Bisymmetrische Matrix
# Bisymmetrische Matrix

Eine bisymmetrische Matrix oder doppelt symmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die sowohl bezüglich ihrer Hauptdiagonale, als auch bezüglich ihrer Gegendiagonale symmetrisch ist.

## Definition

Eine quadratische Matrix $A\in K^{n\times n}$ über einem Körper $K$ heißt bisymmetrisch, wenn für ihre Einträge

    $a_{i,j}=a_{j,i}$ und $a_{i,j}=a_{n-j+1,n-i+1}$

für $i,j=1,\ldots ,n$ gilt. Die Einträge einer bisymmetrischen Matrix verändern sich demnach nicht, wenn sie an der Hauptdiagonale oder an der Gegendiagonale gespiegelt werden.

## Beispiele

Bisymmetrische Matrizen der Größe $3\times 3$ haben die allgemeine Form

    $A={\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&b\\c&b&a\end{pmatrix}}$

und diejenigen der Größe $4\times 4$ die Form

    $A={\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&e&f&c\\c&f&e&b\\d&c&b&a\end{pmatrix}}$

mit $a,b,c,d,e,f\in K$.

## Eigenschaften

### Symmetrien

Eine bisymmetrische Matrix ist sowohl symmetrisch, als auch persymmetrisch und damit auch zentralsymmetrisch. Umgekehrt ist eine zentralsymmetrische Matrix, die zudem symmetrisch oder persymmetrisch ist, bisymmetrisch. Mit der Permutationsmatrix $J\in K^{n\times n}$ definiert durch

    $J=(\delta _{i,n-j+1})_{ij}={\begin{pmatrix}0&&1\\&\cdot ^{\,\cdot ^{\,\cdot }}&\\1&&0\end{pmatrix}}$

lassen sich bisymmetrische Matrizen auch kompakt durch die beiden Bedingungen

    $A=A^{T}$ und $JA=AJ$

charakterisieren. Eine reelle symmetrische Matrix ist genau dann bisymmetrisch, wenn sich ihre Eigenwerte nach Multiplikation mit der Matrix $J$ von links oder rechts höchstens bezüglich des Vorzeichens unterscheiden.

### Summe und Produkt

Die Summe $A+B$ zweier bisymmetrischer Matrizen $A$ und $B$ ergibt wieder eine bisymmetrische Matrix, ebenso sind auch skalare Vielfache $cA$ mit $c\in K$. Nachdem die Nullmatrix trivialerweise bisymmetrisch ist, bilden die bisymmetrischen Matrizen einen Untervektorraum im Matrizenraum $K^{n\times n}$.

Das Produkt $A\cdot B$ zweier bisymmetrischer Matrizen ergibt genau dann wieder eine bisymmetrische Matrix, wenn die beiden Matrizen $A$ und $B$ kommutieren.

### Inverse

Für Inverse $A^{-1}$ einer bisymmetrischen Matrix gilt, sofern sie existiert

    $A^{-1}=(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$ und $JA^{-1}=(AJ)^{-1}=(JA)^{-1}=A^{-1}J$.

Die Inverse einer regulären bisymmetrischen Matrix ist demnach wieder bisymmetrisch.

