Trigonometrischer Pythagoras
# Trigonometrischer Pythagoras

Als „trigonometrischer Pythagoras“ wird die Identität

    $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$

bezeichnet. Hierbei steht $\sin ^{2}\alpha$ für $(\sin \alpha )^{2}$ und $\cos ^{2}\alpha$ für $(\cos \alpha )^{2}$. Die Gültigkeit dieser Identität kann am Einheitskreis gezeigt werden, mit Hilfe des Satzes von Pythagoras, der auch namensgebend für diesen häufig benutzten Satz der Trigonometrie ist.

## Geometrische Herleitung

Als Grundlage dient der Satz des Pythagoras. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse $c$ und den Katheten $a$ und $b$

    $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

gilt. Wird der Winkel $\alpha$ im besagten rechtwinkligen Dreieck so gewählt, dass $a$ seine Gegenkathete und $b$ seine Ankathete ist, so gilt allgemein

    $a=\sin \alpha \cdot c$,
    $b=\cos \alpha \cdot c$.

Einsetzen beider Gleichungen in den Satz des Pythagoras ergibt dann

    $(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )\cdot c^{2}=c^{2}$,
    $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$.

### Geometrische Veranschaulichung

In der nebenstehenden Skizze sind der Einheitskreis, das heißt ein Kreis mit Radius 1, und ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlänge 1 im Einheitskreis dargestellt. Der Satz des Pythagoras gilt hier für einen beliebigen Wert des Winkels $\alpha$ im Einheitskreis und zeigt sofort die Gültigkeit des „trigonometrischen Pythagoras“.

## Analytische Herleitung

Für stumpfe und überstumpfe Winkel $\alpha$ ist die Beweiskraft der Anschauung problematisch, da für solche (mindestens) eine Winkelfunktion negative Werte hat; was sind "negative Seiten" eines rechtwinkligen Dreiecks? Ein analytischer Beweis zeigt, dass der trigonometrische Pythagoras für beliebige reelle und komplexe Argumente $\alpha$ der verwendeten Winkelfunktionen gilt.

Mit der imaginären Einheit und der dritten binomischen Formel lässt sich faktorisieren:

$\cos ^{2}(\alpha )+\sin ^{2}(\alpha )=\cos ^{2}(\alpha )-\mathrm {i} ^{2}\cdot \sin ^{2}(\alpha )=(\cos(\alpha )+\mathrm {i} \cdot \sin(\alpha ))\cdot (\cos(\alpha )-\mathrm {i} \cdot \sin(\alpha ));$

da der Cosinus eine gerade Funktion und der Sinus eine ungerade Funktion ist, folgt mit der Eulerschen Formel weiter:

$(\cos(\alpha )+\mathrm {i} \cdot \sin(\alpha ))\cdot (\cos(\alpha )-\mathrm {i} \cdot \sin(\alpha ))=(\cos(\alpha )+\mathrm {i} \cdot \sin(\alpha ))\cdot (\cos(-\alpha )+\mathrm {i} \cdot \sin(-\alpha ))=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha }\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \alpha }=\mathrm {e} ^{0}=1,\quad$q.e.d.

