Satz von Heine-Borel
# Satz von Heine-Borel

Der Satz von Heine-Borel, auch Überdeckungssatz genannt, nach den Mathematikern Eduard Heine (1821–1881) und Émile Borel (1871–1956) benannt, ist ein Satz der Topologie metrischer Räume.

## Aussage

Der Satz besagt, dass zwei unterschiedliche Definitionen der Kompaktheit in endlichdimensionalen reellen Vektorräumen gleichwertig sind.

    Für eine Teilmenge ${\mathcal {M}}$ des $\mathbb {R} ^{n}$ (der metrische Raum aller reellen n-Tupel mit der euklidischen Metrik) sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:
   * ${\mathcal {M}}$ ist beschränkt und abgeschlossen.

   * Jede offene Überdeckung von ${\mathcal {M}}$ enthält eine endliche Teilüberdeckung.

Dieser Satz lässt sich speziell auf Teilmengen der Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ anwenden.

## Anmerkung und Gegenbeispiele

Die Voraussetzung, dass der umgebende Raum der $\mathbb {R} ^{n}$ ist, ist wesentlich. Im Allgemeinen ist (Überdeckungs-)Kompaktheit nicht äquivalent zu Abgeschlossenheit und Beschränktheit.

Ein einfaches Gegenbeispiel liefert die diskrete Metrik auf einer unendlichen Menge $X$. Sie ist definiert durch

    $d(x,y):={\begin{cases}0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x=y\\1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\neq y.\end{cases}}$

In dieser Metrik ist jede Teilmenge von $X$ abgeschlossen und beschränkt, aber nur die endlichen Teilmengen sind kompakt.

Weitere Gegenbeispiele sind alle unendlichdimensionalen normierten Vektorräume.

## Verallgemeinerung

Für allgemeine metrische Räume gilt allerdings, dass die kompakten Mengen diejenigen sind, welche vollständig und totalbeschränkt sind. Dies ist deshalb eine Verallgemeinerung, weil eine Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ genau dann vollständig ist, wenn sie abgeschlossen ist, und weil sie genau dann totalbeschränkt ist, wenn sie beschränkt ist.

