Z2 (Gruppe)
# Z2 (Gruppe)

Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ($\mathbb {Z} _{2}$ oder $C_{2}$) ist die kleinste nichttriviale Gruppe in der Gruppentheorie und damit die kleinste endliche einfache Gruppe. Sie ist isomorph zur symmetrischen Gruppe $S_{2}$, zur ersten Diedergruppe $D_{1}$ und zur orthogonalen Gruppe $O(1)$ im Eindimensionalen.

## Eigenschaften

Da die Gruppe abelsch ist, schreibt man die Verknüpfung gerne additiv mit 0 als neutralem Element und 1 als dem zweiten Element der Gruppe. Diese Schreibweise wird durch Herkunft als Faktorgruppe $\mathbb {Z} _{2}$ der additiven Gruppe der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ nahegelegt. Die Verknüpfungstafel dieser Gruppe lautet:

| $+$ | 0 | 1 |
| - | - | - |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |

Die Operation dieser Gruppe kann mannigfaltig interpretiert werden, wie zum Beispiel als XOR-Verknüpfung. Eine multiplikative Sicht ergibt sich daraus, dass die Gruppe $\{1,2\}$ der invertierbaren Elemente des endlichen Körpers $\mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}$ isomorph zu $\mathbb {Z} _{2}$ ist, man erhält folgende multiplikative Verknüpfungstafel, bei 1 das neutrale Element ist:

| $\cdot$ | 1 | 2 |
| - | - | - |
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 1 |

Eine weitere Realisierung erhält man als Einheitengruppe des Ringes $\mathbb {Z}$. Diese ist $\{-1,1\}\subset \mathbb {Z}$ und man erhält die Verknüpfungstafel

| $\cdot$ | 1 | −1 |
| - | - | - |
| 1 | 1 | −1 |
| −1 | −1 | 1 |

Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ist die einzige Gruppe mit der Ordnung 2.

## $ℤ_2$ als Untergruppe

* Das direkte Produkt der zyklischen Gruppe vom Grad 2 mit sich selbst ergibt die Kleinsche Vierergruppe: $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}=V_{4}$.
* Das direkte Produkt abzählbar vieler dieser Gruppen ergibt die Cantorgruppe.
* Die symmetrische Gruppe $S_{3}$ enthält drei zur Gruppe $\mathbb {Z} _{2}$ isomorphe echte Untergruppen.

## Darstellungen

Jede nichttriviale Darstellung der $\mathbb {Z} _{2}$ bildet das nichttriviale Element auf eine Involution ab, umgekehrt definiert jede lineare Involution eine Darstellung der $\mathbb {Z} _{2}$.

Im Fall reeller Vektorräume ist jede lineare Involution eine Spiegelung, die Darstellungen der $\mathbb {Z} _{2}$ entsprechen also den Spiegelungen an Untervektorräumen beliebiger Dimension.

## $ℤ_2$ als Körper

Die Gruppe $\mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}$ mit der oben angegebenen Verknüpfung + ist die additive Gruppe eines Körpers. Die dazu nötige Multiplikation auf $\mathbb {Z} _{2}$ ist durch die Verknüpfungstafel

| $\cdot$ | 0 | 1 |
| - | - | - |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |

gegeben. Beachte, dass $\mathbb {Z} _{2}$ mit dieser Multiplikation keine Gruppe bildet. Die beiden Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ zusammen machen $\mathbb {Z} _{2}$ zu einem Körper, den man dann nach dem englischen Wort field für Körper gerne mit $F_{2}$ oder $\mathbb {F} _{2}$ bezeichnet.

