Bloch-Gruppe
# Bloch-Gruppe

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist die Bloch-Gruppe ein Ansatz zur expliziten Beschreibung der 3. algebraischen K-Theorie von Körpern. Sie ist auch von Bedeutung bei der Untersuchung von Dilogarithmen, bei der Formalisierung des 3. Hilbertschen Problems und in der Topologie 3-dimensionaler hyperbolischer Mannigfaltigkeiten.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und

    $\mathbb {Z} \left[K\setminus \left\{0,1\right\}\right]$

die von $K\setminus \left\{0,1\right\}$ formal erzeugte freie abelsche Gruppe. Wir bezeichnen mit $\left[x\right]$ das $x\in K\setminus \left\{0,1\right\}$ entsprechende Element von $\mathbb {Z} \left[K\setminus \left\{0,1\right\}\right]$.

Die Prä-Bloch-Gruppe ${\mathfrak {p}}(K)$ ist als Quotient von $\mathbb {Z} \left[K\setminus \left\{0,1\right\}\right]$ modulo der von allen "5-Term-Relationen"

    $\left[x\right]-\left[y\right]+\left[{\frac {y}{x}}\right]-\left[{\frac {1-x^{-1}}{1-y^{-1}}}\right]+\left[{\frac {1-x}{1-y}}\right],\quad x,y\in K\setminus \left\{0,1\right\}$

erzeugten Untergruppe definiert.

Ein Homomorphismus

    $\phi \colon \mathbb {Z} \left[K\setminus \left\{0,1\right\}\right]\to K^{*}\otimes _{\mathbb {Z} }K^{*}$

wird definiert durch

    $\phi \left(\sum _{i}\lambda _{i}z_{i}\right)=\sum _{i}\lambda _{i}z_{i}\otimes (1-z_{i})$

für $\lambda _{i}\in \mathbb {Z} ,z_{i}\in K\setminus \left\{0,1\right\}$. Man rechnet nach, dass $\phi$ einen wohldefinierten Homomorphismus

    $D\colon {\mathfrak {p}}(K)\to (K^{*}\otimes K^{*})/\langle x\otimes y-y\otimes x\colon x,y\in K^{*}\rangle$

induziert. Dieser Homomorphismus wird wegen des Zusammenhangs zu Hilberts 3. Problem als Dehn-Invariante bezeichnet.

Die Bloch-Gruppe $\operatorname {B} (K)\subset {\mathfrak {p}}(K)$ ist als Kern von $D$ definiert.

Aus der Definition der Bloch-Gruppe und dem Satz von Matsumoto folgt, dass die Blochgruppe Teil einer exakten Sequenz

    $0\longrightarrow \operatorname {B} (K)\longrightarrow {\mathfrak {p}}(K){\stackrel {D}{\longrightarrow }}\wedge ^{2}K^{*}\longrightarrow \operatorname {K} _{2}(K)\longrightarrow 0$

ist. Diese Sequenz wird als Bloch-Suslin-Komplex bezeichnet und gelegentlich auch als Definition der Bloch-Gruppe verwendet.

## Geometrische Interpretation

Es sei $P^{1}K$ die projektive Gerade über dem Körper $K$ und

    $(C_{*}(P^{1}K),d_{*})$

der Kettenkomplex, dessen $i$-te Gruppe $C_{i}(P^{1}K)$ die von den $(i+1)$-Tupeln

    $(x_{0},\ldots ,x_{i})$

paarweise verschiedener Punkte $x_{k}\in P^{1}K$ formal erzeugte freie abelsche Gruppe und dessen Differential $d_{i}\colon C_{i}(P^{1}K)\to C_{i-1}(P^{1}K)$ durch die Formel

    $d_{i}(x_{0},\ldots ,x_{i})=\sum _{k=0}^{i}(-1)^{k}(x_{0},\ldots ,x_{k-1},x_{k+1},\ldots ,x_{i})$

gegeben ist. Dann ist

    ${\mathfrak {p}}(K)=H_{3}(C_{*}(P^{1}K)\otimes _{\mathbb {Z} G}\mathbb {Z} ,d\otimes id)$

für die Wirkung von $G:=PGL(2,K)$ auf $P^{1}K$.

Insbesondere hat man einen kanonischen Homomorphismus

    $H_{3}(PGL(2,K)\to {\mathfrak {p}}(K)$,

der von der durch

    $g\to g.\infty$

gegebenen Abbildung

    $PGL(2,K)\to P^{1}(K)$

induziert wird. (Die Wahl von $\infty \in P^{1}K$ als Basispunkt ist willkürlich, Wahl eines anderen Basispunktes würde ebenfalls einen Homomorphismus induzieren.) Das Bild dieses Homomorphismus liegt sogar in $B(K)$.

Unter dem Isomorphismus $H_{3}(C_{*}(P^{1}K)\otimes _{\mathbb {Z} G}\mathbb {Z} ,d\otimes id)\to {\mathfrak {p}}(K)$ entspricht ein 4-Tupel von Elementen aus $P^{1}K$ seinem Doppelverhältnis. Entsprechend bildet also der Homomorphismus

    $H_{3}(PGL(2,K)\to {\mathfrak {p}}(K)$

ein 4-Tupel $(g_{0},g_{1},g_{2},g_{3})$ auf das Doppelverhältnis der 4 Punkte $g_{0}\infty ,g_{1}\infty ,g_{2}\infty ,g_{3}\infty$ ab.

## Bloch-Wigner-Folge

Für algebraisch abgeschlossene Körper $K$gibt es eine exakte Sequenz

    $0\longrightarrow \mu _{K}\longrightarrow H_{3}(SL(2,K))\longrightarrow {\mathfrak {p}}(K)\longrightarrow \wedge ^{2}(K^{*}/\mu _{K})\longrightarrow H_{2}(SL(2,K))\longrightarrow 0$,

wobei $\mu _{K}$ die Einheitswurzeln in $K$ bezeichnet.

Eine unmittelbare Konsequenz ist die exakte Sequenz

    $0\longrightarrow \mu _{K}\longrightarrow H_{3}(SL(2,K))\longrightarrow B(K)\longrightarrow 0$.

Für $K=\mathbb {C}$ erhält man die exakte Sequenz

    $0\longrightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \longrightarrow H_{3}(SL(2,\mathbb {C} ))\longrightarrow B(\mathbb {C} )\longrightarrow 0$.

Um den $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$-Summanden zu integrieren, definierte W. Neumann für $K=\mathbb {C}$ die erweiterte Bloch-Gruppe ${\widehat {B}}(\mathbb {C} )$. Diese ist isomorph zu $H_{3}(SL(2,\mathbb {C} ))$.

## Bloch-Gruppe und Bloch-Wigner-Dilogarithmus

Der für $z\in \mathbb {C} \setminus \left\{0,1\right\}$ definierte Bloch-Wigner-Dilogarithmus

    $\operatorname {D} _{2}(z)=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2}(z))+\arg(1-z)\log |z|$

erfüllt die Funktionalgleichung

    $\operatorname {D} _{2}(x)+\operatorname {D} _{2}(y)+\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)+\operatorname {D} _{2}(1-xy)+\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1-y}{1-xy}}\right)=0$

und definiert deshalb eine wohldefinierte Abbildung

    $\operatorname {D} _{2}(z)\colon {\mathcal {B}}(\mathbb {C} )\to \mathbb {C}$.

Der Bloch-Wigner-Dilogarithmus ist die einzige messbare Abbildung $F\colon \mathbb {C} \setminus \left\{0,1\right\}\to \mathbb {R}$, die die Funktionalgleichung

    $F(x)-F(y)+F\left({\frac {y}{x}}\right)-F\left({\frac {1-x^{-1}}{1-y^{-1}}}\right)+F\left({\frac {1-x}{1-y}}\right)$

für alle $x,y\in \mathbb {C} \setminus \left\{0,1\right\}$ erfüllt. Man kann die Definition der Bloch-Gruppe also auch interpretieren als die minimale Gruppe, auf der der Bloch-Wigner-Dilogarithmus wohldefiniert ist. Verallgemeinerungen dieses Ansatzes für höhere Polylogarithmen führen zu Definitionen höherer Bloch-Gruppen.

## Algebraische Eigenschaften

Wenn $K$ unendlich ist, dann hängt das Element

    $[z]+[1-z]\in \operatorname {B} (K)$

nicht von $z\in K\setminus \left\{0,1\right\}$ ab. Es wird mit $c_{K}$ bezeichnet und erfüllt die Relation $6c_{K}=0\in \operatorname {B} (K)$.

Wenn $K$ algebraisch abgeschlossen ist, dann ist $\operatorname {B} (K)$ eine teilbare Gruppe. Weiterhin gelten dann für $z\in K\setminus \left\{0,1\right\}$ die Relationen

    $\left[z\right]+\left[1-z\right]=0$
    $\left[z\right]+\left[{\frac {1}{z}}\right]=0$

und man kann Symbole $\left[0\right]=\left[1\right]=\left[\infty \right]=0$ einführen, mit denen alle 5-Term-Relationen Gültigkeit behalten.

Insbesondere gilt $c_{K}=0$ für algebraisch abgeschlossene, unendliche Körper. Aus den obigen Relationen folgt dann $\left[z\right]=\left[1-{\frac {1}{z}}\right]=\left[{\frac {1}{1-z}}\right]$ für alle z.

## Anwendungen

### Bloch-Gruppe und Homologie der linearen Gruppe

Anwendung des durch die Wirkung von $GL(2,K)$ auf der projektiven Geraden $P^{1}K$ definierten kanonischen Homomorphismus $C_{*}(GL(2,K))\to C_{*}(P^{1}K)$ (siehe die geometrische Interpretation oben) liefert einen Isomorphismus

    $H_{3}(GL(2,K))/H_{3}(GM(2,K))\cong B(K)$,

wobei $GM(2,K)\subset GL(2,K)$ die die Gruppe der monomialen Matrizen bezeichnet.

Für größere $n$ erhält man einen Isomorphismus

    $H_{3}(GL(n,K))/H_{3}(GM(n,K))\cong B(K)/2c_{K}$

für das oben definierte Element $c_{K}:=\left[x\right]+\left[1-x\right]\in B(K)$ der Ordnung maximal 6.

Eine explizite Realisierung von $H_{3}(SL(2,\mathbb {C} ))$ liefert die von Neumann definierte erweiterte Bloch-Gruppe ${\widehat {\operatorname {B} }}(\mathbb {C} )$.

### Bloch-Gruppe und K-Theorie

Dieselbe Abbildung induziert einen Isomorphismus

    $\operatorname {coker} (\pi _{3}(\operatorname {BGM} (K)^{+})\rightarrow \operatorname {K} _{3}(K))\cong \operatorname {B} (K)/2c_{K}$

wobei $BGM(K)^{+}$ die Anwendung der Plus-Konstruktion auf den klassifizierenden Raum $BGM(K)$ bezeichnet.

Bezeichne $K_{3}^{M}$ die Milnorsche K-Theorie, dann hat man nach Suslin eine exakte Sequenz

    $0\rightarrow \operatorname {Tor} (K^{*},K^{*})^{\sim }\rightarrow \operatorname {K} _{3}(K)_{ind}\rightarrow \operatorname {B} (K)\rightarrow 0$

mit $K_3(K)_{ind}$ = $coker(K_3^M(K)$ → $K_3(K))$ und $Tor(K^*,$ $K^*)^~$ die eindeutige nichttriviale Erweiterung von $Tor(K^*,$ $K^*)$ mit Z/2, oder äquivalent

    $0\rightarrow {\widetilde {\mu _{K}}}\rightarrow \operatorname {K} _{3}(K)_{ind}\rightarrow \operatorname {B} (K)\rightarrow 0$,

wobei $\mu _{K}$ die Gruppe der Einheitswurzeln von K und ${\widetilde {\mu _{K}}}$ die nichttriviale Erweiterung von $\mu _{K}$ mit $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ (bzw. in Charakteristik 2: ${\widetilde {\mu _{K}}}=\mu _{K}$) bezeichnet.

### Bloch-Gruppe und hyperbolische Geometrie

Für $K=\mathbb {C}$ ist $C_{3}(P^{1}\mathbb {C} )$ die von den nicht-ausgearteten idealen hyperbolischen Simplizes frei erzeugte abelsche Gruppe. Das einem Simplex unter dem Isomorphismus

    $H_{3}(C_{*}(P^{1}\mathbb {C} )\otimes _{\mathbb {Z} G}\mathbb {Z} )\cong {\mathfrak {p}}(\mathbb {C} )$

entsprechende Element $z$ ist das Doppelverhältnis der 4 Ecken, der Bloch-Wigner-Dilogarithmus $D_{2}(z)$ gibt das Volumen des idealen Simplexes.

Man kann dies verwenden zur Definition einer Invariante hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten. Sei $M$ eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit mit einer idealen Triangulierung und seien $z_{1},\ldots ,z_{r}$ die Doppelverhältnisse der Simplizes, dann ist

    $\left[z_{1}\right]+\ldots +\left[z_{r}\right]$

ein Element von $B(\mathbb {C} )$ (die Dehn-Invariante ist Null) und definiert eine Invariante der Mannigfaltigkeit, aus der man unter anderem durch Anwendung des Bloch-Wigner-Dilogarithmus das hyperbolische Volumen der Mannigfaltigkeit berechnen kann.

### Bloch-Gruppe und sekundäre charakteristische Klassen

Mittels der Bloch-Gruppe und des Rogers-Dilogarithmus kann man explizite Formeln für die sekundären charakteristische Klassen ${\hat {p}}_{1}$ und ${\hat {c}}_{2}$ angeben, wobei man für den Realteil von ${\hat {c}}_{2}$ den erweiterten Rogers-Dilogarithmus und die erweiterte Bloch-Gruppe benötigt.

