Schnittgerade
# Schnittgerade

Als Schnittgerade bezeichnet man in der Geometrie eine Gerade, in der sich zwei nicht parallele Ebenen im dreidimensionalen euklidischen Raum schneiden. Eine Gerade im Raum wird üblicherweise durch eine Parameterform einer Geradengleichung beschrieben. Der Weg zu der Geradengleichung der Schnittgerade zweier Ebenen hängt von der Beschreibung der beiden zu schneidenden Ebenen ab. Da es hierfür zwei Standard-Beschreibungen (Normalenform und Parameterform) gibt, gibt es drei Möglichkeiten, die Geradengleichung der Schnittgerade zu bestimmen.

Ist eine der zu schneidenden Ebenen eine Koordinatenebene, so nennt man die Schnittgerade Spurgerade. Besitzen mehrere Ebenen eine gemeinsame Schnittgerade, so spricht man von einem Ebenenbüschel.

## Schnitt einer Ebene in Normalenform mit einer Ebene in Parameterform

### Berechnung

Gegeben seien eine Ebene in Normalenform,

    $\varepsilon _{1}\colon {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}=d$,

und eine Ebene in Parameterform,

    $\varepsilon _{2}\colon {\vec {x}}={\vec {p}}+r{\vec {u}}+s{\vec {v}}$.

Damit die Ebenen nicht parallel sind, muss ${\vec {n}}\cdot {\vec {u}}\neq 0$ oder ${\vec {n}}\cdot {\vec {v}}\neq 0$ sein, denn andernfalls wäre ${\vec {n}}$ auch ein Normalenvektor von $\varepsilon _{2}$. Gesucht ist nun eine Parameterdarstellung der Schnittgerade

    $g\colon {\vec {x}}={\vec {q}}+t{\vec {w}}$.

Einsetzen der Parameterform in die Normalenform führt zu

    ${\vec {n}}\cdot {\vec {p}}+r\,{\vec {n}}\cdot {\vec {u}}+s\,{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=d$.

Ist ${\vec {n}}\cdot {\vec {u}}\neq 0$, dann ergibt ein Auflösen der Gleichung nach dem Parameter $s$ und nachfolgendes Einsetzen in die Parameterform

    $g\colon {\vec {x}}=\left({\vec {p}}+{\frac {d-{\vec {n}}\cdot {\vec {p}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {u}}}}{\vec {u}}\right)+t\left({\vec {v}}-{\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {u}}}}{\vec {u}}\right)$.

Ist ${\vec {n}}\cdot {\vec {u}}=0$, werden die Rollen von ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ vertauscht.

### Beispiel

Die beiden Ebenen seien durch

    $\varepsilon _{1}\colon (1,2,1)^{T}\cdot {\vec {x}}=1$

und

    $\varepsilon _{2}\colon {\vec {x}}=(1,1,1)^{T}+r(2,1,-3)^{T}+s(-1,1,0)^{T}$

gegeben. Für die Schnittgerade ergibt sich dann die Parameterdarstellung

    $g\colon {\vec {x}}=(-5,-2,10)^{T}+t(-3,0,3)^{T}$.

## Schnitt zweier Ebenen in Parameterform

### Berechnung

Falls beide Ebenengleichungen in Parameterform vorliegen, berechnet man zunächst für eine der beiden Ebenen die Normalenform und wendet dann das Verfahren aus dem vorigen Abschnitt an. Für eine Ebene mit dem Stützvektor ${\vec {p}}$ und den Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ erhält man durch das Kreuzprodukt

    ${\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}$

einen Normalenvektor und die Ebenengleichung ist dann

    $\varepsilon \colon {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}={\vec {n}}\cdot {\vec {p}}$.

Um die Parallelität zweier Ebenen in Parameterform zu untersuchen, bestimmt man zunächst mit Hilfe des Kreuzproduktes für eine der Ebenen einen Normalenvektor. Sind die Skalarprodukte dieses Normalenvektors mit den Richtungsvektoren der anderen Ebene jeweils gleich null, so sind die beiden Ebenen parallel.

### Beispiel

Die beiden Ebenen seien durch

    $\varepsilon _{1}\colon {\vec {x}}=(1,-1,1)^{T}+r_{1}(2,1,-1)^{T}+s_{1}(-1,1,0)^{T}$

und

    $\varepsilon _{2}\colon {\vec {x}}=(1,1,1)^{T}+r_{2}(2,2,-1)^{T}+s_{2}(1,0,1)^{T}$

gegeben. Als Normalenvektor für $\varepsilon _{1}$ ergibt sich

    ${\vec {n}}=(2,1,-1)^{T}\times (-1,1,0)^{T}=(1,1,3)^{T}$

und damit die Normalenform

    $\varepsilon _{1}\colon {\vec {x}}=(1,1,3)^{T}\cdot {\vec {x}}=3$.

Für die Schnittgerade erhält man dann die Parameterdarstellung

    $g\colon {\vec {x}}=(-3,-3,3)^{T}+t(-7,-8,5)^{T}$.

## Schnitt zweier Ebenen in Normalenform

### Berechnung

Gegeben seien nun zwei Ebenen

    $\varepsilon _{1}\colon {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {x}}=d_{1}$

und

    $\varepsilon _{2}\colon {\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {x}}=d_{2}$

Damit die Ebenen nicht parallel sind, müssen die beiden Normalenvektoren ${\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2}$ linear unabhängig sein, das heißt ${\vec {n}}_{1}$ darf nicht Vielfaches von ${\vec {n}}_{2}$ sein. Gesucht ist wieder eine Parameterdarstellung der Schnittgerade

    $g\colon {\vec {x}}={\vec {q}}+t{\vec {w}}$.

Der Richtungsvektor der Schnittgerade ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Normalenvektoren:

    ${\vec {w}}={\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2}$.

Einen Stützvektor ${\vec {q}}$ der Schnittgerade erhält man, indem man die Ebenen $\varepsilon _{1}$ und $\varepsilon _{2}$ mit der zu ihnen senkrechten Ebene

    $\varepsilon _{3}\colon {\vec {x}}=s_{1}{\vec {n}}_{1}+s_{2}{\vec {n}}_{2}$

schneidet. Die Parameter $s_{1}$ und $s_{2}$ findet man durch Einsetzen in die Gleichungen der Ebenen $\varepsilon _{1}$ und $\varepsilon _{2}$ und erhält so

    ${\vec {q}}={\frac {d_{1}{\vec {n}}_{2}^{2}-d_{2}({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}^{2}{\vec {n}}_{2}^{2}-({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})^{2}}}{\vec {n}}_{1}+{\frac {d_{2}{\vec {n}}_{1}^{2}-d_{1}({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}^{2}{\vec {n}}_{2}^{2}-({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})^{2}}}{\vec {n}}_{2}$.

Falls beide Normalenvektoren normiert sind (Betrag 1), so sind die Skalarprodukte der Normalenvektoren mit sich selbst = 1, und die Formel vereinfacht sich wie folgt:

    ${\vec {q}}={\frac {d_{1}-d_{2}({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})}{1-({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})^{2}}}{\vec {n}}_{1}+{\frac {d_{2}-d_{1}({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})}{1-({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})^{2}}}{\vec {n}}_{2}$.

### Beispiel

Die beiden Ebenen seien durch

    $\varepsilon _{1}\colon (1,2,1)^{T}\cdot {\vec {x}}=1$

und

    $\varepsilon _{2}\colon (2,-3,2)^{T}\cdot {\vec {x}}=2$

gegeben. Hieraus ergibt sich der Richtungsvektor der Schnittgerade als

    ${\vec {w}}={\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2}=(7,0,-7)^{T}$.

Für den Stützvektor ${\vec {p}}$ folgt aus ${\vec {n}}_{1}^{2}=6,{\vec {n}}_{2}^{2}=17,{\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2}=-2$ und aus obiger Formel

    ${\vec {q}}={\tfrac {1}{2}}(1,0,1)^{T}$.

Also ist

    $g\colon {\vec {x}}={\tfrac {1}{2}}(1,0,1)^{T}+t(7,0,-7)^{T}$

eine Parameterdarstellung der Schnittgerade beider Ebenen.

### Anmerkung

Die obige Formel liefert zwar eine Parameterdarstellung der Schnittgerade ohne jegliche Fallunterscheidungen, sie ist allerdings rechenaufwändig. Bei konkret vorgegebenen Ebenengleichungen kann es besser sein, den Gauß-Algorithmus zur Bestimmung einer Parameterdarstellung der Schnittgerade zu verwenden. Für obiges Beispiel ist das lineare Gleichungssystem

       $x+2y+z=1$
    $2x-3y+2z=2$

zu lösen. 2-mal die erste Gleichung minus 1-mal die zweite Gleichung ergibt das Gleichungssystem in Zeilenstufenform:

    ${\begin{array}{rrrcl}x&+2y&+z&=&1\\&7y&&=&0\end{array}}$

Die Unbekannte $z$ kann frei gewählt werden: $z=t$. Nachdem $y=0$ ist liefert ein Einsetzen in die erste Gleichung $x=1-t$. Damit erhält man die (etwas andere) Parameterdarstellung der Schnittgerade:

    ${\vec {x}}=(1,0,0)^{T}+t(-1,0,1)^{T}$.
