T1-Raum
# T1-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind $T_1-Räume$ spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Das $T_1-Axiom$ ist ein Beispiel eines Trennungsaxioms.

## Definition

Sei X ein topologischer Raum. X heißt $T_1-Raum,$ falls für zwei beliebige Punkte jeder eine Umgebung besitzt, in der der andere nicht liegt. Zur Abgrenzung: Bei einem T₀-Raum muss nur einer der beiden Punkte eine solche Umgebung besitzen, bei einem T₂-Raum müssen die beiden Umgebungen disjunkt gewählt werden können. Man sagt auch, dass ein $T_1-Raum$ eine Fréchet-Topologie besitzt. Zu vermeiden ist in diesem Zusammenhang die Bezeichnung Fréchet-Raum, die ein Begriff aus der Funktionalanalysis ist.

## Eigenschaften

Sei X ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:

* X ist ein $T_1-Raum.$
* X ist ein Kolmogoroff-Raum und ein $R_0-Raum.$
* Alle einpunktigen Mengen in X sind abgeschlossen.
* Jede endliche Menge ist abgeschlossen.
* Jede Menge mit endlichem Komplement ist offen.
* Jeder Elementarfilter zu einem beliebigen x konvergiert nur gegen x.
* Für jede Teilmenge S von X gilt, dass ein Element x aus X genau dann ein Häufungspunkt von S ist, wenn jede offene Umgebung von x unendlich viele Elemente von S enthält.

In topologischen Räumen gelten immer folgende Implikationen

    getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar ⇒ disjunkt

Falls der erste Pfeil umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen $R_0-Raum,$ genau in einem $T_0-Raum$ gilt dies auch für die zweite Implikation. Damit sieht man, dass ein topologischer Raum genau dann $T_1$ erfüllt, wenn er sowohl ein $R_0-Raum$ und ein $T_0-Raum$ ist.

## Beispiele

Die Zariski-Topologie auf einer algebraischen Varietät (im klassischen Sinne) ist $T_1.$ Um das zu sehen betrachten wir einen Punkt mit lokaler Koordinate $(c_{1},\ldots c_{n})$. Die dazugehörige einpunktige Menge ist die Nullstellenmenge der Polynome $X-c_{1},\ldots ,X-c_{n}$. Der Punkt ist somit abgeschlossen.

Für ein weiteres Beispiel betrachten wir die kofinite Topologie auf einer abzählbaren Menge, etwa der Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$. Als offene Menge definieren wir genau die leere Menge und die Mengen mit endlichem Komplement. Sie haben also alle die Gestalt $O_{A}=\mathbb {Z} \setminus A$ mit einer endlichen Menge A. Seien nun x und y zwei verschiedene Punkte. Die Menge $O_{\{y\}}$ ist eine offene Menge, die x enthält und y nicht. Andererseits enthält $O_{\{x\}}$ das Element y aber x nicht. Somit handelt es sich tatsächlich um einen $T_1-Raum.$ Dies kann man aber auch aus der Tatsache folgern, dass einelementige Mengen abgeschlossen sind. Dieser Raum ist aber kein $T_2-Raum.$ Denn für zwei endliche Mengen A und B gilt $O_{A}\cap O_{B}=O_{A\cup B}$, was nie leer sein kann. Weiter ist die Menge der geraden Zahlen kompakt, aber nicht abgeschlossen, was in einem $T_2-Raum$ nie der Fall sein kann.

Allgemeiner gilt für jeden topologischen Raum, der das $T_1-Axiom$ erfüllt, dass seine Topologie bereits die kofinite Topologie umfasst. Die kofinite Topologie ist somit die gröbste $T_1-Topologie$ auf einer Menge.

