Schafarewitsch-Vermutung
# Schafarewitsch-Vermutung

In der Mathematik ist die Schafarewitsch-Vermutung eine 1983 von Gerd Faltings bewiesene Vermutung aus der arithmetischen Geometrie. Sie wurde ursprünglich von Schafarewitsch auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1962 in Stockholm aufgestellt und für hyperelliptische Kurven bewiesen.

## Aussage

Die Schafarewitsch-Vermutung besagt, dass es für einen Zahlkörper $K$ und eine endliche Menge von Primidealen $S$ im Ganzheitsring ${\mathcal {O}}_{K}$ nur endlich viele Kurven gegebenen Geschlechts $g\geq 1$ gibt, deren Néron-Modelle modulo der Ideale in $S$ schlechte Reduktion haben, d. h. nach Reduktion algebraische Kurven mit Singularitäten sind.

Durch Übergang zur Jacobi-Varietät und Verwendung des Satzes von Torelli ist die Vermutung äquivalent zu der Vermutung, dass es nur endlich viele $g$-dimensionale, prinzipal polarisierte, abelsche Varietäten mit schlechter Reduktion modulo der Ideale in $S$ gibt.

## Beispiele

Für $g=1$ besagt die Schafarewitsch-Vermutung, dass es nur endlich viele elliptische Kurven über $K$ gibt, deren Néron-Modelle bezüglich Primzahlen in $S$ schlechte Reduktion haben. Tatsächlich sind Néron-Modelle elliptischer Kurven durch eine Gleichung $y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$ gegeben und sie haben nur dann schlechte Reduktion modulo $S$, wenn $\lambda$ und $\lambda -1$ nur durch die Primzahlen in $S$ teilbar sind. Dies ist zu einer gegebenen Menge $S$ nur für endlich viele $\lambda$ der Fall.

## Anwendungen

Aus der Schafarewitsch-Vermutung folgt mit Arbeiten von Alexei Nikolajewitsch Parschin die Mordell-Vermutung: eine algebraische Kurve vom Geschlecht $g\geq 2$ über einem Zahlkörper hat nur endlich viele rationale Punkte.

## Analoga

Die Schafarewitsch-Vermutung für Funktionenkörper wurde in Charakteristik Null 1971 von Arakelow und in positiver Charakteristik 1978 von Szpiro bewiesen.

