Hyperrechteck
# Hyperrechteck

Ein Hyperrechteck oder auch Hyperquader ist in der Geometrie die Verallgemeinerung des Rechtecks und des Quaders auf beliebig viele Dimensionen. Der Hyperwürfel ist ein Spezialfall davon.

## Definition

Ein achsenparalleles Hyperrechteck $R$ im $n$-dimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ ist das kartesische Produkt von $n$ reellen Intervallen $[a_{i},b_{i}]$ mit $a_{i}\leq b_{i}$ für $i=1,\dotsc ,n$, das heißt

    $R=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \dotsb \times [a_{n},b_{n}]$.

Im Allgemeinen ist ein Hyperrechteck eine Figur, die kongruent ist mit einem achsenparallelen Hyperrechteck.

## Beispiele

Für $n=1$ erhält man so ein Intervall, für $n=2$ ein Rechteck und für $n=3$ einen Quader.

Für den Spezialfall, dass alle Intervalle gleich dem Einheitsintervall $[0,1]$ sind, erhält man den Einheitshyperwürfel

    $R=\prod _{i=1}^{n}[0,1]=[0,1]^{n}$.

## Eigenschaften

### Begrenzende Elemente

Jedes $n$-dimensionale Hyperrechteck mit $n\geq 2$ hat

* $2^{n}$ Ecken,
* $n2^{n-1}$ Kanten, die rechtwinklig aufeinanderstoßen, und
* $2n$ Seitenflächen, die ihrerseits Hyperrechtecke der Dimension $n-1$ sind.

Allgemein wird ein $n$-dimensionales Hyperrechteck von

    ${\binom {n}{k}}\cdot 2^{n-k}$

Hyperrechtecken der Dimension $k$ begrenzt, wobei $k\in \{0,\dotsc ,n-1\}$ ist.

### Volumen und Oberfläche

Das Volumen eines Hyperrechtecks $R$ beträgt

    $\operatorname {vol} (R)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\dotsm (b_{n}-a_{n})$.

Das ist der Ausgangspunkt für die Volumenbestimmung sehr viel allgemeinerer Mengen, wie in der Konstruktion des $n$-dimensionalen Lebesguemaßes in der Maßtheorie deutlich wird.

Der Oberflächeninhalt beträgt

    $\operatorname {vol} (\partial R)=2\sum _{j=1}^{n}\prod _{i=1 \atop i\neq j}^{n}(b_{i}-a_{i})$.
