Kleisli-Kategorie
# Kleisli-Kategorie

Eine Kleisli-Kategorie ist eine Kategorie, die sich auf natürliche Weise aus einer Monade ergibt. Sie ist benannt nach dem Schweizer Mathematiker Heinrich Kleisli.

## Definition

Sei $C$ eine Kategorie und $M=(T,\mu ,\eta )$ eine Monade, mit $T\colon C\to C$ als Endofunktor und $\mu \colon T^{2}\to T$, $\eta \colon 1\to T$ als die auf ihm festgelegten Monoid-Operationen. Die zu $C$ und $M$ gehörende Kleisli-Kategorie wird im Folgenden als $C_{M}$ bezeichnet. Die Objekte und Morphismen in ihr sind

* $\operatorname {Ob} (C_{M})=\operatorname {Ob} (C)$, sowie
* $\operatorname {Mor} _{C_{M}}(X,Y)=\operatorname {Mor} _{C}(X,T(Y))$.

Identitätsmorphismen und Verkettung sind

* $\operatorname {id} _{A}=\eta _{A}$ und
* $f\circ _{C_{M}}g=\mu \circ _{C}T(f)\circ _{C}g$.

## Beispiele

* Korrespondenzen bilden eine Kleisli-Kategorie. Der Endofunktor auf Set ist hier Potenzmengenbildung, ${\mathcal {P}}$, mit ${\mathcal {P}}(f)(A)=\{f(a)|a\in A\}$.
