Bernstein-Ungleichung (Analysis)
# Bernstein-Ungleichung (Analysis)

Die Bernstein-Ungleichungen – benannt nach dem russischen Mathematiker Sergei Natanowitsch Bernstein – geben eine obere Schranke an für die Ableitung von Polynomen in einem abgeschlossenen Intervall. Sie werden gebraucht im Bereich Approximationstheorie.

## Trigonometrische Polynome

Bernstein betrachtete im Jahr 1912 trigonometrische Polynome n-ten Grades der Form

    $S(\Theta )=\sum _{k=0}^{n}(a_{k}\cos(k\Theta )+b_{k}\sin(k\Theta ))$
    mit $a_{n}\neq 0$ und $b_{n}\neq 0$

Für diese bewies er – allerdings nur für reine Kosinus-Polynome – die folgende Ungleichung.

Die dargestellte Form mit Sinus und Kosinus beschrieb der ungarische Mathematiker Leopold Fejér 1914, auch Edmund Landau erwähnte sie später in einem Brief an Bernstein. Alternative Beweise der Ungleichung zeigen Marcel Riesz 1914 sowie George Pólya und Gábor Szegő 1925.

Diese Bernstein-Ungleichung ist hilfreich beim Beweis einer Markow-Ungleichung.

## Allgemeine Polynome

Die Bernstein-Ungleichung lässt sich verallgemeinern auf allgemeine Polynome in der komplexen Ebene.

Diese Ungleichung wiederum kann man verallgemeinern auf höhere Ableitungen.

