Faber-Jackson-Beziehung
# Faber-Jackson-Beziehung

Die Faber-Jackson-Beziehung (nach Sandra M. Faber und Robert Earl Jackson, die die Beziehung 1976 entdeckten) ist ein beobachteter Zusammenhang zwischen Leuchtkraft L und der Geschwindigkeitsdispersion $\sigma$ in elliptischen Galaxien. Danach hängt die Leuchtkraft proportional von einer Potenz der Geschwindigkeitsdispersion ab:

    $L\propto \sigma ^{\gamma }$

Der Exponent $\gamma$ liegt sehr nahe bei 4.

Die Faber-Jackson-Beziehung ist zu verstehen als Projektion der Fundamentalebene von elliptischen Galaxien, um auch bei unbekannter Entfernung von elliptischen Galaxien die Leuchtkraft und schließlich die Geschwindigkeitsdispersion einer elliptischen Galaxie zu bestimmen.

## Herleitung

Man kann die Form der Faber-Jackson-Beziehung unter gewissen idealisierenden Annahmen leicht abschätzen. Daraus ergibt sich der Exponent der Beziehung zu $\gamma =4$. Der tatsächlich beobachtete Exponent hängt vom Verlauf der Dichte sowie des Masse-Leuchtkraft-Verhältnisses ab und weicht von dem theoretischen Wert mehr oder weniger stark ab.

Die potentielle Energie einer selbstgravitierenden Masseverteilung von Radius R und Masse M ist

    $U=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}$

Die gesamte kinetische Energie ist

    $T={\frac {1}{2}}M\sigma ^{2}$

Mit dem Virialtheorem ($2T+U=0$) folgt

    $\sigma ^{2}={\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}$.

Wenn Masse und Leuchtkraft zueinander proportional sind, $M\propto L$, kann M ersetzt werden und hat noch

    $L\propto {\frac {\sigma ^{2}R}{G}}$,

eine Beziehung zwischen R und der Geschwindigkeitsdispersion:

    $R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}$.

Mit einer konstanten Oberflächenhelligkeit

    $B={\frac {L}{4\pi R^{2}}}$

folgt

    $L=4\pi R^{2}B$,
    $L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B$,

und schlussendlich der gesuchte Zusammenhang zwischen Leuchtkraft und Geschwindigkeitsdispersion:

    $L\propto {\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}}\propto \sigma ^{4}$,

## Quellen

* Originalarbeit von Faber und Jackson (engl.), bibcode:1976ApJ...204..668F
