrix variate beta-type-II distribution) | $X\in \mathbb {R} ^{p\times p}$, $0<X$ | $a>{\tfrac {1}{2}}(p-1),\,b>{\tfrac {1}{2}}(p-1)$ | $f(X)={\frac {1}{\beta _{p}(a,b)}}\det(X)^{a-(p+1)/2}\det(\mathbb {1} _{p\times p}+X)^{-(a+b)}$ | Verallgemeinerung der inversen Beta-Verteilung |
