Baker-Campbell-Hausdorff-Formel
# Baker-Campbell-Hausdorff-Formel

In der Mathematik ist die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel eine nach den Mathematikern Henry Frederick Baker, John Edward Campbell und Felix Hausdorff benannte Gleichung, die ein Vertauschungsgesetz für bestimmte lineare Operatoren angibt.

## Vorbereitende Definitionen

Ist X ein stetiger linearer Operator eines Banachraumes in sich, dann kann man das Exponential dieses Operators wie folgt als Reihe definieren:

    $e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}$

Dabei bedeutet die Multiplikation eine Hintereinanderausführung und die Addition eine punktweise Addition der beteiligten Operatoren. Der Kommutator (auch Lie-Klammer) zweier linearer Operatoren X und Y ist definiert als

    $[X,Y]:=XY-YX\,$

Er ist ein bilinearer Operator. Aus der Definition folgt zunächst das sogenannte Hadamard-Lemma, auch Liesche Entwicklungsformel genannt:

    $e^{X}Ye^{-X}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}[X,Y]_{m}$

mit $[X,Y]_{m}=[X,[X,Y]_{m-1}]\,$ und $[X,Y]_{0}=Y\,$.

## Die Formel

Falls $[X,[X,Y]]=0\,$ und $[Y,[Y,X]]=0\,$, gelten die einfachen Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln

    $e^{X}e^{Y}=e^{Y}e^{X}e^{[X,Y]}\,$
    $e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}e^{-[X,Y]/2}\,$.

Für beliebige $X$ und $Y$ ist die Formel sehr umfangreich und nur noch für $X,Y$ in einer Umgebung der $0$ konvergierend. Sie lautet dann

    $e^{X}e^{Y}=e^{Z(X,Y)}\,$

mit

    ${\begin{aligned}Z(X,Y)&=X+Y\\&+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]\\&\quad -{\frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]\\&\quad -{\frac {1}{720}}([[[[X,Y],Y],Y],Y]+[[[[Y,X],X],X],X])\\&\quad +{\frac {1}{360}}([[[[X,Y],Y],Y],X]+[[[[Y,X],X],X],Y])\\&\quad +{\frac {1}{120}}([[[[Y,X],Y],X],Y]+[[[[X,Y],X],Y],X])+\cdots \end{aligned}}$

## Referenzen

* H. Baker: Proc Lond Math Soc (1) 34 (1902) 347–360; ibid (1) 35 (1903) 333–374; ibid (Ser 2) 3 (1905) 24–47.
* J. Campbell: Proc Lond Math Soc 28 (1897) 381–390; ibid 29 (1898) 14–32.
* L. Corwin & F.P Greenleaf: Representation of nilpotent Lie groups and their applications, Part 1: Basic theory and examples, Cambridge University Press, New York, 1990, ISBN 0-521-36034-X.
* E. B. Dynkin: Calculation of the coefficients in the Campbell-Hausdorff formula, Doklady Akad Nauk USSR, 57 (1947) 323–326.
* Brian C. Hall: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9.
* F. Hausdorff: Berl Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19–48.
* W. Magnus: Comm Pur Appl Math VII (1954) 649–673.
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* H. Poincaré: Compt Rend Acad Sci Paris 128 (1899) 1065–1069; Camb Philos Trans 18 (1899) 220–255.
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* W. Rossmann: Lie Groups: An Introduction through Linear Groups. Oxford University Press, 2002.
* A.A. Sagle & R.E. Walde: Introduction to Lie Groups and Lie Algebras, Academic Press, New York, 1973. ISBN 0-12-614550-4.
* J.-P. Serre: Lie algebras and Lie groups, Benjamin, 1965.
* H. Kleinert: Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2006) (auch lesbar hier).
