Bessel-Filter
# Bessel-Filter

Ein Bessel-Filter (auch als Bessel-Thomson-Filter bezeichnet) ist ein Frequenzfilter, bei dessen Entwurf folgende (äquivalente) Eigenschaften angestrebt werden:

* optimales „Rechteckübertragungsverhalten“, d. h. eine Wellenform, deren Frequenzanteile innerhalb des Durchlassbereichs des Filters liegen, erscheint (bis auf eine Verzögerung) nahezu unverändert am Ausgang;
* konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich;
* linearer Phasengang im Durchlassbereich.

Dabei wird in Kauf genommen, dass der Amplitudenverlauf nicht so scharf wie beim Butterworth-Filter oder Tschebyscheff-Filter abknickt.

Das Filter wurde 1949 von W.E. Thomson als – hinsichtlich der Gruppenlaufzeit – optimales passives Verzögerungsnetzwerk entwickelt und nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846) benannt.

In der digitalen Signalverarbeitung können Bessel-Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in IIR-Filtern (rekursive Filterstruktur) realisiert werden.

## Übertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion ist darauf optimiert, die Gruppenlaufzeit von der Frequenz unabhängig zu machen.

Mit der Übertragungsfunktion für ein Filter n-ter Ordnung

    ${\underline {A}}={\frac {A_{0}}{1+\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{\prime }P^{i}}}$

mit

    $A_{0}$ Gleichspannungsverstärkung
    $P={\frac {p}{\omega _{g}}}\Leftrightarrow j\Omega =j{\frac {\omega }{\omega _{g}}}$ und $\omega _{g}$ Grenzfrequenz

lässt sich für die Koeffizienten $c_{i}^{\prime }$ die Rekursionsformel

| i = 1: | $c_{1}^{\prime }=1$ |
| - | - |
| i = 2 … n: | $c_{i}^{\prime }={\frac {2(n-i+1)}{i(2n-i+1)}}\cdot c_{i-1}^{\prime }$ |

ermitteln.

Die Koeffizienten sind allerdings nicht auf die Grenzfrequenz normiert, sondern auf die Gruppenlaufzeit, d. h. bei $\Omega =1$ ist die Amplitude nicht um 3 dB abgesunken. In finden sich diese Koeffizienten auf die Grenzfrequenz umgerechnet sowie die Koeffizienten aller Einzelfilter bis zur zehnten Ordnung.

## Eigenschaften

Das Bessel-Filter besitzt folgende Eigenschaften:

* glatter Frequenzverlauf im Durchlassbereich
* geringe Steilheit des Amplitudengangs (geringer als beim Butterworth-Filter) im Bereich der Grenzfrequenz
* geringes Überschwingen bei der Sprungantwort, verringert sich mit der Ordnung
* konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich

## Normalisierte Bessel-Polynome

| n | Bessel-Polynom |
| - | - |
| 1 | $1+P$ |
| 2 | $1+P+{\frac {1}{3}}P^{2}$ |
| 3 | $1+P+{\frac {2}{5}}P^{2}+{\frac {1}{15}}P^{3}$ |
| 4 | $1+P+{\frac {3}{7}}P^{2}+{\frac {2}{21}}P^{3}+{\frac {1}{105}}P^{4}$ |
| 5 | $1+P+{\frac {4}{9}}P^{2}+{\frac {1}{9}}P^{3}+{\frac {1}{63}}P^{4}+{\frac {1}{945}}P^{5}$ |
