Bestvina-Mess-Formel
# Bestvina-Mess-Formel

Im mathematischen Gebiet der geometrischen Gruppentheorie berechnet die Bestvina-Mess-Formel (auch Satz von Bestvina und Mess) die Dimension des Randes einer hyperbolischen Gruppe aus ihrer Gruppenkohomologie. Sie wurde von Mladen Bestvina und Geoffrey Mess bewiesen.

## Satz von Bestvina und Mess

Sei $\Gamma$ eine hyperbolische Gruppe, dann gilt für die Dimension ihres Randes $\partial _{\infty }\Gamma$:

    $\dim(\partial _{\infty }\Gamma )=\max \left\{n\colon H^{n}(\Gamma ,\mathbb {Z} \Gamma )\not =0\right\}.$

Insbesondere gilt für torsionsfreie hyperbolische Gruppen

    $\dim(\partial _{\infty }\Gamma )=cd(\Gamma ),$

wobei $cd(\Gamma )$ die kohomologische Dimension der Gruppe $\Gamma$ bezeichnet.

## Z-Mengen

Die Bestvina-Mess-Formel folgt aus dem von Bestvina und Mess bewiesenen Isomorphismus von $R\Gamma$-Moduln (für einen beliebigen Ring $R$):

    $H^{i}(\Gamma ,R\Gamma )\cong {\check {H}}(\partial \Gamma ,R),$

wobei die rechte Seite die Čech-Kohomologie des Randes $\partial \Gamma$ mit Koeffizienten im Ring $R$ bezeichnet.

Dieser wiederum folgt aus dem folgenden 1991 von Bestvina und Mess bewiesenen Satz.

Sei $P(\Gamma )$ der Rips-Komplex der hyperbolischen Gruppe $\Gamma$. Dann ist ${\overline {P(\Gamma )}}:=P(\Gamma )\cup \partial _{\infty }\Gamma$ ein absoluter Retrakt und $\partial _{\infty }\Gamma$ eine ${\mathcal {Z}}$-Menge in ${\overline {P(\Gamma )}}$.

Letzteres bedeutet, dass es für jede abgeschlossene Teilmenge $A\subset \partial _{\infty }\Gamma$ eine Homotopie $H\colon {\overline {P(\Gamma )}}\times \left[0,1\right]\to {\overline {P(\Gamma )}}$ mit $H_{0}=id$ und $H_{t}\vert _{A}=id$ gibt, so dass

    $H_{t}({\overline {P(\Gamma )}}\setminus A)\subset {\overline {P(\Gamma )}}\setminus \partial _{\infty }\Gamma$

für alle $t>0$ gilt.

## Anwendungen

Bestvina und Mess benutzen ihre Formel, um den folgenden Satz über die lokale Topologie des Randes zu beweisen:

Sei $\Gamma$ eine hyperbolische Gruppe. Es gebe einen Ring $R$ und ein $i>0$ für das $H^{i}(\Gamma ,R\Gamma )$ endlich erzeugt und nicht Null ist. Wenn $\partial _{\infty }\Gamma$ zusammenhängend ist, dann ist es lokal zusammenhängend.

Für die Fundamentalgruppen $\Gamma =\pi _{1}M$ geschlossener, irreduzibler 3-Mannigfaltigkeiten $M$ beweisen sie, dass $\partial _{\infty }\Gamma$ homöomorph zur 2-Sphäre und die universelle Überlagerung ${\widetilde {M}}$ homöomorph zum $\mathbb {R} ^{3}$, sowie ${\widetilde {M}}\cup \partial _{\infty }\Gamma$ homöomorph zur abgeschlossenen 3-Kugel $B^{3}$ ist.

In höheren Dimensionen $n\geq 6$ gilt der analoge Satz, dass für eine torsionsfreie, hyperbolische Gruppe $\Gamma$, die die Fundamentalgruppe einer geschlossenen, asphärischen $n$-Mannigfaltigkeit $M$ mit ${\widetilde {M}}\cong \mathbb {R} ^{n}$ und ${\widetilde {M}}\cup \partial _{\infty }\Gamma \cong B^{n}$ ist, der Rand homöomorph zu $S^{n-1}$ sein muss.

