Volumenstarrheit
# Volumenstarrheit

Volumenstarrheit (engl.: volume rigidity) bezeichnet zwei unterschiedliche Konzepte in der Mathematik.

## Volumenstarrheit nach Thurston und Besson-Courteois-Gallot

Satz (Thurston): Wenn $f\colon M_{1}\to M_{2}$ eine stetige Abbildung zwischen vollständigen hyperbolischen Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens der Dimension $n\geq 3$ ist, dann gilt für den Abbildungsgrad

    $deg(f)\leq {\frac {Vol(M_{1})}{Vol(M_{2})}}$

und Gleichheit nur dann, wenn $f$ eigentlich homotop zu einer riemannschen Überlagerung ist.

Satz (Besson-Courteois-Gallot, Boland-Connell-Souto): Wenn $f\colon (M_{1},g_{1})\to (M_{2},g_{2})$ eine stetige Abbildung zwischen vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens der Dimension $n\geq 3$ mit

    $Ric(g_{1})\geq -(n-1)g_{1},-a\leq K(g_{2})\leq -1$

für eine Konstante $a\geq 1$ ist, dann gilt für den Abbildungsgrad

    $deg(f)\leq {\frac {Vol(M_{1})}{Vol(M_{2})}}$

und Gleichheit nur dann, wenn $f$ eigentlich homotop zu einer riemannschen Überlagerung ist.

## Volumenstarrheit nach Goldman

Satz (Goldman): Sei $\Sigma _{g}$ eine geschlossene hyperbolische Fläche und $\rho \colon \pi _{1}\Sigma _{g}\to Isom^{+}(\mathbb {H} ^{2})=PSL(2,\mathbb {R} )$ eine Darstellung. Dann gilt

    $vol(\rho )\leq vol(\Sigma _{g})$

und Gleichheit nur dann, wenn $\rho$ diskret und treu ist.

Satz (Dunfield, Francaviglia-Klaff): Sei $M$ eine hyperbolische Mannigfaltigkeit endlichen Volumens der Dimension $n\geq 3$ und $\rho \colon \pi _{1}M\to Isom^{+}(\mathbb {H} ^{n})=SO(n,1)_{0}$ eine Darstellung. Dann gilt

    $vol(\rho )\leq vol(M)$

und Gleichheit nur dann, wenn $\rho$ diskret und treu ist.

Satz (Korollar zum Superstarrheitssatz): Sei $M=\Gamma \backslash G/K$ ein kompakter lokal symmetrischer Raum nichtkompakten Typs mit $G$ ohne $SO(n,1)$- oder $SU(n,1)$-Faktor, und $\rho \colon \Gamma \to G$ eine Darstellung. Dann gilt

    $vol(\rho )\leq vol(M)$

und Gleichheit nur dann, wenn $\rho$ diskret und treu ist.

