Abelsche partielle Summation
# Abelsche partielle Summation

In der Mathematik ist die abelsche partielle Summation (nach N. H. Abel) eine bestimmte Umformung einer Summe von Produkten jeweils zweier Zahlen.

## Aussage

Es seien $n$ eine natürliche Zahl und $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$ reelle Zahlen. Dann gilt

    $\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=A_{n}b_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})$

mit

    $A_{k}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k}.$

Die Aussage besitzt eine gewisse formale Ähnlichkeit zur partiellen Integration, wenn man die Entsprechung zwischen Summen und Integralen sowie zwischen Differenzen und Ableitungen berücksichtigt. Dies motiviert die Bezeichnung.

## Abelsche Ungleichung

Ist $(b_{k})$ eine monoton fallende Folge mit positiven Folgegliedern, d. h. gilt

    $b_{1}\geq b_{2}\geq b_{3}\geq \ldots \geq b_{n}>0,$

und sind die Zahlen $a_{k}$ beliebig reell (oder komplex), so gilt

    ${\bigg |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\bigg |}\leq b_{1}\cdot \max _{k=1,\ldots ,n}|A_{k}|.$

(Zur Notation „max“ siehe größtes und kleinstes Element.)

Diese Aussage folgt direkt durch Anwendung der Dreiecksungleichung auf die rechte Seite der oben angegebenen Gleichung für die abelsche partielle Summation.

## Anwendungsbeispiel

Abel benutzt die Ungleichung in seiner Arbeit (siehe Quellen), um zu beweisen, dass eine Potenzreihe

    $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ,$

die für eine bestimmte positive reelle Zahl $x=x_{0}$ konvergiert, auch für jede kleinere positive Zahl $x<x_{0}$ konvergent ist und auf $0<x<x_{0}$ eine stetige Funktion darstellt. Der wesentliche Schritt dabei ist die Umformung

    $a_{m}x^{m}+a_{m+1}x^{m+1}+\ldots ={\Big{\frac {x}{x_{0}}}{\Big )}^{m}\cdot a_{m}x_{0}^{m}+{\Big{\frac {x}{x_{0}}}{\Big )}^{m+1}\cdot a_{m+1}x_{0}^{m+1}+\ldots ,$

und da $(x/x_{0})^{k}$ eine monoton fallende Folge ist, kann man die Summe auf der rechten Seite nach der abelschen Ungleichung durch

    ${\bigg |}{\frac {x}{x_{0}}}{\bigg |}^{m}\cdot \sup _{k\geq m}{\bigg |}\sum _{\nu =m}^{k}a_{\nu }x_{0}^{\nu }\,{\bigg |}$

nach oben abschätzen, und die beiden Faktoren werden für großes $m$ beliebig klein.

## Quellen

* H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, 9. Aufl., Stuttgart 1991. ISBN 3-519-22231-0
* Niels Henrik Abel, Untersuchungen über die Reihe

       $\textstyle 1+{\frac {m}{1}}\cdot x+{\frac {m\,\cdot \,(m-1)}{1\,\cdot \,2}}\cdot \,x^{2}+{\frac {m\cdot \,(m-1)\,\cdot \,(m-2)}{1\,\cdot \,2\,\cdot \,3}}\cdot \,x^{3}+\ldots$,
    J. Reine Angew. Math. 1 (1826) 311–331
    Die abelsche Ungleichung zusammen mit der relevanten Umformung findet sich als Lehrsatz III auf S. 314.
