Quasikonforme Abbildung
# Quasikonforme Abbildung

In der Funktionentheorie ist eine quasikonforme Abbildung eine Verallgemeinerung einer biholomorphen Abbildung. Hier wird im Wesentlichen auf die Winkeltreue verzichtet.

## Definition

Seien $G$ und $H$ zwei Gebiete der komplexen Zahlenebene. Ein Homöomorphismus

    $f\colon G\longrightarrow H$

heißt quasikonform, wenn es eine positive reelle Zahl $k$ kleiner 1 gibt, so dass

    $\|\mu \|_{\infty }<k$

gilt. Dabei ist

    $\mu ={\frac {f_{\bar {z}}}{f_{z}}}={\frac {\partial _{\bar {z}}f}{\partial _{z}f}}$

die komplexe Dilatation, auch Beltrami-Koeffizient genannt.

Die Dilatation von f im Punkt z ist definiert als

    $K(z)={\frac {1+|\mu (z)|}{1-|\mu (z)|}}.$

Das Supremum

    $K=\sup _{z\in D}|K(z)|={\frac {1+\|\mu \|_{\infty }}{1-\|\mu \|_{\infty }}}$

ist die Dilatation von f.

## Beltrami-Gleichung

Sei k eine positive reelle Zahl kleiner 1. Die partielle Differentialgleichung

$\partial _{\bar {z}}f=\mu (z)\partial _{z}f,$

wobei $\mu (z)$ eine integrierbare Funktion mit $\|\mu \|_{\infty }<k$ ist, heißt Beltrami-Gleichung.

## Hauptsatz

Auf der riemannschen Zahlenkugel gilt, dass die Lösungen der Beltrami-Gleichung genau die quasikonformen Abbildungen sind.

Als Anwendung dieses Satzes kann man zeigen, dass alle fastkomplexen Strukturen auf der 2-Sphäre und auf allen anderen zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten integrabel sind, d. h., alle fastkomplexen Strukturen sind komplexe Strukturen.

