Lei de Biot-Savart
# Lei de Biot-Savart

A Lei de Biot-Savart é uma equação do Eletromagnetismo que fornece o campo magnético $\mathbf {B}$ gerado por uma corrente elétrica $\mathbf {I}$ constante no tempo. Essa equação é válida no domínio da Magnetostática. Podemos dizer que a Lei de Biot-Savart é o ponto de partida para a Magnetostática, tendo assim um papel semelhante à Lei de Coulomb na Eletrostática.

## Motivação histórica

Já no século XVII havia, dentro da comunidade científica, a suspeita de que fenômenos elétricos e magnéticos pudessem estar interligados. Isso motivou o físico Hans Christian Oersted a conduzir experimentos para observar o efeito da eletricidade numa agulha magnética. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao se posicionar um fio condutor de um circuito elétrico fechado paralelamente à agulha, essa sofria uma deflexão significativa em relação à sua direção inicial. Oersted publicou os resultados de seu experimento em julho de 1820, limitando-se a uma descrição qualitativa do fenômeno.
A descoberta de Oersted foi divulgada em setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudiosos na França a repetirem e estenderem seus experimentos. A primeira análise precisa do fenômeno foi publicada pelos físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os quais conseguiram formular uma lei que descrevia matematicamente o campo magnético produzido por uma distribuição de corrente elétrica.

## A equação
### Distribuições unidimensionais

Para distribuições unidimensionais de corrente, a lei de Biot-Savart possui a seguinte forma:
    $\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {I(r')} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}dl'$
Nessa equação, $dl'$ é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do trajeto da corrente, $\mathbf {I}$ é o vetor corrente elétrica e ${\hat {\boldsymbol {\eta }}}$ é o versor ao longo da linha que une o elemento infinitesimal de comprimento $dl'$, cuja posição é $\mathbf {r'}$, ao ponto de cálculo do campo $\mathbf {r}$:
    ${\hat {\boldsymbol {\eta }}}={\frac {\boldsymbol {\eta }}{|{\boldsymbol {\eta }}|}}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r'} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}$,
e a constante $\mu _{0}$ é a chamada permeabilidade magnética do vácuo

### Distribuições bidimensionais

Podemos escrever uma expressão análoga para distribuições bidimensionais de corrente:
$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {K} \mathbf {(r')} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}da'$
Onde $\mathbf {K} \mathbf {(r')}$ é a corrente por unidade de comprimento-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade superficial de corrente. Escreve-se:
$\mathbf {K} \mathbf {(r')} ={\frac {d\mathbf {I} }{dl_{\perp }}}$

### Distribuições tridimensionais

Para distribuições tridimensionais de corrente: $\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J(r')} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}d\tau '$
Onde $\mathbf {J} \mathbf {(r')}$ é a corrente por unidade de área-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade volumétrica de corrente. Escreve-se:
$\mathbf {J} \mathbf {(r')} ={\frac {d\mathbf {I} }{da_{\perp }}}$
Notamos também que o elemento infinitesimal de comprimento $d\mathbf {l'}$ deve ser substituído pelo elemento infinitesimal de área $d\mathbf {a'}$ no caso de distribuições de corrente bidimensionais, e pelo elemento infinitesimal de volume $d\mathbf {\tau '}$ no caso de distribuições de corrente tridimensionais. Em todos os casos expostos nessa sessão, as correntes envolvidas são estacionárias.

## Aplicações
### Campo de uma corrente retilínea num fio condutor

A Lei de Biot-Savart pode ser empregada para calcular o campo magnético que uma corrente estacionária de intensidade $I$ passando por um fio retilíneo infinito causa num ponto $P$ a uma distância $R$ do fio. Pela regra da mão direita vemos que o produto vetorial $d\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}}$, para $R$ fixo, está contido em círculos de raio $R$ em torno do fio. O versor ao longo de tais círculos é representado por ${\hat {\boldsymbol {\phi }}}$. Trabalhando em termos do ângulo $\theta$: $dl'\sin \alpha =dl'\cos \theta$
Como $l'=R\tan \theta$: $dl'={\frac {R}{\cos ^{2}\theta }}d\theta$
E como $R=r\cos \theta$: ${\frac {1}{r^{2}}}={\frac {\cos ^{2}\theta }{R^{2}}}$
Para um trecho de fio indo de $\theta _{1}$ a $\theta _{2}$:
$\mathbf {B(r)} ={\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left({\frac {\cos ^{2}\theta }{R^{2}}}\right)\left({\frac {R}{\cos ^{2}\theta }}\right)\cos \theta d\theta ={\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\mu _{0}I}{4\pi R}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\cos \theta d\theta ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R}}(\sin \theta _{2}-\sin \theta _{1})$
Se o fio for infinito, então $\theta _{1}=-{\frac {\pi }{2}}$ e $\theta _{2}={\frac {\pi }{2}}$ e a expressão fica apenas: $\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{2\pi R}}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}$

### Campo no centro de um polígono de n lados

De acordo com o raciocínio empregado anteriormente, o campo gerado no centro de um quadrado por um de seus lados vale: $\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R}}(\sin \theta _{2}-\sin \theta _{1})\mathbf {\hat {z}} ,$
já que o campo gerado por cada lado aponta na direção perpendicular ao plano do quadrado (ou seja, se o quadrado estiver contido no plano xy, o campo apontará na direção de z positivo). Pelo princípio de superposição, o campo gerado pelo quadrado é apenas a soma dos campos gerados por cada um de seus lados: $\mathbf {B({\textrm {centro}})} ={\sqrt {2}}{\frac {\mu _{0}I}{\pi R}}\mathbf {\hat {z}}$
onde $R$ é a menor distância do centro do quadrado até um de seus lados. Podemos generalizar esse resultado para um polígono de n lados fazendo $\theta _{1}=-\theta _{2}=-{\frac {\pi }{n}}$. Então obtemos: $\mathbf {B} =n{\frac {\mu _{0}I}{2\pi R}}\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\mathbf {\hat {z}}$

### Campo de uma espira circular no eixo

Consideremos uma espira circular de raio $R$ percorrida por uma corrente estacionária de intensidade $I$. Podemos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético a uma distância $z$ do eixo. Lembrando que: $\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {I} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}dl'$
No caso da espira circular: $\eta ={\sqrt {z^{2}+R^{2}}}$
Por questões de simetria, sobre o eixo as componentes do campo paralelas ao plano da espira se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo. Da figura vê-se que: $\sin \alpha ={\frac {R}{r}}={\frac {R}{\sqrt {z^{2}+R^{2}}}}$
Logo: $\mathbf {B} ({\text{eixo}})=\mathbf {\hat {z}} {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int {\frac {dl}{\eta ^{2}}}\sin \alpha =\mathbf {\hat {z}} {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I{\frac {R}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}}}\int dl={\frac {\mu _{0}}{2}}I{\frac {R^{2}}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}}}\mathbf {\hat {z}}$

### Direção das linhas de campo magnético

Mesmo quando utilizar a Lei de Biot-Savart para calcular o valor do campo numa região não é a estratégia mais eficiente, ela pode nos dar informações sobre a direção das linhas de campo. Para um elemento infinitesimal de corrente, temos:
    $d\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {d\mathbf {l} \times {\hat {\boldsymbol {r}}}}{r^{2}}}$
que nos diz que em cada ponto, o campo magnético terá a direção do pseudo-vetor $d\mathbf {l} \times {\hat {\mathbf {r} }}$, que é dada pela regra da mão direita. Se posicionarmos o polegar na direção de um elemento de corrente e curvarmos nossos dedos de forma a envolvê-lo, obteremos a direção das linhas de campo naquele ponto.