Kepler-Dreieck
# Kepler-Dreieck

Kepler-Dreieck ist ein Terminus der Dreiecksgeometrie. Als ein solches wird ein rechtwinkliges Dreieck der euklidischen Ebene bezeichnet, dessen drei zunehmend größere Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ eine endliche geometrische Folge bilden. Das heißt, dass seine Seitenlängen im Verhältnis $a:b:c$ und gleichzeitig mit der Verhältniszahl $q$ im Verhältnis $1:{\sqrt {q}}:q$ zueinander stehen.

Dies hat zur Folge, dass die an die Dreiecksseiten angrenzenden Quadrate die folgenden Verhältnisse aufweisen:

$a^{2}:b^{2}:c^{2}$ beziehungsweise $1:q:q^{2}$

Der deutsche Astronom und Mathematiker Johannes Kepler merkte hierzu folgendes an:

   Die Geometrie birgt zwei große Schätze: der eine ist der Satz von Pythagoras, der andere der Goldene Schnitt. Den ersten können wir mit einem Scheffel Gold vergleichen, den zweiten können wir ein kostbares Juwel nennen.

## Mathematischer Zusammenhang

Aus dem Satz des Pythagoras

    $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

ergibt sich mit $b={\sqrt {q}}\cdot a$ und $c=q\cdot a$:

    $a^{2}+q\cdot a^{2}=q^{2}\cdot a^{2}$

Somit muss das Verhältnis $q$ der geometrischen Folge die folgende Bedingung erfüllen:

    $1+q=q^{2}$

Dies ist exakt die Definitionsgleichung für das Teilungsverhältnis des Goldenen Schnitts $\varphi$, es ist daher $q=\varphi$ mit:

    $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$.

Es folgt der Satz:

   Ein rechtwinkliges Dreieck in der euklidischen Ebene ist genau dann ein Kepler-Dreieck, wenn es einem Dreieck mit den Seitenlängen $1$, ${\sqrt {\varphi }}$ und $\varphi$ ähnlich ist.

## Trivia

Das Kepler-Dreieck genannte Areal zwischen der Keplerstraße und dem Bahnhof in der baden-württembergischen Stadt Ludwigsburg erfüllt nicht die oben angegebenen geometrischen Bedingungen.

