Meissel-Mertens-Konstante
# Meissel-Mertens-Konstante

Die Meissel-Mertens-Konstante (nach Ernst Meissel und Franz Mertens) ist eine mathematische Konstante. Ähnlich wie die Summe der reziproken natürlichen Zahlen $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$ (harmonischen Reihe) wächst auch die Summe der reziproken Primzahlen $\sum _{p\in \mathbb {P} }^{n}{\frac {1}{p}}$ unbeschränkt (hierbei beschreibt $\mathbb {P}$ die Menge aller Primzahlen). D. h. beide Summen werden für zunehmende Gliederzahl n beliebig groß. Das genaue asymptotische Wachstum wird durch die beiden Grenzwerte beschrieben:

    $\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right),\qquad M:=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{{p\in \mathbb {P} } \atop {p\leq n}}{\frac {1}{p}}-\ln(\ln n)\right)$

Hierbei ist $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante und $M$ die Meissel-Mertens-Konstante. Die Summe aller reziproken Primzahlen zwischen 2 und n wächst also asymptotisch so wie der verschachtelte Logarithmus $\ln(\ln n)\$. Sie tritt hauptsächlich in der Zahlentheorie und Funktionentheorie auf. Es bestehen zahlreiche Zusammenhänge mit anderen mathematischen Konstanten und Reihen. Beispielsweise:

    $M=\gamma +\sum _{p\in \mathbb {P} }\left[\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right]$
    $M=\gamma +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\mu (k)}{k}}\ln {\bigg\zeta (k){\bigg )}$

Hierbei ist $\mu (n)$ die Möbiusfunktion und $\zeta (n)$ die Riemannsche Zetafunktion. Der numerische Wert der Meissel-Mertens-Konstante ist

    $M=0{,}26149\;72128\;47642\;78375\;54268\;38608\;69585\;90515\;66648\;26119\ldots$ (Folge A077761 in OEIS)
