Direkte Summe
# Direkte Summe

Der Begriff direkte Summe bezeichnet in der Mathematik die äußere direkte Summe und die innere direkte Summe.

In beiden Fällen wird die direkte Summe mit dem Verknüpfungszeichen $\oplus$ geschrieben (eingekreistes Pluszeichen, Unicode: U+2295 circled plus sign, bzw. als mehrstelliger Operator analog dem Summenzeichen: U+2A01 n-ary circled plus operator).

## Äußere direkte Summe

Als äußere (auch: externe) direkte Summe bezeichnet man in der Mathematik den Standardvertreter des in der Kategorientheorie (nur bis auf Isomorphie) definierten Koprodukts von abelschen Gruppen oder Moduln (und damit auch Vektorräumen). Er ist gegeben durch die Untergruppe bzw. den Untermodul des direkten Produktes, welche aus den Tupeln mit höchstens endlich vielen vom (jeweiligen) Nullelement verschiedenen Einträgen besteht. Im Falle nur endlich vieler Faktoren stimmt diese Struktur offenbar mit dem direkten Produkt überein. (Im Folgenden werden wir uns der Einfachheit halber nur mit dem Fall von Vektorräumen beschäftigen, für die direkte Summe abelscher Gruppen und die direkte Summe von Moduln geht dies aber analog.)

Eine weitere Möglichkeit, das Koprodukt zu beschreiben, ist die unten erklärte innere direkte Summe, welche zur äußeren direkten Summe isomorph ist.

### Definition

Sei $K$ ein Körper und $\left(V_{i}\right)_{i\in I}$ eine Familie von $K$-Vektorräumen. Dann heißt

    $\bigoplus _{i\in I}V_{i}:={\Big \\left(v_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}V_{i}\;{\Big |}\;v_{i}=0$ für fast alle $i\in I\ {\Big \}$

die äußere direkte Summe der Familie $(V_{i})_{i\in I}$, wobei $\textstyle \prod _{i\in I}V_{i}$ das direkte Produkt von Vektorräumen ist.

Im endlichen Fall ergibt sich also zum Beispiel

    $V_{1}\oplus V_{2}=\left\{\left(v_{1},v_{2}\right)\mid v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2}\right\}=V_{1}\times V_{2}$

Die Unterscheidung zwischen direkter Summe und direktem Produkt ist somit nur bei unendlicher Indexmenge notwendig.

Außerdem gilt bei einer solchen direkten Summe von endlich vielen Vektorräumen, dass die Dimension der Summe gleich der Summe der Dimensionen ihrer Summanden ist.

## Innere direkte Summe

Bei einer Familie von Untervektorräumen $(U_{i})_{i\in I}$ des Vektorraumes $V$ heißt $V$ innere (auch: interne) direkte Summe der $U_{i}$ (die $U_{i}$ heißen dann auch direkte Zerlegung von $V$), falls jedes $v\in V$ (bis auf die Reihenfolge) eindeutig als Summe endlich vieler Elemente der Untervektorräume, wobei aus jedem Untervektorraum höchstens ein Element und niemals das Nullelement ausgewählt wird, darstellbar ist, d. h.:

    Zu jedem Vektor $v\in V$ gibt es genau eine Familie $(u_{i})_{i\in I}$ von Vektoren mit $u_{i}\in U_{i}$ für alle $i\in I$ und $u_{i}\neq 0$ nur für endlich viele der $u_{i}$, so dass $v=\sum _{i\in I}u_{i}$ ist.

Wie die äußere Summe wird auch die innere wie folgt symbolisiert:

    $V=\bigoplus _{i\in I}U_{i}$

oder im endlichen Fall

    $V=U_{1}\oplus \dotsb \oplus U_{n}$.

Eine Summe $V=\sum _{i\in I}U_{i}$ einer Familie von Untervektorräumen ist genau dann direkt, wenn für alle $j\in I$ gilt:

    $U_{j}\cap \sum _{i\in I\setminus \{j\}}U_{i}=\{0\}$,

also wenn für jedes $U_{j}$ der Schnitt mit der Summe der übrigen Untervektorräume nur den Nullvektor enthält.

Im Spezialfall $U_{1}\oplus U_{2}=V$ nennt man $U_{1}$ und $U_{2}$ zueinander komplementär. Dabei gilt

    $U_{1}\oplus U_{2}=V\Leftrightarrow (U_{1}+U_{2}=V)\land (U_{1}\cap U_{2}=\{0\})$.

Ein Untervektorraum $U_{1}\subset V$ eines Vektorraums $V$ heißt ein direkter Summand von $V$, wenn es einen zu $U_{1}$ komplementären Untervektorraum $U_{2}$ gibt, für den also $U_{1}\oplus U_{2}=V$ gilt.

## Zusammenhang

Man beachte: Die äußere Summe von Unterräumen kann immer gebildet werden, aber die innere Summe von Unterräumen ist meist nicht direkt.

Der Bezug zwischen innerer und äußerer Summe kann folgendermaßen hergestellt werden.

Betrachte für jedes $j\in I$ die Einbettung $f_{j}\colon V_{j}\longrightarrow \oplus V_{i}$ in die äußere direkte Summe, also:

    $f_{j}(x)=(v_{i})_{i\in I},v_{i}=x$ für $i=j$ und $v_{i}=0$ für $i\neq j$

Die innere direkte Summe der Bilder dieser Abbildungen bildet dann die äußere direkte Summe.

## Direkte Summe von Darstellungen

Seien $\textstyle (\rho _{1},V_{\rho _{1}}),(\rho _{2},V_{\rho _{2}})$ Darstellungen von $\textstyle G_{1}$ bzw. $\textstyle G_{2}.$ Die direkte Summe der Darstellungen wird definiert als: $\textstyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}:G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{\rho _{1}}\oplus V_{\rho _{2}}),$ wobei $\textstyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}(s_{1},s_{2})(v_{1},v_{2}):=\rho _{1}(s_{1})v_{1}\oplus \rho _{2}(s_{2})v_{2}$ für alle $(s_{1},s_{2})\in G_{1}\times G_{2}$ und $v_{1}\in V_{\rho _{1}},v_{2}\in V_{\rho _{2}}.$ Auf diese Weise wird $\textstyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}$ wieder zu einer linearen Darstellung. Sind $\textstyle \rho _{1},\rho _{2}$ Darstellungen der gleichen Gruppe $\textstyle G,$ so definiert man die direkte Summe der Darstellungen der Einfachheit halber auch als Darstellung von $\textstyle G,$ also $\textstyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}\colon G\to {\text{GL}}(V_{1}\oplus V_{2}),$ in dem man $\textstyle G$ als die diagonale Untergruppe von $\textstyle G\times G$ auffasst.

Beispiel

Sei $\textstyle \rho _{1}\colon \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$ die lineare Darstellung, die gegeben ist durch

    $\rho _{1}({\overline {1}})=\left({\begin{array}{cc}0&-i\\i&0\end{array}}\right).$

Und sei $\textstyle \rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )$ die lineare Darstellung, die gegeben ist durch

    $\rho _{2}({\overline {1}})=\left({\begin{array}{ccc}1&0&e^{\frac {2\pi i}{3}}\\0&e^{\frac {2\pi i}{3}}&0\\0&0&e^{\frac {4\pi i}{3}}\end{array}}\right).$

Dann ist $\textstyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}$ eine lineare Darstellung von $\textstyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ in den $\textstyle \mathbb {C} ^{2}\oplus \mathbb {C} ^{3}=\mathbb {C} ^{5},$ die für $k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ nach Definition wie folgt aussieht:

    $\rho _{1}\oplus \rho _{2}(k,l)=\left({\begin{array}{cc}\rho _{1}(k)&0\\0&\rho _{2}(l)\end{array}}\right).$

Da es reicht das Bild des Erzeugers der Gruppe anzugeben, stellen wir fest, dass $\textstyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}\colon \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{5}(\mathbb {C} )$ gegeben ist durch:

    $\rho _{1}\oplus \rho _{2}({\overline {1}},{\overline {1}})=\left({\begin{array}{ccccc}0&-i&0&0&0\\i&0&0&0&0\\0&0&1&0&e^{\frac {2\pi i}{3}}\\0&0&0&e^{\frac {2\pi i}{3}}&0\\0&0&0&0&e^{\frac {4\pi i}{3}}\end{array}}\right).$
