Wall-Sun-Sun-Primzahl
# Wall-Sun-Sun-Primzahl

Eine Wall-Sun-Sun-Primzahl, benannt nach D. D. Wall, Zhi-Hong Sun und Zhi-Wei Sun, ist eine Primzahl p > 5, für die die durch p teilbare Zahl

    $F{\biglp-{\bigl{\tfrac {p}{5}}{\bigr )}{\bigr )}$

durch $p^{2}$ teilbar ist. Dabei ist F(n) die n-te Fibonacci-Zahl und ${\bigl{\tfrac {a}{b}}{\bigr )}$ das Legendre-Symbol von a und b, also ${\bigl{\tfrac {p}{5}}{\bigr )}$ ist 1, wenn 5 ein Teiler von $p^{2}-1$ ist, und $-1$ sonst. D. D. Wall stellte 1960 die Frage, ob solche Primzahlen existieren. Die Frage ist bis heute offen, insbesondere sind keine Wall-Sun-Sun-Primzahlen bekannt. Wenn eine Wall-Sun-Sun-Primzahl existiert, muss sie größer als 9,7 × $10^{14}$ sein. Es gibt die Vermutung, dass unendlich viele existieren.

Zhi-Hong Sun und Zhi-Wei Sun zeigten 1992, dass eine ungerade Primzahl p eine Wall-Sun-Sun-Primzahl ist, wenn ein bestimmtes Gegenbeispiel zur Fermatschen Vermutung existiert, nämlich nicht durch p teilbare ganze Zahlen x, y, z mit $x^p$ + $y^p$ = $z^p.$ Diese Eigenschaft hatte auch Wieferich 1909 für Wieferich-Primzahlen nachgewiesen. Mit dem Beweis der Vermutung 1995 ist allerdings geklärt, dass kein Gegenbeispiel existiert, also die Voraussetzung nicht erfüllt werden kann.

