Nichtkommutatives Polynom
# Nichtkommutatives Polynom

Nichtkommutative Polynome stellen eine Verallgemeinerung der Polynome dar, derart dass verschiedene Variablen nicht kommutieren.

## Definition

Sei ${\mathcal {X}}$ eine Menge und $W({\mathcal {X}})$ das freie Monoid über ${\mathcal {X}}$. (Dann ist $W({\mathcal {X}})=\{x_{1}\cdots x_{n}|x_{i}\in {\mathcal {X}},\;n\geq 1\}\cup \{1\}$) Sei $R$ ein Ring. Der nichtkommutative Polynomring über $R$ ist definiert als

    $R\langle {\mathcal {X}}\rangle :=\{\sum _{x\in W({\mathcal {X}})}r_{w}w|r_{w}\in R,\;r_{w}=0\;\operatorname {f{\ddot {u}}r} {\text{ fast alle }}w\}\cong \bigoplus _{w\in W({\mathcal {X}})}R$

Die Addition auf $R\langle {\mathcal {X}}\rangle$ wird komponentenweise, die Multiplikation als Faltung

    $\sum _{w}a_{w}w\cdot \sum _{w}b_{w}w:=\sum _{w}(\sum _{uv=w}a_{u}b_{v})w$

definiert.

## Eigenschaften

* Für endliche Mengen ${\mathcal {X}}=\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$ schreibt man $R\langle X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle$.
* $R\langle X\rangle =R[X]$ für eine Variable $X$
* $R\langle {\mathcal {X}}\rangle /[R\langle {\mathcal {X}}\rangle ,R\langle {\mathcal {X}}\rangle ]=R[{\mathcal {X}}]$
