Euler-Klasse
# Euler-Klasse

In der Mathematik, genauer in der algebraischen Topologie und in der Differentialgeometrie und -topologie, ist die Euler-Klasse ein spezieller Typ von charakteristischen Klassen, die orientierbaren reellen Vektorbündeln zugeordnet wird. Sie wird nach Leonhard Euler benannt, weil sie im Fall des Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit deren Euler-Charakteristik bestimmt.

Sie kann auf unterschiedliche (äquivalente) Weisen definiert werden: als Hindernis für die Existenz eines Schnittes ohne Nullstellen, als Pull-Back der Orientierungsklasse unter einem Schnitt oder als Bild der Pfaffschen Determinante unter dem Chern-Weil-Isomorphismus. Im Fall flacher Bündel gibt es weitere äquivalente Definitionen.

## Grundidee und Motivation

Die Euler-Klasse ist eine charakteristische Klasse, also eine topologische Invariante von orientierten Vektorbündeln: zwei isomorphe orientierte Vektorbündel haben dieselben Euler-Klassen. Im Falle differenzierbarer Mannigfaltigkeiten bestimmt die Euler-Klasse des Tangentialbündels die Euler-Charakteristik der Mannigfaltigkeit.

Die Euler-Klasse liefert ein Hindernis für die Existenz eines Schnittes ohne Nullstellen. Insbesondere liefert die Euler-Charakteristik einer geschlossenen, orientierbaren, differenzierbaren Mannigfaltigkeit ein Hindernis für die Existenz eines Vektorfeldes ohne Singularitäten.

Für einen auf einer Teilmenge des Basis-Raumes definierten nullstellenfreien Schnitt kann man eine relative Euler-Klasse definieren, diese liefert ein Hindernis für die Fortsetzbarkeit des Schnittes ohne Nullstellen auf die gesamte Basis.

## Axiome

Die (relative) Euler-Klasse wird durch folgende Axiome festgelegt.

Jedem orientierten, $n$-dimensionalen reellen Vektorbündel $E\to X$ mit einem nirgendwo verschwindenden Schnitt $s\colon Y\to E$ auf einer (möglicherweise leeren) Teilmenge $Y\subset X$ wird ein Element

    $e(E,s)\in H^{n}(X,Y;\mathbb {Z} )$

(bzw. $e(E)\in H^{n}(X;\mathbb {Z} )$ falls $Y=\emptyset$) zugeordnet, so dass

* für jede stetige Abbildung $f\colon (X^{\prime },Y^{\prime })\to (X,Y)$ gilt $e(f^{*}E,f^{*}s)=f^{*}(e(E,s))$
* $e(E_{1}\oplus E_{2},s\oplus 0)=e(E_{1},s)\cup e(E_{2})$
* für das tautologische komplexe Geradenbündel $\gamma ^{1}\to \mathbb {C} P^{1}$, aufgefasst als 2-dimensionales reelles Vektorbündel, ist $e(\gamma ^{1})\in H^{2}(\mathbb {C} P^{1};\mathbb {Z} )$ ein Erzeuger von $H^{2}(\mathbb {C} P^{1};\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z}$.

$e(E)\in H^{n}(X;\mathbb {Z} )$ heißt die Euler-Klasse des Bündels $E$, $e(E,s)\in H^{n}(X,Y;\mathbb {Z} )$ heißt die relative Euler-Klasse relativ zum Schnitt $s$.

## Definition als Obstruktionsklasse

Für ein $n$-dimensionales orientiertes Vektorbündel $E\to \vert K\vert$ über der geometrischen Realisierung $\vert K\vert$ eines Simplizialkomplexes $K$ erhält man mittels Obstruktionstheorie die Obstruktionsklasse

    $o_{n}(E)\in H^{n}(K;\pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n}))$

für die Fortsetzung eines Schnittes im assoziierten Vektorbündel auf das $n$-Skelett von $K$.

Die Koeffizientengruppe

    $\pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n}))\simeq \pi _{n-1}(\mathbb {R} ^{n}-0)\simeq H_{n-1}(\mathbb {R} ^{n}-0;\mathbb {Z} )\simeq H_{n}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}-0;\mathbb {Z} )$

ist (durch die Orientierung) kanonisch isomorph zu $\mathbb {Z}$ und dieser Isomorphismus bildet $o_{n}(E)$ auf die Euler-Klasse $e(E)\in H^{n}(K;\mathbb {Z} )$ ab.

## Definition mittels Orientierungsklasse

Für ein orientiertes $n$-dimensionales Vektorbündel $p\colon E\to M$ und $E_{0}\subset E$ das Komplement des Null-Schnitts betrachten wir das Bild $u\mid _{E}$ der Orientierungsklasse (Thom-Klasse)

    $u\in H^{n}(E,E_{0};\mathbb {Z} )$

in $H^{n}(E;\mathbb {Z} )$. Weil $\mathbb {R} ^{n}$ kontrahierbar ist, ist $p\colon E\to M$ eine Homotopieäquivalenz und

    $p^{*}\colon H^{*}(M;\mathbb {Z} )\to H^{*}(E;\mathbb {Z} )$

ein Isomorphismus. Die Euler-Klasse ist definiert durch

    $e(E):=(p^{*})^{-1}u\mid _{E}\in H^{n}(M;\mathbb {Z} )$.

Äquivalent kann man $e(E)$ durch

    $e(E):=s^{*}u\mid _{E}$

für einen beliebigen Schnitt (zum Beispiel den Nullschnitt) $s\colon M\to E$ definieren.

Falls $E\to M$ einen Schnitt ohne Nullstellen hat, also $s(M)\subset E_{0}$ gilt, folgt daraus $e(E)=0$.

Relative Euler-Klasse: Falls ein Schnitt ohne Nullstellen $s_{0}\colon Y\to E$ auf einer Teilmenge $Y\subset M$ gegeben ist, dann kann man ihn zu einem Schnitt (evtl. mit Nullstellen) $s\colon (M,Y)\to (E,E_{0})$ fortsetzen und definiert dann

    $e(E,s_{0}):=s^{*}u\in H^{n}(M,Y;\mathbb {Z} )$.

## Definition über Chern-Weil-Theorie

Wir betrachten Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$. Die Konstruktion mittels Chern-Weil-Theorie liefert (nur) das Bild der Euler-Klasse in $H^{*}(M;\mathbb {R} )$ bzw. der relativen Euler-Klasse in $H^{*}(M,Y;\mathbb {R} )$, insbesondere liefert sie die Nullklasse für Vektorbündel ungerader Dimension.

Für ein orientiertes Vektorbündel der Dimension $n=2k$ betrachtet man das assoziierte $SO(2k)$-Prinzipalbündel (das Rahmenbündel) $P\to M$.

Für ein $SO(2k)$-Prinzipalbündel $P\to M$ mit einer Zusammenhangsform $\omega \in \Omega ^{1}(P,so(2k))$ ist die Euler-Klasse $e(P)\in H_{dR}^{2k}(M)\simeq H^{2k}(M;\mathbb {R} )$ das Bild der durch

    $Pf(A,\ldots ,A)={\frac {1}{2^{k}k!}}\sum _{\sigma \in S_{2k}}sign(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}\ldots a_{\sigma (2k-1)\sigma (2k)}$

definierten Pfaffschen Determinante $Pf\in I^{n}(so(2k))$ unter dem Chern-Weil-Homomorphismus

    $I^{k}(so(2k))\to H_{dR}^{2k}(M)$,

also die von der mit Hilfe der Krümmungsform $\Omega \in \Omega ^{2}(M)$ des Prinzipalbündels definierten Differentialform

    ${\frac {1}{2^{k}\pi ^{2k}}}Pf(\Omega )(X_{1},\dots ,X_{2k}):={\frac {1}{(2\pi )^{2k}}}{\frac {1}{(k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\operatorname {sign} (\sigma )Pf(\Omega (X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))$

repräsentierte De-Rham-Kohomologie-Klasse. Man kann zeigen, dass die Euler-Klasse nicht von der Wahl der Zusammenhangsform $\Omega$ abhängt und dass sie im Bild von $H^{2k}(M;\mathbb {Z} )$ liegt.

Die Übereinstimmung der so definierten Euler-Klasse mit der oben topologisch definierten ist der Inhalt des 1943 von Allendoerfer und Weil (und mit einem intrinsischen Beweis 1944 von Chern) bewiesenen verallgemeinerten Satzes von Gauß-Bonnet.

Relative Euler-Klasse: Es sei $s\colon Y\to E$ ein Schnitt ohne Nullstellen über einer Untermannigfaltigkeit $Y\subset M$. (Wir nehmen an, dass sich der Schnitt auf eine offene Umgebung von $Y$ fortsetzen lässt.) Dann gibt es eine Zusammenhangsform $\omega$, deren Krümmungsform $Pf(\Omega )\mid _{Y}\equiv 0$ erfüllt. Insbesondere definiert $Pf(\Omega )$ eine relative Kohomologieklasse $e(E,s)\in H^{2k}(M,Y;\mathbb {Z} )$.

## Euler-Klasse von SL(n,R)-Prinzipalbündeln

Unter den Isomorphismen

    $I^{k}(so(2k))\simeq H^{2k}(BSO(2k))\simeq H^{2k}(BSL(2k,\mathbb {R} ))$

entspricht die Pfaffsche Determinante einer Kohomologieklasse $e(\gamma ^{2k})$ in der Kohomologie des klassifizierenden Raumes $BSL(2k,\mathbb {R} )$, der Euler-Klasse des universellen Bündels $\gamma ^{2k}\to BSL(2k,\mathbb {R} )$. Zu jedem $SL(2k,\mathbb {R} )$-Bündel $P\to M$ kann man also mittels der klassifizierenden Abbildung $f\colon M\to BSL(2k,\mathbb {R} )$ die Euler-Klasse

    $e(P):=f^{*}(e(\gamma ^{2k}))\in H^{2k}(M)$

definieren. Diese stimmt mit der Euler-Klasse des assoziierten Vektorbündels überein.

## Euler-Klasse von Sphärenbündeln

Die Euler-Klasse kann für beliebige Sphärenbündel definiert werden.

Im Fall des Einheitssphärenbündels eines Riemannschen Vektorbündels erhält man die oben definierte Euler-Klasse des Vektorbündels.

## Eigenschaften

* Der kanonische Homomorphismus $H^{n}(X;\mathbb {Z} )\to H^{n}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ bildet die Euler-Klasse auf die n-te Stiefel-Whitney-Klasse $w_{n}\in H^{n}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ ab.
* Das Cup-Produkt $e(E)\cup e(E)$ ist die höchste Pontrjagin-Klasse $p_{n}\in H^{2n}(X;\mathbb {Z} )$.
* Für geschlossene, orientierbare, differenzierbare Mannigfaltigkeiten $M$ mit Tangentialbündel $TM$ und Fundamentalklasse $\left[M\right]$ ist $\langle e(TM),\left[M\right]\rangle =\chi (M)$ die Euler-Charakteristik von $M$.
* Es sei ${\overline {E}}$ das Vektorbündel $E$ mit der umgekehrten Orientierung, dann ist $e({\overline {E}})=-e(E)$.
* Insbesondere gilt für Vektorbūndel ungerader Dimension $2e(E)=0$. Für geschlossene, orientierbare, differenzierbare Mannigfaltigkeiten ungerader Dimension verschwindet die Euler-Charakteristik.
* Für die Whitney-Summe und das kartesische Produkt von Vektorbündeln gilt

    $e(E_{1}\oplus E_{2})=e(E_{1})\cup e(E_{2}),e(E_{1}\times E_{2})=e(E_{1})\times e(E_{2}),$ wobei $\cup$ das Cup-Produkt und $\times$ das Kreuzprodukt bezeichnet.
* Für einen generischen Schnitt $s\colon M\to E$ eines $n$-dimensionalen orientierten Vektorbündels über einer $m$-dimensionalen geschlossenen orientierbaren Mannigfaltigkeit $M$ ist das Bild der Fundamentalklasse $\left[Z\right]$ der Nullstellenmenge $Z=\left\{x\in X:s(x)=0\right\}$ in $H_{m-n}(M;\mathbb {Z} )$ das Poincaré-Dual von $e(E)\in H^{n}(M;\mathbb {Z} )$. Im Fall des Tangentialbündels $E=TM$ ergibt sich daraus der Satz von Poincaré-Hopf.
* Wenn $N_{Y}$ das Normalenbündel einer geschlossenen orientierbaren Untermannigfaltigkeit $Y\subset M$ ist, dann ist $<e(N_{Y}),\left[Y\right]>$ die Selbstschnittzahl von $Y$.
* Wenn $s\colon X\to E$ ein Schnitt ohne Nullstellen ist, dann ist $e(E,s\vert _{Y})=0\in H^{n}(X,Y;\mathbb {Z} )$ für alle $Y\subset X$.
* Gysin-Sequenz: Für ein $n$-dimensionales orientiertes Vektorbündel $E\to B$ (mit $E_{0}\subset E$ die Menge der von Null verschiedenen Vektoren) vermittelt das Cup-Produkt mit der Euler-Klasse eine exakte Sequenz $\ldots \to H^{i}(B;\mathbb {Z} )\to H^{i+n}(B)\to H^{i+n}(E_{0})\to H^{i+1}(B)\to \ldots$, wobei die anderen beiden Abbildungen $\pi \vert _{E_{0}}^{*}$ und die Integration entlang der Faser sind.

## Euler-Klasse flacher Bündel

### Simpliziale Definition

Es sei $p\colon E\to \vert K\vert$ ein flaches Vektorbündel über der geometrischen Realisierung $\vert K\vert$ eines Simplizialkomplexes $K$ mit $0$-Simplizes $v_{1},\ldots ,v_{n}$.. Weil Simplizes kontrahierbar sind, ist das Bündel trivial über jedem Simplex. Zu beliebig gewählten $s(v_{i})\in p^{-1}(v_{i})$ kann man also durch affine Fortsetzung einen Schnitt $s\colon \vert K\vert \to E$ konstruieren. Für generische $s(v_{i})$ hat dieser Schnitt keine Nullstellen auf dem $(n-1)$-Skelett, höchstens eine Nullstelle pro $n$-Simplex und ist transversal zum Nullschnitt. Dann definieren wir einen simplizialen $n$-Kozykel ${\mathcal {E}}$ durch

    ${\mathcal {E}}(\sigma )=0$ falls $s\vert _{\sigma }$ keine Nullstelle hat
    ${\mathcal {E}}(\sigma )=1$ falls $s(p)=0$ für ein $p\in \sigma$ und falls für eine positive Basis $t_{1},\ldots ,t_{n}$ von $T_{p}K$ auch $t_{1},\ldots ,t_{n},d_{p}s(t_{1}),\ldots ,d_{p}s(t_{n})$ eine positive Basis von $T_{s(p)}E$ ist
    ${\mathcal {E}}(\sigma )=-1$ andernfalls.

Man kann zeigen, dass ${\mathcal {E}}$ ein Kozykel ist und sein Wert auf Zykeln nicht vom gewählten Schnitt abhängt. Die von ${\mathcal {E}}$ repräsentierte Kohomologieklasse ist die Euler-Klasse $e\in H^{n}(K;\mathbb {Z} )$ des flachen Bündels.

### Flache SL(2,R)-Bündel

Wegen $\pi _{1}SL(2,\mathbb {R} )\simeq \mathbb {Z}$ hat man die universelle Überlagerung

    $\mathbb {Z} \to {\widetilde {SL(2,\mathbb {R} )}}\to SL(2,\mathbb {R} )$,

diese ist eine zentrale Erweiterung und wird deshalb durch eine Kohomologieklasse $E\in H^{2}(BSL(2,\mathbb {R} )^{\delta };\mathbb {Z} )$ repräsentiert. Diese ist die universelle Euler-Klasse für flache $SL(2,\mathbb {R} )$-Bündel, d. h. für ein flaches Bündel $P\to M$ mit Holonomie-Darstellung $\rho \colon \pi _{1}M\to SL(2,\mathbb {R} )$ erhält man

    $e(P)=f^{*}(B\rho )^{*}(E)\in H^{2}(M;\mathbb {Z} )$,

wobei $f\colon M\to B\pi _{1}M$ die klassifizierende Abbildung der universellen Überlagerung ist.

### Flache Kreisbündel

Es bezeichne $Homeo^{+}(S^{1})$ die Gruppe der orientierungserhaltenden Homöomorphismen des Kreises. Ihre universelle Überlagerung ist ${\widetilde {Homeo^{+}(S^{1})}}=\left\{f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x+1)=f(x)+1\ \forall x\in \mathbb {R} \right\}$. Die ganzen Zahlen wirken durch Translationen auf $\mathbb {R}$ und man erhält eine exakte Sequenz

    $\mathbb {Z} \to {\widetilde {Homeo^{+}(S^{1})}}\to Homeo^{+}(S^{1})$.

Die zugehörige Gruppenkohomologie-Klasse $E\in H^{2}(Homeo^{+}(S^{1});\mathbb {Z} )$ ist die universelle Euler-Klasse für flache $Homeo^{+}(S^{1})$-Bündel.

Eine explizite Formel wurde von Jekel angegeben: die universelle Euler-Klasse $E_{\mathbb {R} }\in H^{2}(Homeo^{+}(S^{1});\mathbb {R} )$ wird durch den sogenannten Orientierungs-Kozykel $o\in C^{2}(Homeo^{+}(S^{1};\mathbb {R} )$ repräsentiert:

    $o(g_{0},g_{1},g_{2})={\frac {1}{2}}$ falls $g_{0}(1),g_{1}(1),g_{2}(1)$ im Uhrzeigersinn auf dem Kreis angeordnet sind
    $o(g_{0},g_{1},g_{2})=0$ falls mindestens zwei der Werte $g_{0}(1),g_{1}(1),g_{2}(1)$ übereinstimmen
    $o(g_{0},g_{1},g_{2})=-{\frac {1}{2}}$ falls $g_{0}(1),g_{1}(1),g_{2}(1)$ entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Kreis angeordnet sind.

Der Orientierungs-Kozykel repräsentiert dann auch für alle Untergruppen $G\subset Homeo^{+}(S^{1})$ die universelle Euler-Klasse für flache $G$-Bündel. Dies gilt insbesondere für flache $PSL(2,\mathbb {R} )$-Bündel: man verwende die Wirkung von $PSL(2,\mathbb {R} )$ auf $S^{1}=P^{1}\mathbb {R}$ durch gebrochen-lineare Transformationen.

