(31,6,1)-Blockplan
# (31,6,1)-Blockplan

Der (31,6,1)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 31 × 31 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 6 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 1 Eins in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 31, k = 6, λ = 1), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

## Bezeichnung

Dieser symmetrische 2-(31,6,1)-Blockplan wird Projektive Ebene oder Desarguessche Ebene der Ordnung 5 genannt.

## Eigenschaften

Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 31, k = 6, λ = 1 und damit folgende Eigenschaften:

* Er besteht aus 31 Blöcken und 31 Punkten.
* Jeder Block enthält genau 6 Punkte.
* Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 1 Punkt.
* Jeder Punkt liegt auf genau 6 Blöcken.
* Je 2 Punkte sind durch genau 1 Block verbunden.

## Existenz und Charakterisierung

Es existiert (bis auf Isomorphie) genau ein 2-(31,6,1) - Blockplan. Er ist selbstdual und hat die Signatur 31·60. Er enthält 3100 Ovale der Ordnung 6.

## Liste der Blöcke

Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

## Inzidenzmatrix

Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung

## Zyklische Darstellung

Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.

## Orthogonale Lateinische Quadrate (MOLS)

Diese Projektive Ebene der Ordnung 5 ist äquivalent mit diesen 4 MOLS der Ordnung 5:

    ${\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&5&1&4\\3&5&4&2&1\\4&1&2&5&3\\5&4&1&3&2\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&3&4&5&2\\2&5&1&4&3\\3&4&2&1&5\\4&2&5&3&1\\5&1&3&2&4\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&4&5&2&3\\2&1&4&3&5\\3&2&1&5&4\\4&5&3&1&2\\5&3&2&4&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&5&2&3&4\\2&4&3&5&1\\3&1&5&4&2\\4&3&1&2&5\\5&2&4&1&3\end{bmatrix}}$

## Oval

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung dieses Blockplans:

