Poincaré-Ungleichung
# Poincaré-Ungleichung

In der Analysis bezeichnet man als Poincaré-Ungleichung eine nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré benannte Ungleichung aus der Theorie der Sobolev-Räume. Die Ungleichung ermöglicht es, Schranken für eine Funktion aus Schranken der Ableitungen und der Geometrie des Definitionsbereichs herzuleiten. Solche Schranken spielen in der Variationsrechnung eine große Rolle.

## Formulierung der Ungleichung

### Die klassische Poincaré-Ungleichung

Sei $1\leq p<\infty$ und $\Omega$ eine beschränkte zusammenhängende offene Teilmenge des $n$-dimensionalen euklidischen Raumes $\mathbb {R} ^{n}$ mit Lipschitz-Rand (d. h. $\Omega$ ist ein Lipschitz-Gebiet). Dann gibt es eine Konstante $C$, die nur von $\Omega$ und $p$ abhängt, so dass für jede Funktion $u$ im Sobolev-Raum $W^{1,p}(\Omega )$ die Ungleichung

    $\|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}$

gilt, wobei

    $u_{\Omega }={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }u(y)\,\mathrm {d} y$

der Mittelwert von $u$ über $\Omega$ ist, $|\Omega |$ bezeichnet das Lebesgue-Maß des Gebietes $\Omega$.

Mit Hilfe der Hölder-Ungleichung kann man zeigen, dass die $L^{2}$-Poincaré-Ungleichung aus der $L^{1}$-Poincaré-Ungleichung folgt. Allgemein: Wenn für ein Gebiet $\Omega$ die Poincaré-Ungleichung für ein $p^{\prime }$ gilt, dann gilt sie auch für alle $p>p^{\prime }$, eventuell mit einer anderen Konstanten $C$.

### Eindimensionales Beispiel

Sei f eine stetig differenzierbare Funktion mit Fourierreihe

    $f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}$,

dann ist unter Benutzung der Parsevalschen Gleichung

    $\|f-f_{[0,2\pi ]}\|_{L^{2}[0,2\pi ]}=\sum _{n\not =0}|a_{n}|^{2}\leq \sum _{n}n^{2}|a_{n}|^{2}=\|f'\|_{L^{2}[0,2\pi ]}$.

### Mannigfaltigkeiten

Für Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nichtnegativer Ricci-Krümmung (zum Beispiel nichtnegativer Schnittkrümmung) gilt die Poincaré-Ungleichung. Es gibt eine nur von der Dimension n abhängende Konstante $C_{n}$, so dass für alle $p\in M,r>0,u\in W_{loc}^{2,1}(M)$ gilt:

    $\|u-u_{B(p,r)}\|_{L^{2}(B(p,r))}\leq C_{n}r\|\nabla u\|_{L^{2}(B(p,r))}$

### Metrische Räume

Bruce Kleiner bewies 2007 eine Poincaré-Ungleichung für die Cayley-Graphen endlich erzeugter Gruppen:

    $\int _{B_{R}}\|f-f_{R}\|^{2}\leq 8\|S\|^{2}R^{2}{\frac {\|B(2R)\|}{\|B(R)\|}}\int _{B_{3R}}\|\nabla f\|^{2},$

wobei $f$ eine stückweise glatte Funktion, $f_{R}$ ihr Mittelwert über den Ball $B_{R}$ und $S$ das den Cayley-Graphen definierende Erzeugendensystem ist. Mit Hilfe dieser Ungleichung gab er einen vereinfachten Beweis von Gromows Satz über Gruppen polynomialen Wachstums.

Für metrische Räume mit nichtnegativer Ricci-Krümmung im Sinne von Lott-Villani-Sturm wurde die schwache lokale $L^{1}$-Poincaré-Ungleichung 2012 von Rajala bewiesen.

### Verallgemeinerungen

Es gibt Verallgemeinerungen der Poincaré-Ungleichung für andere Sobolev-Räume, zum Beispiel die folgende Poincaré-Ungleichung für den Sobolev-Raum $H^{\frac {1}{2}}(T^{2})$, d. h. den Raum der Funktionen $u$ im $L^{2}$-Raum des Torus $T^{2}$, deren Fourier-Transformierte ${\hat {u}}$ die Bedingung

    $[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{2}}|k|{\big |}{\hat {u}}(k){\big |}^{2}<+\infty$

erfüllt: Es gibt eine Konstante $C$, so dass für jedes $u\in H^{\frac {1}{2}}(T^{2})$ mit $u$ identisch 0 auf einer offenen Menge $E\subset T^{2}$ folgende Ungleichung gilt:

    $\int _{\mathbf {T} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\leq C\left(1+{\frac {1}{\operatorname {cap} (E\times \{0\})}}\right)[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2},$

wobei $\operatorname {cap} (E\times \left\{0\right\})$ die harmonische Kapazität von $E\times \left\{0\right\}$ als Teilmenge von $\mathbb {R} ^{3}$ bedeutet.

## Die Poincaré-Konstante

Die optimale Konstante $C$ in der Poincaré-Ungleichung wird als Poincaré-Konstante des Gebietes $\Omega$ bezeichnet. Es ist im Allgemeinen sehr schwer, die Poincaré-Konstante zu bestimmen, abhängig von $p$ und der Geometrie des Gebietes $\Omega$. Gewisse Spezialfälle sind aber behandelbar. Zum Beispiel für beschränkte, konvexe Lipschitz-Gebiete $\Omega$ mit Durchmesser $d$ ist die Poincaré-Konstante höchstens $d/2$ falls $p=1$, und höchstens $d/\pi$ falls $p=2$ und das ist die bestmögliche nur vom Durchmesser abhängende Abschätzung für die Poincaré-Konstante. Für glatte Funktionen erhält man das als eine Anwendung der isoperimetrischen Ungleichung auf die Levelmengen der Funktion. Im Eindimensionalen ist das die Wirtinger-Ungleichung für Funktionen.

Es gibt Spezialfälle, in denen die Konstante $C$ explizit bestimmt werden kann. Zum Beispiel für $p=2$ ist bekannt, dass für das Gebiet des gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten der Länge 1 die Poincaré-Konstante $C=1/\pi$ ist (und damit kleiner als $d/\pi$ für den Durchmesser $d={\sqrt {2}}$).

