Comprimento do arco
# Comprimento do arco

A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular — também conhecido como retificação de uma curva — representou uma dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral que provê a solução em alguns casos.

## Definição precisa

Escolher um finito número de pontos ao longo de uma curva e conectar cada um destes pontos com o próximo com uma linha reta. A soma do comprimento de cada um destes segmentos é o comprimento de um caminho polinomial.
Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do segmentos.
Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial.

## Métodos modernos

Considere uma função $f(x)\,$ tal que $f(x)\,$ e $f'(x)\,$ (isto é a derivada em relação a x) são contínuas em [a, b] . O comprimento s de parte do gráfico de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula:
    $s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx.$
a qual se deriva da fórmula da distância aproximada do comprimento do arco composto de muitos pequenos segmentos de reta. Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato.
Se a curva é definida parametricamente por $x=X(t)\,$ e $y=Y(t)\,$, então o comprimento do arco entre t = a e t = b é
    $s=\int _{a}^{b}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dt.$
Deve-se notar que a definição acima só pode ser considerada rigorosa caso se prove que duas parametrizações distintas geram o mesmo comprimento de arco.

## Método vetorial

Seja $a=t_{0}<t_{1}<t_{2}<...<t_{n}=b$ uma partição equidistante do domínio com $\Delta t=t_{i}-t_{i-1}$ e $P_{i}={\overrightarrow {r}}(t_{i})$, $i=0,1,...n$, pontos sobre a curva. Uma possível aproximação para o comprimento da curva é dado pelo comprimento da poligonal. Observe que o comprimento do segmento $P_{i-1}P_{i}$ é dado por $||P_{i}-P_{i-1}||$, logo, a aproximação para o comprimento da curva é
$L_{n}=\sum _{i=1}^{n}||P_{i}-P_{i-1}||$
$=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})^{2}+(z_{i}-z_{i-1})^{2}}}$
$=\textstyle \sum _{i=1}^{n}{\sqrt {\left({\frac {x_{i}-x_{i-1}}{\Delta t}}\right)^{2}+\left({\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta t}}\right)^{2}+\left({\frac {z_{i}-z_{i-1}}{\Delta t}}\right)^{2}}}\Delta t$
Naturalmente, $L=\textstyle \lim _{n\to \infty }L_{n}$. Como o lado direito da última igualdade é uma soma de Riemann, temos:
$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx(t)}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz(t)}{dt}}\right)^{2}}}dt$
$L=\int _{a}^{b}||{\vec {r}}\prime (t)||dt$
Logo, o comprimento do arco S quando a parâmetro corre de a até t é:
$S(t)=\int _{a}^{b}||{\vec {r}}\prime (\tau )||d\tau ,a\leq t\leq b$