Sparkassenformel
# Sparkassenformel

Als Sparkassenformeln werden in der Finanzmathematik Differenzengleichungen bezeichnet, die einen Zusammenhang zwischen dem Anfangskapital und dem Endkapital nach einer bestimmten Anzahl Perioden in Jahren, einer Rate und einem Zins (jeweils pro Periode) herstellen. Es handelt sich um eine Kombination aus der Endwertberechnung für Zinseszinsen und der Rentenrechnung.

## Formel

Wird das Endkapital $K_{n}$ bei einem Anfangskapital $K_{0}$, einem Zinssatz $i$ (mit Zinsfaktor $q=1+i$), einer Laufzeit $n$ in Jahren und einer jährlichen Rate $R$ gesucht, dann ergeben sich für $q\neq 1$ folgende Formeln für die

* nachschüssige Rate (Zahlung der Rate am 31. Dezember eines jeden Jahres):

    $K_{n}=K_{0}\cdot q^{n}\pm R\cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}$
* vorschüssige Rate (Zahlung der Rate am 1. Januar eines jeden Jahres):

    $K_{n}=K_{0}\cdot q^{n}\pm \ R\cdot q\cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}$

In beiden Fällen steht das Anfangskapital $K_{0}$ am 1. Januar des ersten Jahres zur Verzinsung bereit.

Bei Addition der Rate wird Kapital aufgebaut und bei der Subtraktion wird Kapital abgebaut. Die Formel gilt auch für Kredite mit konstanten Raten, wobei das Anfangskapital $K_{0}$ dann negativ ist.

## Herleitung

### Nachschüssige Ratenzahlung

Nach Ablauf des ersten Jahres wird das Anfangskapital mit dem Zinsfaktor $q$ verzinst und die erste Rate $R$ gezahlt (nachschüssige Ratenzahlung). Damit beträgt dann der Kapitalwert

    $K_{1}=K_{0}\cdot q\pm R$.

Im 2. Jahr wird wieder das bestehende Kapital mit dem Zinsfaktor $q$ verzinst und die Rate gezahlt. Damit beträgt der Kapitalwert im 2. Jahr

    $K_{2}=K_{1}\cdot q\pm R=K_{0}\cdot q^{2}\pm R(1+q)$.

Im 3. Jahr ist der Kapitalwert

    $K_{3}=K_{2}\cdot q\pm R=K_{0}\cdot q^{3}\pm R(1+q+q^{2})$.

Analog erhält man im Jahr $n$ den Kapitalwert

    $K_{n}=K_{n-1}\cdot q\pm R=K_{0}\cdot q^{n}\pm R(1+q+q^{2}+\dots +q^{n-1})$.

Ersetzt man die Summe in Klammern auf der rechten Seite durch die Formel für die geometrische Reihe, erhält man die obige Sparkassenformel für die nachschüssige Ratenzahlung.

### Vorschüssige Ratenzahlung

Bei der vorschüssigen Ratenzahlung wird sowohl der Vorjahreskapitalwert als auch die am Jahresanfang gezahlte Rate mit dem Zinsfaktor $q$ verzinst. Im ersten Jahr ist dann

    $K_{1}=(K_{0}\pm R)\cdot q=K_{0}\cdot q\pm R\cdot q$.

Die gleiche Herleitung wie für die nachschüssige Ratenzahlung mit der Ersetzung $qR$ statt $R$ liefert die Sparkassenformel für die vorschüssige Ratenzahlung.

