Hilbertsche Modulfläche
# Hilbertsche Modulfläche

In der Mathematik sind Hilbertsche Modulflächen bestimmte komplexe algebraische Flächen, die man als Quotienten des Produkts zweier hyperbolischer Ebenen erhält.

## Konstruktion

Sei $F$ ein reell quadratischer Zahlkörper, also $F=\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})$ für eine quadratfreie natürliche Zahl $a$.

Sei ${\mathcal {O}}_{F}\subset F$ der Ganzheitsring von $F$, also ${\mathcal {O}}_{F}=\mathbb {Z} \left[x_{a}\right]$ mit $x_{a}={\sqrt {a}}$ falls $a$ kongruent 2 oder 3 mod 4 und $x_{a}={\frac {1+{\sqrt {a}}}{2}}$ falls $a$ kongruent 1 mod 4.

Seien $\left\{\sigma _{+},\sigma _{-}:{\mathcal {O}}_{F}\rightarrow \mathbb {R} \right\}$ die Einbettungen von ${\mathcal {O}}_{F}$, also

    $\sigma _{\pm }(m+nx_{a})=m\pm nx_{a}$ für alle $m,n\in \mathbb {Z}$.

Die Abbildungen ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}\sigma _{\pm }(a_{11})&\sigma _{\pm }(a_{12})\\\sigma _{\pm }(a_{21})&\sigma _{\pm }(a_{22})\end{pmatrix}}$ definieren Einbettungen $\sigma _{\pm }:SL(2,{\mathcal {O}}_{F})\rightarrow SL(2,\mathbb {R} )$.

Die Hilbertsche Modulgruppe ist das Bild von $SL(2,{\mathcal {O}}_{F})$ unter der Einbettung

    $(\sigma _{+},\sigma _{-}):SL(2,{\mathcal {O}}_{F})\rightarrow SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} )$.

Die Gruppe SL(2,R) wirkt auf der hyperbolischen Ebene durch gebrochen-lineare Transformationen. Mittels der Einbettung nach $SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} )$ wirkt $SL(2,{\mathcal {O}}_{F})$ dann auf $\mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {H} ^{2}$, dem Produkt zweier hyperbolischer Ebenen.

Wenn $\Gamma \subset SL(2,{\mathcal {O}}_{F})$ eine Untergruppe von endlichem Index ist, dann heißt der Quotientenraum $\Gamma \backslash (\mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {H} ^{2})$ Hilbertsche Modulfläche und $\Gamma$ Hilbertsche Modulgruppe. Hilbertsche Modulgruppen sind Beispiele arithmetischer Gruppen.

Falls eine Hilbertsche Modulgruppe $\Gamma \subset SL(2,{\mathcal {O}}_{F})$ torsionsfrei ist, dann ist die Hilbertsche Modulfläche $\Gamma \backslash (\mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {H} ^{2})$ ein lokal symmetrischer Raum, andernfalls hat die Hilbertsche Modulfläche Singularitäten.

## Algebraische Flächen

Eine Klassifikation Hilbertscher Modulflächen vom Standpunkt der Algebraischen Geometrie geben Friedrich Hirzebruch und Don Zagier.

## Zahlentheorie

Die Geometrie der Hilbertschen Modulfläche kodiert Eigenschaften des Körpers $F$. Zum Beispiel ist die Anzahl der Enden der Hilbertschen Modulfläche gleich der Klassenzahl von $F$. Das Volumen der Hilbertschen Modulfläche ist $2\zeta _{F}(-1)$, wobei $\zeta _{F}$ die Dedekindsche Zeta-Funktion des Körpers $F$ bezeichnet.

## Quellen

* ↑ Hirzebruch, Zagier: Classification of Hilbert modular surfaces, in: W. L. Baily, T. Shioda (Hrsg.): Complex analysis and algebraic geometry, Cambridge University Press, 1977, S. 43–77, Online. (PDF; 1,4 MB)
* ↑ Kapitel III.2.7. in: Armand Borel, Lizhen Ji: Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2006. ISBN 978-0-8176-3247-2
* ↑ Gerard van der Geer: Hilbert modular surfaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 16. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ISBN 3-540-17601-2
