Gewicht (Funktionalanalysis)
# Gewicht (Funktionalanalysis)

Gewichte werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung eines Zustandes auf einer C*-Algebra. Insbesondere in der Theorie der Von-Neumann-Algebren kann die Tomita-Takesaki-Theorie mittels gewisser Gewichte über den Fall der σ-endlichen Von-Neumann-Algebren hinaus ausgedehnt werden.

## Definition

Es sei $A$ eine C*-Algebra, $A^{+}$ der positive Kegel, das heißt die Menge aller Elemente der Form $a^{*}a,\,a\in A$. Ein Gewicht auf $A$ ist eine Abbildung $\omega :A^{+}\rightarrow [0,\infty ]$ mit

* $\omega (a+b)=\omega (a)+\omega (b)$ für alle $a,b\in A^{+}$
* $\omega (\lambda a)=\lambda \omega (a)$ für alle $\lambda \in \mathbb {R} _{0}^{+}$ und $a\in A^{+}$.

Dabei werden die üblichen Rechenregeln für $\infty$ verwendet, das heißt $x+\infty =\infty +x=\infty$ für alle $x\in \mathbb {R} _{0}^{+}$, $x\cdot \infty =\infty \cdot x=\infty$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{+}$ und $0\cdot \infty =\infty \cdot 0=0$. Zu einem Gewicht $\omega$ definiert man

    $A_{+}^{\omega }:=\{a\in A^{+}|\,\omega (a)<\infty \}$
    $A^{\omega }$ = lineare Hülle von $A_{+}^{\omega }$
    $L_{\omega }:=\{a\in A^{+}|\,\omega (a^{*}a)=0\}$
    $A_{2}^{\omega }:=\{a\in A|\,\omega (a^{*}a)<\infty \}$

Dann sind $A_{2}^{\omega }$ und $L_{\omega }$ Linksideale und $A^{\omega }$ ist eine Unter-C*-Algebra in $A$.

## Gewichte mit zusätzlichen Eigenschaften

Für Gewichte werden folgende Eigenschaften betrachtet

* Ein Gewicht $\omega$ heißt dicht-definiert, falls $A_{+}^{\omega }\subset A^{+}$ bzgl. der Normtopologie dicht ist.
* Ein Gewicht $\omega$ auf einer Von-Neumann-Algebra heißt semi-endlich, falls $A_{+}^{\omega }\subset A^{+}$ bzgl. der schwachen Operatortopologie dicht ist.
* Ein Gewicht $\omega$ heißt treu, falls $L_{\omega }=\{0\}$ ist.
* Ein Gewicht $\omega$ heißt von unten halbstetig, falls $\{a\in A^{+}|\,\omega (a)\leq \alpha \}$ für jedes $\alpha \in \mathbb {R} _{0}^{+}$ abgeschlossen ist.
* Ein Gewicht $\omega$ auf einer Von-Neumann-Algebra $A$ heißt normal, wenn folgendes gilt: Ist $(a_{i})_{i\in I}$ ein monoton wachsendes Netz in $A^{+}$ mit Supremum $a\in A^{+}$, so gilt $\textstyle \sup _{i\in I}\omega (a_{i})=\omega (a)$.
* Ein Gewicht $\omega$ heißt Spurgewicht, falls zusätzlich $\omega (uau^{*})=\omega (a)$ für alle unitären Elemente $u\in A$.

## Beispiele

### Beschränkte Gewichte

Ein Funktional $f$ auf einer C*-Algebra $A$ heißt positiv, falls $f(a^{*}a)\geq 0$ für alle $a\in A$. Dann ist die Einschränkung $f|_{A^{+}}$ offenbar ein Gewicht mit der Besonderheit, dass das Bild in $[0,\infty )$ liegt. Ist umgekehrt $\omega$ ein von 0 verschiedenes Gewicht mit Bild in $\mathbb {R} _{0}^{+}$, das heißt mit $A_{+}^{\omega }=A^{+}$, so gibt es ein positives Funktional $f$ mit $\omega =f|_{A^{+}}$

### Summen von Funktionalen

Ist $(f_{i})_{i\in I}$ eine Familie positiver Funktionale auf $A$, so ist durch

    $\omega (a):=\sum _{i\in I}f_{i}(a),\quad a\in A^{+}$

ein Gewicht aus $A$ erklärt.

Ist zum Beispiel $(\xi _{i})_{i\in I}$ einer Orthonormalbasis eines Hilbertraums $H$, so ist die Summe der zugehörigen Vektorzustände ein Gewicht auf $L(H)$, der Von-Neumann-Algebra der stetigen, linearen Operatoren auf $H$. Durch

    $\omega (a):=\sum _{i\in I}\langle a\xi _{i},\xi _{i}\rangle ,\quad a\in A^{+}$.

ist ein normales Spurgewicht definiert und man kann zeigen, dass dieses nicht von der Auswahl der Orthonormalbasis abhängt. Es ist

    $L(H)_{+}^{\omega }:={\mathcal {S}}_{1}(H)^{+}$ die Menge der positiven Elemente der Spurklasse,
    $L_{\omega }:=\{0\}$, das heißt $\omega$ ist treu,
    $L(H)_{2}^{\omega }:={\mathcal {S}}_{2}(H)$ die H*-Algebra der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

### Maße

Es sei $\mu$ ein positives Maß auf einem lokalkompakten Hausdorffraum $X$ und $A=C_{0}(X)$ die C*-Algebra der stetigen Funktionen auf $X$, die im Unendlichen verschwinden. Dann ist die Abbildung

    $\omega :C_{0}(X)^{+}\rightarrow [0,\infty ],\quad f\mapsto \int _{X}f\mathrm {d} \mu$

ein Gewicht. Beschränkte Maße führen zu beschränkten Gewichten, das heißt zu positiven linearen Funktionalen.

## Anwendungen und Eigenschaften

### Normalität

Wie bei den normalen Zuständen gibt es auch für Gewichte verschiedene Charakterisierungen der Normalität. Für ein Gewicht $\omega$ auf einer Von-Neumann-Algebra $A$ sind äquivalent

* $\omega$ ist normal, das heißt für monotone Netze $(a_{i})_{i\in I}\to a\in A^{+}$ gilt $\omega (a_{i})\to \omega (a)$.
* $\omega$ ist additiv, das heißt für jede Familie $(a_{i})_{i\in I}$ in $A^{+}$ mit $\textstyle \sum _{i\in I}a_{i}=a\in A^{+}$ gilt $\textstyle \omega (\sum _{i\in I}a_{i})=\sum _{i\in I}\omega (a_{i})$.
* Ist $(a_{i})_{i\in I}$ ein ultraschwach konvergentes Netz mit Limes $a$ in $A^{+}$, so ist $\omega (a)\leq \textstyle \limsup _{i\in I}\omega (a_{i})$.
* Es gibt eine Familie $(\varphi _{i})_{i\in I}$ positiver, normaler Funktionale mit $\textstyle \omega (a)=\sup _{i\in I}\varphi _{i}(a)$ für alle $a\in A^{+}$.
* Es gibt eine Familie $(\varphi _{i})_{i\in I}$ positiver, normaler Funktionale mit $\textstyle \omega (a)=\sum _{i\in I}\varphi _{i}(a)$ für alle $a\in A^{+}$.

### GNS-Konstruktion

Die für Zustände bekannte GNS-Konstruktion kann man im Wesentlichen auch für Gewichte $\omega$ auf einer C*-Algebra $A$ durchführen. Durch die Formel

    $\langle a+L_{\omega },b+L_{\omega }\rangle :=\omega (b^{*}a),\quad a,b\in A_{2}^{\omega }$

wird ein Skalarprodukt auf $A_{2}^{\omega }/L_{\omega }$ definiert, die Vervollständigung ist ein Hilbertraum $H_{\omega }$. Die durch

    $b+L_{\omega }\mapsto ab+L_{\omega },\quad a\in A,b\in A_{2}^{\omega }$

definierten Operatoren auf $A_{2}^{\omega }/L_{\omega }$ setzen sich zu stetigen, linearen Operatoren $\pi _{\omega }(a)$ auf $H_{\omega }$ fort, so dass

    $\pi _{\omega }:A\rightarrow L(H_{\omega })$

eine Hilbertraum-Darstellung definiert. Ist $\omega$ treu und semi-endlich, so ist $\pi _{\omega }$ treu. Ist $\omega$ ein normales Gewicht auf einer Von-Neumann-Algebra, so ist $\pi _{\omega }(A)$ ebenfalls eine Von-Neumann-Algebra und die Darstellung $\pi _{\omega }$ ist normal.

### Tomita-Takesaki-Theorie

Auf einer Von-Neumann-Algebra gibt es stets treue, normale und semi-endliche Gewichte. Auf dem Bild der zugehörigen GNS-Darstellung können gewisse Automorphismen definiert werden, die zur Tomita-Takesaki-Theorie führen.

