Projektionssatz (Dreieck)
# Projektionssatz (Dreieck)

Der Projektionssatz ist eine Aussage aus der Elementargeometrie, die eine Verallgemeinerung des Kathetensatzes auf beliebige Dreiecke darstellt:

    Für zwei Seiten in einem beliebigen Dreieck sind diejenigen Rechtecke flächeninhaltsgleich die aus einer Seite und der orthogonalen Projektion der anderen auf sie gebildet werden.

In einem beliebigen Dreieck $\triangle ABC$ mit Seiten a, b und c bezeichne $p_{xy}$ die Projektion der Seite x auf die Seite y, dann gilt:

    ${\begin{aligned}|c|\cdot |p_{bc}|&=|b|\cdot |p_{cb}|\\|a|\cdot |p_{ba}|&=|b|\cdot |p_{ab}|\\|c|\cdot |p_{ac}|&=|a|\cdot |p_{ca}|\\\end{aligned}}$

In einem rechtwinkligen Dreieck $\triangle ABC$ mit einem rechten Winkel in C entsprechen die Projektionen $p_{cb}$ und $p_{ca}$ den Seiten b und a. Damit liefert der Projektionssatz dann:

    ${\begin{aligned}|c|\cdot |p_{bc}|&=|b|^{2}\\|c|\cdot |p_{ac}|&=|a|^{2}\end{aligned}}$

Man erhält also den Kathetensatz des Euklid.

