Umbrella-Test
# Umbrella-Test

Der Umbrella-Test nach Mack und Wolfe stellt die Verallgemeinerung des Jonkheere-Terpstra-Testes dar. Im Unterschied zu diesem Test wird jedoch nicht von einem monotonen Trend ausgegangen, sondern von Trends mit einem Gipfel.

Die Nullhypothese $H_0$ lautet für die Erwartungswerte G der Gruppen: $G_{1}\ =\ G_{2}\ =\ \dots \ =\ G_{c}$

Als Alternativhypothese $H_A$ gilt: $G_{1}\ \leq \ G_{2}\ \leq \ \dots \ \leq \ G_{l}\ \geq \ G_{l+1}\ \geq \ \dots \ \geq \ G_{c}$, wobei mindestens eine strikte Ungleichung gilt.

## Berechnung der Prüfgröße

Die Teststatistik MW lautet für eine Anzahl $c$ von Gruppen mit einem Gipfel bei $l$ mit jeweils $n$ Messungen:

$MW\ =\ \sum _{r=1}^{l-1}\ \sum _{s=r+1}^{l}U_{rs}\ +\ \sum _{r=l}^{c-1}\ \sum _{s=r+1}^{c}U_{sr}$

Dabei ist $U_{rs}$ bzw. $U_{sr}$ für die r-te und das s-te Gruppe mit $1\leq r\ <s\leq c$ definiert als

$U_{rs}\ =\ \sum _{h=1}^{n_{r}}\ \sum _{i=1}^{n_{s}}\Psi (X_{rh}\ -\ X_{si})$

und

$U_{sr}\ =\ n_{r}n_{s}\ -\ U_{rs}$

mit

$\Psi (u)\ ={\begin{cases}1&{\text{wenn }}u>0\\0&{\text{wenn }}u\leq 0\end{cases}}\$ oder im Falle von Bindungen (gleichen Messwerten) $\ \Psi (u)\ ={\begin{cases}1&{\text{wenn }}u>0\\1/2&{\text{wenn }}u=0\\0&{\text{wenn }}u<0\end{cases}}$

Die berechnete Prüfgröße $MW$ wird größer, wenn ein biphasischer Trend zwischen den Gruppen vorhanden ist.

Unter allgemeinen Bedingungen weist die Prüfgröße $MW$ eine Normalverteilung auf.

## Überprüfung der Signifikanz

Für den Erwartungswert $\mu _{MW}$ und dessen Varianz $\sigma _{MW}$ gelten folgende Formeln, die sich letztendlich aus einer Addition der Statistiken des Jonkheere-Terpstra-Tests ergeben:

$\mu _{MW}\ =\ {\frac {m_{1}^{2}\ +\ m_{2}^{2}\ -\ \sum _{i=1}^{c}n_{i}^{2}\ -\ n_{l}^{2}}{4}}\$

und

$\ \sigma _{MW}\ =\ {\sqrt {\frac {2(m_{1}^{3}+m_{2}^{3})\ +\ 3(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})\ -\ \sum _{i=1}^{c}n_{i}^{2}(2n_{i}+3)\ -\ n_{l}^{2}(2n_{l}+3)\ +\ 12n_{l}m_{1}m_{2}\ -\ 12n_{l}^{2}N}{72}}}$

mit

$N\ =\ \sum _{i=1}^{c}n_{i},\quad m_{1}\ =\ \sum _{i=1}^{l}n_{i}\quad {\text{und}}\ m_{2}\ =\ \sum _{i=l}^{c}n_{i}$

Die daraus folgende Variable $Z$ ist standardnormalverteilt, wenn die Gesamtzahl aller Stichproben größer 12 ist:

$Z\ =\ {\frac {{MW}\ -\ \mu _{MW}}{\sigma _{MW}}}$

Oder anders ausgedrückt: bei einem einseitigen Test auf 5 %-Niveau (Fehler 1. Art) ist der Test signifikant, wenn

${MW}\ >\ \mu _{MW}\ +\ 1,645\sigma _{MW}$

