Lindelöf-Raum
# Lindelöf-Raum

Ein Lindelöf-Raum ist ein mathematisches Objekt aus der mengentheoretischen Topologie. Es handelt sich um ein Konzept, welches das des kompakten Raums verallgemeinert. Benannt ist der Lindelöf-Raum nach dem Mathematiker Ernst Leonard Lindelöf.

Ein Lindelöf-Raum ist erblich (englisch hereditarily), falls jeder seiner offenen Unterräume ein Lindelöf-Raum ist.

## Definition

Ein topologischer Raum wird Lindelöf-Raum genannt, falls jede offene Überdeckung eine höchstens abzählbare Teilüberdeckung besitzt.

## Satz von Lindelöf

Hat der topologische Raum $X$ eine abzählbare Basis, so ist $X$ ein Lindelöf-Raum.

## Weitere Eigenschaften

* Jeder kompakte Raum ist ein Lindelöf-Raum. Allgemeiner ist jeder $\sigma$-kompakte Raum ein Lindelöf-Raum.
* Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er abzählbar kompakt und Lindelöf-Raum ist.
* Für metrisierbare Räume sind die drei Eigenschaften zweitabzählbar, lindelöf und separabel äquivalent.
* Abgeschlossene Teilräume von Lindelöf-Räumen sind wieder Lindelöf-Räume.
* Jeder reguläre Raum, der ein Lindelöf-Raum ist, ist ein normaler Raum.

## Erblicher Lindelöf-Raum

Ein Lindelöf-Raum $X$ ist erblich, falls jeder seiner offenen Unterräume auch ein Lindelöf-Raum ist.

* Ist das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, dann ist der Lindelöf-Raum erblich.
* Jeder abzählbare Lindelöf-Raum ist erblich.
