S-System
# S-System

S-Systeme (S für Sättigung (von Saturation) oder Synergismus) dienen zur Beschreibung und Simulation biologischer und biochemischer Systeme die einem Grenz- oder Sättigungszustand zustreben.

Sie können fast alle kinetischen Phänomene natürlicher Reaktionen zuverlässig beschreiben. Die Wechselwirkungen werden durch einen Satz nichtlinearer Differentialgleichungen erster Ordnung beschrieben, die aus einem Produktions- und einem Abbauterm bestehen:

${\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}=\alpha \cdot \prod _{j=0}^{N}x_{j}^{g_{ij}}-\beta \cdot \prod _{j=0}^{N}x_{j}^{h_{ij}}$ ; für i = 1 .. N

N bezeichnet die Anzahl der wechselwirkenden Substanzen. Mit $x_i$ sind die Konzentrationsvariablen bezeichnet, mit α die Produktionsrate und mit β die Abbaurate. Die Exponenten $g_{ij}$ und $h_{ij}$ entsprechen Reaktionsordnungen der Produktions- und Abbaufunktionen der Substanz i als Funktion der Substanz j.

## Beispiel

Für ein System mit 2 Substanzen ergibt sich folgendes Differentialgleichungssystem:

${\frac {\mathrm {d} x_{0}}{\mathrm {d} t}}=\alpha \cdot {x_{0}}^{g_{00}}\cdot {x_{1}}^{g_{01}}-\beta \cdot {x_{0}}^{h_{00}}\cdot {x_{1}}^{h_{01}}$

${\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}=\alpha \cdot {x_{0}}^{g_{10}}\cdot {x_{1}}^{g_{11}}-\beta \cdot {x_{0}}^{h_{10}}\cdot {x_{1}}^{h_{11}}$

