Vermutung von Andrica
# Vermutung von Andrica

Die Vermutung von Andrica, benannt nach Dorin Andrica, ist eine Vermutung zu den Primzahllücken.

Sei $p_{n}$ die $n$-te Primzahl. Dann besagt die Vermutung von Andrica, dass folgende Ungleichung für alle natürlichen $n$ gilt:

    ${\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1.$

Unter Verwendung der $n$-ten Primzahllücke $g(n):=p_{n+1}-p_{n}$ lässt sie sich auch so formulieren:

    $g(n)<{\sqrt {p_{n+1}}}+{\sqrt {p_{n}}}.$

## Werte

Es sei $A_{n}:={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}$.

Empirisch sinken diese Werte asymptotisch für steigendes $n$, sodass es sehr wahrscheinlich ist, dass die Vermutung stimmt. Für alle $A_{n}$ mit $n<26\cdot 10^{10}$ wurde die Vermutung von H. J. Smith bestätigt, der größte gefundene Wert war $A_{4}\approx 0{,}670873479$.

Einige Werte, von denen jeweils vermutet wird, dass sie für größere $n$ nicht mehr übertroffen werden, sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:

| $n$ Folge A084976 in OEIS | $p_{n}$ Folge A084974 in OEIS | $A_{n}$ Folge A084977 in OEIS |
| - | - | - |
| 4 | 7 | 0,670873 |
| 30 | 113 | 0,639281 |
| 217 | 1327 | 0,463722 |
| 263 | 1669 | 0,292684 |
| 367 | 2477 | 0,260522 |
| 429 | 2971 | 0,256245 |
| 462 | 3271 | 0,244265 |
| 590 | 4297 | 0,228429 |
| 650 | 4831 | 0,215476 |
| 738 | 5591 | 0,213675 |
| 10655462 | 191912783 | 0,008950 |

Numerische Computerberechnungen bestärken die Vermutung; mittlerweile (2005) wurden die Primzahlen bis $10^{16}$ getestet. Ein formaler Beweis konnte dennoch bisher nicht erbracht werden.

## Verallgemeinerung

Allgemeiner kann man etwa die Gleichung

    $p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1$

betrachten und nach maximalem bzw. minimalem $x$ suchen, das eine solche Gleichung erfüllt. Die Gleichung hat ihr

* Maximum trivialerweise bei $n=1$, d. h.

       $3^{x}-2^{x}=1\qquad \Rightarrow \qquad x=1$
* Minimum unter den ersten 1000 Primzahlen (und vermutlich auch allgemein) bei $n=30$, d. h.

       $127^{x}-113^{x}=1\qquad \Rightarrow \qquad x=0{,}56714813\dots =a_{0}$
    Dieses $a_{0}$ wird auch als (die) Smarandache-Konstante bezeichnet.

Daraus entsteht die verallgemeinerte Andricasche Vermutung

    $B_{n}=p_{n+1}^{a}-p_{n}^{a}<1\qquad {\text{für alle }}a<a_{0}.$

Außerdem wird vermutet, dass

    $C_{n}=p_{n+1}^{1/k}-p_{n}^{1/k}<{\frac {2}{k}}\qquad {\text{wobei }}k\geq 2,k\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {N} .$

## Ähnliche Vermutung

Die Vermutung von Andrica ist eine Verschärfung der Vermutung von Legendre, nach der zwischen jedem $n^{2}$ und $(n+1)^{2}$ mindestens eine Primzahl existiert.

