Positive Matrix
# Positive Matrix

In der Mathematik kommen positive Matrizen und nichtnegative Matrizen insbesondere in der Wahrscheinlichkeitstheorie, beispielsweise zur Beschreibung von Markow-Ketten, und in der Graphentheorie vor.

## Definition

Eine Matrix $\mathbf {X} =(x_{ij})$ heißt nichtnegativ, wenn alle ihre Einträge nichtnegativ sind:

    $\mathbf {X} \geq 0\Longleftrightarrow \quad \forall {i,j}\quad x_{ij}\geq 0.$

Sie heißt positiv, wenn alle ihre Einträge positiv sind:

    $\mathbf {X} >0\Longleftrightarrow \quad \forall {i,j}\quad x_{ij}>0.$

## Anwendungen

* Die Übergangsmatrix einer Markow-Kette ist eine nichtnegative Matrix.
* Die Adjazenzmatrix eines Graphen ist eine nichtnegative Matrix.

## Eigenwerte

Aus dem Satz von Perron-Frobenius folgt, dass eine positive Matrix einen positiven Eigenwert haben muss. Anders als bei total positiven Matrizen müssen aber nicht alle Eigenwerte positiv sein.

## Beispiele

Jede total positive Matrix ist positiv, eine positive Matrix muss aber nicht total positiv sein. Zum Beispiel ist die Matrix

    $\mathbf {X} ={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}$

positiv, aber nicht total positiv: die Determinante ist negativ, die Eigenwerte sind $1\pm {\sqrt {2}}$. Dasselbe Beispiel zeigt, dass eine positive Matrix nicht positiv definit sein muss. Umgekehrt muss eine positiv definite Matrix nicht positiv sein, wie das Beispiel

    $\mathbf {X} ={\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}}$

mit den Eigenwerten $1$ und $3$ zeigt.

