Arithmetische Folge
# Arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge (auch: arithmetische Progression) ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. Eine einfache arithmetische Folge stellen die ungeraden natürlichen Zahlen dar: $1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ldots$

## Berechnung

Es gilt:

    $a_{i+1}=a_{i}+d\quad$ (rekursive Formel).

Das $i$-te Glied $a_{i}$ einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied $a_{1}$ und der Differenz $d$ berechnet sich aus

    $a_{i}=a_{1}+(i-1)\cdot d\quad$ (explizite Formel)

oder in ausgeschriebener Form:

    $a_{1}=a_{1},\ a_{2}=a_{1}+d,\ a_{3}=a_{1}+2d,\ a_{4}=a_{1}+3d,\dots$

## Beispiel

Die arithmetische Folge mit dem Anfangsglied $a_{1}=25$ und der Differenz $d=-3$ lautet

    ${\begin{aligned}a_{1}&=25+0\cdot (-3)=25,\\a_{2}&=25+1\cdot (-3)=22,\\a_{3}&=25+2\cdot (-3)=19,\\a_{4}&=25+3\cdot (-3)=16,\\\vdots \end{aligned}}$

Wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt, ergibt sich

    $25,\ 22,\ 19,\ 16,\ 13,\ 10,\ 7,\ 4,\ 1,\ {-2},\ \dots$

Zum Beispiel das 6. Glied $a_{6}$ lässt sich explizit berechnen als

    $a_{6}=a_{1}+(6-1)\cdot d=25+5\cdot (-3)=10$.

## Namensherkunft

Die Bezeichnung „arithmetische Folge“ leitet sich aus dem arithmetischen Mittel ab. Jedes Glied einer arithmetischen Folge $a_{i}$ mit $i>0$ ist das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder. Unter Zuhilfenahme von $a_{i}=a_{i-1}+d\Leftrightarrow a_{i-1}=a_{i}-d$ folgert man schnell, dass

    ${\frac {a_{i+1}+a_{i-1}}{2}}={\frac {\overbrace {a_{i}+d} ^{=a_{i+1}}+\overbrace {(a_{i}-d)} ^{=a_{i-1}}}{2}}={\frac {2a_{i}}{2}}=a_{i}$

erfüllt ist. Die Summierung der Folgenglieder ergibt die arithmetische Reihe.

## Differenzenfolge

Die Folge der Differenzen zweier aufeinanderfolgender Glieder nennt man Differenzenfolge.

Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenzenfolge konstant: für jedes $i>0\$ gilt: $a_{i+1}-a_{i}=d\$ .

### Ungerade Zahlen

Die Differenz zweier aufeinanderfolgender ungerader natürlicher Zahlen ist immer 2. Also ergibt sich als Differenzenfolge die Folge, die nur aus Zweien besteht:

| $1\$ | | $3\$ | | $5\$ | | $7\$ | | $9\$ | | $11\$ | | $13\$ | $...\$ |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| | $2\$ | | $2\$ | | $2\$ | | $2\$ | | $2\$ | | $2\$ | | $...\$ |

### Primzahlfolge

Beispiel einer arithmetischen Progression von Primzahlen mit dem konstanten Abstand 210:

| $199\$ | | $409\$ | | $619\$ | | $829\$ | | $1039\$ | | $1249\$ | | $1459\$ | | $1669\$ | | $1879\$ | | $2089\$ |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| | $210\$ | | $210\$ | | $210\$ | | $210\$ | | $210\$ | | $210\$ | | $210\$ | | $210\$ | | $210\$ |

Die Folge endet nach 10 Gliedern (AP-10). Die Differenz selbst ist ein Primorial (210 = 2·3·5·7). Terence Tao und Ben Green bewiesen, dass es beliebig lange derartige arithmetische Progressionen von Primzahlen geben muss (Satz von Green-Tao). Die längste bisher bekannte Folge wurde 2019 gefunden und besteht aus 27 Elementen (AP-27).

## Arithmetische Folgen höherer Ordnung

Folgen, die sich auf eine arithmetische Folge zurückführen lassen, nennt man arithmetische Folgen höherer Ordnung. Es handelt sich dabei genau um diejenigen Folgen, die sich durch eine Polynomfunktion beschreiben lassen; die Ordnung ist dabei der Grad des Polynoms.

### Berechnung

Formeln zur Berechnung von Partialsummen arithmetischer Folgen allgemeiner Ordnung:

* $\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$
* $\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$
* $\sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$

Im allgemeinen Fall gilt die Faulhabersche Formel:

* $\sum _{i=1}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}$.

Dabei bezeichnet $B_{k}$ die $k$-te Bernoulli-Zahl.

### Tetraederzahlen

| Folge: | | $1\$ | | $4\$ | | $10\$ | | $20\$ | | $35\$ | | $56\$ | | $...\$ |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 1. Differenzenfolge: | $1\$ | | $3\$ | | $6\$ | | $10\$ | | $15\$ | | $21\$ | | $28\$ | $...\$ |
| 2. Differenzenfolge: | | $2\$ | | $3\$ | | $4\$ | | $5\$ | | $6\$ | | $7\$ | | $...\$ |
| 3. Differenzenfolge: | | | $1\$ | | $1\$ | | $1\$ | | $1\$ | | $1\$ | | $...\$ |

Die Folge der Tetraederzahlen ist eine arithmetische Folge 3. Ordnung. Die Polynomfunktion, welche die Folge beschreibt, lautet:

    $a_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\frac {1}{6}}\cdot (n^{3}+3n^{2}+2n)$.

Der größte Exponent bestimmt den Grad der Polynomfunktion, und das ist in diesem Fall die drei.

Wie man der Tabelle entnehmen kann, ist die Folge der Dreieckszahlen (1. Differenzenfolge) eine arithmetische Folge 2. Ordnung.

### Quadratzahlen

| Folge: | $0\$ | | $1\$ | | $4\$ | | $9\$ | | $16\$ | | $25\$ | | $36\$ | | $49\$ | $...\$ |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 1. Differenzenfolge: | | $1\$ | | $3\$ | | $5\$ | | $7\$ | | $9\$ | | $11\$ | | $13\$ | | $...\$ |
| 2. Differenzenfolge: | | | $2\$ | | $2\$ | | $2\$ | | $2\$ | | $2\$ | | $2\$ | | | $...\$ |

Auch bei der Folge der Quadratzahlen handelt es sich also um eine arithmetische Folge 2. Ordnung.

## Mehrdimensionale arithmetische Folgen

Die mehrdimensionale Verallgemeinerung besteht in Folgen der Form

    $a+mb+nc$

mit $m=1,2,\cdots ,k$, $n=1,2,\cdots ,l$ und Konstanten $a,b,c\in \mathbb {N}$ und entsprechend in mehr als zwei „Dimensionen“.

