Nichtkommutative Geometrie
# Nichtkommutative Geometrie

Als nichtkommutative Geometrie bezeichnet man in der Mathematik die Untersuchung nichtkommutativer $C^*-Algebren$ mittels aus der Topologie stammender Invarianten wie K-Theorie und Homologietheorien. Sie wurde wesentlich von Alain Connes begründet und ausgebaut mit Vorarbeiten, die bis auf Israel Gelfand zurückgehen.

## Motivation

Topologische Räume (genauer: lokalkompakte Hausdorff-Räume) entsprechen kommutativen $C^*-Algebren.$ Man kann nämlich jedem lokalkompakten topologischen Raum $X$ die Algebra der im unendlichen verschwindenden, komplex-wertigen, stetigen Funktionen $C_{0}(X,\mathbb {C} )$ (mit der Supremums-Norm als Norm und der komplexen Konjugation als Involution) zuordnen, die eine kommutative $C^*‑Algebra$ ist. Umgekehrt besagt der Satz von Gelfand-Neumark, dass es zu jeder kommutativen $C^*‑Algebra$ $A$ einen lokalkompakten Hausdorff-Raum $X$ mit einem $C^*‑Isomorphismus$ $A\simeq C_{0}(X,\mathbb {C} )$ gibt.

Insbesondere kann man Invarianten topologischer Räume auch als Invarianten kommutativer $C^*-Algebren$ auffassen.

Die Idee der nichtkommutativen Geometrie ist nun, an die Definitionen der Topologie angelehnte Invarianten auch für nichtkommutative $C^*-Algebren$ zu definieren und diese für die Untersuchung und Klassifikation von $C^*‑Algebren$ nutzbar zu machen. Zu den in diesem Zusammenhang untersuchten Invarianten gehören Topologische K-Theorie, Zyklische Homologie und Hochschild-Homologie von $C^*-Algebren.$

Ein spezielleres Thema ist die Theorie der Spektraltripel, diese sollen die Differentialgeometrie riemannscher Spin-Mannigfaltigkeiten verallgemeinern.

Die Theorie wurde von Connes und Matilde Marcolli auch auf die Zahlentheorie angewandt. Der Versuch, die nichtkommutative Geometrie auch in der Physik anzuwenden, führte zum nichtkommutativen Standardmodell und zu nichtkommutativen Inkarnationen der M-Theorie.

