Grenzbedingungen (Elektrodynamik)
# Grenzbedingungen (Elektrodynamik)

Grenzbedingungen sind Stetigkeitsbedingungen, welche in der klassischen Elektrodynamik zwischen zwei unterschiedlichen Medien gelten. Sie stellen die Randwerte bei den Maxwellgleichungen im Übergangsbereich zwischen unterschiedlichen Materialien dar.

## Allgemeine Grenzbedingungen

Die Felder in den beiden Medien werden mit den Indizes 1 und 2 gekennzeichnet.

* ${\hat {n}}\times \left({\vec {E}}_{2}-{\vec {E}}_{1}\right)=0$
* ${\hat {n}}\cdot \left({\vec {D}}_{2}-{\vec {D}}_{1}\right)=\sigma _{\text{frei}}$
* ${\hat {n}}\cdot \left({\vec {B}}_{2}-{\vec {B}}_{1}\right)=0$
* ${\hat {n}}\times \left({\vec {H}}_{2}-{\vec {H}}_{1}\right)={\vec {j}}_{\text{frei}}$

dabei ist

* ${\hat {n}}$ der Normalenvektor auf der Grenzfläche,
* $\sigma _{\text{frei}}$ die Flächenladungsdichte freier Ladungen an der Grenzfläche
* und ${\vec {j}}_{\text{frei}}$ die freie Stromdichte, die den Strom pro Flächeneinheit an der Grenzfläche angibt.

Diese Grenzbedingungen sagen aus: Die Tangentialkomponente des E-Feldes und die Normalkomponente des B-Feldes sind stetig. Die Tangentialkomponente des H-Feldes springt um ${\vec {j}}_{\mathrm {frei} }$ und die Normalkomponente des D-Feldes springen um $\sigma _{\mathrm {frei} }$.

## Grenzbedingungen für ungeladene Isolatoren

Für ungeladene Isolatoren vereinfachen sich obige Beziehungen, da es dort keine freien Ladungen $\sigma _{\text{frei}}=0$ und somit auch keine freien Ströme gibt ${\vec {j}}_{frei}=0$.

* ${\hat {n}}\times \left({\vec {E}}_{2}-{\vec {E}}_{1}\right)=0$
* ${\hat {n}}\cdot \left({\vec {D}}_{2}-{\vec {D}}_{1}\right)=0$
* ${\hat {n}}\cdot \left({\vec {B}}_{2}-{\vec {B}}_{1}\right)=0$
* ${\hat {n}}\times \left({\vec {H}}_{2}-{\vec {H}}_{1}\right)=0$

Die Stetigkeitsbedingungen in Worten: Die Tangentialkomponente des E-Feldes und die Normalkomponente des B-Feldes sind stetig. Zusätzlich sind hier die Tangentialkomponente des H-Feldes und die Normalkomponente des D-Feldes stetig.

## Grenzbedingungen von isotropen, zeitinvarianten Materialien

In isotropen und zeitinvarianten Materialien gelten die Zusammenhänge

    ${\begin{aligned}{\vec {D}}&=\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }{\vec {E}}\\{\vec {B}}&=\mu _{o}\mu _{\mathrm {r} }{\vec {H}}\end{aligned}}$

Daraus können die restlichen Komponenten der Felder bestimmt werden.

    ${\begin{array}{ccclccccl}E_{1}^{\parallel }&=&E_{2}^{\parallel }&&\qquad \qquad &\varepsilon _{1}E_{1}^{\perp }&=&\varepsilon _{2}E_{2}^{\perp }&-{\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}\\{\frac {1}{\varepsilon _{1}}}D_{1}^{\parallel }&=&{\frac {1}{\varepsilon _{2}}}D_{2}^{\parallel }&&&D_{1}^{\perp }&=&D_{2}^{\perp }&-\sigma _{\text{frei}}\\H_{1}^{\parallel }&=&H_{2}^{\parallel }&-{\hat {t}}\cdot ({\vec {j}}_{\mathrm {frei} }\times {\hat {n}})&&\mu _{1}H_{1}^{\perp }&=&\mu _{2}H_{2}^{\perp }\\{\frac {1}{\mu _{1}}}B_{1}^{\parallel }&=&{\frac {1}{\mu _{2}}}B_{2}^{\parallel }&-\mu _{0}{\hat {t}}\cdot ({\vec {j}}_{\mathrm {frei} }\times {\hat {n}})&&B_{1}^{\perp }&=&B_{2}^{\perp }\\\end{array}}$

oder in nicht-leitenden, ungeladen Materialien

    ${\begin{array}{cccccc}E_{1}^{\parallel }&=&E_{2}^{\parallel }&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &\varepsilon _{1}E_{1}^{\perp }&=&\varepsilon _{2}E_{2}^{\perp }\\{\frac {1}{\varepsilon _{1}}}D_{1}^{\parallel }&=&{\frac {1}{\varepsilon _{2}}}D_{2}^{\parallel }&&D_{1}^{\perp }&=&D_{2}^{\perp }\\H_{1}^{\parallel }&=&H_{2}^{\parallel }&&\mu _{1}H_{1}^{\perp }&=&\mu _{2}H_{2}^{\perp }\\{\frac {1}{\mu _{1}}}B_{1}^{\parallel }&=&{\frac {1}{\mu _{2}}}B_{2}^{\parallel }&&B_{1}^{\perp }&=&B_{2}^{\perp }\\\end{array}}$

Dabei ist

* $\varepsilon _{\mathrm {r} }$ die relative Permittivität,
* $\mu _{\mathrm {r} }$ die relative Permeabilität,
* $E^{\parallel }$die Komponente des E-Feldes parallel zur Oberfläche und $E^{\perp }$ die Komponente senkrecht zur Oberfläche.
* ${\hat {t}}$ ist der normierte Vektor in Richtung der Parallelkomponente. Für ${\vec {B}}^{\parallel }$ parallel zu ${\vec {j}}_{\mathrm {frei} }$ gilt damit ${\hat {t}}\cdot ({\vec {j}}_{\mathrm {frei} }\times {\hat {n}})=|{\vec {j}}_{\mathrm {frei} }|$.
