Kähler-hyperbolische Mannigfaltigkeit
# Kähler-hyperbolische Mannigfaltigkeit

In der komplexen Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, heißen Kähler-Mannigfaltigkeiten $(M,\omega )$ Kähler-hyperbolisch, wenn die hochgehobene Kählerform ${\widetilde {\omega }}$ der universellen Überlagerung ${\widetilde {M}}$ das Differential einer beschränkten Differentialform ist.

## Beispiele

Satz (Gromow): Eine geschlossene Kähler-Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung ist Kähler-hyperbolisch. Jede Kähler-Mannigfaltigkeit, die homotopieäquivalent zu einer geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung ist, ist Kähler-hyperbolisch.

Weitere hinreichende Bedingungen für Kähler-Hyperbolizität von Kähler-Mannigfaltigkeiten:

* $\pi _{1}M$ ist hyperbolisch und $\pi _{2}M=0$
* $M$ ist Untermannigfaltigkeit einer Kähler-hyperbolischen Mannigfaltigkeit
* ${\widetilde {M}}$ ist ein Hermitescher symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ ohne euklidischen Faktor

McMullen bewies, dass der Teichmüller-Raum Kähler-hyperbolisch ist.

## Anwendungen

Gromow bewies, dass für Kähler-hyperbolische Mannigfaltigkeiten die Hopf-Vermutung richtig ist. Diese besagt, dass für Riemannsche 2n-Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung die Ungleichung

    $(-1)^{n}\chi (M)>0$

gilt. Hierbei bezeichnet $\chi (M)$ die Euler-Charakteristik.

## Andere Begriffe von Hyperbolizität

Jede Kähler-hyperbolische Mannigfaltigkeit $X$ ist Kobayashi-hyperbolisch, d. h. jede holomorphe Abbildung $\mathbb {C} \to X$ ist konstant.

