6j-Symbol
# 6j-Symbol

Das 6j-Symbol von Eugene Wigner ist eine Notation zur Kopplung von Drehimpulsen in der Quantenmechanik. Es spielt eine Rolle bei der Kopplung von drei quantenmechanischen Drehimpulsen.

## Definition

Es ist folgendermaßen als Summe über Produkte von vier 3j-Symbolen definiert:

    ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}$
    $=\sum _{m_{1},\dots ,m_{6}}(-1)^{\sum _{k=1}^{6}(j_{k}-m_{k})}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\m_{1}&-m_{5}&m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\m_{4}&m_{2}&-m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\-m_{4}&m_{5}&m_{3}\end{pmatrix}}.$

Dabei ist zu beachten, dass nicht alle $m_{i}$ nichtverschwindende Beiträge leisten (Auswahlregeln der 3j-Symbole, siehe dort).

## Symmetrien

Das 6j-Symbol ist invariant unter Vertauschung seiner Spalten:

    ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}=\cdots$

Es ist auch invariant unter gleichzeitiger Vertauschung von übereinanderstehenden Symbolen in zwei Spalten:

    ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.$

Insgesamt gibt es 24 Symmetrien.

Das 6j-Symbol

    ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}$

verschwindet außer $j_{1},j_{2},j_{3}$ erfüllen die Dreiecksbedingung:

    $j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}$

Wegen der oben erläuterten Symmetrien müssen auch $j_{1},j_{5},j_{6}$, $j_{4},j_{2},j_{6}$, $j_{4},j_{5},j_{3}$ die Dreiecksbedingung erfüllen. Außerdem muss die Summe aller Elemente dieser Dreiertupel eine ganze Zahl sein.

## Spezialfall

Für $j_{6}=0$ gilt folgende Formel für das 6j-Symbol:

    ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}$

Das trianguläre Delta ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}$ ist gleich 1 falls $j_{1},j_{2},j_{3}$ die Dreiecksbedingung erfüllen und 0 sonst.

## Orthogonalitätsrelation

Die 6j-Symbole erfüllen die Orthogonalitätsrelation:

    $\sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^j_{6}'}}{2j_{6}+1}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}.$

## Asymptotische Entwicklung

Falls alle $j_{i}$ im 6j-Symbol groß sind ist:

    ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}\sim {\frac {1}{\sqrt {12\pi |V|}}}\cos {\left(\sum _{i=1}^{6}J_{i}\theta _{i}+{\frac {\pi }{4}}\right)}.$

Die Formel wurde von Tullio Regge und G. Ponzano vermutet und wurde von Justin Roberts bewiesen. und nutzt die sich asymptotisch ergebende Tetraeder-Geometrie aus. Dabei ist V das Volumen des Tetraeders, $J_{i}=j_{i}+{\frac {1}{2}}$ die Länge der Seite $i$ und $\theta _{i}$ der Winkel der Seiten, die an die i-te Kante stoßen.

## Zusammenhang mit Racah-W-Koeffizienten

Sie sind mit den Racah-W-Koeffizienten verbunden, die ebenfalls zur Kopplung von drei Drehimpulsen verwendet werden:

    ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).$

Die Racah-W-Koeffizienten sind Koeffizienten:

    $W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})\equiv {\frac {\langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12},j_{3})J\rangle }{\sqrt {(2J_{12}+1)(2J_{23}+1)}}}.$

beim Übergang von einer Basis, in der $j_{1}$ und $j_{2}$ zu $J_{12}$ gekoppelt sind und dieses dann mit $j_{3}$ zum Gesamtdrehimpuls $J$ und einer Basis, in der zuerst $j_{2}$ und $j_{3}$ zu $J_{23}$ gekoppelt sind und dieses dann mit $j_{3}$ zu $J$:

    $|((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{J_{23}}\langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})J\rangle \,|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle$
    $={\sqrt {(2J_{12}+1)}}\sum _{J_{23}}{\sqrt {(2J_{23}+1)}}\,W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle$
