Rosette (Kurve)
# Rosette (Kurve)

* Foucaultsches Pendel
* Abbildung 4: Rosette: $n=\pi ,\ 0\leq \varphi \leq 40\pi$

Eine Rosette ist in der Geometrie eine ebene Kurve, die sich in Polarkoordinaten durch eine Gleichung

    $r=a\cos(n\varphi )\ ,\ n=1,2,3,\dots ,\;a>0,$

beschreiben lässt, d. h. die zugehörige Parameterdarstellung ist

    $x=a\cos(n\varphi )\;\cos(\varphi )$,
    $y=a\cos(n\varphi )\;\sin(\varphi )$.

Falls

    $n=1$ ist, ergibt sich der Kreis mit der Gleichung $(x-0{,}5)^{2}+y^{2}=0{,}25$,
    $n=2$ ist, ergibt sich ein Quadrifolium (4-blättrige Rosette),
    $n=3$ ist, ergibt sich ein Trifolium (3-blättrige Rosette),
    $n=4$ ist, ergibt sich ein 8-blättrige Rosette,
    $n=5$ ist, ergibt sich ein 5-blättrige Rosette.

Für

    $n$ gerade ist die Rosette $2n$-blättrig.
    $n$ ungerade ist die Rosette $n$-blättrig.

Bemerkung: Die Verwendung der Sinusfunktion statt der Kosinusfunktion bewirkt nur eine Drehung der Rosette.

## Verallgemeinerungen

* Lässt man für $n$ rationale Werte zu, so ergeben sich auch geschlossene Kurven (s. Abb. 2).
* Für irrationale Werte von $n$ sind die Kurven nicht geschlossen (s. Abb. 4).
* Addiert man zu $r$ eine Konstante: $r=a\cos(n\varphi )+\color {magenta}{c}$, ergeben sich Rosetten mit großen und kleinen Blütenblättern (s. Abb. 3).

Bemerkung: Das Foucaultsche Pendel beschreibt eine offene Rosettenkurve.

## Flächeninhalt

Eine Rosette $r=a\cos(n\varphi )$ besitzt den Flächeninhalt

    ${\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(n\varphi ))^{2}\,d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4n\pi )}{4n}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}$

falls $n$ gerade ist, und

    ${\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(n\varphi ))^{2}\,d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2n\pi )}{4n}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}$

falls $n$ ungerade ist.

Es besteht also ein einfacher Zusammenhang mit der Fläche des umgebenden Kreises mit Radius $a$.

