Permutationsmatrix
# Permutationsmatrix

Eine Permutationsmatrix oder auch Vertauschungsmatrix ist in der Mathematik eine Matrix, bei der in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag eins ist und alle anderen Einträge null sind. Jede Permutationsmatrix entspricht genau einer Permutation einer endlichen Menge von Zahlen. Wird eine Permutationsmatrix mit einem Vektor multipliziert, dann werden die Komponenten des Vektors entsprechend dieser Permutation vertauscht. Permutationsmatrizen sind orthogonal, doppelt-stochastisch und ganzzahlig unimodular. Die Menge der Permutationsmatrizen fester Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe. Permutationsmatrizen werden unter anderem in der linearen Algebra, der Kombinatorik und der Kryptographie verwendet.

## Definition

Eine Permutationsmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der genau ein Eintrag pro Zeile und Spalte gleich $1$ ist und alle anderen Einträge gleich $0$ sind. Hierbei sind im Allgemeinen $1$ und $0$ das Einselement und Nullelement eines zugrunde liegenden Rings $R$ (in der Praxis meist die reellen Zahlen). Jede Permutationsmatrix der Größe $n\times n$ entspricht genau einer Permutation $(\pi (1),\ldots ,\pi (n))$ der Zahlen von $1$ bis $n$. Die zu einer Permutation $\pi \in S_{n}$ zugehörige Permutationsmatrix

    $P_{\pi }=(p_{ij})\in R^{n\times n}$

hat dann als Einträge

    $p_{ij}=\delta _{\pi (i),j}={\begin{cases}1,&{\text{falls }}\pi (i)=j\\0,&{\text{sonst,}}\end{cases}}$

wobei $\delta _{ij}$ das Kronecker-Delta bezeichne. Werden durch die Permutation $\pi$ genau zwei Zahlen miteinander vertauscht, so bezeichnet man $P_{\pi }$ auch als Vertauschungsmatrix. Ist $e_{i}$ der $i$-te kanonische Einheitsvektor als Zeilenvektor, dann lässt sich die Permutationsmatrix $P_{\pi }$ auch durch

    $P_{\pi }={\begin{pmatrix}e_{\pi (1)}\\\vdots \\e_{\pi (n)}\end{pmatrix}}$

darstellen. Gelegentlich findet sich allerdings in der Literatur auch die umgekehrte Variante, bei der die Einheitsvektoren spaltenweise zusammengesetzt werden, wodurch die Permutationsmatrizen entsprechend transponiert werden. Im Folgenden wird jedoch die gebräuchlichere erste Variante verwendet.

## Beispiel

Die zu der Permutation

    $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&1&5&3\\\end{pmatrix}}\in S_{5}$

zugehörige Permutationsmatrix ist

    $P_{\pi }={\begin{pmatrix}e_{4}\\e_{2}\\e_{1}\\e_{5}\\e_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\end{pmatrix}}\in R^{5\times 5}$.

Nachdem durch die Permutation $\pi$ beispielsweise die Zahl $5$ auf die Zahl $3$ abgebildet wird, findet sich in der fünften Zeile von $P_{\pi }$ die $1$ in der dritten Spalte.

## Anwendung

Wird eine Permutationsmatrix mit einem gegebenen Spaltenvektor $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})^{T}$ multipliziert, dann ergibt das Matrix-Vektor-Produkt

    $P_{\pi }\cdot v={\begin{pmatrix}e_{\pi (1)}\\\vdots \\e_{\pi (n)}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{\pi (1)}\\\vdots \\v_{\pi (n)}\end{pmatrix}}$

einen neuen Spaltenvektor, dessen Einträge entsprechend der Permutation $\pi$ vertauscht wurden. Ist beispielsweise $v=(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5})^{T}$, dann ergibt das Matrix-Vektor-Produkt mit der obigen Beispiel-Permutationsmatrix den Spaltenvektor

    $P_{\pi }\cdot v={\begin{pmatrix}0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\\v_{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{4}\\v_{2}\\v_{1}\\v_{5}\\v_{3}\end{pmatrix}}.$

Wird eine Matrix von links mit einer Permutationsmatrix multipliziert, dann werden die Zeilen der Matrix gemäß der Permutation vertauscht. Umgekehrt ergibt die Multiplikation eines Zeilenvektors mit der transponierten Permutationsmatrix wieder einen Zeilenvektor mit entsprechend der Permutation $\pi$ vertauschten Elementen, also

    $v^{T}\cdot P_{\pi }^{T}={\begin{pmatrix}v_{1}&\ldots &v_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e_{\pi (1)}^{T}&\ldots &e_{\pi (n)}^{T}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{\pi (1)}&\ldots &v_{\pi (n)}\end{pmatrix}}$.

Für obiges Beispiel erhält man somit

    $v^{T}\cdot P_{\pi }^{T}={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}&v_{4}&v_{5}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{4}&v_{2}&v_{1}&v_{5}&v_{3}\end{pmatrix}}.$

Wird eine Matrix von rechts mit der transponierten Permutationsmatrix multipliziert, werden entsprechend die Spalten der Matrix gemäß der Permutation vertauscht.

## Eigenschaften

### Inverse

Permutationsmatrizen sind stets invertierbar, wobei die Inverse einer Permutationsmatrix gerade ihre Transponierte ist. Die transponierte Matrix ist dabei die Permutationsmatrix der inversen Permutation, es gilt also

    $P_{\pi }^{-1}=P_{\pi }^{T}=P_{\pi ^{-1}}$.

Reelle Permutationsmatrizen sind demnach stets orthogonal und haben vollen Rang $n$.

### Produkt

Das Produkt zweier Permutationsmatrizen ist wieder eine Permutationsmatrix, die der Hintereinanderausführung der zugehörigen Permutationen entspricht. Die Permutationsmatrix der Hintereinanderausführung zweier Permutationen $\pi ,\sigma \in S_{n}$ ergibt sich zu

    $P_{\pi \circ \sigma }=P_{\sigma }\cdot P_{\pi }$.

Die Abbildung $\pi \mapsto P_{\pi }$ stellt somit einen Antihomomorphismus dar. Die Menge der Permutationsmatrizen bildet zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe, und zwar eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe $\mathrm {GL} (n,R)$. Jede Permutationsmatrix kann dabei als Produkt von elementaren zeilenvertauschenden Matrizen dargestellt werden.

### Potenzen

Ganzzahlige Potenzen von Permutationsmatrizen sind wieder Permutationsmatrizen. Für jede Permutationsmatrix $P_{\pi }$ gibt es dabei eine Potenz $k$, sodass

    $P_{\pi }^{k}=I$

ergibt, wobei $I$ die Einheitsmatrix ist. Das kleinste positive $k$ mit dieser Eigenschaft ist gleich der Ordnung von $P_{\pi }$ in der allgemeinen linearen Gruppe. Diese Ordnung ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Längen der disjunkten Zyklen von $\pi$.

### Determinante

Die Determinante einer Permutationsmatrix ist entweder $+1$ oder $-1$ und entspricht dem Vorzeichen der zugehörigen Permutation:

    $\det(P_{\pi })=\operatorname {sgn} (\pi )$.

Eine Permutationsmatrix über den ganzen Zahlen ist damit eine ganzzahlige unimodulare Matrix. Die Spur einer ganzzahligen Permutationsmatrix entspricht der Anzahl der Fixpunkte der Permutation.

Die Determinante kann mit dem folgenden Schema ermittelt werden. Dazu wird für jede Spalte der Matrix die Zeilennummer, in der die eins steht, nebeneinander in eine Tabelle geschrieben. Darunter wird für jede Zahl z der ersten Zeile die Anzahl der Zahlen geschrieben, die größer als z sind und in der Tabelle links von z stehen; diese Anzahl heißt Kennmarke. Bei der eingangs angegebenen 8×8-Permutationsmatrix ergibt sich

| Zeilennummer z | 4 | 7 | 1 | 6 | 2 | 8 | 5 | 3 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Kennmarke a | 0 | 0 | 2 | 1 | 3 | 0 | 3 | 5 |

Ist die Summe der Kennmarken, wie hier, eine gerade Zahl, dann ist die Determinante 1, sonst −1; als Formel bei einer Permutationsmatrix der Größe $n\times n$:

    $\mathrm {det} (P_{\pi })=(-1)^{\nu }$ mit $\nu =\sum _{j=1}^{n}{\mathsf {a}}_{j}$

### Eigenwerte

Die Eigenwerte einer reellen Permutationsmatrix sind nicht notwendigerweise alle reell, sie liegen aber auf dem komplexen Einheitskreis. Sind $l_{1},\ldots ,l_{s}$ die Längen der Zyklen einer Permutation $\pi$, dann sind die Eigenwerte der zugehörigen Permutationsmatrix $P_{\pi }$ die komplexen Einheitswurzeln

    $\lambda _{jk}=e^{2\pi ik/l_{j}}$

für $j=1,\ldots ,s$ und $k=1,\ldots ,l_{j}$. Eine reelle Permutationsmatrix besitzt demnach genau dann den Eigenwert $e^{2\pi ik/m}$, wobei $k$ und $m$ teilerfremd seien, wenn die zugrunde liegende Permutation mindestens einen Zyklus aufweist, dessen Länge durch $m$ teilbar ist. Die Vielfachheit dieses Eigenwerts entspricht dann der Anzahl solcher Zyklen. Eine reelle Permutationsmatrix besitzt daher stets den Eigenwert $1$ mit Vielfachheit gleich der Gesamtzahl der Zyklen $s$ der zugrunde liegenden Permutation.

### Normen

Da reelle Permutationsmatrizen orthogonal sind, gilt für ihre Spektralnorm

    $\|P_{\pi }\|_{2}=1$.

Für die Spalten- und Zeilensummennorm einer reellen Permutationsmatrix ergibt sich ebenfalls

    $\|P_{\pi }\|_{1}=\|P_{\pi }\|_{\infty }=1$.

Eine reelle Permutationsmatrix ist damit eine doppelt-stochastische Matrix. Nach dem Satz von Birkhoff und von Neumann ist eine quadratische Matrix genau dann doppelt-stochastisch, wenn sie eine Konvexkombination von Permutationsmatrizen ist.

### Spezialfälle

* Die Permutationsmatrix der identischen Permutation ist die Einheitsmatrix.
* Eine Permutationsmatrix ist genau dann symmetrisch, wenn die zugrunde liegende Permutation selbstinvers ist.
* Weist eine Permutationsmatrix eine Blockstruktur auf, dann lässt sich die zugrunde liegende Permutation als Summe von Permutationen darstellen.

## Verwendung

Acht sich wechselseitig nicht angreifende Türme auf einem Schachbrett

Permutationsmatrizen werden unter anderem verwendet:

* in der linearen Algebra als Elementarmatrizen bei der Gauß-Elimination zur Lösung linearer Gleichungssysteme
* in der Kombinatorik bei der Matrixdarstellung von Permutationsgruppen
* in der Kryptographie als Komponenten von Blockverschlüsselungsverfahren

In der Schachmathematik bilden die Permutationsmatrizen gerade die Lösungen des Problems, $n$ Türme auf ein Schachbrett der Größe $n\times n$ so zu verteilen, dass sich keine Türme gegenseitig angreifen. Schwieriger zu lösen ist das Damenproblem, bei dem die Türme durch Damen ersetzt werden, die auch diagonal angreifen können. Die Lösungen des Damenproblems sind ebenfalls Permutationsmatrizen.

## Verallgemeinerung

Eine verallgemeinerte Permutationsmatrix oder monomiale Matrix ist eine quadratische Matrix $G\in R^{n\times n}$, bei der genau ein Eintrag pro Zeile und Spalte ungleich $0$ ist. Monomiale Matrizen haben die Darstellung

    $G=P\cdot D$,

wobei $P\in R^{n\times n}$ eine gewöhnliche Permutationsmatrix und $D\in R^{n\times n}$ eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge alle ungleich $0$ sind. Die regulären monomialen Matrizen bilden mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung die monomiale Gruppe $\operatorname {M} (n,R)$, eine weitere Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe $\operatorname {GL} (n,R)$. Spezielle monomiale Matrizen sind vorzeichenbehaftete Permutationsmatrizen, bei denen in jeder Zeile und jeder Spalte genau ein Eintrag $+1$ oder $-1$ ist und alle übrigen Einträge $0$ sind.

