Sullivan-Starrheit
# Sullivan-Starrheit

Im mathematischen Teilgebiet der geometrischen Funktionentheorie ist Sullivan-Starrheit (engl. Sullivan rigidity) eine tiefliegende Verallgemeinerung der Mostow-Starrheit in der Theorie der Kleinschen Gruppen. Sie geht auf Dennis Sullivan zurück.

Sullivan-Starrheit spielt eine zentrale Rolle beim Beweis wesentlicher Sätze der 3-dimensionalen Topologie, zum Beispiel beim Beweis der Ending Lamination Conjecture von Brock-Canary-Minsky und bei Thurstons Beweis der Geometrisierung gefaserter 3-Mannigfaltigkeiten.

## Starrheitssatz

Seien $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subset \mathrm {Isom} (H^{n})$ diskrete Gruppen von Isometrien des hyperbolischen Raumes $H^{n},n\geq 3$, zu denen es einen Isomorphismus $\rho \colon \Gamma _{1}\to \Gamma _{2}$ gibt. Die Wirkung von $\Gamma _{1}$ auf ihrer Limesmenge $\Lambda (\Gamma _{1})$ sei rekurrent.

Wenn dann $f\colon \partial _{\infty }H^{n}\to \partial _{\infty }H^{n}$ ein quasikonformer Homöomorphismus des Randes im Unendlichen des hyperbolischen Raumes ist, so dass

    $f(\gamma (x))=\rho (\gamma )(f(x))\ \forall \gamma \in \Gamma _{1},x\in H^{n}$

gilt und die Einschränkung von $f$ auf den Diskontinuitätsbereich $\Omega (\Gamma _{1})$ eine konforme Abbildung ist, dann muss $f$ eine Möbiustransformation sein.

