Kurvenkomplex
# Kurvenkomplex

In der Mathematik ist der Kurvenkomplex einer Fläche ein wesentliches Hilfsmittel zur Untersuchung der Abbildungsklassengruppe der Fläche.

## Definition

Zu einer Fläche $S$ wird ein abstrakter Simplizialkomplex ${\mathcal {C}}(S)$ assoziiert. Er ist durch die folgenden Daten gegeben.

0-Simplizes: Jeder Isotopieklasse wesentlicher einfacher geschlossener Kurven in $S$ entspricht eine Ecke in ${\mathcal {C}}(S)$.

1-Simplizes: Zwei Ecken in ${\mathcal {C}}(S)$ sind durch eine Kante verbunden, wenn für die Schnittzahl der entsprechenden Isotopieklassen von Kurven $a,b$ gilt $i(a,b)=0$.

k-Simplizes: $k+1$ Ecken spannen genau dann einen k-Simplex auf, wenn sie paarweise durch Kanten verbunden sind. ${\mathcal {C}}(S)$ ist also ein Fahnenkomplex.

## Eigenschaften

* Für $S^{2},S_{0,1},S_{0,2},S_{0,3}$ ist der Kurvenkomplex leer. Für $T^{2},S_{1,1},S_{0,4}$ ist der Kurvenkomplex eine abzählbare Menge von 0-Simplizes.
* Für $3g+n\geq 5$ ist ${\mathcal {C}}(S_{g,n})$ zusammenhängend.
* Der Kurvenkomplex ist ein Gromov-hyperbolischer Raum. Außer für $S^{2},S_{0,1},S_{0,2},S_{0,3}$ hat er unendlichen Durchmesser.

## Anwendungen

* Aus dem Zusammenhang des Kurvenkomplexes folgt, dass die Abbildungsklassengruppe endlich erzeugt ist.
* Zwei Simplizes in ${\mathcal {C}}(S)$ bestimmen eine Heegaard-Zerlegung einer 3-Mannigfaltigkeit. Die Zerlegung ist genau dann reduzibel, wenn die beiden Simplizes eine gemeinsame Ecke haben. Die Zerlegung ist schwach reduzibel, wenn die beiden Simplizes durch eine Kante verbunden sind.
