Probit
# Probit

Ein Probit ist in der Statistik die zu einer Wahrscheinlichkeit $p\in (0,1)$ gebildete Größe $\Phi ^{-1}(p)\in \mathbb {R}$, wobei $\Phi ^{-1}$ die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion $\Phi$ der Standardnormalverteilung bezeichnet. Unter der Probit-Transformation versteht man die Transformation von Wahrscheinlichkeiten in Probits. Diese Transformation wird im Probit-Modell, einem speziellen verallgemeinerten linearen Modell, zur Spezifikation der Kopplungsfunktion verwendet.

In der Biometrie werden in der sogenannten Probitanalyse zur Untersuchung von Dosis-Wirkung-Beziehungen die Begriffe Probit und Probit-Transformation in einer verwandten, aber abweichenden Bedeutung verwendet.

## Definition

Für eine Wahrscheinlichkeit $0<p<1$ heißt

    $\operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)$

Probit von $p$, wobei $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet. Die Funktion $\operatorname {probit} \colon (0,1)\to \mathbb {R}$ heißt auch Probit-Funktion. Wenn Wahrscheinlichkeiten $p\in (0,1)$ in $\operatorname {probit} (p)\in \mathbb {R}$ transformiert werden, spricht man auch von einer Probit-Transformation.

## Eigenschaften

* Es gilt

       $\operatorname {probit} (p){\begin{cases}<0&{\text{für }}p<1/2\\=0&{\text{für }}p=1/2\\>0&{\text{für }}p>1/2\end{cases}}\;.$
* Die Probit-Funktion besitzt die Symmetrieeigenschaft

       $\operatorname {probit} (1-p)=-\operatorname {probit} (p)\quad {\text{für alle }}0<p<1$
* Die Probit-Funktion ist differenzierbar und hat die Ableitungsfunktion

       $\operatorname {probit} '(p)={\frac {1}{\varphi (\Phi (p))}}>0\quad {\text{für alle }}0<p<1,$
    wobei $\varphi$ die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.
* Die Probit-Funktion ist invertierbar. Ihre Umkehrfunktion ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
* Formal ist $\operatorname {probit} (p)$ das $p$-Quantil der Standardnormalverteilung und die Probit-Funktion ist die Quantilfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen. Die Bezeichnung Probit hat sich aber in bestimmten Anwendungsgebieten der Statistik durchgesetzt, auch als sprachliche Parallele zu Logit.

## Probitanalyse

In der Biometrie heißt ein Teilgebiet der Untersuchung von Dosis-Wirkung-Beziehungen Probitanalyse. Dort findet sich folgende abweichende Terminologie für den Begriff Probit-Transformation. Für eine Zufallsvariable $X$, deren dekadischer Logarithmus $\lg X$ einer Normalverteilung mit den Parametern $\mu$ und $\sigma ^{2}$ genügt, ist die Zufallsvariable $(\lg X-\mu )/\sigma$ standardnormalverteilt und die Zufallsvariable $5+(\lg X-\mu )/\sigma$ nimmt mit sehr großer Wahrscheinlichkeit positive Werte an. Die Transformation der Messwerte

    $x\mapsto 5+{\frac {\lg x-\mu }{\sigma }}$

heißt in diesem Zusammenhang Probit-Transformation. In diesem Zusammenhang wird der zu einer Wahrscheinlichkeit $p$ gehörende Probit als der Wert $\Phi ^{-1}(p)+5$ definiert.

