Bockstein-Folge
# Bockstein-Folge

In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Bockstein-Folge ein Hilfsmittel zum Vergleich von Kohomologiegruppen mit unterschiedlichen Koeffizienten, sie ist nach Meir Bockstein benannt.

## Konstruktion

### Homologie

Sei

    $0\rightarrow N\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0$

eine kurze exakte Sequenz abelscher Gruppen und $X$ ein topologischer Raum. Aus der kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen

    $0\rightarrow C_{*}(X;N)\rightarrow C_{*}(X;G)\rightarrow C_{*}(X;H)\rightarrow 0$

erhält man mittels des Schlangenlemmas eine lange exakte Sequenz von Homologiegruppen

    $\ldots \rightarrow H_{*+1}(X;H)\rightarrow H_{*}(X;N)\rightarrow H_{*}(X;G)\rightarrow H_{*}(X;H)\rightarrow H_{*-1}(X;N)\rightarrow \ldots$,

die sogenannte Bockstein-Folge oder Bockstein-Sequenz. Der verbindende Homomorphismus $H_{*}(X;H)\rightarrow H_{*-1}(X;N)$ heißt Bockstein-Homomorphismus.

### Kohomologie

$0\rightarrow N\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0$ liefert auch eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen

    $0\rightarrow C^{*}(X;N)\rightarrow C^{*}(X;G)\rightarrow C^{*}(X;H)\rightarrow 0$

und wieder mit dem Schlangenlemma eine lange exakte Sequenz von Kohomologiegruppen

    $\ldots \rightarrow H^{*-1}(X;H)\rightarrow H^{*}(X;N)\rightarrow H^{*}(X;G)\rightarrow H^{*}(X;H)\rightarrow H^{*+1}(X;N)\rightarrow \ldots$,

die ebenfalls als Bockstein-Folge oder Bockstein-Sequenz bezeichnet wird und der verbindende Homomorphismus $H^{*}(X;H)\rightarrow H^{*+1}(X;N)$ als Bockstein-Homomorphismus.

## Beispiele

* Die kurze exakte Sequenz $0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \rightarrow 0$ gibt die Bockstein-Homomorphismen

       $H_{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\rightarrow H_{i-1}(X;\mathbb {Z} )$ und $H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\rightarrow H^{i+1}(X;\mathbb {Z} )$.
* Der zur kurzen exakten Sequenz $0\rightarrow \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rightarrow 0$ assoziierte Bockstein-Homomorphismus

       $H^{i}(X;\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )\rightarrow H^{i+1}(X;\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$
    ist von Bedeutung für die Konstruktion der Steenrod-Algebra.
* Die zu den kurzen exakten Sequenzen $0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} \rightarrow 0$ und $0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} /\mathbb {Z} \rightarrow 0$ assoziierten Bockstein-Homomorphismen

       $H^{i}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\rightarrow H^{i+1}(X;\mathbb {Z} )$ und $H^{i}(X;\mathbb {C} /\mathbb {Z} )\rightarrow H^{i+1}(X;\mathbb {Z} )$
    sind von Bedeutung in der Konstruktion sekundärer charakteristischer Klassen und in der Deligne-Kohomologie.
