Projektive Auflösung
# Projektive Auflösung

Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie und der homologischen Algebra ist eine projektive Auflösung eine lange exakte Sequenz aus projektiven Objekten, die in einem gegebenen Objekt endet.

## Definition

Es seien $C$ eine abelsche Kategorie (oder auch die Kategorie Grp der Gruppen) und $A$ ein Objekt aus $C$. Dann heißt eine lange exakte Sequenz der Form

    $\cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0$

projektive Auflösung von $A$, wenn sämtliche $P_{i}$ projektiv sind.

Sind alle $P_{j}$ sogar frei, so spricht man von einer freien Auflösung.

## Existenz

Ist in der abelschen Kategorie $C$ jedes Objekt Quotient eines projektiven Objektes, d. h. gibt es zu jedem Objekt $X\in \operatorname {Ob} (C)$ einen Epimorphismus $P\rightarrow X$, in dem $P$ projektiv ist, so sagt man auch, $C$ besitze genügend viele projektive Objekte.

Unter diesen Bedingungen gibt es auch zu jedem Objekt $A$ eine projektive Auflösung. Zunächst existiert nämlich nach Voraussetzung ein Epimorphismus $p_{0}\colon P_{0}\rightarrow A$, dann weiter ein Epimorphismus $p_{1}\colon P_{1}\rightarrow \operatorname {ker} (p_{0})$ auf den Kern dieses Morphismus und dann per Induktion jeweils weiter $p_{n+1}\colon P_{n+1}\rightarrow \operatorname {ker} (p_{n})$.

Die wichtigste Kategorie mit genügend vielen projektiven Objekten ist die Kategorie $\mathrm {Mod} _{R}$ der (Links-)Moduln über einem Ring $R$. Ist $A$ ein solcher Modul und ist $(a_{i})_{i\in I}$ ein Erzeugendensystem, so hat man einen surjektiven Homomorphismus $R^{I}\rightarrow A$, indem man das $i$-te Basiselement des freien Moduls $R^{I}$ auf $a_{i}$ abbildet. Da freie Moduln projektiv sind, ist $A$ Quotient eines projektiven Moduls und damit hat $\mathrm {Mod} _{R}$ genügend viele projektive Objekte.

## Eigenschaften

Ist

    $\cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0$

eine projektive Auflösung und

    $\cdots \rightarrow A'_{2}\rightarrow A'_{1}\rightarrow A'_{0}\rightarrow A'\rightarrow 0$

exakt, so lässt sich jeder $C$-Homomorphismus $f\colon A\rightarrow A'$ (nicht notwendigerweise eindeutig) zu einem kommutativen Diagramm

    ${\begin{matrix}\cdots \rightarrow &P_{2}&\rightarrow &P_{1}&\rightarrow &P_{0}&\rightarrow &A&\rightarrow 0\\\cdots &\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots \rightarrow &A'_{2}&\rightarrow &A'_{1}&\rightarrow &A'_{0}&\rightarrow &A'&\rightarrow 0\end{matrix}}$

ergänzen.

