Defekt (Mathematik)
# Defekt (Mathematik)

Der Defekt ist innerhalb der Mathematik ein Begriff aus dem Teilgebiet der linearen Algebra. Man ordnet ihn einer linearen Abbildung oder einer Matrix zu.

## Definition für lineare Abbildungen

Seien $V$ und $W$ zwei endlichdimensionale Vektorräume, die Dimension von $V$ sei $n$, die Dimension von $W$ sei $m$. Sei weiter $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung. Dann ist der Defekt dieser Abbildung als die Dimension des Kerns der Abbildung definiert, kurz

    $\operatorname {def} (f)=\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (f))$.

## Defekt bei Matrizen

Eine Matrix $A\in \mathbb {K} ^{m\times n}$ mit Elementen aus einem Körper $\mathbb {K}$ kann als lineare Abbildung $f_{A}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{m},x\mapsto Ax$ interpretiert werden. In diesem Sinne wird der Defekt der Matrix $A$ durch

    $\operatorname {def} (A):=\operatorname {def} (f_{A})$

definiert. Der Defekt von $A$ ist also gleich der Dimension des Lösungsraums des homogenen linearen Gleichungssystems $Ax=0$.

Ist $A$ die Nullmatrix, so ist $\operatorname {def} (A)$ gleich der Spaltenzahl von $A$. Andernfalls ist $\operatorname {def} (A)$ gleich der maximalen Anzahl von Spalten, die man so aus $A$ streichen kann, dass die verkleinerte Matrix das gleiche Bild wie $A$ hat. Die gestrichenen Spalten sind dann von den in der verkleinerten Matrix verbleibenden Spalten linear abhängig.

### Berechnung

Vor allem für die Handrechnung bei kleinen Matrizen eignet sich das gaußsche Eliminationsverfahren mit Zeilen- und Spaltentausch zur Bestimmung des Defektes. Jede Matrix $A\in \mathbb {K} ^{m\times n}$ lässt sich mit diesem Verfahren in eine äquivalente Matrix ${\bar {A}}$ mit ${\bar {A}}_{i,j}=0$ für $i>j$ umformen, bei der mit einem $r\in \{0,\ldots ,m\}$ die Diagonalelemente der ersten $r$ Zeilen mit Nichtnullelementen besetzt sind und die übrigen Zeilen Nullzeilen sind ($r$ ist der Rang der Matrix $A$). Der Defekt dieser Matrix ist dann $\operatorname {def} (A)=n-r$ (das ist die Aussage des Rangsatzes).

Sei vorausgesetzt, dass $A$ nicht die Nullmatrix ist. Streicht man aus $A$ diejenigen Spalten, die den Spalten $r+1,\ldots ,n$ in der Matrix ${\bar {A}}$ entsprechen (hierbei sind während des gaußschen Eliminationsverfahrens erfolgte Spaltenvertauschungen zu berücksichtigen), so hat die verkleinerte Matrix das gleiche Bild wie $A$. Beim Streichen weiterer Spalten (falls das möglich ist) verkleinert sich das Bild der Matrix.

Bei quadratischen Matrizen (also für $m=n$) ist der Defekt von $A$ gleich der Anzahl der Nullzeilen in ${\bar {A}}$.

Numerisch stabiler, jedoch auch aufwendiger als das gaußsche Eliminationsverfahren ist die Bestimmung des Defektes einer Matrix mittels Singulärwertzerlegung.

### Beispiele

    $A={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&5&4\\0&10&2\end{pmatrix}}\sim {\bar {A}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&5&4\\0&0&-6\end{pmatrix}}\Rightarrow n=3,r=3\Rightarrow \mathrm {def} (A)=0$
    $A={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&6&4\\0&3&2\end{pmatrix}}\sim {\bar {A}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&6&4\\0&0&0\end{pmatrix}}\Rightarrow n=3,r=2\Rightarrow \mathrm {def} (A)=1,$

Ein Spaltentausch war nicht notwendig, also hat die Matrix

    ${\begin{pmatrix}1&2\\0&6\\0&3\end{pmatrix}},$

die aus $A$ durch Streichen der letzten Spalte entsteht, dasselbe Bild wie $A$.

    $A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}\sim {\bar {A}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\end{pmatrix}}\Rightarrow n=3,r=2\Rightarrow \operatorname {def} (A)=1$

Spaltentausch war wiederum nicht notwendig, also hat diese Matrix das gleiche Bild wie ${\begin{pmatrix}1&2\\4&5\end{pmatrix}}.$

    $A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}\sim {\bar {A}}={\begin{pmatrix}1&2\\0&-2\\0&0\end{pmatrix}}\Rightarrow n=2,r=2\Rightarrow \operatorname {def} (A)=0$

## Rangsatz

Hauptartikel: Rangsatz

Der Rangsatz zeigt einen Zusammenhang zwischen dem Defekt und dem Rang $\operatorname {rg} (f)$ einer linearen Abbildung $f\colon V\to W$.

    $\dim V=\operatorname {def} (f)+\operatorname {rg} (f)$
