Lojasiewicz-Ungleichung
# Lojasiewicz-Ungleichung

Die Łojasiewicz-Ungleichung (in deutschsprachiger Literatur meist: Lojasiewicz-Ungleichung; nach Stanisław Łojasiewicz) ist eine Ungleichung der mathematischen Analysis, die vor allem in der reellen algebraischen Geometrie Anwendung findet.

Anschaulich besagt sie, dass für eine analytische Funktion $f$ der Abstand eines Punktes $x$ von der Nullstellenmenge $f^{-1}(0)$ der Funktion $f$ in Abhängigkeit vom Funktionswert $f(x)$ in diesem Punkt abgeschätzt werden kann. Diese Interpretation ist allerdings mit Vorsicht zu betrachten, weil die in der Ungleichung vorkommenden Konstanten von der Funktion $f$ abhängen und es je nach Wahl einer Funktion $f$ natürlich auch in größerer Entfernung von der Nullstellenmenge kleine Funktionswerte geben kann.

## Allgemeine Formulierung

Sei $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ kompakt und seien $f,g\colon K\to \mathbb {R}$ (auf einer offenen Umgebung von $K$ definierte) analytische Funktionen mit $f^{-1}(0)\subset g^{-1}(0)$. Dann gibt es Konstanten $c,\alpha >0$, so dass für alle $x\in K$ die Ungleichung

    $|f(x)|\geq c|g(x)|^{\alpha }$

gilt.

## Abstand zur Nullstellenmenge

Die allgemeine Formulierung lässt sich insbesondere auf $g(x)=d(x,f^{-1}(0))$ anwenden, denn für diese Funktion ist $g^{-1}(0)=f^{-1}(0)$. Man erhält das folgende Korollar.

Für jede auf einer offenen Umgebung einer kompakten Menge $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ analytische Funktion $f\colon K\to \mathbb {R}$ gibt es Konstanten $c,\alpha >0$, so dass für alle $x\in K$ die Ungleichung

    $|f(x)|\geq cd(x,f^{-1}(0))^{\alpha }$

gilt.

