Satz von Roth
# Satz von Roth

Der Satz von Roth ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie. Er besagt, dass es in bestimmten Teilmengen der ganzen Zahlen unendlich viele arithmetische Folgen der Länge $3$ gibt. Er wurde später durch den Satz von Szemerédi verallgemeinert.

## Satz von Roth

Es sei $A\subset \mathbb {Z}$ eine Teilmenge der ganzen Zahlen mit positiver oberer Dichte:

    $\lim _{N\to \infty }{\frac {\sharp (A\cap \left[-N,N\right])}{2N+1}}>0$,

dann gibt es in $A$ unendlich viele arithmetische Folgen der Länge $3$, also der Form

    $\left\{a,a+r,a+2r\right\}\subset A$

mit $a\in \mathbb {Z} ,r\in \mathbb {N} _{>0}$.

## Varianten

Es sei $N$ eine ungerade Zahl und $G=\mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$. Dann gibt es zu jedem $\alpha \in \left(0,1\right)$ ein $c_{\alpha }>0$, so dass für alle Mengen $A\subset \mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$ mit $\sharp A\geq \alpha N$ die Ungleichung

    $\sharp \left\{x,r\in \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} \colon x,x+r,x+2r\in A\right\}\geq c_{\alpha }N^{2}$

gilt.

Dieser Satz gilt allgemeiner für 2-teilbare Gruppen: Es sei $G$ eine kompakte 2-teilbare abelsche Gruppe mit Haarschem Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu$, dann gibt es zu jedem $\alpha \in \left(0,1\right)$ ein $c_{\alpha }>0$, so dass für jede messbare Menge $A\subset G$ mit $\mu (A)\geq \alpha$ die Ungleichung

    $\int _{G}\int _{G}1_{A}(x)1_{A}(x+r)1_{A}(x+2r)\,\mathrm {d} \mu (x)\mathrm {d} \mu (r)\geq c_{\alpha }$

gilt.

Eine stärkere Form ist der Satz von Roth-Khintschin.

