Kriterium von Raabe
# Kriterium von Raabe

Das Raabesche Kriterium oder das Kriterium von Raabe-Duhamel (von Joseph Ludwig Raabe und Jean Marie Constant Duhamel) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also ein Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

## Formulierung

### 1. Fassung

Sei eine unendliche Reihe

    $S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

mit positiven reellen Summanden $a_{n}$ gegeben, die eine monoton fallende Folge bilden.

Dann ist $S$ konvergent, falls die Folge

    $\left(\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1\right)n\right)_{n\in \mathbb {N} }$

nach oben durch ein $-\alpha <-1$ beschränkt ist. Sind alle Glieder dieser Folge größer als $-1$, so ist $S$ divergent.

### 2. Fassung

Sei eine unendliche Reihe

    $S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

gegeben.

Dann ist $S$ absolut konvergent, falls für eine Zahl $\beta >1$ fast immer (d. h. für $n\geq n_{0}$) gilt:

    $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {\beta }{n}}$.

Sie divergiert jedoch, wenn fast immer ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1-{\frac {1}{n}}$ ausfällt.

