Idealgarbe
# Idealgarbe

Eine Idealgarbe ist eine spezielle Untergarbe einer Garbe von Ringen. Der Begriff ist in der algebraischen Geometrie von Bedeutung und hängt mit der Definition von abgeschlossenem Unterschema zusammen.

## Definition

Sei $X$ ein topologischer Raum und ${\mathcal {A}}$ eine Garbe von Ringen auf $X$. Man spricht auch von einem geringten Raum $(X,{\mathcal {A}})$. Hierbei setzen wir nicht voraus, dass ${\mathcal {A}}$ kommutativ ist. Eine linksseitige (rechtsseitige, zweiseitige) Idealgarbe von ${\mathcal {A}}$, man sagt auch einfach Ideal von ${\mathcal {A}}$, ist eine Untergarbe ${\mathcal {I}}\subset {\mathcal {A}}$, sodass für alle offenen Teilmengen $U\subset X$ die Teilmenge ${\mathcal {I}}(U)\subset {\mathcal {A}}(U)$ ein linksseitiges (rechtsseitiges, zweiseitiges) Ideal von ${\mathcal {A}}(U)$ ist.

Analog definiert man Idealgarben von Garben von Ringen auf einem Situs.

## Beispiel

Sei $X$ ein Schema mit Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{X}$. Dann gibt es eine natürliche Entsprechung von quasikohärenten Idealgarben von ${\mathcal {O}}_{X}$ und abgeschlossenen Unterschemata von $X$. Letztere können als Isomorphieklassen von abgeschlossenen Immersionen $\iota :Y\to X$ definiert werden. Je nach Definition von abgeschlossener Immersion folgt diese Entsprechung direkt aus der Definition.

