Satz von Quillen-Suslin
# Satz von Quillen-Suslin

Der Satz von Quillen-Suslin, benannt nach Daniel Quillen und Andrei Suslin, ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der kommutativen Algebra. Er besagt, dass endlich erzeugte, projektive Moduln über gewissen Polynomringen frei sind.

## Aussage des Satzes

Es sei $R$ ein Hauptidealring. Dann ist jeder endlich erzeugte, projektive $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$-Modul frei.

Hauptidealring bedeutet hier, dass der Ring kommutativ, nullteilerfrei und jedes Ideal von einem Element erzeugt ist. $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bezeichnet den Ring der Polynome in $n$ Unbestimmten mit Koeffizienten aus $R$. Das umfasst damit die wichtigen Fälle des Polynomrings über einem Körper und über dem Ring der ganzen Zahlen.

## Bemerkung

Auf die Kommutativität des Ringes $R$ kann nicht verzichtet werden, denn M. Ojanguren und R. Sridharan haben für nicht-kommutative Divisionsringe $D$ gezeigt, dass $D[X_{1},X_{2}]$ ein nicht-freies, projektives Ideal $P$ enthält, so dass $D[X_{1},X_{2}]\oplus P\cong D[X_{1},X_{2}]\oplus D[X_{1},X_{2}]$.

## Historie

Das unten angegebene Lehrbuch Serre’s Problem on Projective Modules von Tsit Yuen Lam bietet eine umfassende Darstellung des Themenkreises um das Serre-Problem. Jean-Pierre Serre schrieb in einem 1955 erschienenen Artikel, dass es nicht bekannt sei, ob es für einen Körper $K$ endlich-erzeugte, projektive, nicht-freie $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$-Moduln gäbe. Diese Frage ist dann als Serre-Vermutung oder, in Abgrenzung zu einer anderen Serre-Vermutung, als Serre-Problem bekannt geworden. Es ist dann 1976 unabhängig von Daniel Quillen und von Andrei Suslin gelöst worden und nun als Satz von Quillen-Suslin bekannt. Für dies und weitere wesentliche Beiträge zur Ringtheorie, insbesondere zur algebraischen K-Theorie, hat Quillen 1978 die Fields-Medaille erhalten.

