Hilbert-Funktion
# Hilbert-Funktion

In der algebraischen Geometrie gibt die Hilbert-Funktion Informationen über die Anzahl der Hyperflächen zu einem gegebenen Grad. Für hinreichend große Argumente stimmt sie mit einem als Hilbert-Polynom bezeichneten Polynom überein.

## Hilbert-Funktion

Sei $X\subset P^{n}$ eine projektive Varietät mit Verschwindungsideal

    $I(X)\subset K\left[Z_{0},\ldots ,Z_{n}\right]$.

Für $d\geq 1$ sei

    $I(X)_{d}=I(X)\cap K\left[Z_{0},\ldots ,Z_{n}\right]_{d}$

der homogene Anteil vom Grad $d$. Der Koordinatenring $S(X)$ ist dann ein graduierter Ring

    $S(X)=\bigoplus _{d\geq 0}S(X)_{d}$

mit $S(X)_{d}=K\left[Z_{0},\ldots ,Z_{n}\right]_{d}/I(X)_{d}$.

Die Dimension von $I(X)_{d}$ gibt die Anzahl der unabhängigen, $X$ enthaltenden Hyperflächen vom Grad $d$. Die Hilbert-Funktion $h_{X}$ ist definiert durch

    $h_{X}(d)=\dim S(X)_{d}$,

sie gibt also die Kodimension von $I(X)_{d}$.

## Beispiele

* Sei $X=\left\{\left[1\colon 0\colon 0\right],\left[0\colon 1\colon 0\right],\left[0\colon 0\colon 1\right]\right\}\subset P^{2}$. Dann ist $h_{X}(d)=3$ für alle $d\geq 1$.
* Sei $X=\left\{\left[1\colon 0\colon 0\right],\left[0\colon 1\colon 0\right],\left[1\colon 1\colon 0\right]\right\}\subset P^{2}$. Dann ist $h_{X}(1)=2$ und $h_{X}(d)=3$ für alle $d\geq 2$.
* Sei $X\subset P^{n}$ eine aus $m$ Punkten bestehende Menge. Dann ist $h_{X}(d)=m$ für $d\geq m-1$.
* Sei $X\subset P^{2}$ eine durch ein homogenes Polynom vom Grad $k$ gegebene Kurve. Dann ist $h_{X}(d)=d\cdot k-{\frac {1}{2}}k(k-3)$ für $d\geq k$.

## Hilbert-Polynom

Satz: Zu jeder projektiven Varietät $X\subset P^{n}$ gibt es ein Polynom $H_{X}\in \mathbb {Q} \left[d\right]$ vom Grad $\dim(X)$, so dass

          $H_{X}(d)=h_{X}(d)$
    für alle hinreichend großen $d\in \mathbb {Z}$ gilt.

Das Polynom $H_{X}$ heißt das Hilbert-Polynom der Varietät $X$.

