Langleys Problem
# Langleys Problem

Langleys Problem oder auch Langleys hinzukommende Winkel (englisch: Langley's Problem oder Langley’s Adventitious Angles) ist eine Aufgabenstellung aus der Elementargeometrie, die von Edward Mann Langley 1922 in der Mathematical Gazette veröffentlicht wurde. Sie erwies sich seitdem als populär und fand eine weite Verbreitung in Aufgabensammlungen und Mathematikbüchern. Der Mathematiker Ross Honsberger bezeichnete sie in seinem Buch Mathematische Juwelen als „Dauerbrenner“.

## Aufgabe

Die exakte Aufgabenstellung variiert in der Literatur, manchmal wird sie anhand eines Vierecks anstatt eines Dreiecks gestellt oder es werden die Winkelangaben abgeändert. Die Originalaufgabe von Langley lautet wie folgt:

## Lösung

Bereits die Veröffentlichung Langleys führte zu einer Vielzahl von Leserbriefen mit Lösungen des Problems. Die Webseite Cut The Knot des Mathematikers Alexander Bogomolny (1948–2018) beschreibt zwölf verschiedene Beweise für die Originalaufgabe. Die folgende Lösung, die ohne trigonometrisches Hilfsmittel auskommt, orientiert sich an der Darstellung bei Heinrich Hemme und geht auf J. W. Mercer zurück, der sie 1923 in einem Leserbrief an die Mathematical Gazette beschrieb. Sie führt zwei Hilfslinien ein und verwendet dann die Eigenschaften gleichschenkliger und gleichseitiger Dreiecke, um die benötigten Hilfswinkel zu berechnen.

Man trägt in $B$ einen Winkel von $20^{\circ }$ an der Seite $BC$ ab, dessen zweiter Schenkel die Seite $AC$ in $G$ schneidet und verbindet dann den Punkt $G$ mit dem Punkt $F$. Mit Hilfe der Winkelsumme im Dreieck und der Nebenwinkeleigenschaft lassen sich nun die folgenden Winkel berechnen:

    $\angle BGC=180^{\circ }-20^{\circ }-80^{\circ }=80^{\circ }$
    $\angle BCF=80^{\circ }-30^{\circ }=50^{\circ }$
    $\angle BFC=180^{\circ }-80^{\circ }-50^{\circ }=50^{\circ }$
    $\angle GBE=80^{\circ }-20^{\circ }-20^{\circ }=40^{\circ }$
    $\angle BGE=180^{\circ }-80^{\circ }=100^{\circ }$
    $\angle BEC=180^{\circ }-80^{\circ }-60^{\circ }=40^{\circ }$

Aufgrund gleich großer Basiswinkel sind somit die Dreiecke $\triangle BCG$, $\triangle BCF$ und $\triangle BGF$ gleichschenklig und damit die Stecken $BC$, $BG$, $GE$ und $BF$ gleich lang. Damit ist auch das Dreieck $\triangle BGF$ gleichschenklig und da für den Winkel $\angle BGF=80^{\circ }-20^{\circ }=60^{\circ }$ gilt, ist es sogar gleichseitig. Also sind die Strecken $GF$ und $GE$ gleich lang und damit das Dreieck $\triangle GEF$ ebenfalls gleichschenklig. Es folgt:

    $\angle FGE=100^{\circ }-60^{\circ }=40^{\circ }$
    $\angle FEG={\frac {180^{\circ }-40^{\circ }}{2}}=70^{\circ }$
    $\angle BEF=70^{\circ }-40^{\circ }=30^{\circ }\quad \square$
