Logarithmische Verteilung
# Logarithmische Verteilung

Die logarithmische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, der Mathematik des Zufalls. Sie ist univariat, eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und kommt aus dem Bereich der Versicherungsmathematik. Sie ist interessant als Schadenshöhenverteilung, wird aber kaum zur Bestimmung der Schadensanzahlen benutzt.

## Definition

Eine diskrete Zufallsgröße $X\in \mathbb {N} \setminus \left\{0\right\}$ genügt der logarithmischen Verteilung mit dem Parameter $p$ (Erfolgswahrscheinlichkeit), wenn sie die Wahrscheinlichkeit

    $\operatorname {P} (X=k)=f(k)=-{\frac {p^{k}}{k}}\cdot {\frac {1}{\ln(1-p)}}$

besitzt.

## Eigenschaften

### Erwartungswert

Die logarithmische Verteilung hat einen Erwartungswert von

    $\operatorname {E} (X)=-{\frac {p}{(1-p)\ln(1-p)}}$.

### Varianz

Die Varianz bestimmt sich zu

    $\operatorname {Var} (X)=-{\frac {p\cdot (\ln(1-p)+p)}{(1-p)^{2}\ln ^{2}(1-p)}}$.

### Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten

    $\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {-{\frac {p}{\ln(1-p)+p}}}}$.

### Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu:

    $\operatorname {v} (X)={\frac {1}{\sqrt {p(-\ln(1-p)-p)}}}\left({\frac {\ln ^{2}(1-p)}{-\ln(1-p)-p}}+p(-\ln(1-p)-2p)\right)$.

### Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

    $\phi _{X}(s)={\frac {\ln(1-pe^{is})}{\ln(1-p)}}$.

### Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

    $g_{X}(s)={\frac {\ln(1-ps)}{\ln(1-p)}}$.

### Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der logarithmischen Verteilung ist

    $m_{X}(s)={\frac {\ln(1-pe^{s})}{\ln(1-p)}}$.

### Iterative Berechnung

Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt die rekursive Gleichung

    $f(k+1)={\frac {kp}{k+1}}f(k)$

mit Startwert

    $f(1)={\frac {-p}{\ln(1-p)}}$.

Dies kann zur effektiven Implementierung von logarithmisch verteilten Zufallszahlen genutzt werden.

## Beziehung zu anderen Verteilungen

Kombiniert man die logarithmische Verteilung mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung, so entsteht die negative Binomialverteilung und damit als Spezialfall auch die geometrische Verteilung.

