Kugelschicht
# Kugelschicht

Eine Kugelschicht, auch Kugelscheibe genannt, ist ein Teil einer Kugel, der von zwei parallelen Ebenen ausgeschnitten wird. Der gekrümmte Flächenteil wird Kugelzone genannt.

## Formeln

Für die Berechnung von Volumen, Mantelfläche und Oberfläche einer Kugelschicht gelten die folgenden Formeln. Dabei bezeichnet $r$ den Radius der Kugel, $a_{1},a_{2}$ die Radien der Begrenzungskreise und $h$ die Höhe der Kugelschicht.

Diese vier Größen sind nicht unabhängig voneinander. Die Höhe kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

    $h={\sqrt {r^{2}-a_{2}^{2}}}\pm {\sqrt {r^{2}-a_{1}^{2}}}$

Hierbei gilt das Minuszeichen für eine Kugelschicht ohne Kugelmittelpunkt und das Pluszeichen für eine Kugelschicht mit Kugelmittelpunkt.

Auf den Radius zurückzuschließen ist schwieriger, aber auch möglich:

    $r={\frac {1}{2h}}{\sqrt {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+h^{2})^{2}-4a_{1}^{2}a_{2}^{2}}}={\frac {1}{2h}}{\sqrt {a_{1}^{4}+a_{2}^{4}+h^{4}-2a_{1}^{2}a_{2}^{2}+2a_{1}^{2}h^{2}+2a_{2}^{2}h^{2}}}$

$V={\frac {\pi }{6}}\cdot h\cdot (3\cdot a_{1}^{2}+3\cdot a_{2}^{2}+h^{2})$ :

| Inhalt der Mantelfläche | $M=2\cdot \pi \cdot r\cdot h=2\cdot \pi \cdot h\cdot {\sqrt {a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}}}$ |
| - | - |
| Oberfläche | ${\begin{aligned}O&=M+A_{{\text{Kreis}}\,1}+A_{{\text{Kreis}}\,2}\\&=\pi \cdot (2\cdot r\cdot h+a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\\&=2\pi \cdot h\cdot {\sqrt {a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}}}+\pi (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\end{aligned}}$ |

### Herleitung

Die Kugelschicht kann man sich entstanden denken als das Kugelsegment $S_{1}$ mit dem unteren Kreis als Basiskreis, dem das Kugelsegment $S_{2}$ mit dem oberen Kreis als Basiskreis weggenommen wird. Es sei $h_{1}$ die Höhe von $S_{1}$ und $h_{2}$ die Höhe von $S_{2}$. Die Volumina der beiden Kugelsegmente sind

    $V_{1}={\frac {\pi }{3}}\cdot h_{1}^{2}\cdot (3\cdot r-h_{1})$
    $V_{2}={\frac {\pi }{3}}\cdot h_{2}^{2}\cdot (3\cdot r-h_{2})$

Siehe dazu auch Kugelsegment. Also ist

    ${\begin{aligned}V&=V_{1}-V_{2}={\frac {\pi }{3}}\cdot (3\cdot (h_{1}^{2}-h_{2}^{2})\cdot r-(h_{1}^{3}-h_{2}^{3}))\\&={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (h_{1}+h_{2})\cdot r-(h_{1}^{2}+h_{1}\cdot h_{2}+h_{2}^{2}))\end{aligned}}$

Mit den Beziehungen $2\cdot r\cdot h_{1}=a_{1}^{2}+h_{1}^{2},\ 2\cdot r\cdot h_{2}=a_{2}^{2}+h_{2}^{2}$ (siehe Kugelsegment) ergibt sich

    ${\begin{aligned}V&={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot \left({\frac {3}{2}}\cdot (a_{1}^{2}+h_{1}^{2}+a_{2}^{2}+h_{2}^{2})-h_{1}^{2}-h_{1}\cdot h_{2}-h_{2}^{2}\right)\\&={\frac {\pi }{6}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+(h_{1}-h_{2})^{2})\end{aligned}}$

Da $h=h_{1}-h_{2}$ ist, folgt die obige Formel: $V={\frac {\pi }{6}}\cdot h\cdot (3\cdot a_{1}^{2}+3\cdot a_{2}^{2}+h^{2})$

Für die Mantelfläche ergibt sich analog

    $M=M_{1}-M_{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot h_{1}-2\cdot \pi \cdot r\cdot h_{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot (h_{1}-h_{2})=2\cdot \pi \cdot r\cdot h$

### Beziehung der Parameter

Für den Beweis der Beziehung zwischen $r,a_{1},a_{2},h$ sei $d$ der Abstand der unteren Ebene zum Kugelmittelpunkt $M$. Dann gilt

    $r^{2}=d^{2}+a_{1}^{2},\ r^{2}=(d+h)^{2}+a_{2}^{2}$

Setzt man die beiden Gleichungen gleich und löst nach $d$ auf, so erhält man

    $d={\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}$,

und mit der ersten Gleichung folgt

    $r^{2}=a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}$
