Satz über rationale Nullstellen
# Satz über rationale Nullstellen

Der Satz über rationale Nullstellen (auch rationaler Nullstellentest oder Lemma von Gauß) ist eine Aussage über die rationalen Nullstellen ganzzahliger Polynome. Sie beinhaltet ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer rationalen Nullstelle und liefert dabei eine endliche Menge rationaler Zahlen, in der alle rationalen Nullstellen enthalten sein müssen.

## Aussage

Für jede rationale Nullstelle eines ganzzahligen Polynoms gilt, dass der Zähler ihrer gekürzten Darstellung das Absolutglied und der Nenner den Leitkoeffizienten des Polynoms teilt.

Seien also $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}$ mit $a_{i}\in \mathbb {Z}$ ein Polynom vom Grad $n$ und $x_{0}={\tfrac {p}{q}}$ (wobei $p,q\in \mathbb {Z}$ teilerfremd sind) eine rationale Nullstelle von $f$, dann ist $a_{0}$ durch $p$ teilbar und $a_{n}$ durch $q$ teilbar.

## Verallgemeinerung und Beweis

Der Satz über rationale Nullstellen ergibt sich auch als Korollar zu einer auf Gauß zurückgehenden allgemeineren Aussage über Polynome über dem Quotientenkörper eines faktoriellen Ringes (siehe Lemma von Gauß). Dieses Korollar lässt sich folgendermaßen formulieren: Sei $Z$ ein faktorieller Ring und $Q:=\operatorname {Quot} (Z)$ der Quotientenkörper von $Z$. Sei $f(X)=a_{n}X^{n}+...+a_{0}\in Z[X]$ ein Polynom vom Grad $n$ und einer Nullstelle $\alpha ={\frac {a}{b}}$ mit maximal gekürzten $a,b\in Z$. Dann teilt $b$ den ersten und $a$ den letzten Koeffizienten, also gilt:

    $b\vert a_{n}$ und $a\vert a_{0}$.

### Beweis

Es gilt:

    $0=f(\alpha )=f\left({\frac {a}{b}}\right)=a_{n}{\frac {a^{n}}{b^{n}}}+a_{n-1}{\frac {a^{n-1}}{b^{n-1}}}...+a_{0}$

Multiplikation mit $b^{n}$ ergibt:

    $0=f(\alpha )\cdot b^{n}=a_{n}a^{n}+...+a_{0}+a_{n-1}ba^{n-1}+...+a_{1}ab^{n-1}+a_{0}b^{m}$

$\implies -a_{n}a^{n}=b\cdot (a_{n-1}a^{n-1}+...+a_{1}ab^{n-2}+a_{0}b^{n-1})$

Nun teilt $b$ $a_{n}$, da $a$ und $b$ teilerfremd und somit auch $a^{n}$ und $b$. Damit existiert ein $r\in Z$ mit $a_{n}=b\cdot r$. Somit:

    $-bra^{n}=b\cdot (a_{n-1}a^{n-1}+...+a_{1}ab^{n-2}+a_{0}b^{n-1})$
    $\implies -ra^{n}=a_{n-1}a^{n-1}+...+a_{1}ab^{n-2}+a_{0}b^{n-1}$
    $\implies a_{0}b^{n-1}=a\cdot (-ra^{n-1}-a_{n-1}a^{n-2}-...-a_{1}b^{n-2})$

Da $a$ und $b$ teilerfremd ist, folgt nun also auch $a\vert a_{0}$.

### Alternativer Beweis mit dem Satz von Gauß

Nach Division mit dem größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten des Polynoms erhalten wir ein primitives Polynom ${\tilde {f}}(X)$, welches die gleichen Nullstellen wie $f$ besitzt. Da ${\tilde {f}}({\frac {a}{b}})=0$, teilt also $(X-{\frac {a}{b}})$ ${\tilde {f}}(X)$ in $Q[X]$, somit aber auch $g(X):=(bX-a)$.

Da aber nun $g(X)$ primitiv teilt $g{\tilde {f}}$ auch in $Z[X]$ nach dem Lemma von Gauß, also existiert ein Polynom $h(X)=c_{m}X^{m}+...+c_{1}X+c_{0}\in Z[X]$, sodass:

    ${\tilde {f}}(X)=h(x)\cdot g(X)=(c_{m}X^{m}+...+c_{1}X+c_{0})\cdot (bX-a)=bc_{m}X^{m+1}+...+ac_{0}$

Damit folgt die Aussage, da $c_{m},c_{0}\in Z$.

