Quadrado mágico
# Quadrado mágico

Quadrado Mágico é uma tabela quadrada, com números, em que a soma de cada coluna, de cada linha e das duas diagonais são iguais.
Veja o exemplo:
$\,\!{\begin{matrix}&&&&15\\&&&\nearrow &\\2&7&6&\rightarrow &15\\9&5&1&\rightarrow &15\\4&3&8&\rightarrow &15\\\downarrow &\downarrow &\downarrow &\searrow &\\15&15&15&&15\end{matrix}}$
Sua origem não é conhecida, mas há registros de sua existência em épocas anteriores à nossa era na China e na Índia. O quadrado de 9 casas (3 x 3) é encontrado pela primeira vez num manuscrito árabe, no fim do Século VIII, e atribuído a Apolônio de Tiana (I Século) por Marcellin Berthelot.
Na Idade Média os quadrados mágicos se tornaram muito populares pelo seu uso em Pantáculos e Talismãs, onde eram associados a Planetas que atribuíam a eles o poder de atrair proteção astral para seus detentores.

## Classificações

Existem certos modelos de quadrados mágicos que recebem uma classificação especial devido a suas singularidades. São eles:
* Imperfeito ou Defeituoso
O que não obedece a todas as regras de um quadrado mágico. Por exemplo, um quadrado mágico onde a soma das linhas e colunas são iguais, mas a das diagonais não;
* Hipermágico
O que tem certas propriedades adicionais, além de obedecer às regras básicas. Por exemplo, um quadrado mágico onde, trocando-se duas colunas de lugar, forma-se um outro quadrado mágico; e
* Diabólico
É um quadrado hipermágico com muitas propriedades ou com propriedades muito complexas. O nome diabólico tem sua provável origem na dificuldade em se formá-lo.
Essa complexidade já não existe, uma vez que qualquer Quadrado Mágico de qualquer ordem é facilmente construído a partir de regras pré estabelecidas.
Os quadrados de ordem par não múltipla de 4 (ex: 6x6 10x10 14x14 18x18 etc) são os que requerem uma maior atenção para sua construção. Entretanto, existe um roteiro que torna essa construção tão fácil como a de qualquer outro tipo de Quadrado Mágico.
O exemplo a seguir refere-se ao Quadrado Mágico 10x10 cuja soma de qualquer linha coluna ou diagonal é 505.
| 68 | 65 | 96 | 93 | 4 | 1 | 32 | 29 | 60 | 57 |
| 66 | 67 | 94 | 95 | 2 | 3 | 30 | 31 | 58 | 59 |
| 92 | 89 | 20 | 17 | 28 | 25 | 56 | 53 | 64 | 61 |
| 90 | 91 | 18 | 19 | 26 | 27 | 54 | 55 | 62 | 63 |
| 16 | 13 | 24 | 21 | 49 | 52 | 80 | 77 | 88 | 85 |
| 14 | 15 | 22 | 23 | 50 | 51 | 78 | 79 | 86 | 87 |
| 37 | 40 | 45 | 48 | 76 | 73 | 81 | 84 | 9 | 12 |
| 38 | 39 | 46 | 47 | 74 | 75 | 82 | 83 | 10 | 11 |
| 41 | 44 | 69 | 72 | 97 | 100 | 5 | 8 | 33 | 36 |
| 43 | 42 | 71 | 70 | 99 | 98 | 7 | 6 | 35 | 34 |
Este outro exemplo refere-se ao Quadrado Mágico 30x30 cuja soma de qualquer linha coluna ou diagonal é 13515.
| 488 | 485 | 556 | 553 | 624 | 621 | 692 | 689 | 760 | 757 | 828 | 825 | 896 | 893 | 4 | 1 | 72 | 69 | 140 | 137 | 208 | 205 | 276 | 273 | 344 | 341 | 412 | 409 | 480 | 477 |
| 486 | 487 | 554 | 555 | 622 | 623 | 690 | 691 | 758 | 759 | 826 | 827 | 894 | 895 | 2 | 3 | 70 | 71 | 138 | 139 | 206 | 207 | 274 | 275 | 342 | 343 | 410 | 411 | 478 | 479 |
| 552 | 549 | 620 | 617 | 688 | 685 | 756 | 753 | 824 | 821 | 892 | 889 | 60 | 57 | 68 | 65 | 136 | 133 | 204 | 201 | 272 | 269 | 340 | 337 | 408 | 405 | 476 | 473 | 484 | 481 |
| 550 | 551 | 618 | 619 | 686 | 687 | 754 | 755 | 822 | 823 | 890 | 891 | 58 | 59 | 66 | 67 | 134 | 135 | 202 | 203 | 270 | 271 | 338 | 339 | 406 | 407 | 474 | 475 | 482 | 483 |
| 616 | 613 | 684 | 681 | 752 | 749 | 820 | 817 | 888 | 885 | 56 | 53 | 64 | 61 | 132 | 129 | 200 | 197 | 268 | 265 | 336 | 333 | 404 | 401 | 472 | 469 | 540 | 537 | 548 | 545 |
| 614 | 615 | 682 | 683 | 750 | 751 | 818 | 819 | 886 | 887 | 54 | 55 | 62 | 63 | 130 | 131 | 198 | 199 | 266 | 267 | 334 | 335 | 402 | 403 | 470 | 471 | 538 | 539 | 546 | 547 |
| 680 | 677 | 748 | 745 | 816 | 813 | 884 | 881 | 52 | 49 | 120 | 117 | 128 | 125 | 196 | 193 | 264 | 261 | 332 | 329 | 400 | 397 | 468 | 465 | 536 | 533 | 544 | 541 | 612 | 609 |
| 678 | 679 | 746 | 747 | 814 | 815 | 882 | 883 | 50 | 51 | 118 | 119 | 126 | 127 | 194 | 195 | 262 | 263 | 330 | 331 | 398 | 399 | 466 | 467 | 534 | 535 | 542 | 543 | 610 | 611 |
| 744 | 741 | 812 | 809 | 880 | 877 | 48 | 45 | 116 | 113 | 124 | 121 | 192 | 189 | 260 | 257 | 328 | 325 | 396 | 393 | 464 | 461 | 532 | 529 | 600 | 597 | 608 | 605 | 676 | 673 |
| 742 | 743 | 810 | 811 | 878 | 879 | 46 | 47 | 114 | 115 | 122 | 123 | 190 | 191 | 258 | 259 | 326 | 327 | 394 | 395 | 462 | 463 | 530 | 531 | 598 | 599 | 606 | 607 | 674 | 675 |
| 808 | 805 | 876 | 873 | 44 | 41 | 112 | 109 | 180 | 177 | 188 | 185 | 256 | 253 | 324 | 321 | 392 | 389 | 460 | 457 | 528 | 525 | 596 | 593 | 604 | 601 | 672 | 669 | 740 | 737 |
| 806 | 807 | 874 | 875 | 42 | 43 | 110 | 111 | 178 | 179 | 186 | 187 | 254 | 255 | 322 | 323 | 390 | 391 | 458 | 459 | 526 | 527 | 594 | 595 | 602 | 603 | 670 | 671 | 738 | 739 |
| 872 | 869 | 40 | 37 | 108 | 105 | 176 | 173 | 184 | 181 | 252 | 249 | 320 | 317 | 388 | 385 | 456 | 453 | 524 | 521 | 592 | 589 | 660 | 657 | 668 | 665 | 736 | 733 | 804 | 801 |
| 870 | 871 | 38 | 39 | 106 | 107 | 174 | 175 | 182 | 183 | 250 | 251 | 318 | 319 | 386 | 387 | 454 | 455 | 522 | 523 | 590 | 591 | 658 | 659 | 666 | 667 | 734 | 735 | 802 | 803 |
| 36 | 33 | 104 | 101 | 172 | 169 | 240 | 237 | 248 | 245 | 316 | 313 | 384 | 381 | 449 | 452 | 520 | 517 | 588 | 585 | 656 | 653 | 664 | 661 | 732 | 729 | 800 | 797 | 868 | 865 |
| 34 | 35 | 102 | 103 | 170 | 171 | 238 | 239 | 246 | 247 | 314 | 315 | 382 | 383 | 450 | 451 | 518 | 519 | 586 | 587 | 654 | 655 | 662 | 663 | 730 | 731 | 798 | 799 | 866 | 867 |
| 97 | 100 | 165 | 168 | 233 | 236 | 241 | 244 | 309 | 312 | 377 | 380 | 445 | 448 | 516 | 513 | 581 | 584 | 649 | 652 | 717 | 720 | 725 | 728 | 793 | 796 | 861 | 864 | 29 | 32 |
| 98 | 99 | 166 | 167 | 234 | 235 | 242 | 243 | 310 | 311 | 378 | 379 | 446 | 447 | 514 | 515 | 582 | 583 | 650 | 651 | 718 | 719 | 726 | 727 | 794 | 795 | 862 | 863 | 30 | 31 |
| 161 | 164 | 229 | 232 | 297 | 300 | 305 | 308 | 373 | 376 | 441 | 444 | 509 | 512 | 577 | 580 | 645 | 648 | 713 | 716 | 721 | 724 | 789 | 792 | 857 | 860 | 25 | 28 | 93 | 96 |
| 163 | 162 | 231 | 230 | 299 | 298 | 307 | 306 | 375 | 374 | 443 | 442 | 511 | 510 | 579 | 578 | 647 | 646 | 715 | 714 | 723 | 722 | 791 | 790 | 859 | 858 | 27 | 26 | 95 | 94 |
| 225 | 228 | 293 | 296 | 301 | 304 | 369 | 372 | 437 | 440 | 505 | 508 | 573 | 576 | 641 | 644 | 709 | 712 | 777 | 780 | 785 | 788 | 853 | 856 | 21 | 24 | 89 | 92 | 157 | 160 |
| 227 | 226 | 295 | 294 | 303 | 302 | 371 | 370 | 439 | 438 | 507 | 506 | 575 | 574 | 643 | 642 | 711 | 710 | 779 | 778 | 787 | 786 | 855 | 854 | 23 | 22 | 91 | 90 | 159 | 158 |
| 289 | 292 | 357 | 360 | 365 | 368 | 433 | 436 | 501 | 504 | 569 | 572 | 637 | 640 | 705 | 708 | 773 | 776 | 781 | 784 | 849 | 852 | 17 | 20 | 85 | 88 | 153 | 156 | 221 | 224 |
| 291 | 290 | 359 | 358 | 367 | 366 | 435 | 434 | 503 | 502 | 571 | 570 | 639 | 638 | 707 | 706 | 775 | 774 | 783 | 782 | 851 | 850 | 19 | 18 | 87 | 86 | 155 | 154 | 223 | 222 |
| 353 | 356 | 361 | 364 | 429 | 432 | 497 | 500 | 565 | 568 | 633 | 636 | 701 | 704 | 769 | 772 | 837 | 840 | 845 | 848 | 13 | 16 | 81 | 84 | 149 | 152 | 217 | 220 | 285 | 288 |
| 355 | 354 | 363 | 362 | 431 | 430 | 499 | 498 | 567 | 566 | 635 | 634 | 703 | 702 | 771 | 770 | 839 | 838 | 847 | 846 | 15 | 14 | 83 | 82 | 151 | 150 | 219 | 218 | 287 | 286 |
| 417 | 420 | 425 | 428 | 493 | 496 | 561 | 564 | 629 | 632 | 697 | 700 | 765 | 768 | 833 | 836 | 841 | 844 | 9 | 12 | 77 | 80 | 145 | 148 | 213 | 216 | 281 | 284 | 349 | 352 |
| 419 | 418 | 427 | 426 | 495 | 494 | 563 | 562 | 631 | 630 | 699 | 698 | 767 | 766 | 835 | 834 | 843 | 842 | 11 | 10 | 79 | 78 | 147 | 146 | 215 | 214 | 283 | 282 | 351 | 350 |
| 421 | 424 | 489 | 492 | 557 | 560 | 625 | 628 | 693 | 696 | 761 | 764 | 829 | 832 | 897 | 900 | 5 | 8 | 73 | 76 | 141 | 144 | 209 | 212 | 277 | 280 | 345 | 348 | 413 | 416 |
| 423 | 422 | 491 | 490 | 559 | 558 | 627 | 626 | 695 | 694 | 763 | 762 | 831 | 830 | 899 | 898 | 7 | 6 | 75 | 74 | 143 | 142 | 211 | 210 | 279 | 278 | 347 | 346 | 415 | 414 |

## Dica

Dicas para solucionar o quadrado mágico 3x3:
* O total que se quer obter em todos os sentidos deverá ser dividido por 3. O que resultará no número a ser colocado no centro do quadrado.
* Os números a serem colocados nos cantos deverão ser pares se o centro for ímpar, ou vice e versa.
* O último número a ser colocado deverá ser o centro mais 4.
Essas regras só valem se os números forem múltiplos de 3. Ex: 15, 18, 21, 24, 27, 30 etc.

## Quadrado de Dürer

O chamado “Quadrado de Dürer” é um Quadrado Mágico representado no canto superior direito da gravura Melancolia, obra do pintor e ilustrador alemão Albrecht Dürer, que também teve interesse em matemática, geometria, geografia e arquitetura. Aqui se apresenta a disposição dos números no quadrado:
| 16 | 3 | 2 | 13 |
| 5 | 10 | 11 | 8 |
| 9 | 6 | 7 | 12 |
| 4 | 15 | 14 | 1 |
Trata-se de um quadrado mágico 4 x 4 com os números de 1 a 16, o qual apresenta as seguintes particularidades
* Na linha inferior, nas duas casas centrais, estão lado a lado os números 15 e 14 formando 1514, data da confecção da obra.
* Nessa mesma linha, nos quadrados extremos, estão os números 4 (a 4ª letra é D) e 1 (a 1ª letra é A), de “Dürer, Albrecht”.
* A soma dos números de qualquer das linhas é sempre 34
* A soma dos números de qualquer das duas diagonais do quadro é também 34
* A soma dos 4 números que ficam nos cantos do quadrado é 34
* A soma dos 4 números das 4 casas centrais é 34
* A soma dos 2 números centrais da linha do alto com os 2 centrais da linha de baixo é 34
* A soma dos 2 números centrais da coluna direita com os 2 centrais da coluna esquerda é 34
* A soma dos números dos dois quadrados contíguos à casa extrema esquerda em cima com aqueles dos dois contíguos à casa extrema direita em baixo é 34
* A soma dos números dos dois quadrados contíguos à casa extrema direita em cima com aqueles dos dois contíguos à casa extrema esquerda em baixo é 34. (ver abaixo estas 2 últimas somas)
Em negrito 3 + 5 + 12 + 14 = 34; em itálico 2 + 8 + 9 + 15 = 34
| 16 | 3 | (2) | 13 |
| 5 | 10 | 11 | (8) |
| (9) | 6 | 7 | 12 |
| 4 | (15) | 14 | 1 |
* Curiosidade:O quadrado de Dürer foi usado no livro de Dan Brown o símbolo perdido
* A Editora 34 traz em seus livros o quadrado de Dürer.

## Na Astrologia

Eis a relação entre as casas e os planetas:
* Quadrado de 3, compreendendo 9 casas: Saturno;
* Quadrado de 4, compreendendo 16 casas: Júpiter;
* Quadrado de 5, compreendendo 25 casas: Marte;
* Quadrado de 6, compreendendo 36 casas: Sol
* Quadrado de 7, compreendendo 49 casas: Vênus;
* Quadrado de 8, compreendendo 64 casas: Mercúrio;
* Quadrado de 9, compreendendo 81 casas: Lua;
* Quadrado de 10, compreendendo 100 casas: Terra
Saturno=15 :
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
Júpiter=34 :
| 4 | 14 | 15 | 1 |
| 9 | 7 | 6 | 12 |
| 5 | 11 | 10 | 8 |
| 16 | 2 | 3 | 13 |
Marte=65 :
| 11 | 24 | 7 | 20 | 3 |
| 4 | 12 | 25 | 8 | 16 |
| 17 | 5 | 13 | 21 | 9 |
| 10 | 18 | 1 | 14 | 22 |
| 23 | 6 | 19 | 2 | 15 |
Sol=111 :
| 6 | 32 | 3 | 34 | 35 | 1 |
| 7 | 11 | 27 | 28 | 8 | 30 |
| 19 | 14 | 16 | 15 | 23 | 24 |
| 18 | 20 | 22 | 21 | 17 | 13 |
| 25 | 29 | 10 | 9 | 26 | 12 |
| 36 | 5 | 33 | 4 | 2 | 31 |
Vênus=175 :
| 22 | 47 | 16 | 41 | 10 | 35 | 4 |
| 5 | 23 | 48 | 17 | 42 | 11 | 29 |
| 30 | 6 | 24 | 49 | 18 | 36 | 12 |
| 13 | 31 | 7 | 25 | 43 | 19 | 37 |
| 38 | 14 | 32 | 1 | 26 | 44 | 20 |
| 21 | 39 | 8 | 33 | 2 | 27 | 45 |
| 46 | 15 | 40 | 9 | 34 | 3 | 28 |
Mercúrio=260 :
| 8 | 58 | 59 | 5 | 4 | 62 | 63 | 1 |
| 49 | 15 | 14 | 52 | 53 | 11 | 10 | 56 |
| 41 | 23 | 22 | 44 | 45 | 19 | 18 | 48 |
| 32 | 34 | 35 | 29 | 28 | 38 | 39 | 25 |
| 40 | 26 | 27 | 37 | 36 | 30 | 31 | 33 |
| 17 | 47 | 46 | 20 | 21 | 43 | 42 | 24 |
| 9 | 55 | 54 | 12 | 13 | 51 | 50 | 16 |
| 64 | 2 | 3 | 61 | 60 | 6 | 7 | 57 |
Lua=369 :
| 37 | 78 | 29 | 70 | 21 | 62 | 13 | 54 | 5 |
| 6 | 38 | 79 | 30 | 71 | 22 | 63 | 14 | 46 |
| 47 | 7 | 39 | 80 | 31 | 72 | 23 | 55 | 15 |
| 16 | 48 | 8 | 40 | 81 | 32 | 64 | 24 | 56 |
| 57 | 17 | 49 | 9 | 41 | 73 | 33 | 65 | 25 |
| 26 | 58 | 18 | 50 | 1 | 42 | 74 | 34 | 66 |
| 67 | 27 | 59 | 10 | 51 | 2 | 43 | 75 | 35 |
| 36 | 68 | 19 | 60 | 11 | 52 | 3 | 44 | 76 |
| 77 | 28 | 69 | 20 | 61 | 12 | 53 | 4 | 45 |
Terra = 505
Terra = 505 :
| 1 | 99 | 98 | 4 | 95 | 6 | 7 | 93 | 92 | 10 |
| 90 | 12 | 13 | 87 | 16 | 85 | 84 | 18 | 19 | 81 |
| 80 | 22 | 23 | 27 | 75 | 76 | 74 | 28 | 29 | 71 |
| 31 | 69 | 68 | 34 | 36 | 65 | 37 | 63 | 62 | 40 |
| 50 | 49 | 53 | 47 | 45 | 46 | 57 | 58 | 59 | 41 |
| 51 | 52 | 48 | 54 | 55 | 56 | 44 | 43 | 42 | 60 |
| 61 | 39 | 38 | 64 | 66 | 35 | 67 | 33 | 32 | 70 |
| 30 | 72 | 73 | 77 | 26 | 25 | 24 | 78 | 79 | 21 |
| 20 | 82 | 83 | 17 | 86 | 15 | 14 | 88 | 89 | 11 |
| 91 | 9 | 8 | 94 | 5 | 96 | 97 | 3 | 2 | 100 |