Satz von Radon-Riesz
# Satz von Radon-Riesz

Der Satz von Radon-Riesz ist ein mathematischer Satz in der Maßtheorie, der Aussagen darüber trifft, wann die schwache Konvergenz in ${\mathcal {L}}^{p}$ und die Konvergenz im p-ten Mittel von Funktionenfolgen äquivalent sind. In diesem Zusammenhang wird die Konvergenz im p-ten Mittel auch wie in der Funktionalanalysis üblich als Normkonvergenz oder starke Konvergenz in ${\mathcal {L}}^{p}$ bezeichnet. Der Satz ist nach Johann Radon und Frigyes Riesz benannt.

## Aussage

Es sei $p\in (1,\infty )$ und $f\colon X\to \mathbb {K} ,(f_{n}\colon X\to \mathbb {K} )_{n\in \mathbb {N} }$ aus ${\mathcal {L}}^{p}$ und $\|\cdot \|_{p}$ bezeichne die ${\mathcal {L}}^{p}$-Norm. Dann konvergiert $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ im p-ten Mittel genau dann, wenn $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ schwach konvergiert und $\lim _{n\to \infty }\|f_{n}\|_{p}=\|f\|_{p}$ ist.

## Radon-Riesz-Eigenschaft

Der Satz von Radon-Riesz ist Namensgeber für die Radon-Riesz-Eigenschaft. Dies ist eine Eigenschaft von normierten Räumen in der Funktionalanalysis. Ein normierter Raum hat die Radon-Riesz-Eigenschaft genau dann, wenn in diesem Raum die Normkonvergenz einer Folge äquivalent dazu ist, dass die Folge schwach konvergiert und die Folge der Normen gegen die Norm des Grenzwertes konvergiert.

