Stumpfer Winkel
# Stumpfer Winkel

Ein Winkel $\alpha$ heißt stumpf, falls gilt:

* $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ (im Gradmaß) bzw.
* $\pi /2<\alpha <\pi$ (im Bogenmaß).

In der linearen Algebra heißt eine Familie von Vektoren stumpfwinklig, falls der Winkel zwischen je zwei dieser (verschiedenen) Vektoren stumpf ist. Die formale Definition lautet wie folgt:

Sei $S=\{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine Familie von Vektoren und $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ das Standardskalarprodukt auf $\mathbb {R} ^{n}$. Dann heißt S stumpfwinklig, falls gilt $\langle v_{i},v_{j}\rangle <0$, für $1\leq i<j\leq k$.

Es lässt sich zeigen, dass eine stumpfwinklige Familie im $\mathbb {R} ^{n}$ höchstens $n+1$ Vektoren enthalten kann.

Liegt eine symmetrische Konfiguration von $n+1$ Vektoren im $\mathbb {R} ^{n}$ vor, so gilt für den Winkel $\varphi$ zwischen je zwei (verschiedenen) Vektoren: $\varphi =\arccos \left(-{\frac {1}{n}}\right)$.

Im Fall $n=3$ beispielsweise beschreibt eine symmetrische Konfiguration von vier Vektoren gleicher Länge ein reguläres Tetraeder. Daraus erhält man direkt den Tetraederwinkel $\tau =\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109{,}47^{\circ }$.

