Mollweidesche Formeln
# Mollweidesche Formeln

Die mollweideschen Formeln, benannt nach dem deutschen Mathematiker und Astronomen Carl Brandan Mollweide, sind trigonometrische Formeln, die für beliebige Dreiecke gelten. Isaac Newton entdeckte diese Beziehungen bereits ein Jahrhundert zuvor.

    $(b+c)\sin {\frac {\alpha }{2}}=a\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}$
    $(b-c)\cos {\frac {\alpha }{2}}=a\sin {\frac {\beta -\gamma }{2}}$
    $(c+a)\sin {\frac {\beta }{2}}=b\cos {\frac {\gamma -\alpha }{2}}$
    $(c-a)\cos {\frac {\beta }{2}}=b\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}$
    $(a+b)\sin {\frac {\gamma }{2}}=c\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
    $(a-b)\cos {\frac {\gamma }{2}}=c\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
* Herleitung
* Sinussatz:
* ${b \over a}={\sin(\beta ) \over \sin(\alpha )};\quad$(1)
* ${c \over a}={\sin(\gamma ) \over \sin(\alpha )};\quad$(2)
* Sinusidentitäten:
* $\sin(\beta )+\sin(\gamma )=2\cdot \sin \left({\beta +\gamma \over 2}\right)\cdot \cos \left({\beta -\gamma \over 2}\right);\quad$(3)
* $\sin(\beta )-\sin(\gamma )=2\cdot \cos \left({\beta +\gamma \over 2}\right)\cdot \sin \left({\beta -\gamma \over 2}\right);\quad$(4)
* Sinus-Additionstheorem für Doppelwinkel:
* $\sin(\alpha )=\sin \left(2\cdot {\alpha \over 2}\right)=2\cdot \sin \left({\alpha \over 2}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 2}\right);\quad$(5)
* Winkelsumme im Dreieck und Übergang zum Komplementärwinkel:
* $\sin \left({\beta +\gamma \over 2}\right)=\sin \left({180^{\circ }-\alpha \over 2}\right)=\sin \left(90^{\circ }-{\alpha \over 2}\right)=\cos \left({\alpha \over 2}\right);\quad$(6)
* $\cos \left({\beta +\gamma \over 2}\right)=\cos \left({180^{\circ }-\alpha \over 2}\right)=\cos \left(90^{\circ }-{\alpha \over 2}\right)=\sin \left({\alpha \over 2}\right);\quad$(7)
* Addition von (1) und (2), Anwendung von (3) und (5), Kürzen unter Verwendung von (6):
* ${b+c \over a}={\sin(\beta )+\sin(\gamma ) \over \sin(\alpha )}=$${\frac {2\cdot \sin \left({\beta +\gamma \over 2}\right)\cdot \cos \left({\beta -\gamma \over 2}\right)}{2\cdot \sin({\alpha \over 2})\cdot \cos({\alpha \over 2})}}=$${\frac {\cos \left({\beta -\gamma \over 2}\right)}{\sin({\alpha \over 2})}};$
* Subtraktion von (1) - (2), Anwendung von (4) und (5), Kürzen unter Verwendung von (7):
* ${b-c \over a}={\sin(\beta )-\sin(\gamma ) \over \sin(\alpha )}={\frac {2\cdot \cos \left({\beta +\gamma \over 2}\right)\cdot \sin \left({\beta -\gamma \over 2}\right)}{2\cdot \sin({\alpha \over 2})\cdot \cos({\alpha \over 2})}}={\frac {\sin \left({\beta -\gamma \over 2}\right)}{\cos({\alpha \over 2})}};$
* Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner ergibt die angegebenen Formeln. Die anderen beiden Formeln, die eine Summe bzw. eine Differenz zweier Seiten enthalten, entstehen durch zyklische Substitution der Seiten- und Winkelbezeichnungen.

## Quelle

* C. B. Mollweide: Zusätze zur ebenen und sphärischen Trigonometrie. In: Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmels-Kunde, 1808, Seiten 394–400.
