Gruppenexponent
# Gruppenexponent

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter dem Gruppenexponenten $\exp(G)$ einer Gruppe $(G,\cdot ,e)$ die kleinste natürliche Zahl $n>0$, für die $g^{n}=e$ (Potenz eines Gruppenelements) für alle Gruppenelemente $g$ gilt. Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, $G$ habe Exponent $\infty$ (sie muss dann auch unendliche Ordnung haben).

## Eigenschaften

* Nach dem Satz von Lagrange ist der Gruppenexponent für eine endliche Gruppe ein Teiler der Gruppenordnung und somit insbesondere endlich.
* In einer zyklischen Gruppe stimmt der Gruppenexponent mit der Gruppenordnung überein.
* Die Gruppenordnung stimmt genau dann mit dem Gruppenexponenten überein, wenn alle Sylowgruppen der Gruppe zyklisch sind.
* Der Gruppenexponent ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Ordnung aller Gruppenelemente.
* Der Gruppenexponent einer Untergruppe ist ein Teiler des Exponenten der ganzen Gruppe.

## Beispiele

* Für die primen Restklassengruppen $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ erhält man den Gruppenexponenten durch die Carmichael-Funktion.
* Der Gruppenexponent von $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }$ mit einer Primzahl $p$ ist gleich der Gruppenordnung $p-1$.
* Der Gruppenexponent von $(\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }$ ist 2 (vergleiche: Die Gruppenordnung ist 4).
* Der Körper $\mathbb {F} _{q}$ mit $q=p^{k}$ Elementen, aufgefasst als additive Gruppe, hat Gruppenordnung $q$ und Gruppenexponent $p$ (vergleiche Charakteristik eines Körpers).
* Unendliche Gruppen mit endlichem Exponenten sind bspw. der Polynomring $\mathbb {F} _{p}[X]$ und der algebraische Abschluss von $\mathbb {F} _{p}$, jeweils (wegen der Primzahlcharakteristik $p$) in der additiven Verknüpfung.
* Jedes Element $m/n+\mathbb {Z}$ der (unendlichen) Torsionsgruppe $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ hat die endliche Ordnung $n$, wenn $n>0$ gilt und $m$ zu $n$ teilerfremd ist. Da die Elementordnungen aber nicht beschränkt sind, ist $\exp(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=\infty$.
