Hamilton-Jacobi-Formalismus
# Hamilton-Jacobi-Formalismus

Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jakob Jacobi) der Klassischen Mechanik ist es, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mittels einer besonderen kanonischen Transformation

    $(q,p)\rightarrow (q',p')$

zu vereinfachen. Dadurch wird eine neue Hamilton-Funktion erzeugt, die identisch Null ist:

    ${\tilde {H}}(q',p',t)=0$

Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten generalisierten Ortskoordinaten $q'$, als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten $p'$ Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion zyklische Koordinaten sind:

    ${\begin{aligned}{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial p'_{k}}}&={\dot {q}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad q'_{k}=\mathrm {const} \\-{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial q'_{k}}}&={\dot {p}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad p'_{k}=\mathrm {const} .\end{aligned}}$

Diese transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, das Problem verlagert sich stattdessen auf das Finden einer passenden Erzeugenden $S$. Indem man ihre partielle Ableitung nach der Zeit zur untransformierten Hamilton-Funktion addiert, erhält man die transformierte Hamilton-Funktion:

    ${\tilde {H}}(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.$

Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion $S(q,p',t)$ gewählt, die von den alten Ortskoordinaten $q$ und den neuen (konstanten) Impulsen $p'$ abhängt, so dass

    $p_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial q_{k}}}\ ,\quad q'_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial p'_{k}}}.$

Eingesetzt in ${\tilde {H}}=0$ ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für $S$:

    $H\!\left(q_{k},{\frac {\partial {S}}{\partial q_{k}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0$

Sie ist eine partielle Differentialgleichung in den Variablen $q_{k}$ und $t$ für die Hamiltonsche Wirkungsfunktion $S$ (die Verwendung des Begriffs „Wirkung“ wird weiter unten begründet).

## Herleitung der Hamilton-Jacobi-Gleichung aus dem Wirkungsintegral

Zur konkreten Herleitung dieser Differentialgleichung betrachtet man das Wirkungsfunktional

    $S[q](t)=\int _{0}^{t}L(s,q(s),{\dot {q}}(s))ds$

mit der Lagrange-Funktion $L$. Die totale Zeitableitung hiervon gibt die Lagrange-Funktion zurück, d.h.

    ${\frac {dS}{dt}}=L$.

Sieht man $S$ jedoch als Funktion der Koordinaten $q$ und $t$ an, so ergibt sich für das totale Zeit-Differential

    ${\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}{\frac {dq_{k}}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}{\dot {q_{k}}}$.

Die partielle Koordinatenableitung ergibt zusammen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen

    ${\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}=\int _{0}^{t}{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}ds=\int _{0}^{t}{\frac {d}{ds}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}ds={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}=p_{k}$

mit den kanonischen Impulsen $p_{k}$. Durch Vergleich der totalen Zeitableitungen von $S$ erhält man somit

    ${\frac {dS}{dt}}=L={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum p_{k}{\dot {q_{k}}}$,

woraus nach der Definition der Hamilton-Funktion die behauptete Gleichung sofort folgt.

## Hamilton-Jacobi-Formalismus für nicht explizit zeitabhängige Hamilton-Funktion

Für konservative Systeme (d. h. $H$ nicht explizit zeitabhängig: $H(q,p)\neq H(t)$) wird zur ursprünglichen Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion $S(q,p')$ konstruiert, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen (konstanten) Impulsen abhängt

    $H(q,p)\Rightarrow {\tilde {H}}(p')$

Dabei sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung:

    ${\dot {p}}'=-{\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial q'}}=0\Leftrightarrow p'=\mathrm {const} ,$

die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit:

    ${\dot {q}}'={\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial p'}}=C\Leftrightarrow q'=Ct+b$ mit $C,b=\mathrm {const} .$

Für $S(q,p')$ muss gelten

    $p={\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}},$
    $q'={\frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}}$

Eingesetzt in die Hamilton-Funktion ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für $S(q,p')$ für konservative Systeme:

    $H(q,p)\Rightarrow H\left(q,{\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)={\tilde {H}}(p').$

Zur Veranschaulichung von $S$ wird die totale Ableitung nach der Zeit berechnet

    ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\,S(q,p')&={\frac {\partial S}{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial S}{\partial p'}}{\dot {p}}'\\&=p{\dot {q}}+q'{\dot {p}}'\\&=p{\dot {q}}\quad \quad \quad \mathrm {wegen} \;{\dot {p}}'=0.\end{aligned}}$

Benutzt man nun die lagrangeschen Bewegungsgleichungen (mit Lagrangefunktion $L=T-V$, wobei $T$ die kinetische Energie ist, $V(q)$ das Potential):

    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}S(q,p')={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {q}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {q}}=2T$.

Die zeitliche Integration liefert

    $S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}2T\ \mathrm {d} t=W,$

also ist $S(q,p')$ mit dem Wirkungsintegral identisch.

## Beispiel: Der eindimensionale harmonische Oszillator

Sei $U=U(q)$ ein beliebiges Potential. Die Hamilton-Funktion lautet

    $H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+U(q),$

die Hamilton-Jacobi-Gleichung

    ${\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)^{2}+U(q)={\tilde {H}}=E.$

Beim eindimensionalen Oszillator ist ${\tilde {H}}$ die einzige Konstante der Bewegung. Da $p'$ ebenfalls konstant sein muss, setzt man $p'={\tilde {H}}=E$, was für alle konservativen Systeme möglich ist.

    $\left({\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)^{2}+2mU(q)=2mp'$

Durch Integrieren folgt

    $S(q,p')={\sqrt {2m}}\int _{q_{0}}^{q}{\sqrt {(p'-U({\tilde {q}}))}}\,\mathrm {d} {\tilde {q}},$

mit $q'={\frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}}$

    $q'={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {p'-U({\tilde {q}})}}}.$

Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt außerdem

    ${\dot {q}}'={\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial p'}}={\frac {\partial E}{\partial p'}}={\frac {\partial p'}{\partial p'}}=1,$
    $\Rightarrow q'=t-{t_{0}}.$

Um die Bewegung in $p(t)$ und $q(t)$ darstellen zu können, muss zu den alten Koordinaten zurücktransformiert werden

    $p(t)={\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}={\sqrt {2m(p'-U(q))}},$
    $q'=t-{t_{0}}={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {E-U({\tilde {q}})}}}.$

Für den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit $U(q)={\frac {1}{2}}aq^{2}$

    $p(t)={\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}aq^{2}\right)}},$
    $q'=t-{t_{0}}={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {E-{\frac {1}{2}}a{\tilde {q}}^{2}}}}.$

Somit (für den Fall $q_{0}=0$)

    $t-{t_{0}}={\sqrt {\frac {m}{a}}}\arcsin {\sqrt {\frac {a}{2E}}}q$

und letztlich

    $q(t)={\sqrt {\frac {2E}{a}}}\sin {\sqrt {\frac {a}{m}}}(t-{t_{0})},$
    $p(t)={\sqrt {2mE}}\cos {\sqrt {\frac {a}{m}}}(t-{t_{0}}).$
