Gebirgsgrat
# Gebirgsgrat

Ein Gebirgsgrat oder Grat ist ein scharfer Bergrücken im Hochgebirge. Im Mittelgebirge spricht man eher von einem Berggrat. Ein ganzjährig von Schnee bedeckter Grat wird als Firngrat bezeichnet. Die Begehung eines Firngrates kann gefährlich sein, wenn er von einer Wechte überdeckt und dadurch die stabile Kante nicht klar erkennbar ist.

Präzise ist der Grat, als geomorphologischer Objekttypus, eine Vollform in Höhenbereichen vor allem des Hochgebirges mit nach beiden Seiten steil abfallenden Böschungen (Hängen). Er kann zwei Gipfel eines Gebirges, die nur durch Scharten oder Gebirgssättel voneinander getrennt sind, miteinander verbinden oder als Bergsporn über einem Tal enden. Grate werden, besonders wenn sie für Bergsteiger von Interesse sind, zur Definition ihrer Identität mit Namen benannt.

Einen besonders scharf ausgeprägten Grat nennt man auch Schneide. Wenn eine Reihe von Gipfeln durch Grate miteinander verbunden sind, so spricht man von einem Gebirgskamm.

## Definition

Die Gratlinie(n) einer differenzierbaren Oberfläche f(x,y) zeichnet aus, dass der Gradient senkrecht auf einer der beiden Hauptkrümmungsrichtungen steht. Die Krümmung in dieser Richtung muss zusätzlich negativ sein, damit es sich um eine Gratlinie handelt. Ist diese kleinste Krümmung positiv, so handelt es sich um eine Tallinie (im Talboden). Diese Bedingung stellt sicher, dass es sich bei dem gewählten Punkt um ein Maximum in einer Richtung (senkrecht zum Gradienten, entlang einer der Hauptkrümmungsrichtungen) handelt. Diese Bedingung stellt eine Abschwächung der Bedingung für ein lokales Maximum dar.

Gegeben die Hessematrix $H_{f}(x,y)$ sowie deren Eigenvektoren ${\vec {v}}_{1}(x,y)$ und ${\vec {v}}_{2}(x,y)$ mit zugehörigen Eigenwerten $\lambda _{1}(x,y)$ und $\lambda _{2}(x,y)$ gilt für Punkte $(x_{g},y_{g})$ auf der Gratlinie mindestens eine der beiden Bedingungen:

    $\nabla f|_{x_{g},y_{g}}\cdot {\vec {v}}_{1}(x_{g},y_{g})=0,\lambda _{1}<0$ oder $\nabla f|_{x_{g},y_{g}}\cdot {\vec {v}}_{2}(x_{g},y_{g})=0,\lambda _{2}<0$ .
