Maximaler Torus
# Maximaler Torus

In der Mathematik ist ein maximaler Torus einer kompakten Lie-Gruppe $G$ eine maximale kompakte, zusammenhängende, abelsche Untergruppe $T$.

Er ist ein $r$-Torus, seine Dimension $r$ ist per Definition der Rang der kompakten Lie-Gruppe $G$.

Der Satz vom maximalen Torus besagt, dass jedes Element $g\in G$ zu einem Element aus $T$ konjugiert ist.

## Beispiele

Für $G=U(n)$ ist die Untergruppe der Diagonalmatrizen $T=\left\{\operatorname {diag} (e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}):\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}\in \mathbb {R} \right\}$ ein maximaler Torus.

Für $G=SO(2n)$ ist die Untergruppe aller Blockdiagonalmatrizen mit 2×2-Blöcken aus $SO(2)$ ein maximaler Torus.

## Eigenschaften

Der Satz vom maximalen Torus besagt, dass jedes Element $g\in G$ zu einem Element aus $T$ konjugiert ist.

Aus diesem Satz ergeben sich zahlreiche Folgerungen:

* Alle maximalen Tori sind konjugiert zueinander.
* Alle maximalen Tori haben dieselbe Dimension, den Rang von $G$.
* Ein maximaler Torus ist eine maximale abelsche Untergruppe.
* Die maximalen Tori sind die Bilder maximaler abelscher Unteralgebren unter der Exponentialabbildung $\exp \colon {\mathfrak {g}}\to G$.
* Jedes Element $g\in G$ liegt in einem maximalen Torus.
* Die Differenz aus der Dimension und dem Rang von $G$ ist eine gerade Zahl.
