Bialgebra
# Bialgebra

* Bialgebra
* berührt die Spezialgebiete
* Mathematik
* Abstrakte Algebra
* Lineare Algebra
* Kommutative Algebra
* ist Spezialfall von
* Algebra
* Koalgebra
* umfasst als Spezialfälle
* Hopf-Algebra

Eine Bialgebra hat sowohl die Struktur einer unitären, assoziativen Algebra als auch die dazu duale Struktur einer Koalgebra. Der wichtigste Spezialfall von Bialgebren sind Hopf-Algebren, zu denen auch die Quantengruppen gehören.

## Definition

Sei $k$ ein Körper und $B$ sowohl unitäre assoziative Algebra über $k$ als auch Koalgebra über $k$. Dabei bezeichne $\mu _{B}$ die Multiplikation, $\eta _{B}$ die Eins (Einbettung des Körpers in die Algebra), $\Delta _{B}$ die Komultiplikation und $\epsilon _{B}$ die Koeins.

$B$ heißt Bialgebra über $k$ wenn die folgenden äquivalenten Kompatibilitätsbedingungen erfüllt sind.

* Die Komultiplikation $\Delta _{B}$ und die Koeins $\epsilon _{B}$ sind Algebrahomomorphismen.
* Die Multiplikation $\mu _{B}$ und die Eins $\eta _{B}$ sind Koalgebrahomomorphismen.
* Die folgenden Diagramme kommutieren

Dabei ist $\tau _{B,B}:=v\otimes w\mapsto w\otimes v$ die „Flip“-Abbildung, also der kanonische Isomorphismus der Tensorprodukte $V\otimes W$ und $W\otimes V$ angewandt auf $B\otimes B$.

Die Bialgebren bilden zusammen mit den Abbildungen, die sowohl Algebra- als auch Koalgebrahomomorphismen sind, eine Kategorie.

## Verallgemeinerung

Algebren und Koalgebren können in beliebigen monoidalen Kategorien betrachtet werden. Für Kompatibilitätsbedingungen ist es jedoch notwendig, dass auch das Tensorprodukt einer (Ko)Algebra auf natürliche Weise wieder eine (Ko)Algebra ist, dies bedingt die Existenz einer Zopfung.

