Rechteckfunktion
# Rechteckfunktion

Die Rechteckfunktion, auch rect-Funktion, ist eine unstetige mathematische Funktion mit folgender Definition:

    $\operatorname {rect} (t)=\Pi (t)={\begin{cases}0&{\text{wenn }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\text{wenn }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\text{wenn }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

Alternative Definitionen, die vor allem im Bereich der Signalverarbeitung üblich sind, legen die Rechteckfunktion vereinfacht fest als:

    $\operatorname {rect_{d}} (t)={\begin{cases}1&{\text{wenn }}|t|\leq {\frac {1}{2}}\\[3pt]0&{\text{wenn }}|t|>{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

## Allgemeines

Die Rechteckfunktion kann auch mit Hilfe der Heaviside-Funktion $\Theta (x)$ ausgedrückt werden als:

    $\operatorname {rect} (t)=\Theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \Theta \left({\frac {1}{2}}-t\right)=\Theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\Theta \left(t-{\frac {1}{2}}\right)$

Dabei ist $\Theta (0)={\tfrac {1}{2}}$ gesetzt.

Die Fourier-Transformation der Rechteckfunktion ergibt die sinc-Funktion $\operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$:

    ${\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}=\operatorname {sinc} (f)$

Das gilt auch für $\operatorname {rect_{d}} (t)$. Umgekehrt gilt allerdings formal nicht

    ${\mathcal {F}}\{\operatorname {sinc} (t)\}=\operatorname {rect} (f)$.

Denn es ist $\operatorname {sinc} \notin L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, und somit darf die Fouriertransformation nicht angewendet werden.

## Verschiebung und Skalierung

Eine Rechteckfunktion, die bei $t_{0}$ zentriert ist und eine Dauer von $T$ hat, wird ausgedrückt durch

    $\operatorname {rect} \left({\frac {t-t_{0}}{T}}\right)\,.$

## Ableitung

Die Rechteckfunktion ist als unstetige Funktion weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Allerdings ist eine Distributionenableitung durch die diracsche Delta-Distribution $\delta$ möglich:

    $\operatorname {rect} '(t)=\delta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\delta \left(t-{\frac {1}{2}}\right)$

## Weitere Zusammenhänge

Die Faltung zweier gleicher Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion, die Integration eine Rampenfunktion. Eine Form mit periodischer Fortsetzung der Rechteckfunktion sind die Rademacherfunktionen.

Die mehrfache Faltung mit $n\in \mathbb {N}$ Faltungen

    $\underbrace {\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)*\dotsm } _{n{\text{-mal}}}$

ergibt für $n\to \infty$ mit einer geeigneten Skalierung die Gaußsche Glockenkurve.

