Endlich erzeugte Gruppe
# Endlich erzeugte Gruppe

Eine endlich erzeugte Gruppe ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der abstrakten Algebra. Es handelt sich um einen Spezialfall einer Gruppe.

## Definition

Eine Gruppe $G$ heißt endlich erzeugt (oder auch: endlich erzeugbar), falls es eine endliche Teilmenge $S\subset G$ gibt, die $G$ erzeugt. Dies bedeutet, dass $G$ die kleinste Untergruppe von $G$ ist, die $S$ enthält. Die Teilmenge $S$ nennt man Erzeugendensystem von $G$.

## Bemerkungen

* Mit $\langle S\rangle$ notiert man oftmals die von $S$ erzeugte Gruppe. Das Erzeugendensystem einer endlich erzeugten Gruppe ist jedoch nicht eindeutig.
* In der Algebra betrachtet man insbesondere endlich erzeugte abelsche Gruppen, da man diese recht einfach klassifizieren kann.
* Die endlichen Gruppen sind insbesondere endlich erzeugt, die Endlichkeit der Gruppe ist hinreichend für ihre endliche Erzeugbarkeit, aber nicht notwendig.
* Notwendig für die endliche Erzeugbarkeit ist, dass die Gruppe eine abzählbare Menge ist. Dies ist aber nicht hinreichend.

## Beispiele und Gegenbeispiele

* Die ganzen Zahlen $(\mathbb {Z} ,+)$ sind eine endlich erzeugte Gruppe mit Erzeugendensystem $\{1\}$.
* Allgemeiner sind alle zyklischen Gruppen endlich erzeugte Gruppen.
* Die Menge der positiven rationalen Zahlen $(\mathbb {Q} ^{+},\cdot )$ bildet mit der Multiplikation eine Gruppe, die kein endliches Erzeugendensystem besitzt, also nicht endlich erzeugbar ist. Ein minimales Erzeugendensystem dieser Gruppe bildet die abzählbare Menge der Primzahlen.
* Jede freie Gruppe über einer endlichen, mindestens zweielementigen Menge S ist nicht kommutativ, endlich erzeugt – S ist ein Erzeugendensystem – und abzählbar unendlich.
