Prinzip der großen Abweichungen
# Prinzip der großen Abweichungen

Das Prinzip der großen Abweichungen (kurz LDP von Large Deviation Principle) ist ein Begriff aus der Theorie der großen Abweichungen. Es handelt sich um eine Charakterisierung des Grenzverhaltens einer Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen in Relation zu einer Rate-Funktion (siehe Konvergenzrate).

## Definition

### Rate-Funktion

Sei $X$ ein topologischer Raum, der Hausdorff ist mit borelscher σ-Algebra ${\mathcal {B}}$. Eine Funktion $I:X\to [0,\infty ]$ heißt Rate-Funktion (auch Cramér-Funktion genannt) falls Folgendes gilt:

* $I$ ist unterhalbstetig, d. h. es gilt $K_{l}=\{x\in X:I(x)\leq l\}$ ist geschlossen für jedes $l<\infty$.

Man spricht von einer guten Rate-Funktion, falls zusätzlich gilt:

* $K_{l}$ sind kompakt.

### Prinzip der großen Abweichungen

Sei $(\mu _{\varepsilon })$ eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf $X$. Weiter sei $\lambda (\varepsilon ):(0,\infty )\to \mathbb {R}$ so dass $\lim \limits _{\varepsilon \to 0}\lambda (\varepsilon )=\infty$. Dann gilt für $(\mu _{\varepsilon })$ das Prinzip der großen Abweichungen, falls eine Rate-Funktion $I$ auf $X$ existiert mit Rate $\lambda (\varepsilon )$, so dass Folgendes gilt:

* Für alle offenen $O\subset X$ gilt

    $\liminf _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\lambda (\varepsilon )}}\log \mu _{\varepsilon }(O)\geq -\inf \limits _{x\in O}I(x)$.
* Für alle abgeschlossenen $C\subset X$ gilt

    $\limsup _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\lambda (\varepsilon )}}\log \mu _{\varepsilon }(C)\leq -\inf \limits _{x\in C}I(x)$.
