Satz von Schur-Horn
# Satz von Schur-Horn

In der Mathematik charakterisiert der Satz von Schur-Horn die möglichen Eigenwerte einer hermiteschen Matrix mit gegebener Hauptdiagonale.

## Formulierung des Satzes

Eine hermitesche Matrix mit Diagonaleinträgen $d_{1}\geq d_{2}\geq \ldots \geq d_{n}$ und Eigenwerten $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{n}$ existiert genau dann, wenn die Schur-Horn-Ungleichungen

    $d_{1}\leq \lambda _{1}$
    $d_{1}+d_{2}\leq \lambda _{1}+\lambda _{2}$
    $\ldots$
    $d_{1}+\ldots +d_{n-1}\leq \lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n-1}$

und die Gleichung

    $d_{1}+\ldots +d_{n}=\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}$

erfüllt sind.

Die Notwendigkeit der Bedingung wurde von Issai Schur bewiesen, die umgekehrte Richtung von Alfred Horn.

