Gromov-hyperbolischer Raum
# Gromov-hyperbolischer Raum

In der Mathematik ist ein Gromov-hyperbolischer Raum ein Raum mit „gleichmäßig dünnen Dreiecken“. Dieser Begriff axiomatisiert und verallgemeinert Räume negativer Krümmung und hat sich in vielen Bereichen der Mathematik als nützlich erwiesen.

## Definition

Ein geodätischer metrischer Raum heißt δ-hyperbolisch für ein δ≥0, wenn alle geodätischen Dreiecke δ-dünn sind, d. h. jede Kante des Dreiecks in der δ-Umgebung der Vereinigung der beiden anderen Kanten enthalten ist:

          $[x,y]\subseteq U_{\delta }([y,z]\cup [z,x]),$
          $[y,z]\subseteq U_{\delta }([z,x]\cup [x,y]),$
          $[z,x]\subseteq U_{\delta }([x,y]\cup [y,z]).$

Diese Bedingung ist zum Beispiel für geodätische Dreiecke in Bäumen mit $\delta =0$ oder in der hyperbolischen Ebene mit $\delta =ln({\sqrt {2}}+1)$ erfüllt, allgemeiner für geodätische Dreiecke in einfach zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung.

Ein metrischer Raum heißt Gromov-hyperbolisch, wenn er δ-hyperbolisch für ein δ≥0 ist.

Äquivalent kann man Hyperbolizität mithilfe des Gromov-Produktes definieren. Ein metrischer Raum ist dann δ-hyperbolisch, wenn für alle p, x, y und z in X gilt

    $(x,z)_{p}\geq \min {\big \(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta .$

Die δ-Hyperbolizität bezüglich der ersten Definition ist äquivalent zur δ-Hyperbolizitat bezüglich der zweiten Definition mit einem möglicherweise anderen Wert der Konstante δ.

## Hyperbolische Gruppen

Eine hyperbolische Gruppe ist eine endlich erzeugte Gruppe, deren Cayley-Graph zu einem endlichen Erzeugendensystem δ-hyperbolisch für ein δ>0 ist. (Bis auf die Konstante δ ist diese Bedingung unabhängig von der Wahl des endlichen Erzeugendensystems.)

## Gromov-Rand

Der Gromov-Rand $\partial _{\infty }X$ eines δ-hyperbolischen metrischen Raumes $X$ ist definiert als die Menge der Äquivalenzklassen von Folgen $(x_{n})_{n\in N}\subset X$ bzgl. der Äquivalenzrelation

    $(x_{n})_{n\in N}\sim (y_{n})_{n\in N}\Longleftrightarrow \lim(x_{n},y_{n})_{o}=\infty$

für einen beliebigen (fest gewählten) Basispunkt $o\in X$.

Die Topologie des Gromov-Randes wird festgelegt durch die Umgebungsbasis bestehend aus den Mengen

    $U(\xi ,r):=\left\{\eta \in \partial _{\infty }X:\exists (x_{i}),(y_{j})\ s.d.\ \xi =\left[x_{i}\right],\eta =\left[y_{j}\right],\liminf _{i,j\to \infty }(x_{i},y_{j})_{o}\geq r\right\}$

mit $\xi \in \partial _{\infty }X,r\geq 0$.

Das Gromov-Produkt lässt sich zu einer stetigen Funktion

    $(.,.)_{o}\colon \partial _{\infty }X\times \partial _{\infty }X\to \left[0,\infty \right]$

fortsetzen.

