Plus-Konstruktion
# Plus-Konstruktion

Die Plus-Konstruktion (häufig als Quillens Plus-Konstruktion bezeichnet) ist ein Verfahren der algebraischen Topologie, das unter anderem bei der Definition der algebraischen K-Theorie Anwendung findet.

## Konstruktion

### Konstruktion im Fall perfekter Fundamentalgruppen

Satz: Sei $X$ ein zusammenhängender CW-Komplex mit $H_{1}(X;\mathbb {Z} )=0$. Dann gibt es einen durch Ankleben von 2- und 3-Zellen konstruierten einfach zusammenhängenden CW-Komplex $X^{+}$ und eine Inklusion $j:X\rightarrow X^{+}$, so dass die induzierten Morphismen der Homologiegruppen

    $j_{n}:H_{n}(X;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n}(X^{+};\mathbb {Z} )$

für alle $n\in \mathbb {N}$ Isomorphismen sind.

Konstruktion/Beweisidee: Seien $\left\{e_{i}:S^{1}\rightarrow X\right\}_{i\in I}$ Repräsentanten für ein Erzeugendensystem der Fundamentalgruppe $\pi _{1}X$. Durch Ankleben von 2-Zellen $\left\{D_{i}\right\}_{i\in I}$ mittels der Abbildungen $e_{i}:\partial D_{i}\rightarrow X$ erhält man einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex $X^{\prime }$. Die lange exakte Sequenz

    $0\rightarrow H_{2}(X)\rightarrow H_{2}(X^{\prime })\rightarrow H_{2}(X^{\prime },X)\rightarrow 0=H_{1}(X)$

spaltet weil $H_{2}(X^{\prime },X)$ von den 2-Zellen $\left\{D_{i}\right\}_{i\in I}$ frei erzeugt wird, man hat also einen Isomorphismus

    $H_{2}(X^{\prime })=H_{2}(X)\oplus H_{2}(X^{\prime },X)$

und der Summand $H_{2}(X^{\prime },X)$ wird von den $\left\{D_{i}\right\}_{i\in I}$ erzeugt. Weil $X^{\prime }$ einfach zusammenhängend ist, sind nach dem Satz von Hurewicz die Elemente $\left[D_{i}\right]\in H_{2}(X^{\prime })$ von der Form $(f_{i})_{*}\left[S^{2}\right]$ für Abbildungen $f_{i}:S^{2}\rightarrow X^{\prime }$. (Hier bezeichnet $\left[S^{2}\right]\in H_{2}(S^{2};\mathbb {Z} )$ die Fundamentalklasse.) Durch Ankleben von 3-Zellen $\left\{E_{i}\right\}_{i\in I}$ mittels der Abbildungen $f_{i}:\partial E_{i}\rightarrow X^{\prime }$ erhält man einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex $X^{+}$ mit $H_{2}(X^{+})=H_{2}(X)$. Weil die angeklebten 3-Zellen ihren Rand nicht in $X$ haben, gilt $H_{3}(X^{+},X)=0$, und weil lediglich 2- und 3-dimensionale Zellen angeklebt wurden, gilt $H_{*}(X^{+},X)=0$ für $*\geq 4$. Also hat man auch für alle Homologiegruppen ab Grad 3 einen Isomorphismus.

### Konstruktion im allgemeinen Fall

Satz: Sei $X$ ein zusammenhängender CW-Komplex und $N\subset \pi _{1}X$ ein perfekter Normalteiler. Dann gibt es einen durch Ankleben von 2- und 3-Zellen konstruierten CW-Komplex $X^{+}$ und eine Inklusion $j:X\rightarrow X^{+}$, so dass der induzierte Morphismus der Fundamentalgruppen

    $j_{*}:\pi _{1}X\rightarrow \pi _{1}X^{+}$

die Quotientenabbildung $\pi _{1}X\to \pi _{1}X/N$ und die induzierten Morphismen der Homologiegruppen

    $j_{n}:H_{n}(X;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n}(X^{+};\mathbb {Z} )$

für alle $n\in \mathbb {N}$ Isomorphismen sind.

Konstruktion/Beweisidee: Seien $\left\{e_{i}:S^{1}\rightarrow X\right\}_{i\in I}$ Repräsentanten für ein Erzeugendensystem von $N$. Durch Ankleben von 2-Zellen $\left\{D_{i}\right\}_{i\in I}$ mittels der Abbildungen $e_{i}:\partial D_{i}\rightarrow X$ erhält man einen CW-Komplex $X^{\prime }$, so dass der durch die Inklusion $X\to X^{\prime }$ erzeugte Homomorphismus der Fundamentalgruppen die Quotientenabbildung $\pi _{1}X\to \pi _{1}X/N$ ist. Sei ${\widetilde {X^{\prime }}}$ die universelle Überlagerung von $X^{\prime }$ und ${\widetilde {X}}\subset {\widetilde {X^{\prime }}}$ das Urbild von $X$, also $\pi _{1}{\widetilde {X}}=N$ und (weil $N$ perfekt ist) $H_{1}({\widetilde {X}})=0$. Analog zu oben hat man einen Isomorphismus $H_{2}({\widetilde {X^{\prime }}})=H_{2}({\widetilde {X}})\oplus H_{2}({\widetilde {X^{\prime }}},{\widetilde {X}})$ und der Summand $H_{2}({\widetilde {X^{\prime }}},{\widetilde {X}})$ ist der von den $\left\{D_{i}\right\}_{i\in I}$ erzeugte freie $\mathbb {Z} \left[\pi _{1}X/N\right]$-Modul. Weil ${\widetilde {X^{\prime }}}$ einfach zusammenhängend ist, gibt es $\left[D_{i}\right]\in H_{2}(X^{\prime })$ realisierende Abbildungen $f_{i}:S^{2}\rightarrow X^{\prime }$ und durch Ankleben von 3-Zellen $\left\{E_{i}\right\}_{i\in I}$ mittels der Abbildungen $f_{i}:\partial E_{i}\rightarrow X^{\prime }$ erhält man wieder einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex $X^{+}$ mit den gewünschten Eigenschaften.

## Funktorialität

Es sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen zusammenhängenden CW-Komplexen und es seien $N_{X}\subset \pi _{1}X,N_{Y}\subset \pi _{1}Y$ perfekte Normalteiler mit $f_{*}(N_{X})\subset N_{Y}$. Dann induziert $f$ eine bis auf Homotopie eindeutige stetige Fortsetzung $f^{+}\colon X^{+}\to Y^{+}$.

## Homotopiefaser

Sei $BG$ der klassifizierende Raum einer diskreten Gruppe $G$ und $N\subset G$ ein perfekter Normalteiler. Sei $F$ die Homotopiefaser der Plus-Konstruktion $BG\to BG^{+}$, dann ist $\pi _{1}F$ die universelle zentrale Erweiterung von $N$ und $\pi _{2}(BG^{+})=H_{2}(N;\mathbb {Z} )$.

## Algebraische K-Theorie

Sei $R$ ein unitärer Ring, $GL(R)=\bigcup _{n\geq 0}GL(n,R)$ die Gruppe der invertierbaren Matrizen über $R$ und $BGL(R)$ der klassifizierende Raum von $GL(R)$, d. h. ein asphärischer Raum mit Fundamentalgruppe $GL(R)$. Weil die Gruppe der Elementarmatrizen $E(R)=\left[GL(R),GL(R)\right]$ perfekt und ein Normalteiler ist kann man die Plus-Konstruktion anwenden. Die algebraische K-Theorie des Ringes $R$ ist definiert als

    $K_{i}(R):=\pi _{i}(BGL^{+}(R))$

für $i\geq 1$.

### Beispiel: endliche Körper

Sei $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen, dann gibt es nach einem Satz von Quillen eine Homotopieäquivalenz

    $BGL(k)^{+}\simeq E\Psi ^{q}$,

wobei $E\Psi ^{q}$ die Faser der Abbildung

    $\Psi ^{q}-Id:BU\rightarrow BU$

(für $\Psi ^{q}$ die Wirkung der Adams-Operation auf dem klassifizierenden Raum der unitären Gruppe) ist. Die Homotopiegruppen von $E\Psi ^{q}$ können mit Bott-Periodizität berechnet werden, als Ergebnis erhält man

    $K_{2i}(K)=0,K_{2i-1}(K)=\mathbb {Z} /(q^{i}-1)\mathbb {Z}$.

### H-Raum

$BGL^{+}(R)$ ist ein H-Raum mittels einer von Loday definierten Verknüpfung. Die Plus-Konstruktion ist universell für Abbildungen in H-Räume, d. h. jede stetige Abbildung $BGL(R)\to H$ in einen H-Raum $H$ faktorisiert über $BGL^{+}(R)$.

