Total geodätische Untermannigfaltigkeit
# Total geodätische Untermannigfaltigkeit

Total geodätische Untermannigfaltigkeiten kommen in der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, vor. Sie verallgemeinern den Begriff der Hyperebenen in euklidischen Räumen auf riemannsche Mannigfaltigkeiten.

## Definition

Eine Untermannigfaltigkeit $N$ einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ heißt total geodätisch, wenn jede Geodäte in $N$ auch eine Geodäte in $M$ ist.

Eine äquivalente Bedingung ist, dass die zweite Fundamentalform von $N$ identisch $0$ ist.

## Beispiele

* Wenn $f\colon M\rightarrow M$ eine Isometrie einer riemannschen Mannigfaltigkeit ist, dann ist die Fixpunkt-Menge

    $N:=\left\{x\in M:f(x)=x\right\}$
    eine total geodätische Untermannigfaltigkeit.
* Ebenen im euklidischen $\mathbb {R} ^{3}$ sind Fixpunkt-Mengen von Spiegelungen und deshalb total geodätische Flächen.
* Allgemeiner sind Untervektorräume des euklidischen $\mathbb {R} ^{n}$ total geodätisch.
* Großkreise auf der Sphäre sind ebenfalls Fixpunkt-Mengen von Spiegelungen und deshalb total geodätisch.
* Für $k<n$ ist der projektive Raum $P^{k}\mathbb {C}$ eine total geodätische Untermannigfaltigkeit von $P^{n}\mathbb {C}$ und $P^{k}\mathbb {R}$ eine total geodätische Untermannigfaltigkeit von $P^{n}\mathbb {R}$.
* Viele riemannsche Mannigfaltigkeiten besitzen keine total geodätischen Untermannigfaltigkeiten der Kodimension 1.
* Eine Fläche in einer hyperbolischen $3$-Mannigfaltigkeit ist homotop zu einer total geodätischen Fläche genau dann, wenn sie azylindrisch ist.
* Die total geodätischen Flächen hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten bilden dichte Teilmengen in den Teichmüller-Räumen geschlossener, orientierbarer Flächen.
