Polytrope Zustandsänderung
# Polytrope Zustandsänderung

In der Thermodynamik wird eine Zustandsänderung eines Systems, in der für Druck $p$ und spezifisches Volumen $v$ die Gleichung $pv^{n}=\mathrm {const}$ gilt, als polytrop bezeichnet. Der Exponent $n$ wird Polytropenexponent genannt. Bei technischen Vorgängen kann der Polytropenexponent als konstant angesehen werden. Eine Polytrope nimmt im p-v-Diagramm die Form einer Potenzfunktion mit negativer Steigung an.

Sonderfälle der polytropen Zustandsänderung sind:

* $n=0$ : isobar
* $n=1$ : isotherm
* $n=\infty$ : isochor
* $n=\kappa ={\frac {c_{\mathrm {p} }}{c_{\mathrm {v} }}}$ : isentrop oder auch adiabat-reversibel

Die einem Gas während dieser Zustandsänderung zugeführte Wärme ist gegeben durch:

    $Q_{12}=m\ c_{\mathrm {v} }{\frac {n-\kappa }{n-1}}\ (T_{2}-T_{1})$

Dabei bezeichnet $m$ die Masse, $T_{1}$ und $T_{2}$ Anfangs- und Endtemperatur des Prozesses. Die Polytropie zeichnet sich durch eine feste Wärmekapazität aus, welche sich aus $c_{\mathrm {p} }$, $c_{\mathrm {v} }$ und $n$ ergibt.

Man spricht auch von polytroper Zustandsgleichung:

    $p=K\cdot \rho ^{\gamma }$

mit dem Druck p, der Dichte $\rho$, der Polytropenkonstante K und dem Polytropenindex m in $\gamma =1+{\frac {1}{m}}$. Sie findet zum Beispiel Anwendung in der Astrophysik (Lane-Emden-Gleichung).

## Ideale Gase

Für ideale Gase, bei isentropen Zustandsänderungen, gelten außerdem folgende Beziehungen:

    ${\frac {T_{2}}{T_{1}}}=\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {n-1}{n}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{n-1}$ bzw.
    ${\frac {p_{2}}{p_{1}}}=\left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {n}{n-1}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{n}$

mit

    $T$: absolute Temperatur
    $p$: Druck
    $V$: Volumen.

Bei der isentropen Zustandsänderung eines idealen Gases gilt $n=c_{\mathrm {p} }/c_{\mathrm {v} }$. Mit der isobaren Wärmekapazität $c_{\mathrm {p} }$ und der isochoren Wärmekapazität $c_{\mathrm {v} }$. Bei zweiatomigen Gasen kann $n=1{,}403$ (beispielsweise Luft als Gasgemisch) und bei einatomigen Gasen (Edelgasen) $n=1{,}66$ angesetzt werden.

