Satz von Ryll-Nardzewski
# Satz von Ryll-Nardzewski

Der Satz von Ryll-Nardzewski ist ein Satz aus der Modelltheorie, einem mathematischen Teilgebiet der Logik. Er charakterisiert $\omega$-kategorische Theorien. Benannt ist er nach dem polnischen Mathematiker Czesław Ryll-Nardzewski.

## Satz von Ryll-Nardzewski

Sei ${\mathcal {T}}$ eine vollständige Theorie über einer abzählbaren Sprache. Mit $S_{n}(T)$ wird der Raum der vollständigen $n$-Typen bezeichnet.

Dann ist äquivalent:

* ${\mathcal {T}}$ ist $\omega$-kategorisch.
* $S_{n}(T)$ ist für alle $n$ endlich.
* Bis auf ${\mathcal {T}}$-Äquivalenz gibt es für jedes $n$ nur endlich viele Formeln $\phi (x_{1},\ldots ,x_{n}).$

## Weitere Äquivalenzen

Unter den gleichen Voraussetzungen wie beim Satz von Ryll-Nardzewski gilt, dass äquivalent ist:

* ${\mathcal {T}}$ ist $\omega$-kategorisch.
* Jedes abzählbare Modell von ${\mathcal {T}}$ ist saturiert.

## Beispiele

### Dichte Lineare Ordnung ohne Endpunkte

Sei $M$ ein Modell der Theorie der dichten linearen Ordnung ohne Endpunkte und

    $A=\{a_{1},\ldots a_{n}\}\subset M$

und ohne Beschränkung der Allgemeinheit

    $i<j\Rightarrow a_{i}<a_{j}$

Ein vollständiger Typ über $A$ wird entweder von einer Formel der Form:

    $\phi _{j}(x):=x=a_{j}\ (1\leq j\leq n)$

oder der Form

    $\phi _{i,j}(x):=a_{i}<x<a_{j}\ (1\leq i<j\leq n)$

erzeugt. Das lässt sich durch Quantorenelimination beweisen.

Die Menge der Typen ist endlich, die Theorie ist also $\omega$-kategorisch.

### Theorie mit unendliche vielen Konstantensymbolen

Die Theorie ${\mathcal {T}}$ über der Sprache $\{c_{i}\mid i<\omega \}$ mit den Axiomen $\{c_{i}\neq c_{j}\mid i<j\}$ hat abzählbar viele vollständige 1-Typen: Die von der Formel $\phi _{i}:=x=c_{i}$ erzeugten Typen sind die isolierten Typen, der von der Menge $\{x\neq c_{i}\mid i<\omega \}$ erzeugte Typ ist der einzige nicht-isolierte Typ. Die Theorie ist daher nicht $\omega$-kategorisch. (Sie ist aber $\omega _{1}$-kategorisch.)

