Logarithmische Gammaverteilung
# Logarithmische Gammaverteilung

Die Logarithmische Gammaverteilung (auch Log-Gammaverteilung) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Heavy-tailed-Verteilung ist geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im extremen Großschadenbereich der Industrie-, Haftpflicht-, Rückversicherung.

## Definition

Eine stetige Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $a>0$ und $b>0$ genügt der logarithmischen Gammaverteilung, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

    $f(x)={\begin{cases}{\dfrac {b^{a}}{\Gamma (a)}}x^{-(b+1)}(\ln x)^{a-1}&x\geq 1\\0&x<1\end{cases}}$

besitzt. Ihre Verteilungsfunktion lautet dann

    $F(x)={\begin{cases}{\dfrac {\gamma (a,b\ln x)}{\Gamma (a)}}&x\geq 1\\0&x<1\end{cases}}$,

wobei $\gamma (p,q)$ die unvollständige Gammafunktion ist.

## Eigenschaften

### Erwartungswert

Für $b>1$ ergibt sich der Erwartungswert zu

    $\operatorname {E} (X)=\left(1-{\frac {1}{b}}\right)^{-a}$.

### Varianz

Die Varianz ergibt sich für $b>2$ als

    $\operatorname {Var} (X)=\left(1-{\frac {2}{b}}\right)^{-a}-\left(1-{\frac {1}{b}}\right)^{-2a}$.

### Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten

    $\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\left(1+{\frac {1}{b(b-2)}}\right)^{a}-1}}$.

### Schiefe

Die Schiefe lässt sich für $b>3$ geschlossen darstellen als

    $\operatorname {v} (X)={\frac {\left({\frac {b}{b-3}}\right)^{a}-3\left({\frac {b^{2}}{(b-2)(b-1)}}\right)^{a}+2\left({\frac {b}{b-1}}\right)^{3a}}{\left(\left({\frac {b}{b-2}}\right)^{a}-\left({\frac {b}{b-1}}\right)^{2a}\right)^{\frac {3}{2}}}}$.

### Momente

Es existieren nur die Momente der Ordnung kleiner als $b$.

### Produkte von logarithmisch Gamma-verteilte Zufallsvariablen

Sind $X_{1}\sim {\mathcal {LG}}(p_{1},b)$ und $X_{2}\sim {\mathcal {LG}}(p_{2},b)$ unabhängige logarithmisch gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch das $X_{1}\cdot X_{2}$ logarithmisch gammaverteilt, und zwar

    $X_{1}\cdot X_{2}\sim {\mathcal {LG}}(p_{1}+p_{2},b).$

Allgemein gilt: Sind $X_{i}\sim {\mathcal {LG}}(p_{i},b)\quad i=1,\ldots ,n$ stochastisch unabhängig dann ist

    $\prod _{i=1}^{n}X_{i}\sim {\mathcal {LG}}(p_{1}+\dotsb +p_{n},b).$

Somit bildet die logarithmische Gammaverteilung eine multiplikative Faltungshalbgruppe in einem ihrer beiden Parameter.

## Beziehung zu anderen Verteilungen

In der Versicherungsmathematik wird die Verteilung der Anzahl der Schäden häufig mit Hilfe von Poisson-, negativ Binomial- oder logarithmisch verteilten Zufallsvariablen modelliert. Zur Beschreibung der Schadenshöhe eignen sich dagegen die Gamma-, logarithmische Gamma- oder logarithmische Normalverteilung.

### Beziehung zur Gammaverteilung

Wenn die Zufallsvariable $X$ Gamma-verteilt ist, dann ist $Y=e^{X}$ Log-Gamma-verteilt.

### Beziehung zur Paretoverteilung

Die Paretoverteilung mit den Parametern $k$ und $x_{\mathrm {min} }=1$ entspricht der Log-Gammaverteilung mit den Parametern $a=1$ und $b=k$.

