Schätzfehler
# Schätzfehler

In der Statistik bezeichnet der Schätzfehler die Abweichung einer Schätzfunktion ${\hat {\vartheta }}$ vom unbekannten Parameter der Grundgesamtheit $\vartheta$. Er ist ein Maß für die Güte der Schätzfunktion (oder Interpolation).

## Definition

Er ist definiert als:

    $e:={\hat {\vartheta }}-\vartheta$

Ist der wahre Parameter unbekannt, so ist auch der Schätzfehler unbekannt. Trotzdem ist es möglich, eine Aussage über die Präzision des Schätzfehlers zu machen.

## Parameter des Schätzfehlers

* Der Erwartungswert des Schätzfehlers wird als Verzerrung bezeichnet.
* Die Standardabweichung des Schätzfehlers ist gleich dem Standardfehler.

## Beispiele

Wenn $\mu$ der Mittelwert in der Grundgesamtheit ist, $\sigma ^{2}$ die Varianz und $\pi$ der Anteilswert in einer dichotomen Grundgesamtheit ist, dann zeigt die folgende Tabelle Schätzfunktionen, Schätzfehler und Verzerrungen. Dabei bezeichnet $N(\mu ,\sigma ^{2})$ die Normalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Varianz $\sigma ^{2}$.

| Parameter der Grundgesamtheit | Stichprobenvariablen | Schätzfunktion ${\hat {\theta }}$ | Schätzfehler $e$ | Verzerrung $\operatorname {E} (e)$ |
| - | - | - | - | - |
| $\mu$ | $X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ | ${\bar {X}}={\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}$ | ${\bar {X}}-\mu$ | $0$ |
| $\mu$ | $X_{i}\sim (\mu ,\sigma ^{2})$ und ZGS erfüllt | ${\bar {X}}={\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}$ | ${\bar {X}}-\mu$ | $0$ |
| $\pi$ | $X_{i}$ dichotom | $\Pi ={\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}$ | $\Pi -\pi$ | $0$ |
| $\sigma ^{2}$ | $X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ und $\mu$ bekannt | $S^{*2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}$ | $S^{*2}-\sigma ^{2}$ | $0$ |
| $\sigma ^{2}$ | $X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ und $\mu$ unbekannt | $S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$ | $S^{2}-\sigma ^{2}$ | $0$ |
| $\sigma ^{2}$ | $X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ und $\mu$ unbekannt | $S^{'2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$ | $S^{'2}-\sigma ^{2}$ | $-{\frac {\sigma ^{2}}{n}}$ |

Der Erwartungswert des Schätzfehlers ist die Verzerrung.

