Harnack-Ungleichung
# Harnack-Ungleichung

In der Mathematik geben Harnack-Ungleichungen Abschätzungen für die oberen Schranken von Lösungen verschiedener Differentialgleichungen. Im klassischen Fall der Wärmeleitungsgleichung beschränken sie die Diffusion der Wärme. Sie sind benannt nach dem Mathematiker Axel Harnack.

## Klassische Harnack-Ungleichung

### Aussage

Es sei $u\colon M\times \left[0,T\right]\rightarrow [0,\infty )$ eine nichtnegative Lösung der Wärmeleitungsgleichung

    ${\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u$,

wobei $\Delta$ den Laplace-Operator auf der kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ bezeichnet.

Dann gibt es eine nur von $M$ abhängende Konstante $C$, so dass

    $\sup _{x\in M}u(x,t)\leq C\inf _{x\in M}u(x,t)$

für alle $0\leq t\leq T$ gilt.

Die Bestimmung der optimalen Konstante $C$ in Abhängigkeit von der Geometrie von $M$ ist ein schwieriges Problem.

### Harmonische Funktionen

Insbesondere gilt $\sup _{x\in M}u(x)\leq C\inf _{x\in M}u(x)$ für alle nichtnegativen harmonischen Funktionen $u\colon M\rightarrow [0,\infty )$.

### Beispiel

Sei $M=B(x_{0},R)\subset \mathbb {R} ^{n}$ der Ball mit Radius $R$ und Mittelpunkt $x_{0}$ im euklidischen Raum. Dann gilt für jede nichtnegative harmonische Funktion (mit stetigen Randwerten)

    $u\colon B(x_{0},R)\rightarrow [0,\infty )$

die Ungleichung

    $\displaystyle {{1-(r/R) \over [1+(r/R)]^{n-1}}u(x_{0})\leq u(x)\leq {1+(r/R) \over [1-(r/R)]^{n-1}}u(x_{0})}$

mit $r=\parallel x-x_{0}\parallel$ für alle $x\in B(x_{0},R)$.

Daraus ergibt sich die Harnack-Ungleichung für $M=B(x_{0},R)$ mit $C={\frac {1+(r/R)}{[1-(r/R)]^{n-1}}}{\frac {[1+(r/R)]^{n-1}}{1-(r/R)}}$.

## Differentielle Harnack-Ungleichung

Sei $M$ eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer Ricci-Krümmung und konvexem Rand, dann gilt für jede positive Lösung der Wärmeleitungsgleichung die Ungleichung

    ${\frac {\partial _{t}u}{u}}-{\frac {\mid \nabla u\mid ^{2}}{u^{2}}}+{\frac {n}{2t}}\geq 0.$

Aus dieser Ungleichung kann man häufig optimale Konstanten für die klassische Harnack-Ungleichung herleiten.

