Achterknotenkomplement
# Achterknotenkomplement

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet man als Achterknotenkomplement das Komplement des Achterknotens in der 3-dimensionalen Sphäre. Es ist die einfachste hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit und deshalb ein in zahlreichen Lehrbüchern diskutiertes Beispiel.

## Fundamentalgruppe

Die zum rechts abgebildeten Knotendiagramm gehörende Wirtinger-Präsentierung der Knotengruppe ist

    $\Gamma =\langle a,b|\left[a^{-1},b\right]a=b\left[a^{-1},b\right]\rangle$,

wobei $a$ und $b$ Meridiane um zwei der Bögen des Knotendiagramms sind.

Die hyperbolische Struktur auf dem Achterknotenkomplement wird durch die diskrete, treue Darstellung $\rho \colon \Gamma \to PSL(2,\mathbb {C} )$ definiert, welche $a$ auf $\left({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right)$ und $b$ auf $\left({\begin{array}{cc}1&0\\e^{\frac {\pi i}{3}}&1\end{array}}\right)$ abbildet.

Diese Darstellung wurde 1974 von Riley gefunden. Ihr Bild liegt in der Bianchi-Gruppe $PSL(2,O_{3})$ und hat dort endlichen Index.

Bis auf komplexe Konjugation und Konjugation mit Matrizen aus $PSL(2,\mathbb {C} )$ ist dies die einzige hyperbolische Struktur, siehe Mostow-Starrheit.

Das Achterknotenkomplement ist die einzige hyperbolische Mannigfaltigkeit, für die Gleichheit in der Jørgensen-Ungleichung gilt, die also von 2 Elementen $f,g\in PSL(2,\mathbb {C} )$ mit $\vert Sp(f)^{2}-4\vert +\vert Sp(\left[f,g\right])-2\vert =1$ erzeugt wird.

## Ideale Triangulierung

Man erhält das Achterknotenkomplement durch Verkleben zweier idealer Tetrahedra.

Seien $v_{0},\ldots ,v_{4}$ die Ecken der bereits entlang der gemeinsamen Seitenfläche $\Delta (v_{1},v_{2},v_{3})$ verklebten Tetraeder, dann wird die Seitenfläche $\Delta (v_{0},v_{1},v_{2})$ mit $\Delta (v_{1},v_{3},v_{4})$, $\Delta (v_{0},v_{2},v_{4})$ mit $\Delta (v_{1},v_{2},v_{3})$ und $\Delta (v_{0},v_{1},v_{4})$ mit $\Delta (v_{2},v_{3},v_{4})$ verklebt.

Als Fundamentalbereich der Wirkung von $\Gamma$ im Halbraum-Modell des hyperbolischen Raumes kann man die Vereinigung der beiden entlang der gemeinsamen Seitenfläche $\Delta (v_{1},v_{2},v_{3})$ verklebten idealen Tetraeder mit Ecken

    $v_{0}=\infty ,v_{1}=1,v_{2}=e^{\frac {\pi i}{3}},v_{3}=e^{-{\frac {\pi i}{3}}},v_{4}=0$

nehmen. (Hier wurde der Rand im Unendlichen des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes mit $\mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}$ identifiziert.)

Die Verklebeabbildungen werden dann von den Matrizen

    $\tau \left({\begin{array}{cc}1&1\\1&e^{-{\frac {2\pi i}{3}}}-e^{\frac {2\pi i}{3}}\end{array}}\right),\tau \left({\begin{array}{cc}1&-e^{-{\frac {2\pi i}{3}}}\\1&1-e^{\frac {2\pi i}{3}}\end{array}}\right),\tau \left({\begin{array}{cc}1&-1\\e^{-{\frac {2\pi i}{3}}}&1-e^{\frac {2\pi i}{3}}\end{array}}\right)$

mit $\tau ={\frac {1}{e^{\frac {2\pi i}{3}}-1}}$ realisiert.

## Arithmetische Invarianten

Das Achterknotenkomplement ist das einzige arithmetische hyperbolische Knotenkomplement.

Sein Spurkörper ist $k\Gamma =\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})$ und seine Quaternionenalgebra ist $A\Gamma =M_{2}(\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}}))$.

## Hyperbolisches Volumen

Das hyperbolische Volumen des Achterknotenkomplements beträgt

    $\operatorname {Vol} (S^{3}-K)=2D_{2}(\omega )=2{,}02\dots$.

Hierbei ist $D_{2}$ der Bloch-Wigner-Dilogarithmus und $\omega ={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i$.

Dies ergibt sich, weil die idealen Tetraeder der obigen Triangulierung beide regelmäßige Tetraeder und somit alle Diederwinkel ${\tfrac {\pi }{3}}$ sind. Das Volumen des idealen Tetraeders $T_{\alpha ,\beta ,\gamma }$ mit diedrischen Winkeln $\alpha ,\beta ,\gamma$ kann mittels der Lobatschewski-Funktion berechnet werden als $\operatorname {Vol} (T_{\alpha ,\beta ,\gamma })=\Lambda (\alpha )+\Lambda (\beta )+\Lambda (\gamma )$ und für $\alpha =\beta =\gamma ={\frac {\pi }{3}}$ ergibt sich daraus $\operatorname {Vol} (T_{{\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{3}}})=3\Lambda \left({\frac {\pi }{3}}\right)=D_{2}(\omega )$.

Cao und Meyerhoff haben 2001 bewiesen, dass das Achterknotenkomplement das hyperbolische Knotenkomplement kleinsten Volumens ist.

## Achterknotenkomplement als Abbildungstorus

Das Achterknotenkomplement ist der Abbildungstorus der Arnoldschen Katzenabbildung $\left({\begin{array}{cc}2&1\\1&1\end{array}}\right)$ des einfach punktierten Torus.

Die Fundamentalgruppe der Faser ist die freie Gruppe $F_{2}$. Man hat also eine exakte Sequenz

    $1\to F_{2}\to \Gamma \to \mathbb {Z} \to 1$,

die Monodromie $\left({\begin{array}{cc}2&1\\1&1\end{array}}\right)$ ist das Produkt $LR$ aus den Dehn-Twists $L$ und $R$ an Longitude und Meridian des Torus.

Assoziiert zu einem Abbildungstorus einer Selbstabbildung eines punktierten Torus hat man eine kanonische ideale Triangulierung und im Fall der Monodromie $LR$ liefert diese die oben beschriebene ideale Triangulierung des Achterknotenkomplements.

## Schwestermannigfaltigkeit

Als Schwestermannigfaltigkeit des Achterknoten-Komplements wird die 3-Mannigfaltigkeit bezeichnet, die man durch $(-5,1)$-Dehn-Chirurgie an der Whitehead-Verschlingung erhält. Sie lässt sich ebenso wie das Achterknoten-Komplement aus zwei idealen Tetrahedra zusammensetzen und ist gemeinsam mit dem Achterknoten-Komplement die nichtkompakte, orientierbare, hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit kleinsten Volumens.

