Satz von Hartogs (Mengenlehre)
# Satz von Hartogs (Mengenlehre)

In der Mengenlehre besagt der Satz von Hartogs (nach dem deutschen Mathematiker Fritz Hartogs, 1915), dass es zu jeder Menge A wenigstens eine wohlgeordnete Menge B gibt, deren Kardinalität nicht durch die Kardinalität von A beschränkt wird.

Bemerkenswert ist, dass diese Aussage bereits in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF gilt, also ohne Verwendung des Auswahlaxioms bewiesen werden kann. Daher kann man diesen Satz verwenden, wenn man Varianten des Auswahlaxioms untersucht. Die scheinbar komplizierte Formulierung ("Kardinalität von B ist nicht kleiner oder gleich der Kardinalität von A") ist hier notwendig, weil man ohne Auswahlaxiom nicht zeigen kann, dass zwei beliebige Mengen vergleichbar sind.

## Formale Aussage

$X$ sei eine Menge gemäß der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne das Auswahlaxiom. Dann existiert eine Kardinalzahl $\alpha$ (auch als Hartogs-Zahl von $X$ bezeichnet) derart, dass die Menge $\alpha$ wohlgeordnet ist und folgendes gilt:

* $\alpha$ ist die kleinste wohlgeordnete Kardinalzahl, welche nicht kleiner oder gleich der Kardinalität von $X$ ist (das heißt: welche sich nicht injektiv in die Menge $X$ abbilden lässt.)

## Anmerkung

Im System ZFC (also ZF + Auswahlaxiom AC) ist der Satz von Hartogs uninteressant, weil eine stärkere Version als Korollar des Wohlordnungssatzes und des Satzes von Cantor folgt: Für jede Menge X ist die Kardinalität der Potenzmenge von X echt größer als die von X.

