Tits-System
# Tits-System

Ein Tits-System (oft synonym auch BN-Paar genannt) wird in der mathematischen Disziplin der Gruppentheorie benutzt, um viele Resultate aus der Theorie der halbeinfachen Lie-Gruppen, der algebraischen Gruppen und der endlichen Gruppen vom Lie-Typ einheitlich formulieren und beweisen zu können. Außerdem bilden die Tits-Systeme das algebraische Gegenstück zur Gebäude-Theorie. Der Begriff wurde von Jacques Tits eingeführt.

## Definition

Ein Tits-System besteht aus einem 4-Tupel $(G,B,N,S)$, wobei $G$ eine Gruppe ist, $B$ und $N$ Untergruppen von $G$ sind und $S\subseteq N/(B\cap N)$ eine Menge von Nebenklassen von $B\cap N$ in $N$ ist, sodass folgende vier Axiome erfüllt sind:

    T 1:Die Gruppe $G$ wird von $B$ und $N$ erzeugt. Außerdem ist $H:=B\cap N$ ein Normalteiler in $N$. T 2:Die Faktorgruppe $W:=N/H$ wird von der Menge $S$ erzeugt und es gilt $s^{2}=1$ für alle $s\in S$. T 3:Für $s\in S$ und $w\in W$ gilt $sBw\subseteq BswB\cup BwB$. T 4:Für $s\in S$ ist $sBs^{-1}$ keine Teilmenge von $B$.

Die Nummerierung T1 bis T4 stammt aus Tits' Originalarbeit.

## Beispiele

* Oft wird als Standardbeispiel die Gruppe $G:=\mathrm {GL} (n,K)$ der invertierbaren $n\times n$-Matrizen über einem Körper $K$ angegeben. Hierbei ist $B$ die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen. Für die Gruppe $N$ nehmen wir alle Matrizen, die in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einen Eintrag ungleich Null haben. Die Gruppe $H:=B\cap N$ wird dann genau zu der Gruppe der Diagonalmatrizen und $W=N/H$ ist kanonisch isomorph zur symmetrischen Gruppe über $n$ Elementen. Die Menge $S$ besteht aus den Permutationen, die zwei benachbarte Elemente vertauschen.
* Sei allgemeiner $G$ eine reduktive algebraische Gruppe und $B$ eine Borel-Untergruppe, die einen maximalen Torus $H$ enthält. Sei $N$ der Normalisator von $H$ in $G$ und $S$ ein minimales Erzeugendensystem von $W:=N/H$. Dann ist $(G,B,N,S)$ ein Tits-System.
* Sei $X$ eine Menge mit mindestens drei Elementen und $G$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe von $X$, sodass $G$ zweifach transitiv auf $X$ wirkt. Weiterhin seien zwei unterschiedliche Elemente $x,y\in X$ gegeben. Dann sei $B$ der Stabilisator von $x$ in $G$ und $N$ sei definiert als die Gruppe, die die Menge $\{x,y\}$ als Menge fixiert, d. h. die Elemente $x$ und $y$ werden entweder beide fixiert oder vertauscht. Dann ergibt sich $H:=B\cap N$ als punktweiser Stabilisator der Menge $\{x,y\}$. Die Faktorgruppe $W:=N/H$ hat Ordnung 2 und die Menge $S$ besteht nur aus einem einzigen Element und dieses entspricht der Vertauschung von $x$ und $y$.
