Strahl (Geometrie)
# Strahl (Geometrie)

Ein Strahl bzw. eine Halbgerade ist in der Geometrie – anschaulich gesprochen – eine gerade Linie, die auf einer Seite begrenzt ist, sich aber auf der anderen Seite ins Unendliche erstreckt.

* Eine Halbgerade ist ein geometrisches Objekt, das entsteht, wenn ein Punkt eine Gerade, auf der er liegt, teilt. Dabei ist der Punkt wahlweise Teil der Halbgeraden oder nicht.
* Ein Strahl verfügt über eine Orientierung: Er geht von einem Anfangspunkt aus.

Strahlen und Halbgeraden müssen demnach unterschieden werden von Geraden, die beidseitig unbegrenzt sind, und von Strecken, die auf beiden Seiten begrenzt sind.

## Geometrische Darstellung

Die in der Skizze verwendete Schreibweise $[AB$ drückt aus, dass es sich um eine Teilmenge der Geraden $AB$ handelt, die durch den Punkt $A$ begrenzt wird, sich aber über den Punkt $B$ hinaus erstreckt.

Mit Hilfe der Zwischen-Relation („… liegt zwischen … und …“) lässt sich die Halbgerade $[AB$ definieren als die Menge aller Punkte $X$ auf der Geraden $AB$, für die $A$ nicht zwischen $B$ und $X$ liegt.

Betrachtet man eine Gerade $g$ und einen beliebigen Punkt $P$ auf $g$, so lassen sich die beiden dadurch festgelegten Halbgeraden $h_{1}$ und $h_{2}$ charakterisieren als nicht leere Teilmengen von $g$, die folgende Bedingungen erfüllen:

* Jeder Punkt auf der Geraden $g$, der nicht mit $P$ übereinstimmt, gehört zu genau einer der beiden Teilmengen $h_{1}$ oder $h_{2}$.
* Ist $P_{1}$ ein beliebiger Punkt von $h_{1}$ und $P_{2}$ ein beliebiger Punkt von $h_{2}$, so liegt $P$ zwischen $P_{1}$ und $P_{2}$.

Damit ist die Halbgerade eng mit dem Begriff Intervall verbunden: Ein Intervall lässt sich als Schnittmenge zweier Halbgeraden definieren.

## Analytische Darstellung

In der analytischen Geometrie entspricht die Halbgerade $[AB$ der Menge aller Punkte $X$, deren Ortsvektor ${\vec {X}}$ gegeben ist durch

    ${\vec {X}}={\vec {A}}+\lambda ({\vec {B}}-{\vec {A}})$ mit $\lambda \geq 0$.

Dabei sind ${\vec {A}}$ und ${\vec {B}}$ die Ortsvektoren der Endpunkte $A$ und $B$. $\lambda$ ist der (reelle) Parameter dieser Parametergleichung.

