Genarbte Mannigfaltigkeit
# Genarbte Mannigfaltigkeit

Genarbte Mannigfaltigkeiten (engl.: sutured manifolds) sind ein Begriff aus dem mathematischen Gebiet der 3-dimensionalen Topologie, der insbesondere bei der Konstruktion straffer Blätterungen und bei der Berechnung des Knotengeschlechts Verwendung findet.

## Definition

Eine genarbte Mannigfaltigkeit ist eine kompakte orientierte 3-Mannigfaltigkeit mit einer Zerlegung des Randes

    $\partial M=\partial _{\tau }M\cup \partial _{\pitchfork }M$,

wobei

* $\partial _{\pitchfork }M=A\cup T$ aus Vereinigungen von Kreiszylindern $A$ und Tori $T$ besteht und
* das Innere jedes Kreiszylinders in $A$ eine homologisch nichttriviale Kurve (die Narbe) enthält und
* alle Komponenten von $\partial _{\tau }M$ orientiert sind.

Man bezeichnet mit $R_{+}$ bzw. $R_{-}$ die Vereinigungen der Komponenten von $\partial _{\tau }M$, deren Orientierungen mit denen von $\partial M$ übereinstimmen bzw. nicht übereinstimmen.

Eine genarbte Mannigfaltigkeit heißt straff, wenn $M$ irreduzibel ist und jede Komponente von $\partial _{\tau }M$ die Thurston-Norm in ihrer Homologieklasse minimiert.

Eine genarbte Mannigfaltigkeit heißt ein genarbtes Produkt, wenn sie von der Form $M=S\times \left[0,1\right]$ mit $A=\partial S\times \left[0,1\right]$ für eine Fläche $S$ ist.

## Zerlegung genarbter Mannigfaltigkeiten

Sei $M$ eine genarbte Mannigfaltigkeit und $S\subset M$ eine eigentlich eingebettete Fläche, deren Schnitt mit jeder Komponente von $\partial _{\pitchfork }M$ entweder ein eigentlich eingebettetes Intervall oder eine zu einer Narbe homologe einfache geschlossene Kurve oder eine homologisch nichttriviale geschlossene Kurve in einer Torus-Komponente ist, wobei nicht mehr als eine zueinander homologe Kurven als Schnitte mit einer Toruskomponente vorkommen dürfen. Dann ist

    $M^{\prime }:=M\setminus N(S)$

(das Komplement einer Tubenumgebung von $S$) ebenfalls eine genarbte Mannigfaltigkeit mit

    $\partial _{\pitchfork }M^{\prime }:=(\partial _{\pitchfork }M\cap M^{\prime })\cup N(S_{+}\cap R_{-})\cup N(S_{-}\cap R_{+})$
    $R_{+}^{\prime }:=((R_{+}\cap M^{\prime })\cup S_{+})\setminus int(\partial _{\pitchfork }M^{\prime })$
    $R_{-}^{\prime }:=((R_{+}\cap M^{\prime })\cup S_{-})\setminus int(\partial _{\pitchfork }M^{\prime })$,

wobei $S_{+},S_{-}$ die beiden Kopien von $S$ in $\partial M^{\prime }=\partial (M\setminus N(S))$ sind.

Eine genarbte Mannigfaltigkeit heißt zerlegbar, wenn es eine Folge

    $M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}$

gibt mit $M_{1}=M$, so dass $M_{n}$ ein Produkt und jedes $M_{i+1}$ eine Zerlegung von $M_{i}$ ist. Die Folge $M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}$ heißt genarbte Mannigfaltigkeitshierarchie (engl.: sutured manifold hierarchy).

Gabai beweist die Existenz genarbter Mannigfaltigkeitshierarchien unter folgenden Voraussetzungen.

Satz: Es sei $M$ eine straffe genarbte Mannigfaltigkeit, die keine atoroidale rationale Homologiesphäre ist. Dann hat $M$ eine genarbte Mannigfaltigkeitshierarchie.

Wenn $M\setminus N(S)$ straff ist, dann ist auch $M$ straff mit Ausnahme von $M=D^{2}\times S^{1}$.

Das erlaubt es häufig, Induktionsbeweise über die Längen genarbter Hierarchien zu führen.

## Scheibenzerlegung

Eine Scheibenzerlegung (engl. disk decomposition) ist eine genarbte Mannigfaltigkeitshierarchie, bei der die zerlegenden Flächen in jedem Schritt Kreisscheiben sind.

Scheibenzerlegungen können zur Bestimmung des minimalen Geschlechts der Seifertfläche $\Sigma$ eines Knotens $K\subset S^{3}$ verwandt werden. Wenn $S^{3}\setminus N(\Sigma )$ mit Narbe $\partial _{\Sigma }\cap N(K)$ eine Scheibenzerlegung besitzt, dann ist $\Sigma$ eine Seifertfläche minimalen Geschlechts.

Analog können Scheibenzerlegungen zur Berechnung der Thurston-Norm in beliebigen 3-Mannigfaltigkeiten $M$ verwandt werden. Wenn $\sigma \subset M$ eine eigentlich eingebettete Fläche ist und $M\setminus N(\Sigma )$ eine Scheibenzerlegung besitzt, dann minimiert $\Sigma$ das Geschlecht in ihrer Homologieklasse, berechnet also die Thurston-Norm.

## Invarianten

Zu den Invarianten genarbter Mannigfaltigkeiten gehören genarbte Floer-Homologie, genarbte Khovanov-Homologie und genarbte topologische Quantenfeldtheorie.

