Serre-Vermutung
# Serre-Vermutung

Die Serre-Vermutung ist ein mathematischer Satz über Galois-Darstellungen und Modulformen, der im Jahr 2006 von Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger und Mark Kisin bewiesen wurde. Die Serre-Vermutung impliziert den Modularitätssatz und damit auch den großen Satz von Fermat. Die Serre-Vermutung geht auf eine Vermutung von Jean-Pierre Serre zurück.

Unabhängig von Khare und Wintenberger bewies auch Luis Dieulefait 2004 Spezialfälle der Serre-Vermutung, die für den Beweis des großen Satzes von Fermat ausreichen.

## Formulierung

Die Vermutung betrifft Darstellungen (Galois-Darstellungen) der absoluten Galoisgruppe $G_{\mathbb {Q} }$ der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$. Die absolute Galoisgruppe enthält alle Galoisgruppen von Automorphismen von algebraischen Zahlkörpern, die als endliche galoissche Erweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen gegeben sind.

Sei $\rho$ eine absolut irreduzible, stetige und ungerade zweidimensionale Darstellung von $G_{\mathbb {Q} }$ über einem endlichen Körper

    $F=\mathbb {F} _{l^{r}}$

der Charakteristik $l$,

    $\rho :G_{\mathbb {Q} }\rightarrow GL_{2}(F).\$

Nach der Vermutung von Serre wird jede solche Darstellung durch eine Darstellung im Raum der Spitzenformen zur Kongruenzuntergruppe $\Gamma _{0}(N)$ der Stufe $N=N(\rho )$, Gewicht $k=k(\rho )$, und Nebentypus

    $\chi :\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} \rightarrow F^{*}\$

festgelegt, wobei Modulformen in Charakteristik $l$ mit Koeffizienten der Fourierentwicklung in $F$ betrachtet werden. Die Wirkung der absoluten Galoisgruppe in dieser Darstellung wird durch die Hecke-Operatoren beschrieben, linearen Abbildungen im Raum der Spitzenformen dieses Typs. Es gibt eine normierte Hecke-Eigenform, sie ist simultane Eigenfunktion aller Heckeoperatoren, mit der Fourierentwicklung

    $f=q+a_{2}q^{2}+a_{3}q^{3}+\cdots \$

Spezielle Elemente der absoluten Galoisgruppe $G_{\mathbb {Q} }$, die Frobeniuselemente $\operatorname {Frob} _{p}$ zur Primzahl p, beinhalten wesentliche Informationen zur Arithmetik der Zahlkörper. Nach der Vermutung von Serre gilt weiter für alle Primzahlen $p$, teilerfremd zu $N\,l$:

    $\operatorname {Trace} (\rho (\operatorname {Frob} _{p}))=a_{p}\$

und

    $\det(\rho (\operatorname {Frob} _{p}))=p^{k-1}\chi (p).\$

Das heißt, Spur und Determinante – und damit im Wesentlichen die Wirkung der Frobeniusabbildung in der betrachteten Darstellung – werden durch die Hecke-Eigenform festgelegt. Serre vermutete sogar (und zeigte dies explizit an Beispielen), dass sich die Parameter der Darstellung $\rho$ (Stufe, Gewicht, Nebentypus) explizit berechnen lassen (starke Serre-Vermutung).

Es war bereits sehr lange durch tiefe Sätze von Gorō Shimura, Pierre Deligne, Barry Mazur und Robert Langlands bekannt, dass man jeder Hecke-Eigenform $f\in S_{k}(N,\chi )$ eine Darstellung (wie oben gefordert) zuordnen kann. Die Serre-Vermutung behauptet die Umkehrung: Jede irreduzible, stetige und ungerade Darstellung stammt von einer Modulform.

