Σ-Endlichkeit
# Σ-Endlichkeit

Der Begriff der $\sigma$-Endlichkeit (auch $\sigma$-Finitheit) wird in der mathematischen Maßtheorie verwendet und liefert eine Abstufung von (messbaren) Mengen von unendlichem Maß in $\sigma$-endliche und nicht $\sigma$-endliche Mengen. Er wird aus ähnlichen Gründen eingeführt wie der Begriff der Abzählbarkeit bezüglich der Anzahl von Elementen einer Menge. Allgemein ist die $\sigma$-Endlichkeit eine Eigenschaft von Mengenfunktionen in Verbindung mit einem Mengensystem. Oftmals wird aber auf die Angabe des Mengensystems verzichtet, wenn klar ist, um welches es sich handelt.

## Definition für Maße

Gegeben sei ein Messraum $(X,{\mathcal {A}})$. Dann heißt ein Maß $\mu$ ein $\sigma$-endliches Maß, wenn es eine der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

* Es existieren abzählbar viele Mengen $A_{1},A_{2},A_{3},\dots$ aus ${\mathcal {A}}$, die außerdem $\mu (A_{n})<\infty$ für alle $n\in \mathbb {N}$ erfüllen und die $X$ überdecken. Es gilt also

    $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X$.
* Es existieren abzählbar viele disjunkte Mengen $A_{1},A_{2},A_{3},\dots$ aus ${\mathcal {A}}$, die außerdem $\mu (A_{n})<\infty$ für alle $n\in \mathbb {N}$ erfüllen und die $X$ überdecken. Es gilt also

    $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X$.
* Es existiert eine strikt positive (d. h. $f(x)>0$ für alle $x\in X$) messbare Funktion $f$, so dass

    $\int f(x)\mu (\mathrm {d} x)<\infty$.

Der Maßraum $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ wird dann auch als $\sigma$-endlicher Maßraum bezeichnet. Allgemeiner wird ein signiertes Maß $\sigma$-endlich genannt, wenn seine Variation $\sigma$-endlich ist.

## Beispiele

Das Lebesgue-Maß $\lambda$ auf den reellen Zahlen, versehen mit der Borelschen σ-Algebra, ist nicht endlich, aber $\sigma$-endlich. Denn betrachtet man die Mengen

    $I_{n}:=(-n,n)\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$,

so ist $\lambda (I_{n})=2n<\infty$ und

    $\bigcup _{n=1}^{\infty }I_{n}=\mathbb {R}$.

Somit erfüllt das Lebesgue-Maß das erste Kriterium in der obigen Konstruktion. Eine disjunkte Überdeckung mit Mengen endlichen Maßes wie im zweiten Punkt der Definition liefern beispielsweise die Mengen

    $B_{n}=I_{n}\setminus I_{n-1}$,

wobei $B_{1}=I_{1}$ ist. Dann ist $\lambda (B_{n})=2$ und es gilt wieder

    $\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}=\mathbb {R}$.

Eine strikt positive Funktion mit endlichem Integral wie im dritten Punkt der Definition gefordert erhält man beispielsweise durch

    $f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mathbf {1} _{B_{n}}(x)}{2^{n}}}$.

Hierbei ist $\mathbf {1} _{A}$ die Indikatorfunktion auf der Menge $A$.

Zu beachten ist, dass $\sigma$-Endlichkeit immer eine Eigenschaft eines Maßes in Kombination mit einem Messraum ist. So ist das Zählmaß auf einer Menge $M$, versehen mit der Potenzmenge als $\sigma$-Algebra endlich, wenn $M$ endlich ist und genau dann $\sigma$-endlich, wenn $M$ höchstens abzählbar ist.

## Anwendung

* Nicht endliche Maße können pathologische Eigenschaften aufweisen, jedoch sind viele der häufig betrachteten Maße nicht endlich. Die Klasse der $\sigma$-endlichen Maße teilt mit den endlichen Maßen einige angenehme Eigenschaften, $\sigma$-Endlichkeit kann in dieser Hinsicht mit der Separabilität von topologischen Räumen verglichen werden. Einige Sätze der Analysis, wie der Satz von Radon-Nikodým und der Satz von Fubini, gelten zum Beispiel nicht mehr für nicht $\sigma$-endliche Maße (mitunter ist jedoch eine Übertragung auf allgemeinere Fälle möglich, indem man den Satz für alle $\sigma$-endlichen Teilräume anwendet).
* Das Birkhoff-Integral für Banachraum-wertige Funktionen wird mit Hilfe von $\sigma$-endlichen Maßen definiert.

## Äquivalenz zu Wahrscheinlichkeitsmaßen

Zwei Maße $\mu$ und $\nu$ auf einem gemeinsamen Messraum $(X,{\mathcal {A}})$ heißen äquivalent, wenn sie dieselben Nullmengen besitzen. Das heißt, es gilt sowohl $\mu \ll \nu$ als auch $\nu \ll \mu$, sie sind gegenseitig absolut stetig. Hierdurch ist tatsächlich eine Äquivalenzrelation auf Maßen erklärt. Wir nehmen im Weiteren an, $\mu \not \equiv 0$ sei nicht das Nullmaß.

Viele der Anwendungen $\sigma$-endlicher Maße ergeben sich nun aus dem folgenden Satz:

    Jedes $\sigma$-endliche Maß $\mu$ ist äquivalent zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß $P$.

Die Bedeutung des Satzes liegt in der Äquivalenz zu einem endlichen Maß, selbst dann, wenn $\mu (X)=\infty$ unendlich ist. Insbesondere gibt es stets eine $\mu$-integrierbare Funktion $w\in L^{1}(\mu )$, so dass $0<w(x)<1$ für alle $x\in X$ gilt.

## Definition für Mengenfunktionen

### Definition

Gegeben sei ein Mengensystem ${\mathcal {M}}$ auf der Grundmenge $X$, also ${\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(X)$. Sei

    $\mu :{\mathcal {M}}\to [0,\infty ]$

eine positive Mengenfunktion. Dann heißt die Mengenfunktion $\sigma$-endlich, wenn es eine abzählbare Folge $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von Mengen aus ${\mathcal {M}}$ gibt, so dass

    $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}=X$

gilt und

    $\mu (A_{n})<\infty {\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$

gilt. Insbesondere muss die Menge $X$ aber nicht im Mengensystem ${\mathcal {M}}$ enthalten sein.

### Bemerkung

Mit der obigen Definition lässt sich die $\sigma$-Endlichkeit auf allgemeinere Mengenfunktionen ausweiten. Eine der wichtigsten Anwendungen dieses Begriffes ist der Maßerweiterungssatz von Carathéodory, nach dem jedes $\sigma$-endliche Prämaß auf einem Halbring eindeutig zu einem Maß auf der erzeugten $\sigma$-Algebra fortsetzbar ist. Ohne die $\sigma$-Endlichkeit folgt hier nicht die Eindeutigkeit.

## Verwandte Begriffe

Ein dem $\sigma$-endlichen Maß verwandter Begriff ist der eines moderaten Maßes. Hierbei handelt es sich um ein Borel-Maß, für das eine abzählbare Überdeckung der Grundmenge mit offenen Mengen endlichen Maßes existiert.

Zudem existiert ein Begriff der s-Finitheit. Man nennt ein Maß $\mu$ $s$-finit, falls es die abzählbare Summe von endlichen Maßen ist. Jedes $\sigma$-endliche Maß ist immer $s$-finit, aber nicht jedes $s$-finite Maß ist $\sigma$-endlich.

