Kanonische Gleichungen
# Kanonische Gleichungen

Die kanonischen Gleichungen sind in der klassischen Mechanik die Bewegungsgleichungen eines Systems, das durch eine Hamiltonfunktion $H=H(q,p,t)$ beschrieben wird, und werden deshalb auch Hamiltonsche Bewegungsgleichungen genannt.

## Fundamentale Bewegungsgleichungen

Die fundamentalen Bewegungsgleichungen für die Koordinaten und Impulse lauten:

    ${\begin{aligned}{\dot {q}}_{i}={\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}&=+{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\\{\dot {p}}_{i}={\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\end{aligned}}$.

Dabei bedeuten

* $q_{i}$ die generalisierten Koordinaten
* $p_{i}$die generalisierten Impulse des Systems.

Die kanonischen Gleichungen folgen direkt aus dem Hamiltonschen Prinzip durch ein erweitertes Variationsprinzip, bei dem Koordinaten und Impulse gleichberechtigt behandelt werden.

Die kanonischen Gleichungen sind eng mit den kanonischen Transformationen verknüpft, die über die Hamilton-Jacobi-Gleichung die Brücke zur Quantenmechanik schlagen. Einen ersten Hinweis darauf bietet die elegante Formulierung der kanonischen Gleichungen mit Poissonklammern:

    ${\begin{aligned}{\dot {q}}_{i}&=\left\{q_{i},H\right\}={\frac {\partial q_{i}}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial q_{i}}{\partial p_{j}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\\{\dot {p}}_{i}&=\left\{p_{i},H\right\}={\frac {\partial p_{i}}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial p_{j}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\end{aligned}}$

## Verallgemeinerung

Für eine beliebige Phasenraumfunktion $A=A(q,p,t)$ des Systems kann man die totale Ableitung nach der Zeit aufgrund der Kettenregel schreiben als:

    ${\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial A}{\partial q_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial A}{\partial t}}$.

Aufgrund der kanonischen Gleichungen für Koordinaten und Impulse und der Definition der Poisson-Klammer folgt daraus

    ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}&={\frac {\partial A}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial A}{\partial t}}\\&=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}\end{aligned}}$.

An dieser Form erkennt man die Korrespondenz der klassischen Bewegungsgleichung einer Phasenraumfunktion mit der Heisenbergschen Bewegungsgleichung für Observable in der Quantenmechanik, wenn die Poisson-Klammer durch den Kommutator und die Hamiltonfunktion durch den Hamiltonoperator ersetzt wird.

Die kanonischen Gleichungen für Koordinaten und Impulse in ihrer Schreibweise mithilfe der Poisson-Klammern gehen als Spezialfall aus der verallgemeinerten Form wieder hervor.

Eine Größe ist erhalten, wenn sie der Gleichung

    $\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}=0$

gehorcht. Wenn die betrachtete Größe nicht explizit zeitabhängig ist, vereinfacht sich dies weiter zu

    $\{A,H\}=0$.
