Círculo unitário
# Círculo unitário

Na matemática, um círculo unitário é um círculo de raio unitário — isto é, um raio de 1. Frequentemente, especialmente na trigonometria, o círculo unitário é o círculo de raio 1 centrado na origem (0, 0) no sistema de coordenadas cartesianas no plano euclidiano. Em topologia, é frequentemente denotado como S$^1$ porque é uma n-esfera unitária unidimensional.
Se (x, y) é um ponto na circunferência do círculo unitário, então |x| e |y| são os comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem comprimento 1. Assim, pelo teorema de Pitágoras, x e y satisfazem a equação $x^{2}+y^{2}=1$
Como x$^2$ = (−x)$^2$ para todo x, e como a reflexão de qualquer ponto no círculo unitário sobre o eixo x ou y também está no círculo unitário, a equação acima vale para todos os pontos (x, y) no círculo unitário, não apenas aqueles no primeiro quadrante.
O interior do círculo unitário é chamado de disco unitário aberto, enquanto o interior do círculo unitário combinado com o próprio círculo unitário é chamado de disco unitário fechado.
Pode-se também usar outras noções de "distância" para definir outros "círculos unitários", como o círculo Riemanniano; veja o artigo sobre normas matemáticas para exemplos adicionais.

## No plano complexo

No plano complexo, números de magnitude unitária são chamados de números unitários complexos. Este é o conjunto de números complexos z tais que $|z|=1$. Quando dividido em componentes reais e imaginários $z=x+iy$, esta condição é $|z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=1$.
O círculo unitário complexo pode ser parametrizado pela medida do ângulo $\theta$ do eixo real positivo usando a função exponencial complexa, $z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta$. (Veja o artigo Fórmula de Euler.)
Sob a operação de multiplicação complexa, os números unitários complexos formam um grupo chamado grupo circular, geralmente denotado $\mathbb {T}$. Na mecânica quântica, um número unitário complexo é chamado de fator de fase.

## Funções trigonométricas no círculo unitário

As funções trigonométricas cosseno e seno do ângulo θ podem ser definidas no círculo unitário da seguinte forma: Se (x, y) for um ponto no círculo unitário, e se o raio da origem (0, 0) para (x, y) fizer um ângulo θ a partir do eixo x positivo (onde o giro no sentido anti-horário é positivo), então $\cos \theta =x\quad {\text{e}}\quad \operatorname {sen} \theta =y$ A equação x$^2$ + y$^2$ = 1 fornece a relação $\cos ^{2}\theta +\operatorname {sen} ^{2}\theta =1$ O círculo unitário também demonstra que seno e cosseno são funções periódicas, com as identidades $\cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )$ $\operatorname {sen} \theta =\operatorname {sen}(2\pi k+\theta )$ para qualquer inteiro k.
Triângulos construídos no círculo unitário também podem ser usados para ilustrar a periodicidade das funções trigonométricas. Primeiro, construa um raio OP da origem O até um ponto P(x$_1$,y$_1$) no círculo unitário de modo que um ângulo t com 0 < t < ⁠π/2⁠ seja formado com o braço positivo do eixo x. Agora considere um ponto Q(x$_1$,0) e segmentos de reta PQ ⊥ OQ. O resultado é um triângulo retângulo △OPQ com ∠QOP = t. Como PQ tem comprimento y$_1$, OQ comprimento x$_1$ e OP tem comprimento 1 como um raio no círculo unitário, sen(t) = y$_1$ e cos(t) = x$_1$. Tendo estabelecido essas equivalências, pegue outro raio OR da origem até um ponto R(−x$_1$,y$_1$) no círculo de modo que o mesmo ângulo t seja formado com o braço negativo do eixo x. Agora considere um ponto S(−x$_1$,0) e segmentos de reta RS ⊥ OS. O resultado é um triângulo retângulo △ORS com ∠SOR = t. Pode-se ver, portanto, que, como ∠ROQ = π − t, R está em (cos(π − t), sen(π − t)) da mesma forma que P está em (cos(t), sen(t)). A conclusão é que, como (−x$_1$, y$_1$) é o mesmo que (cos(π − t), sen(π − t)) e (x$_1$,y$_1$) é o mesmo que (cos(t),sen(t)), é verdade que sen(t) = sen(π − t) e −cos(t) = cos(π − t). Pode ser inferido de forma similar que tan(π − t) = −tan(t), já que tan(t) = ⁠y$_1$/x$_1$⁠ e tan(π − t) = ⁠y$_1$/−x$_1$⁠. Uma demonstração simples do acima pode ser vista na igualdade sen(⁠π/4⁠) = sen(⁠3π/4⁠) = ⁠1/√2⁠.
Ao trabalhar com triângulos retângulos, seno, cosseno e outras funções trigonométricas só fazem sentido para medidas de ângulo maiores que zero e menores que ⁠⁠π/2⁠. Entretanto, quando definidas com o círculo unitário, essas funções produzem valores significativos para qualquer medida de ângulo de valor real – mesmo aquelas maiores que 2π. Na verdade, todas as seis funções trigonométricas padrão – seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, bem como funções arcaicas como seno verso (verseno) e secante externa (exsecante) – podem ser definidas geometricamente em termos de um círculo unitário, como mostrado à direita.
Usando o círculo unitário, os valores de qualquer função trigonométrica para muitos ângulos diferentes daqueles rotulados podem ser facilmente calculados manualmente usando as fórmulas de soma e diferença de ângulos.

## Dinâmica complexa

O conjunto de Julia de sistema dinâmico que não é linear, discreto, com função de evolução: $f_{0}(x)=x^{2}$ é um círculo unitário. É um caso mais simples, por isso é amplamente utilizado no estudo de sistemas dinâmicos.