Satz von Švarc-Milnor
# Satz von Švarc-Milnor

Der Satz von Švarc-Milnor (in anderen Transkriptionen auch Satz von Schwartz-Milnor oder Satz von Schwarz-Milnor) ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der geometrischen Gruppentheorie. Er wurde nach den Mathematikern Albert S. Švarc und John W. Milnor benannt.

## Aussage

Sei $X$ ein geodätischer metrischer Raum, in dem abgeschlossene Kugeln mit endlichem Radius kompakt sind. Die topologische Gruppe $G$ operiere kokompakt auf $X$ und für alle kompakten Mengen $K\subset X$ sei die Menge $\{g\in G\mid gK\cap K\neq \emptyset \}$ endlich.

Dann ist $G$ endlich erzeugt und für jedes $x_{0}\in X$ ist die Abbildung $G\to X,g\mapsto g.x_{0}$ eine Quasi-Isometrie bzgl. der zu einem (beliebigen) endlichen Erzeugendensystem definierten Wortmetrik.

## Beispiele

* Die Gruppe $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen ist quasi-isometrisch zur reellen Zahlengerade $\mathbb {R}$.
* Die Gruppe $\mathbb {Z} ^{n}$ ist quasi-isometrisch zum $\mathbb {R} ^{n}$.
* Die Fundamentalgruppe $\pi _{1}X$ eines kompakten metrischen Raumes $X$ ist quasi-isometrisch zur universellen Überlagerung ${\widetilde {X}}$ (falls diese existiert).
