Torsionstensor
# Torsionstensor

Der Torsionstensor ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der Differentialgeometrie. Eingeführt wurde dieses Tensorfeld von Élie Cartan in seinen Studien zur Geometrie und Gravitation.

## Definition

Sei $(M,\nabla )$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit zusammen mit einem affinen Zusammenhang $\nabla$. Der Torsionstensor $T$ ist ein Tensorfeld, das durch

    $T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]$

definiert ist. Dabei sind $X,Y\in \Gamma (TM)$ zwei Vektorfelder und $[\cdot ,\cdot ]$ stellt die Lie-Klammer dar.

## Lokale Darstellung

Sei $e_{1},\ldots ,e_{n}$ ein lokaler Rahmen des Tangentialbündels $TM$. Das sind Schnitte im Tangentialbündel, die in jedem Tangentialraum eine Vektorraumbasis bilden. Setzt man $X:=e_{i}$, $Y:=e_{j}$ und $\gamma _{ij}^{k}e_{k}:=[e_{i},e_{j}]$, dann gilt für die Komponenten $T_{ij}^{k}$ des Torsionstensors in lokalen Koordinaten

    $T^{k}_{ij}=\Gamma ^{k}_{ij}-\Gamma ^{k}_{ji}-\gamma ^{k}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.$

Dabei bezeichnen die Symbole $\Gamma _{ij}^{k}$ die Christoffel-Symbole. Da es immer möglich ist, den lokalen Rahmen so zu wählen, dass die Lie-Klammer überall verschwindet, gilt in diesen Koordinaten für die Komponenten des Tensorfelds

    $T^{k}_{ij}=\Gamma ^{k}_{ij}-\Gamma ^{k}_{ji},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.$

## Eigenschaften

* Der Torsionstensor ist ein (2,1)-Tensorfeld, ist also insbesondere $C^{\infty }$-linear in seinen drei Argumenten.
* Der Torsionstensor ist schiefsymmetrisch, das heißt, es gilt $T(X,Y)=-T(Y,X)$.

## Symmetrischer Zusammenhang

Ein affiner Zusammenhang $\nabla$ heißt symmetrisch oder torsionsfrei, wenn der Torsionstensor verschwindet, wenn also

    $T(X,Y)=0$

oder äquivalent

    $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$

gilt. Der wichtigste symmetrische Zusammenhang ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der zusätzlich noch metrisch ist.

Für symmetrische Zusammenhänge kann eine Art Verallgemeinerung des Satzes von Schwarz für differenzierbare Kurven bewiesen werden. Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit symmetrischem Zusammenhang $\nabla$ und $c\colon \left]-\epsilon ,\epsilon \right[\times \left]a,b\right[\to M$ eine glatte Homotopie von glatten Kurven, dann gilt

    $\nabla _{\frac {\partial }{\partial s}}{\frac {\partial }{\partial t}}c(s,t)=\nabla _{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial s}}c(s,t)\,.$

Einfach ausgedrückt kann im Fall eines symmetrischen Zusammenhangs also die Ableitung nach $s$ mit der nach $t$ vertauscht werden.

