Abelsche Identität
# Abelsche Identität

Die abelsche Identität ist ein Ausdruck für die Wronski-Determinante zweier linear unabhängiger homogener Lösungen einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die Beziehung wurde 1827 von dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802–1829) hergeleitet.

## Aussage

Gegeben sei die lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung

    $y''(x)-a_{1}(x)y'(x)-a_{0}(x)y(x)=0$.

Für die Wronski-Determinante von zwei Lösungen der Differentialgleichung gilt dann

    $W(x)=W(x_{0})\ \exp \left(\int _{x_{0}}^{x}a_{1}(\xi )\,\mathrm {d} \xi \right)$.

## Beweis

Nach Definition ist $W(x)=\det \Phi (x)$, worin $\Phi$ ein Fundamentalsystem für die Differentialgleichung

    $Y'(x)=A(x)Y(x)$ mit $A(x):={\begin{pmatrix}0&1\\a_{0}(x)&a_{1}(x)\\\end{pmatrix}}$

ist. Gemäß der liouvilleschen Formel gilt

    $W(x)=W(x_{0})\ \exp \left(\int _{x_{0}}^{x}\mathrm {Spur} (A(\xi ))\ \mathrm {d} \xi \right)=W(x_{0})\ \exp \left(\int _{x_{0}}^{x}a_{1}(\xi )\,\mathrm {d} \xi \right)$.

$\Box$

## Anwendung

Die abelsche Identität erlaubt es, die Wronski-Determinante bei bekanntem Wert an der Stelle $x_{0}$ für alle anderen $x$ zu berechnen. Insbesondere ist die Wronski-Determinante konstant, wenn $a_{1}(x)\equiv 0$ gilt. Aufgrund der Beziehung, die die Wronski-Determinante zwischen zwei linear unabhängigen Lösungen herstellt, erlaubt sie unter Umständen, die eine aus der anderen zu berechnen.

