Derivada
# Derivada

No cálculo, a derivada em um ponto de uma função $y=f(x)$ representa a taxa de variação instantânea de $y$ em relação a $x$ neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo, a função aceleração é a derivada da função velocidade. Geometricamente, a derivada no ponto $x=a$ de $y=f(x)$ representa a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função no ponto $(a,~f(a))$. A função que a cada ponto $x$ associa a derivada neste ponto de $f(x)$ é chamada de função derivada de f(x).

## Notação

Duas distintas notações são comumente utilizadas para a derivada, o resultante de Leibniz e o outro a partir de Joseph Louis Lagrange.
Na notação de Leibniz, uma mudança infinitesimal em x é denotada por dx, e a derivada de y em relação a x é escrito ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\,\!$.
sugerindo que a razão de duas quantidades infinitesimais (A expressão acima é lido como "a derivada de y em relação a x", "dy por dx", ou "dy sobre dx". A forma oral dydx é usado frequentemente em tom de conversa, embora possa levar à confusão).
Na notação de Lagrange, a derivada em relação a x de uma função F(x) é denotada f'(x) ou fx'(x), em caso de ambiguidade da variável implicada pela derivação. A notação de Lagrange é por vezes incorretamente atribuída a Newton.

## Definição

Seja $I$ um intervalo aberto não-vazio e seja $f:I\to \mathbb {R}$, $y=f(x)$, uma função de $I$ em $\mathbb {R}$. Diz-se que função $f(x)$ é derivável no ponto $a\in I$ se existir o seguinte limite:
    $f'(a)=\lim _{x\rightarrow a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$.
Se for esse o caso, o número real $f'(a)$ é chamado de derivada da função $f$ no ponto $a$. Notações equivalentes são:
$f'(a)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a)=\left.{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=a}$.
Equivalentemente, escrevemos:
$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$
o que é obtido fazendo $h=x-a$ no limite acima. Desta forma, define-se a função derivada de $f(x)$ por:
$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$
para todo $x$ para o qual este limite existe.
Uma função é dita derivável (ou diferenciável) quando sua derivada existe em cada ponto do seu domínio.
| Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente. | Inclinação da secante ao gráfico de f | Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x) |
Seja f uma função real definida em uma vizinhança aberta de um número real a.
Na geometria clássica, a linha tangente ao gráfico da função f em a foi a única linha que passou pelo ponto (a, f(a)) que não encontrou o gráfico de f transversalmente, significando que a linha não passou diretamente pelo gráfico.
O declive da secante ao gráfico de f, na imagem acima, que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:
    ${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$.
Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φ$_a$ de I em R contínua em a tal que
    $(\forall x\in I):f(x)=f(a)+\varphi _{a}(x)\cdot (x-a)$.
Então define-se a derivada de f em a como sendo φ$_a$(a).
Funções com valores em R$^{n}$
Se $I$ for um intervalo de $\mathbb {R}$ com mais do que um ponto e se $f$ for uma função de $I$ em $\mathbb {R} ^{n}$, para algum número natural $n$, as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função
    ${\begin{array}{rccc}f\colon &\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} ^{2}\\&x&\mapsto &(\cos(x),\operatorname {sen} (x))\end{array}}$ (ou seja: uma função que a cada x do domínio em $\mathbb {R}$ responde com uma coordenada no contradomínio em $\mathbb {R} ^{n}$. Esta coordenada é $(\cos(x),\operatorname {sen} (x))$.
é derivável e
    $(\forall x\in \mathbb {R} ):f'(x)=(-\operatorname {sen} (x),\cos(x)).$
De fato, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, exceto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.

## Diferenciabilidade
### Derivabilidade num ponto

* Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$ e seja $f$ uma função de $I$ em R derivável em $a$. Então $f$ é contínua em $a$. O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.
* Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$ e sejam $f$ e $g$ funções de $I$ em R deriváveis em $a$. Então as funções $f$ ± $g$, $f.g$ e (caso $g(a)$ ≠ $0$) $f/g$ também são deriváveis em $a$ e:
** $(f\pm g)'(a)=f'(a)\pm g'(a)$
** $(f.g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$
** $(f/g)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^{2}}}$
Em particular, se $c$ ∈ R, então $(c.f)'=c.f'$. Resulta daqui e de se ter $(f+g)'=f'+g'$ que a derivação é uma aplicação linear.
* Sejam $I$ e $J$ intervalos de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$, seja $f$ uma função de $I$ em $J$ derivável em $a$ e seja seja $g$ uma função de $J$ em R derivável em $f(a)$. Então $g$ o $f$ é derivável em $a$ e
    $(g\circ f)'(a)=g'(f(a)).f'(a)$.
Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia.
* Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$ e seja $f$ uma função contínua de $I$ em R derivável em $a$ com derivada não nula. Então a função inversa $f^{-1}$ é derivável em $f(a)$ e
    $(f^{-1})'(f(a))={\frac {1}{f'(a)}}\cdot$
Outra maneira de formular este resultado é: se $a$ está na imagem de $f$ e se $f$ for derivável em $f^{-1}(a)$ com derivada não nula, então
    $(f^{-1})'(a)={\frac {1}{f'{\biglf^{-1}(a){\bigr )}}}\cdot$
Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais perto estará este de ser linear.
Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.

### Derivabilidade em todo o domínio

Diz-se que f é derivável ou diferenciável se o for em todos os pontos do domínio.
* Uma função derivável $f$ de $I$ em R é constante se e só se a derivada for igual a $0$ em todos os pontos. Isto é uma consequência do teorema da média.
* Uma função derivável $f$ de $I$ em R é crescente se e só se a derivada for maior ou igual a $0$ em todos os pontos. Isto também é uma consequência do teorema da média.
Uma função cuja derivada seja sempre maior que $0$ é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor $0$ em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R em R definida por $f(x)=x^{3}$. Naturalmente, existem enunciados análogos para funções decrescentes.
* Se $f$ for uma função derivável de $I$ em R, sendo $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, então $f'(I)$ também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este resultado é: se $f$ for uma função derivável de $[a,b]$ em R e se $y$ for um número real situado entre $f'(a)$ e $f'(b)$ (isto é, $f'(a)$ ≤ $y$ ≤ $f'(b)$ ou $f'(a)$ ≥ $y$ ≥ $f'(b)$), então existe algum $c$ ∈ $[a,b]$ tal que $f'(c)=y$. Este resultado é conhecido por teorema de Darboux.

### Funções continuamente deriváveis

Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto e seja $f$ uma função de $I$ em R. Diz-se que $f$ é continuamente derivável ou de classe $C^{1}$ se $f$ for derivável e, além disso, a sua derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é
    ${\begin{array}{rccc}f\colon &\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &{\begin{cases}x^{2}\mathop {\mathrm {sen} } ({\frac {1}{x}})&{\text{ se }}x\neq 0\\0&{\text{ se }}x=0{\text{,}}\end{cases}}\end{array}}$
pois o limite $\lim _{x\rightarrow 0}f'(x)$ não existe; em particular, f' não é contínua em $0$.

### Derivadas de ordem superior

Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a segunda derivada da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas subsequentes de f por:
    ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right),\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right)\right)$
e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é:
    ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{3}f}{\mathrm {d} x^{3}}}$
ou alternativamente,
    $f'(x),\quad f''(x),\quad f'''(x)$
ou ainda
    $f^{(1)}(x),\quad f^{(2)}(x),\quad f^{(3)}(x)$
Se, para algum k ∈ N, f for k vezes derivável e, além disso, f$^{(k)}$ for uma função contínua, diz-se que f é de classe C$^k$.
Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é infinitamente derivável ou indefinidamente derivável ou ainda de classe C$^∞$.

### Exemplos

Se $c$ ∈ R, a função $f$ de R em R definida por $f(x)=c$ é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a $0$ em todos os pontos, pois, para cada $a$ ∈ R:
    $\lim _{x\rightarrow a}{\frac {c-c}{x-a}}=0$.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir $\phi _{a}$ de R em R por $\phi _{a}(x)=0$, então $\phi _{a}$ é contínua e, para cada $x$ e cada $a$ reais, tem-se
    $c=c+0.(x-a)=c+\varphi _{a}(x).(x-a)$;
além disso, $f'(a)=\phi _{a}(a)=0$.
A função $f$ de R em R definida por $f(x)=x$ é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a $1$ em todos os pontos, pois, para cada $a$ ∈ R:
    $\lim _{x\rightarrow a}{\frac {x-a}{x-a}}=1$.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir $\phi _{a}$ de R em R por $\phi _{a}(x)=1$, então $\phi _{a}$ é contínua e, para cada $x$ e cada $a$ reais, tem-se
    $x=a+1.(x-a)=a+\varphi _{a}(x).(x-a)$;
além disso, $f'(a)=\phi _{a}(a)=1$.
A função $f$ de R em R definida por $f(x)=x^{2}$ é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada no ponto $a$ ∈ R é igual a $2a$, pois:
    $\lim _{x\rightarrow a}{\frac {x^{2}-a^{2}}{x-a}}=\lim _{x\rightarrow a}{\frac {(x-a)(x+a)}{x-a}}=\lim _{x\rightarrow a}x+a=2a$.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir $\phi _{a}$ de R em R por $\phi _{a}(x)=x+a$, então $\phi _{a}$ é contínua e, para cada $x$ e cada $a$ reais, tem-se
    $x^{2}=a^{2}+(x^{2}-a^{2})=a^{2}+\varphi _{a}(x).(x-a)$;
além disso, $f'(a)=\phi _{a}(a)=2a$.
A função módulo de R em R não é derivável em $0$ pois
    $(\forall x\in \mathbb {R} ):{\frac {|x|-|0|}{x-0}}={\begin{cases}1&{\text{ se }}x>0\\-1&{\text{ se }}x<0\end{cases}}$
No entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em $a$ é igual a $1$ quando $a>0$ e é igual a $-1$ quando $a<0$.

### Ponto de inflexão

Um ponto em que a segunda derivada de uma função muda de sinal é chamado de um ponto de inflexão. Em um ponto de inflexão, a segunda derivada pode ser zero, como no caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = x³, ou ele pode deixar de existir, como é o caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = $x^{\frac {1}{3}}\,\!$. Em um ponto de inflexão, uma função convexa passa a ser uma função côncava, ou vice-versa.

## Pontos críticos, estacionários ou singulares

Pontos onde a derivada da função é igual a $0$ chamam-se normalmente de pontos críticos. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a reta tangente é paralela ao eixo dos $x$. Estes pontos podem acontecer:
* onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados máximos locais da função
* onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais da função
* em pontos de inflexão (horizontais) da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função $f(x)=x^{3}$: no ponto $x=0$ a função tem um ponto de inflexão (horizontal).
* em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um exemplo típico é a função $f(x)=x^{2}sin(1/x)$
* em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a função constante. Um exemplo típico é a função f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0.
Os pontos críticos são ferramentas úteis para examinar e desenhar gráficos de funções.

## Derivadas notáveis

A derivada de uma função pode, em princípio, ser calculado a partir da definição, considerando o quociente de diferença, e computar o seu limite. Na prática, uma vez que as derivadas de algumas funções simples são conhecidos, as derivadas de outras funções são mais facilmente calculado usando regras para a obtenção de derivadas de funções mais complicadas das mais simples.
A maioria dos cálculos de derivadas, eventualmente, exige a tomada da derivada de algumas funções comuns. A seguinte lista incompleta é de algumas das funções mais frequentemente utilizadas de uma única variável real e seus derivados.
Alguns exemplos de derivadas notáveis são:
* A função exponencial natural y = e$^x$ = exp(x) cuja derivada é igual a si mesma, isto é:
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}.$
* A função logaritmo natural y = ln(x):
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\quad x>0.$
Estes dois fatos não são independentes. De fato, como o logaritmo natural é a inversa da função exponencial, resulta da igualdade ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}$ e da fórmula para a derivada da inversa que
    $(\forall x>0):\log '(x)=(\exp ^{-1})'(x)={\frac {1}{\exp '{\bigl\exp ^{-1}(x){\bigr )}}}={\frac {1}{\exp(\log(x))}}={\frac {1}{x}}\cdot$
Reciprocamente, supondo-se que, para cada $x>0$, $\log '(x)=1/x$, então $\exp '(x)=(\log ^{-1})'(x)={\frac {1}{\log '{\bigl\log ^{-1}(x){\bigr )}}}={\frac {1}{1/\exp(x)}}=\exp(x).$
* Também são notáveis as derivadas das funções trigonométricas:
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sin(x)=\cos(x).$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cos(x)=-\sin(x).$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\csc(x)=-\cot(x)\csc(x)$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cot(x)=-\csc ^{2}(x)$
* E funções Funções trigonométricas inversas:
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1.$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1.$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$
Neste último caso, as derivadas resultam das fórmulas para as derivadas das funções trigonométricas juntamente com a fórmula para a derivada da inversa e a fórmula fundamental da trigonometria.

### Regras para funções combinadas

Em muitos casos, a aplicação direta do quociente de diferença de Newton pode ser evitado usando regras de diferenciação, evitando complicados cálculos de limite. Algumas das regras mais básicas são as seguintes:
* Regra da constante: se f(x) é constante, então:
$f'=0.\,$
* Regra da soma:
$(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'\,$
para todas as funções f e g e todos os números reais $\alpha$ e $\ beta$
* Regra do produto:
$(fg)'=f'g+fg'\,$
para todas as funções f e g. Por conseguinte, isso significa que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\pi r^{2}=2\pi r.\,$
* Regra do quociente:
$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$
para todas as funções f e g, em que g ≠ 0.
* Regra da cadeia:
Se $f(x)=h(g(x)),$
então:
$f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).\,$

### Exemplo de uso

A derivada de $f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,$
é ${\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {\mathrm {d} \left(x^{2}\right)}{\mathrm {d} x}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln {x}{\frac {\mathrm {d} \left(e^{x}\right)}{\mathrm {d} x}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}$
As derivadas conhecidas de funções elementares $x^{2},x^{4},$ sen(x) e $exp(x)=e^{x}$, assim como a constante 7, também foram usadas.

## Funções de uma variável complexa

Se A for um conjunto de números complexos, se f for uma função de A em C e se a for um ponto não isolado de A (isto é, se tão perto quanto se queira de a houver outros elementos de A), então as duas definições da derivada de f no ponto a continuam a fazer sentido. De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, mais uma vez, as que dizem respeito à monotonia de funções.

## Física

Uma das mais importantes aplicações da Análise à Física (senão a mais importante), é o conceito de derivada temporal — a taxa de mudança ao longo do tempo — que é necessária para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as derivadas temporais da posição s de um objecto são importantes na física newtoniana:
* Velocidade (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior à Análise) v é a derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto.
* Aceleração a é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.
Posto de outro modo:
    ${\begin{aligned}v(t)&={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\\a(t)&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\end{aligned}}$
Por exemplo, se a posição de um objecto é s(t) = −16t² + 16t + 32, então a velocidade do objecto é s′(t) = −32t + 16 e a aceleração do objecto é s′′(t) = −32. Uma forma de enunciar a segunda lei de Newton é F = dp/dt , sendo p o momento linear do objecto.

## Derivadas em maiores dimensões

Em dimensão 1, as derivadas são pensadas como números pois, nesta dimensão, um número e uma transformação linear são a mesma coisa. Entretanto, para dimensões maiores, as derivadas necessitam ser tratadas como transformações lineares.

### Derivadas de funções vetoriais

Uma função vetorial y(t) de uma variável real de uma variável real envia números reais de vetores em $R^{n}$ algum espaço vetorial. A função vetorial pode ser dividido em suas funções coordenadas y1(t), y2(t),...,yn(t), significando que y(t) = ($y_{1}$ (t), ..., $y_{n}$ (t)). Isto inclui, por exemplo, curvas paramétricas em R² ou R³.
As funções de coordenadas são funções de valores reais, de modo que a definição acima de derivada aplica-se a eles. A derivada de y (t) é definida como sendo o vetor, chamado o vetor tangente, cujas coordenadas são as derivadas das funções de coordenadas. Isto é,
$\mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),\ldots ,y'_{n}(t)).$
equivalentemente,
$\mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},$ se o limite existe.
A subtração no numerador é a subtração de vetores, não escalares. Se a derivada de y existe para cada valor de t, então y' é outra função vetorial.
Se $e_{1}$, ..., $e_{n}$ é a base padrão para $R^{n}$, então y (t) também pode ser escrito como $y_{1}$(t)$e_{1}$ + ... + $y_{n}$(t)$e_{n}$. Se assumirmos que a derivada de uma função vetorial mantém a propriedade da linearidade, então a derivada de y (t) deve ser
$y'_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+\cdots +y'_{n}(t)\mathbf {e} _{n}$
porque cada um dos vetores de base é uma constante.
Esta generalização é útil, por exemplo, se y (t) é o vetor de posição de uma partícula no tempo t; em seguida, o derivado y '(t) é o vetor de velocidade da partícula no tempo t.

### Derivadas parciais

Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de derivada parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função para uma determinada variável, enquanto as outras se mantêm fixadas. No gráfico, é usada para determinar a variação da função em um determinado eixo. Derivadas parciais são representadas como, por exemplo, ∂z/∂x, sendo x a variável fixada sobre uma função em z.
Suponha que f é uma função que depende mais de uma variável, por exemplo,
$f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,$
f pode ser reinterpretado como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras variáveis:
$f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,$
Em outras palavras, cada valor de x escolhe uma função, denotando $f_{x}$, que é uma função de um número real. Ou seja,
$x\mapsto f_{x},\,$
$f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,$
Uma vez que um valor de x é escolhido, digamos a, então f(x,y) determina a função $f_{a}$ que envia y a a2+ay+y2:
$f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.\,$
Nesta expressão, a é uma constante, e não uma variável, de modo que $f_{a}$ é uma função de uma única variável real. Consequentemente, a definição da derivada para uma função de uma variável aplica-se:
$f_{a}'(y)=a+2y.\,$
O procedimento acima pode ser realizada por qualquer escolha de a. Montando as derivadas juntas em uma função, dá uma função que descreve a variação de f na direção y:
${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.$
Esta é a derivada parcial de f em relação a y. Aqui, ∂ é o símbolo derivada parcial.
Em geral, a derivada parcial de uma função f ($x_{1}$, ..., $x_{n}$) na direção de $x_{i}$, no ponto ($a_{1}$ ..., $a_{n}$) é definido como sendo:
${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.$
Na diferença de quociente acima, todas as variáveis, exceto $x_{i}$, são mantidos fixos. Essa escolha de valores fixos determina uma função de uma variável.
{$f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$
e por definição,
${\frac {\mathrm {d} f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).$
Em outras palavras, as diferentes opções de classificar uma família de funções de uma variável tal como no exemplo acima. Esta expressão também mostra que o cálculo das derivadas parciais reduz para o cálculo dos derivados de uma variável.
Um exemplo importante de uma função de várias variáveis é o caso de uma função de valor escalar f ($x_{1}$, ..., $x_{n}$) em um domínio no espaço Euclidiano $R^{n}$ (por exemplo, em R² ou R²). Neste caso, f tem uma derivada parcial ∂f / ∂xj em relação a cada variável $x_{j}$. No ponto a, estas derivadas parciais definem o vetor
$\nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).$
Este vetor é denominado gradiente de f em a. Se f é diferenciável em todos os pontos em algum domínio, então o gradiente é uma função vetorial ∇f que leva o ponto a para o vetor ∇f(a).
Consequentemente, o gradiente determina um campo vetorial.

### Derivadas direcionais

Se f é uma função com valores reais em $R^{n}$, então a derivada parcial de f mede a sua variação na direção dos eixos das coordenadas. Por exemplo, se f é uma função de x e y, então sua derivada parcial mede a variação em f na direção x e na direção y. Contudo, elas (derivadas parciais) não medem diretamente a variação de f em qualquer outra direção, tal como aquela ao longo da linha diagonal y=x. Estas são medidas usando-se as derivadas direcionais. Escolha um vetor:
$\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).$
A derivada direcional de f na direção de v no ponto x é o limite
$D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.$
Em alguns casos pode ser mais fácil computar ou estimar a derivada direcional depois de mudar o comprimento do vetor. Frequentemente isso é feito para transformar o problema numa computação de uma derivada direcional na direção de um vetor unitário. Para ver como isso funciona, suponha v = λu. Substitua h = k/λ no quociente da diferença.
O quociente da diferença torna-se:
${\frac {f(\mathbf {x} +(k/\lambda )(\lambda \mathbf {u} ))-f(\mathbf {x} )}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f(\mathbf {x} +k\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{k}}.$
Isso é λ vezes o quociente da diferença para a derivada direcional de f no que diz respeito a u. Além disso, tomar o limite como h tendendo a zero é o mesmo que tomar o limite como k tendendo a zero, pois h e k são múltiplos um do outro.
Portanto, Dv(f) = λDu(f). Devido a essa propriedade de redirecionamento, derivadas direcionais são frequentemente consideradas apenas para vetores unitários.
Se todas as derivadas parciais de f existem e são contínuas em x, então elas determinam a derivada direcional de f na direção de v pela fórmula:
$D_{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.$
Essa é a consequência da definição de derivada total. Diz-se que a derivada direcional é linear em v, significando que D$_{V}$ + $_{W}$(f) = D$_{V}$(f) + D$_{W}$(f).
A mesma definição também é aplicável quando f é a função com valores em $R^{m}$. . A definição acima é aplicada a cada componente dos vetores. Nesse caso, a derivada direcional é um vetor em $R^{m}$.

## Derivadas de aplicações

Sejam $U$ um aberto de ${\mathbb {R} }^{m}$, $z_{0}\in U$ e $f:U\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$ uma função. Dizemos que $f$ é diferenciável quando existem uma transformação linear $T:{\mathbb {R} }^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$ e uma função $r:\{z-z_{0}:z\in U\}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$ dada por $r(h)=f(z_{0}+h)-f(z_{0})-T.h$ tais que
$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {r(h)}{|h|}}=0$.
Neste caso, a aplicação $T$ é chamada de derivada da função $f$ no ponto $z_{0}$ e denotada por $Df(z_{0})$. Em outras palavras
$Df(z_{0})=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f(x+tz_{0})-f(x)}{t}}.$

### Exemplos

* Se $f:U\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, $z_{0}\in U$ e $h\in \mathbb {R}$, então $Df(z_{0})h=h.f'(z_{0}).$
* Se $f:U\subset \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$, $z_{0}\in U$ e $h\in \mathbb {R} ,$ então $Df(z_{0})h=h.(f_{1}'(z_{0}),f_{2}'(z_{0}),...,f_{n}'(z_{0})).$
* Se $f:U\subset \mathbb {R} ^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }$, $z_{0}\in U$ e $h=(h_{1},\cdots ,h_{m})\in \mathbb {R} ^{m},$ então $Df(z_{0})h=h_{1}.{\partial f \over \partial x_{1}}(z_{0})+\cdots +h_{m}.{\partial f \over \partial x_{m}}(z_{0})$
* Se $f:U\subset \mathbb {R} ^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$, $z_{0}\in U$ e $h\in \mathbb {R} ^{n},$ então $Df(z_{0})h=(h.\nabla f_{1}(z_{0}),\cdots ,h.\nabla f_{n}(z_{0}))$
Nesta definição, podemos considerar a derivada parcial de uma aplicação como sendo
${\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(x)=Df(x)e_{j}.$
Podemos repensar nessa igualdade. Se observarmos que $e_{j}x$ corresponde à $j$-ésima coordenada de $x$ e que a $j$-ésima coordenada de $\nabla f(z_{0})$ é ${\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(z_{0})$ segue que ${\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(z_{0})=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{j}}}(z_{0}),\cdots ,{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{j}}}(z_{0})\right)$