Gamma-Gamma-Verteilung
# Gamma-Gamma-Verteilung

Die Gamma-Gamma-Verteilung ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, die in der Bayesschen Statistik und in der Inferenztheorie eine wichtige Rolle spielt, da es sich um eine Mischverteilung handelt.

## Definition

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gamma-Gamma-Verteilung $Gg(\alpha ,\beta ,\delta )$ ist bei $\alpha ,\beta ,\delta >0$

    $f(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{B(\alpha ,\delta )}}{\frac {x^{\delta -1}}{(\beta +x)^{\alpha +\delta }}}$

wobei $B(\alpha ,\beta )$ die Eulersche Betafunktion ist.

## Eigenschaften

### Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert ist

    $\operatorname {E} (X)={\frac {\delta \beta }{\alpha -1}}$, für $\alpha >1$

und die Varianz

    $\operatorname {Var} (X)={\frac {\beta ^{2}\delta (\delta +\alpha -1)}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}=\operatorname {E} (X)^{2}{\frac {1+{\frac {\alpha -1}{\delta }}}{\alpha -2}}$, für $\alpha >2$

### Modus

Der Modus ist

    $\operatorname {Mod} (X)={\frac {\beta \ (\delta -1)}{\alpha +1}}$, für $\delta >1$

## Sonderfall δ=1

Falls δ=1, dann ist die Dichtefunktion

    $f(x|\delta =1)={\frac {\alpha }{\beta +x}}\left({\frac {\beta }{\beta +x}}\right)^{\alpha }$

Da $G(1,\lambda )=Exp(\lambda )$ wendet man diesen Sonderfall an der Exponentialverteilung, mit gammaverteiltem $G(\alpha ,\beta )$ Parameter $\lambda$.

## Sonderfall β=1: Inverse Betaverteilung

Eine Gamma-Gamma-Verteilung $Gg(\alpha ,\beta =1,\delta )$ entspricht einer inversen Betaverteilung ${\mathcal {InvB}}(a=\delta ,b=\alpha )$

## Beziehung zur Gammaverteilung

Ist der zweite Parameter $\epsilon$ der Gammaverteilung $G(d,\epsilon )$ eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung $G(a,b)$ verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung $G(a,b,d)$ verteilt.

## Beziehung zur Exponentialverteilung

Ist der Parameter $\lambda$ der Exponentialverteilung $Exp(\lambda )$ eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung $G(a,b)$ verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung $G(a,b,1)$ verteilt.

