Wright-Omega-Funktion
# Wright-Omega-Funktion

In der Mathematik ist die Wright-Omega-Funktion, auch Wright-Funktion genannt, geschrieben als ω, definiert über die Lambertsche W-Funktion:

    $\omega (z)=W_{{\big \lceil }{\frac {\mathrm {Im} (z)-\pi }{2\pi }}{\big \rceil }}(e^{z}).$

## Verwendungen

Eine der Hauptanwendungen dieser Funktion ist die Auflösung der Gleichung z = ln(z), da die einzige Lösung durch z = $e^{−ω(πi)}$ gegeben ist.

y = ω(z) ist einer der Lösungen, wenn $z\neq x\pm i\pi$ für x ≤ −1, der Gleichung y + ln(y) = z. Die Wright-Omega-Funktion ist auf allen Zweigen außer zweien stetig und gerade analytisch.

## Eigenschaften

Die Wright-Omega-Funktion erfüllt die Relation $W_{k}(z)=\omega (\ln(z)+2\pi ik)$.

Sie erfüllt auch die Differentialgleichung

    ${\frac {d\omega }{dz}}={\frac {\omega }{1+\omega }}$

immer dann wenn ω analytisch ist (wie leicht erkannt werden kann mit der Trennung der Variablen und dem erhalten der Gleichung $\ln(\omega )+\omega =z$) und daraus folgt die Konsequenz, dass ihr Integral so geschrieben werden kann:

    $\int w^{n}\,dz={\begin{cases}{\frac {\omega ^{n+1}-1}{n+1}}+{\frac {\omega ^{n}}{n}}&{\mbox{wenn }}n\neq -1,\\\ln(\omega )-{\frac {1}{\omega }}&{\mbox{wenn }}n=-1.\end{cases}}$

Die Taylorreihenentwicklung um den Punkt $a=\omega _{a}+\ln(\omega _{a})$ hat die Form:

    $\omega (z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {q_{n}(\omega _{a})}{(1+\omega _{a})^{2n-1}}}{\frac {(z-a)^{n}}{n!}}$

wobei

    $q_{n}(w)=\sum _{k=0}^{n-1}{\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }(-1)^{k}w^{k+1}$

in welcher

    ${\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }$

die Euler-Zahl zweiter Ordnung ist.

## Spezielle Werte

    ${\begin{array}{lll}\omega (0)&=W_{0}(1)&\approx 0.56714\\\omega (1)&=1&\\\omega (-1\pm i\pi )&=-1&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)+i\pi )&=-{\frac {1}{3}}&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)-i\pi )&=W_{-1}\left(-{\frac {1}{3}}e^{-{\frac {1}{3}}}\right)&\approx -2.237147028\\\end{array}}$

## Graphische Darstellungen

* Graphische Darstellungen der Wright-Omega-Funktion auf der komplexen Ebene
* z = Re(ω(x + i y))
* z = Im(ω(x + i y))
* ω(x + i y)
