Logit
# Logit

Ein Logit ist in der Statistik der natürliche Logarithmus einer Chance, d. h. der Wahrscheinlichkeit $p$ geteilt durch die Gegenwahrscheinlichkeit $1-p$. Unter der Logit-Transformation versteht man die Transformation von Wahrscheinlichkeiten in Logits. Diese wird in der logistischen Regression zur Spezifikation der Kopplungsfunktion verwendet.

## Definition

Ein Logit ist der natürliche Logarithmus einer Chance (Wahrscheinlichkeit $p$ durch Gegenwahrscheinlichkeit $1-p$, engl. odds) für eine Wahrscheinlichkeit $0<p<1$, d. h.

    $\operatorname {logit} (p):=\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right)=\ln \left(\operatorname {odds} (p)\right)\;.$

Die Funktion $\operatorname {logit} \colon (0,1)\to \mathbb {R}$ heißt Logit-Funktion. Wenn Wahrscheinlichkeiten $p\in (0,1)$ in $\operatorname {logit} (p)\in \mathbb {R}$ transformiert werden, spricht man auch von einer Logit-Transformation.

## Eigenschaften

* Die Logit-Funktion kann auch mit dem Areatangens Hyperbolicus dargestellt werden,

       $\operatorname {logit} (p)=2\operatorname {artanh} (2p-1),\quad 0<p<1\;.$
* Es gilt

       $\operatorname {logit} (p){\begin{cases}<0&{\text{für }}p<1/2\\=0&{\text{für }}p=1/2\\>0&{\text{für }}p>1/2\end{cases}}\;.$
* Die Logit-Funktion besitzt die Symmetrieeigenschaft

       $\operatorname {logit} (1-p)=-\operatorname {logit} (p)\quad {\text{für alle }}0<p<1$
* Die Logit-Funktion ist differenzierbar und hat die Ableitungsfunktion

       $\operatorname {logit} '(p)={\frac {1}{p(1-p)}}>0\quad {\text{für alle }}0<p<1\;.$
* Die Logit-Funktion ist invertierbar. Die Umkehrfunktion der Logit-Funktion ist die logistische Funktion (manchmal auch Expit oder Sigmoid genannt):

       $F_{\text{logistisch}}(x):=\operatorname {logit} ^{-1}(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {1}{1+e^{-x}}},\quad x\in \mathbb {R}$.
