Gromoll-Meyer-Sphäre
# Gromoll-Meyer-Sphäre

In der Mathematik ist die Gromoll-Meyer-Sphäre ein Beispiel einer exotischen Sphäre, d. h. einer nicht zur Standard-Differentialstruktur äquivalenten Differentialstruktur auf einer Sphäre. Sie erzeugt die Gruppe der 7-dimensionalen Homotopiesphären und war das erste Beispiel einer exotischen Sphäre mit einer Metrik nichtnegativer Schnittkrümmung.

## Geschichte

Eine exotische Sphäre ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die homöomorph, aber nicht diffeomorph zur Einheitssphäre im $\mathbb {R} ^{n}$ ist. John Milnor fand 1956 die ersten Beispiele exotischer Sphären, die er als $S^{3}$-Bündel über $S^{4}$ konstruierte. Er bewies, dass es auf der 7-dimensionalen Sphäre 28 verschiedene Differentialstrukturen gibt und dass die Gruppe der 7-dimensionalen Homotopiesphären modulo h-Kobordismus isomorph zu

    $\mathbb {Z} /28\mathbb {Z}$

ist. Die $S^{3}$-Bündel über $S^{4}$ (sogenannte Milnor-Sphären) entsprechen dabei den 21 Elementen

    $\left\{0,1,\ldots ,10,18,\ldots ,28\right\}$,

wobei das Bündel mit Euler-Zahl $1$ und Pontrjagin-Zahl $8k+2$ dem Element

    $k\mod 28$

in $\mathbb {Z} /28\mathbb {Z}$ entspricht. Egbert Brieskorn zeigte 1966, dass sich die Milnor-Sphären auch als Verschlingungen von Singularitäten von Hyperflächen im $\mathbb {C} ^{5}$ beschreiben lassen, nämlich als Schnitt der Hyperfläche

    $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{3}+e^{6k-1}=0$

mit einer kleinen Sphäre um den Nullpunkt. Gromoll and Meyer gaben 1974 eine Konstruktion des Erzeugers (d. h. des $k=1$ entsprechenden Elements der Gruppe der Homotopiesphären) als Biquotient der Gruppe

    $Sp(2)$

und fanden damit insbesondere das erste Beispiel einer Riemannschen Metrik nichtnegativer Schnittkrümmung auf einer exotischen Sphäre. Grove und Ziller bewiesen 2000, dass auch die anderen Milnor-Sphären eine Metrik nichtnegativer Schnittkrümmung haben. Duran, Püttmann und Rigas gaben 2010 eine aus der Gromoll-Meyer-Konstruktion abgeleitete Konstruktion aller exotischen 7-Sphären.

## Konstruktion

Es sei $Sp(2)$ die kompakte symplektische Gruppe, d. h. die Gruppe der das kanonische Skalarprodukt auf dem 2-dimensionalen quaternionischen Vektorraum $\mathbb {H} ^{2}$ erhaltenden $\mathbb {H}$-linearen Abbildungen, und es sei $Sp(1)\simeq S^{3}$ die Gruppe der Quaternionen von Norm $1$. Dann wirkt $Sp(1)\times Sp(1)$ auf $Sp(2)$ durch

    $(q_{1},q_{2})\circ Q:={\begin{pmatrix}q_{1}&0\\0&q_{1}\end{pmatrix}}Q{\begin{pmatrix}{\overline {q}}_{2}&0\\0&1\end{pmatrix}}$.

Diese Wirkung ist frei mit Quotient $S^{4}$. Insbesondere wirkt die Diagonale

    $\Delta =\left\{(q,q)\in Sp(1)\times Sp(1)\right\}$

frei auf $Sp(2)$ und Gromoll und Meyer bewiesen, dass der Quotient $\Delta \backslash Sp(2)$ diffeomorph zur Milnor-Sphäre mit $k=1$ ist.

Aus der O’Neill-Formel folgt, dass $\Delta \backslash Sp(2)$ nichtnegative Schnittkrümmung und positive Ricci-Krümmung hat. Man kann die Metrik so deformieren, dass die Schnittkrümmung fast überall positiv wird.

