Carol-Zahl
# Carol-Zahl

In der Zahlentheorie ist eine Carol-Zahl eine ganze Zahl der Form $(2^{n}-1)^{2}-2$ oder, gleichbedeutend, eine Zahl der Form $4^{n}-2^{n+1}-1$ mit $n\geq 1$. Zahlen dieser Form wurden erstmals untersucht von Cletus Emmanuel, der sie nach einer Freundin, Carol G. Kimon, benannt hat.

## Beispiele

* Die ersten Carol-Zahlen sind die folgenden:

       −1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527, 4190207, 16769023, 67092479, 268402687, 1073676287, 4294836223, 17179607039, 68718952447, 274876858367, 1099509530623, 4398042316799, 17592177655807, 70368727400447, 281474943156223, 1125899839733759, … (Folge A093112 in OEIS)
* Die ersten primen Carol-Zahlen sind die folgenden:

       7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087, … (Folge A091516 in OEIS)
    Man nennt sie Carol-Primzahlen.
* Die siebente Carol-Zahl $16127$ ist gleichzeitig die fünfte Carol-Primzahl und ist auch eine Primzahl, wenn man ihre Stellen umdreht (also $72161$).

    Solche Zahlen nennt man Carol-Mirpzahlen.
    Man kennt momentan nur zwei Carol-Mirpzahlen:
       16127, 16769023
* Die größte bekannte Carol-Primzahl ist $(2^{695631}-1)^{2}-2$ und hat $418812$ Stellen. Sie wurde von Mark Rodenkirch am 16. Juli 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die 44. Carol-Primzahl.

## Eigenschaften

* Jede Carol-Zahl der Form $(2^{n}-1)^{2}-2$ mit $n>2$ hat eine binäre Darstellung, welche $2n$ Stellen lang ist, mit $n-2$ Einsern beginnt, eine einzelne Null in der Mitte hat und mit weiteren $n+1$ Einsern endet. Mit anderen Worten:

    $(2^{n}-1)^{2}-2=\sum _{i=1 \atop i\not =n+2}^{2n}2^{i-1}$
       Beispiel:
          $223=(2^{4}-1)^{2}-2={\underline {1}}\cdot 2^{7}+{\underline {1}}\cdot 2^{6}+{\underline {0}}\cdot 2^{5}+{\underline {1}}\cdot 2^{4}+{\underline {1}}\cdot 2^{3}+{\underline {1}}\cdot 2^{2}+{\underline {1}}\cdot 2^{1}+{\underline {1}}\cdot 2^{0}=11011111_{2}$
* Die Differenz zwischen der $2n$-ten Mersenne-Zahl (also $2^{2n}-1$) und der $n$-ten Carol-Zahl beträgt $2^{n+1}$.

       Somit könnte man die Carol-Zahlen anders definieren, nämlich als $(2^{2n}-1)-2^{n+1}$.
* Die Differenz zwischen der $n$-ten Kynea-Zahl $(2^{n}+1)^{2}-2$ und der $n$-ten Carol-Zahl beträgt $2^{n+2}$.
* Wenn man mit der Carol-Zahl 7 zählen beginnt, ist jede dritte Carol-Zahl ein Vielfaches von $7$.

       Beispiel:
          $65023=(2^{8}-1)^{2}-2$ ist die sechste Carol-Zahl nach $7$ und tatsächlich ist $65023=9289\cdot 7$ ein Vielfaches von $7$.
* Eine Carol-Zahl $(2^{n}-1)^{2}-2$ mit $n=3k+2$ für $k>0$ kann keine Primzahl sein.

    (folgt aus der Eigenschaft direkt darüber)

## Verallgemeinerungen

Eine verallgemeinerte Carol-Zahl zur Basis b ist eine Zahl der Form $(b^{n}-1)^{2}-2$ mit $n\geq 1$ und einer Basis $b\geq 2$.

### Eigenschaften

* Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis $b\geq 4$ kann nur dann eine Primzahl sein, wenn $b$ eine gerade Zahl ist.

       (Wenn $b$ eine ungerade Zahl wäre, wäre auch jede Potenz $b^{n}$ ungerade. Zieht man $1$ ab, ist die Zahl gerade. Das Quadrat dieser Zahl ist ebenfalls gerade und zieht man $2$ ab, ist sie noch immer gerade und somit sicher nicht prim (für $b\geq 4$). Damit ist diese und die nächste Eigenschaft bewiesen.)
* Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit einer ungeraden Basis $b$ ist immer eine gerade Zahl.
* Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis $b^{n}$ ist auch eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis $b$.
* Die kleinsten $n\geq 1$, sodass $((2k)^{n}-1)^{2}-2$ prim ist (Basis $b=2k$), sind die folgenden (für $k=1,2,3,4,\ldots ,100$):

       2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 159, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 12, 1, 1, 2, 9, 1, 88, 2, 1, 1, 12, 4, 1, 1, 183, 1, 1, 320, 24, 4, 3, 2, 1, 3, 1, 5, 2, 4, 2, 1, 2, 1, 705, 2, 3, 29, 1, 1, 1, 4836, 20, 1, 135, 1, 4, 1, 6, 1, 15, 3912, 1, 2, 8, 3, 24, 1, 14, 4, 1, 2, 321, 11, 1, 174, 1, 6, 1, 42, 310, 1, 2, 27, 2, 1, 29, 3, 103, 20, …
       Beispiel:
          Für $n=6$ kann man der obigen Liste an der 6. Stelle die Zahl $n=3$ entnehmen.
          Tatsächlich ist $((2\cdot 3)^{6}-1)^{2}-2=2176689023\in \mathbb {P}$ eine Primzahl.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten verallgemeinerten Carol-Primzahlen mit Basis $b$ entnehmen kann:

| $b$ | Form | Potenzen $n\geq 1$, sodass verallgemeinerte Carol-Zahlen mit Basis $b$, also der Form $(b^{n}-1)^{2}-2$ prim sind | OEIS-Folge |
| - | - | - | - |
| $2$ | $(2^{n}-1)^{2}-2$ | 2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 55, 129, 132, 159, 171, 175, 315, 324, 358, 393, 435, 786, 1459, 1707, 2923, 6462, 14289, 39012, 51637, 100224, 108127, 110953, 175749, 185580, 226749, 248949, 253987, 520363, 653490, 688042, 695631, … | (Folge A091515 in OEIS) |
| $3$ | $(3^{n}-1)^{2}-2$ | 1 (führt zur geraden Primzahl $p=2$; mehr Potenzen $n$ existieren nicht) | |
| $4$ | $(4^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 2, 3, 5, 6, 9, 66, 162, 179, 393, 3231, 19506, 50112, 92790, 326745, 344021, … | |
| $6$ | $(6^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 2, 6, 7, 20, 47, 255, 274, 279, 308, 1162, 2128, 3791, 9028, 9629, 10029, 13202, 38660, 46631, 48257, 117991, … | (Folge A100901 in OEIS) |
| $8$ | $(8^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 43, 44, 53, 57, 105, 108, 131, 145, 262, 569, 2154, 4763, 13004, 33408, 58583, 61860, 75583, 82983, 217830, 231877, … | |
| $10$ | $(10^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 8, 21, 123, 4299, 6128, 11760, 18884, 40293, … | (Folge A0100903 in OEIS) |
| $12$ | $(12^{n}-1)^{2}-2$ | 3, 29, 51, 7824, 15456, 22614, 28312, 47014, 68835, … | |
| $14$ | $(14^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 6, 13, 45, 74, 240, 553, 12348, 13659, 50603, … | (Folge A0100905 in OEIS) |
| $16$ | $(16^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 3, 33, 81, 9753, 25056, 46395, … | |
| $18$ | $(18^{n}-1)^{2}-2$ | 2, 8, 30, 98, 110, 185, 912, 2514, 4074, 10208, 15123, 19395, 69354, … | |
| $20$ | $(20^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 2, 53, 183, 1281, 1300, 8041, 29936, 72820, … | |
| $22$ | $(22^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 8, 35, 88, 503, 8643, 8743, 14475, 92539, … | (Folge A0100907 in OEIS) |
| $24$ | $(24^{n}-1)^{2}-2$ | 2, 27, 92, 4950, 20047, 46309, 55716, … | |
| $26$ | $(26^{n}-1)^{2}-2$ | 159, 879, 4744, 5602, 74387, … | |
| $28$ | $(28^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 22, 127, 165, 2520, 6492, 6577, 22960, 25528, … | |
| $30$ | $(30^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 6, 19, 30, 166, 495, 769, 826, 1648, 3993, … | |
| $32$ | $(32^{n}-1)^{2}-2$ | 2, 3, 5, 11, 35, 63, 87, 37116, 130698, … | |
| $34$ | $(34^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 4, 258, … | |
| $36$ | $(36^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 3, 10, 137, 154, 581, 1064, 4514, 6601, 19330, … | |
| $38$ | $(38^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 2, 13, 560, 28933, … | |
| $40$ | $(40^{n}-1)^{2}-2$ | 4, 15, 39, 138, 2153, 4084, 5639, … | |
| $42$ | $(42^{n}-1)^{2}-2$ | 3, 6, 14, 15, 29, 78, 195, 255, 272, 713, 2526, 4852, 10573, … | |
| $44$ | $(44^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 7, 30, 90, 1288, 1947, 12909, 25786, … | |
| $46$ | $(46^{n}-1)^{2}-2$ | 12, 269, 1304, 5172, … | |
| $48$ | $(48^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 2, 4, 6, 12, 13, 3882, 6123, 15067, 15085, … | |
| $50$ | $(50^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 3, 4, 9, 31, 66, 115, 430, 1233, 2546, 2674, 6360, 53351, 69033, 69157, … |

Die größte bekannte verallgemeinerte Carol-Primzahl ist $(290^{124116}-1)^{2}-2$ und hat $611246$ Stellen. Sie wurde von Karsten Bonath am 1. März 2019 gefunden. Es ist die dritte Kynea-Primzahl mit dieser Basis.

## Weitere Verallgemeinerungen

Eine positive ganze Zahl der Form $(2^{n}-1)^{3}+2$ nennt man Noddy-Zahl (Noddy number).

Die kleinsten primen Noddy-Zahlen sind die folgenden:

    0, 1, 2, 6, 10, 16, 48, 70, 1196, 3958, 57096, 59556, 62440, 70362, … (Folge A0100899 in OEIS)
