Satz von Aoki-Rolewicz
# Satz von Aoki-Rolewicz

Der Satz von Aoki-Rolewicz ist ein Resultat aus der Funktionalanalysis, welches sagt, dass jede Quasinorm äquivalent zu einer $p$-Norm ist. Dies impliziert, dass quasinormierte Räume metrisierbar sind.

Der Satz wurde unabhängig von Tosio Aoki und Stefan Rolewicz bewiesen.

## Satz von Aoki-Rolewicz

### Vorbereitungen: Quasinorm und p-Norm

Eine Norm $\|\cdot \|$ auf einem Vektorraum $X$ erfüllt die Dreiecksungleichung

    $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|,\;\forall x,y\in X.$

Ersetzt man dieses Axiom durch

* $\exists K\geq 1$, so dass $\|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|),\;\forall x,y\in X$, dann erhält man eine Quasinorm. $K$ nennt man auch Modulus der Konkavität.
* $\exists p\in (0,1]$, so dass $\|x+y\|^{p}\leq \|x\|^{p}+\|y\|^{p},\;\forall x,y\in X$, dann erhält man eine $p$-Norm.

### Aussage

Sei $\|\cdot \|$ eine Quasinorm auf $X$ mit Modulus der Konkavität $K$, dann existiert eine äquivalente Quasinorm $\|\cdot \|_{*}$, die auch eine $p$-Norm ist, wobei $2^{1/p-1}=K$ gilt. Weiter ist

    $\|\cdot \|_{*}=\inf \left\{\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{p}\right)^{1/p}\mid x=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\right\}.$
