Hillsche Gleichungen
# Hillsche Gleichungen

Die hillschen Gleichungen (nach George William Hill (1838–1914)) beschreiben Bahnänderungen eines Satelliten innerhalb des mitrotierenden Bezugssystems. Mit ihnen lässt sich berechnen, welchen weiteren Verlauf (Bahn und Geschwindigkeit) ein Satellit nimmt, wenn man seine Geschwindigkeit verändert.

Sie sind die Lösung des gekoppelten Gleichungssystems:

* ${\ddot {x}}+2\omega {\dot {z}}=b_{x}$
* ${\ddot {y}}+\omega ^{2}y=b_{y}$
* ${\ddot {z}}-2\omega {\dot {x}}-3\omega ^{2}z=b_{z}$

## Bahngleichungen

* $x(\omega ,t)=\left({x_{0}-2{\frac {{\dot {z}}_{0}}{\omega }}}\right)+2{\frac {{\dot {z}}_{0}}{\omega }}\cos \omega t+\left({6z_{0}+4{\frac {{\dot {x}}_{0}}{\omega }}}\right)\sin \omega t-\left({6z_{0}+3{\frac {{\dot {x}}_{0}}{\omega }}}\right)\omega t$
* $z(\omega ,t)=\left({4z_{0}+2{\frac {{\dot {x}}_{0}}{\omega }}}\right)+{\frac {{\dot {z}}_{0}}{\omega }}\sin \omega t-\left({3z_{0}+2{\frac {{\dot {x}}_{0}}{\omega }}}\right)\cos \omega t$

## Geschwindigkeitsgleichungen

* ${\dot {x}}(\omega ,t)=-3{\dot {x}}_{0}-6\omega z_{0}-2{\dot {z}}_{0}\sin \omega t+\left({6\omega z_{0}+4{\dot {x}}_{0}}\right)\cos \omega t$
* ${\dot {z}}(\omega ,t)=\left({3\omega z_{0}+2{\dot {x}}_{0}}\right)\sin \omega t+{\dot {z}}_{0}\cos \omega t$

## Beispiele

### Radiales Manöver

Ein radiales Manöver führt zu einer Ellipse mit dem Verhältnis 1:2.

Anfangsbedingungen: Position: $(x;z)=(0;0)$ Geschwindigkeit: $({\dot {x}};{\dot {z}})=(0;\Delta v)$

Bahngleichungen:

* $x=2{\frac {\Delta v}{\omega }}\left({\cos \omega t-1}\right)$
* $z={\frac {\Delta v}{\omega }}\sin \omega t$

### Tangentiales Manöver

Ein tangentiales Manöver führt zu einer Zykloidenförmigen Bahn.

Anfangsbedingungen: Position: $(x;z)=(0;0)$ Geschwindigkeit: $({\dot {x}};{\dot {z}})=(\Delta v;0)$

Bahngleichungen:

* $x=4{\frac {\Delta v}{\omega }}\sin \omega t-3\Delta v\cdot t$
* $z=2{\frac {\Delta v}{\omega }}\left({1-\cos \omega t}\right)$
* ${\dot {x}}_{1}=-3{\dot {x}}_{0}+4{\dot {x}}_{0}\cos \omega t$

Nach einem halben Umlauf bewegt sich der Satellit im mitrotierenden Bezugssystem mit siebenfachen $\Delta v$ in die Gegenrichtung:

* ${\dot {x}}_{1}\left({t={\frac {T}{2}}}\right)=-3\Delta v-4\Delta v=-7\Delta v$

### Hohmannmanöver

Beim Hohmannübergang werden zwei tangentiale Manöver ausgeführt.

Siehe auch: Hillsche Differentialgleichung (Dreikörperproblem)

