Liste von Beziehungen zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen
# Liste von Beziehungen zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Die nachfolgende Tabelle liefert einen Überblick über die Beziehungen zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

| Beschreibung | Merkhilfe *) |
| - | - |
| Das Quadrat einer standardnormalverteilten Zufallsvariable ist Chi-Quadrat-verteilt mit Parameter 1. | $N_{0,1}^{2}=C_{1}$ |
| Die Summe unabhängiger Chi-Quadrat-verteilter Zufallsvariablen ist wieder Chi-Quadrat-verteilt. | $C_{k}+C_{l}=C_{k+l}$ |
| Die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt. | $N_{\mu _{1},\sigma _{1}^{2}}+N_{\mu _{2},\sigma _{2}^{2}}=N_{\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$ |
| Die Summe unabhängiger Poisson-verteilter Zufallsvariablen ist wieder Poisson-verteilt. | $P_{\alpha }+P_{\beta }=P_{\alpha +\beta }$ |
| Die Summe unabhängiger binomialverteilter Zufallsvariablen mit gleichem Parameter p ist wieder binomialverteilt. | $B_{m,p}+B_{n,p}=B_{m+n,p}$ |
| Die Summe unabhängiger negativbinomialverteilter Zufallsvariablen mit gleichem Parameter p ist wieder negativbinomialverteilt. | $NB_{m,p}+NB_{n,p}=NB_{m+n,p}$ |
| Die Summe unabhängiger Erlang-verteilter Zufallsvariablen mit gleichem Parameter $\alpha$ ist wieder Erlang-verteilt. | $E_{\alpha ,m}+E_{\alpha ,n}=E_{\alpha ,m+n}$ |
| Die Summe unabhängiger gammaverteilter Zufallsvariablen mit gleichem Parameter b ist wieder gammaverteilt. | $G_{b,p1}+G_{b,p2}=G_{b,(p1+p2)}$ |
| Zusammenhang zwischen Erlangverteilung und Exponentialverteilung. | $E_{\alpha ,1}=E_{\alpha }$ |
| Zusammenhang zwischen Erlangverteilung und Chi-Quadrat-Verteilung. | $E_{{\frac {1}{2}},n}=C_{2n}$ |
| Zusammenhang zwischen Erlangverteilung und Gammaverteilung. (Für ganzzahligen zweiten Parameter stimmt die Gammaverteilung mit der Erlangverteilung überein.) | $E_{\alpha ,n}=G_{\alpha ,n}$ |
| Zusammenhang zwischen Weibull-Verteilung und Exponentialverteilung. | $W_{0,\sigma ,1}=E_{\frac {1}{\sigma }}$ |
| Sind X und Y unabhängige Zufallsvariable, X standardnormalverteilt und Y $C_{k}$-verteilt, dann ist ${\frac {X}{\sqrt {\frac {Y}{k}}}}$ $T_{k}$-verteilt. | ${\frac {N_{0,1}}{\sqrt {\frac {C_{k}}{k}}}}=T_{k}$ |
| Sind X und Y unabhängige Zufallsvariable, X $C_{m}$-verteilt und Y $C_{n}$-verteilt, dann ist ${\frac {\frac {X}{m}}{\frac {Y}{n}}}$ $F_{m,n}$-verteilt. | ${\frac {\frac {C_{m}}{m}}{\frac {C_{n}}{n}}}=F_{m,n}$ |
| Der Logarithmus einer logarithmischnormalverteilten Zufallsvariablen ist normalverteilt. | $\ln(LN_{\mu ,\sigma ^{2}})=N_{\mu ,\sigma ^{2}}$ |
| Ist Z negativbinomialverteilt mit Parameter 1 und p, so ist Z − 1 geometrisch verteilt mit Parameter p. | $NB_{1,p}-1=G_{p}$ |

*) In der Merkhilfe steht zum Beispiel $C_{k}$ nicht für die Chi-Quadrat-Verteilung, sondern für eine Zufallsvariable in Chi-Quadrat Verteilung. Der Unterschied liegt darin, dass etwa die Verteilung der Summe von Zufallsvariablen (sie wird als Faltung der Verteilungen bezeichnet) üblicherweise mit zum Beispiel $C_{k}*C_{l}$ ($C_{k},C_{l}$ Verteilungen) angeschrieben wird anstatt wie hier mit $C_{k}+C_{l}$ ($C_{k},C_{l}$ Zufallsvariable). Der Vorteil der Schreibweise $C_{k}*C_{l}$ ($C_{k},C_{l}$ Verteilungen) liegt darin, dass sie schon andeutet, welche Operation auf die Verteilungsfunktionen anzuwenden ist, um die Verteilung der Summe zu erhalten. Der Vorteil der Schreibweise $C_{k}+C_{l}$ ($C_{k},C_{l}$ Zufallsvariable) liegt darin, dass sie angibt, welche Operation ursprünglich auf die Zufallsvariable gewirkt hat.

Das Zeichen „=“ steht für „hat gleiche Verteilung wie“.

Diejenigen Zufallsvariablen, die auf der linken Seite des Gleichheitszeichens stehen, seien stets vollständig unabhängig voneinander.

Aus den oben angeführten Regeln folgt zum Beispiel (in „Merkhilfe“-Notation): $N_{0,1}^{2}+N_{0,1}^{2}=C_{1}+C_{1}=C_{2}=E_{{\frac {1}{2}},1}=E_{\frac {1}{2}}$. Man beachte, dass dabei die erste Zufallsvariable $N_{0,1}\,$ von der zweiten Zufallsvariablen $N_{0,1}\,$ unabhängig sein muss. Wenn man stattdessen beide Male dieselbe Zufallsvariable verwendet, wenn man also $2\cdot N_{0,1}^{2}$ berechnet, ist das Ergebnis ein anderes!

