Integral singular
# Integral singular

Em matemática, as integrais singulares são centrais na análise harmônica e estão intimamente relacionadas com o estudo das equações diferenciais parciais. De modo geral, uma integral singular é um operador integral da forma:
    $T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,$
cuja função núcleo K : R$^n$×R$^n$ → R é singular ao longo da diagonal x = y. Especificamente, a singularidade é tal que |K(x, y)| é assintoticamente de tamanho |x − y|$^{−n}$ como |x − y| → 0. Uma vez que tais integrais não são em geral absolutamente integráveis, uma definição rigorosa deve defini-las como o limite da integral no domíno restrito a |y − x| > ε quando ε → 0, mas na prática, isso é apenas uma tecnicalidade. Geralmente ainda são necessárias hipóteses para a obtenção de resultados, tais como a sua limitação em L$^p$(R$^n$).

## A transformada de Hilbert

O arquétipo do operador integral singular é a transformada de Hilbert H. É dada pela convolução com o kernel K(x) = 1/(πx) para x na reta real. Mais precisamente,
    $H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|x-y|>\varepsilon }{\frac {1}{x-y}}f(y)\,dy.$
A mais simples e direta extensão de maior dimensão são as transformadas de Riesz ,que substitui o núcleo K(x) = 1/x , com
    $K_{i}(x)={\frac {x_{i}}{|x|^{n+1}}}$
onde i = 1, ..., n e $$ é o i-ésimo componente de x em R$^n$. Todos esses operadores são limitados em L$^p$ e satisfazem estimativas fracas do tipo (1, 1).

## Integrais singulares do tipo convolução

Uma integral singular do tipo convolução é um operador T definido por convolução com um núcleo K que é localmente integrável em R$^n$\{0}, no sentido de que
    $T(f)(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|y-x|>\varepsilon }K(x-y)f(y)\,dy.$         (1)
Suponha que o núcleo satisfaz:
1. A condição de tamanho sobre sua transformada de Fourier de K
    ${\hat {K}}\in L^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})$
2. A condição de suavidade: para algum C > 0,
    $\sup _{y\neq 0}\int _{|x|>2|y|}|K(x-y)-K(x)|\,dx\leq C.$
Então, pode-se mostrar que T é limitado em L$^p$(R$^n$) e satisfaz estimativa fraca do tipo (1, 1).
Propriedade 1. É necessário garantir que a convolução (1) com o distribuição temperada p.v. K dada pelo valor principal da integral
    $\operatorname {p.v.} \,\,K[\phi ]=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\epsilon }\phi (x)K(x)\,dx$
é multiplicador de Fourier bem definido em L$^2$. Nenhuma das propriedades 1 ou 2 é necessariamente fácil de verificar, mas diversas condições suficientes existem. Normalmente em aplicações, também se tem uma condição de cancelamento:
    $\int _{R_{1}<|x|<R_{2}}K(x)\,dx=0,\ \forall R_{1},R_{2}>0$
o que é bastante fácil de verificar. Ele é automático, por exemplo, se K é uma função ímpar. Se, além disso, supõe-se a condição 2 e a seguinte condição de tamanho:
    $\sup _{R>0}\int _{R<|x|<2R}|K(x)|\,dx\leq C,$
então, pode-se mostrar que 1. segue.
A condição de suavidade 2. é também, muitas vezes, de difícil verificação a princípio. A seguinte condição suficiente pode ser usada:
* $K\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\})$
* $|\nabla K(x)|\leq {\frac {C}{|x|^{n+1}}}$
Observe que estas condições são satisfeitas para a transformada de Hilbert e Riesz transforma, de modo que este resultado é uma extensão dos resultados.

## Integrais singulares de tipo não-convolucionais

Esta é uma classe de operadores ainda mais gerais. No entanto, diante destas hipóteses mais fracas, estes operadores nem sempre são limitados em L$^p$.

### Núcleos de Calderón–Zygmund

Uma função K : R$^n$×R$^n$ → R é dita ser um núcleo de Calderón–Zygmund se ela satisfaz as seguintes condições para algumas constantes C > 0 e δ > 0.
    $(a)\qquad |K(x,y)|\leq {\frac {C}{|x-y|^{n}}}$
    $(b)\qquad |K(x,y)-K(x',y)|\leq {\frac {C|x-x'|^{\delta }}{{\bigl|x-y|+|x'-y|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ quando }}|x-x'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl|x-y|,|x'-y|{\bigr )}$
    $(c)\qquad |K(x,y)-K(x,y')|\leq {\frac {C|y-y'|^{\delta }}{{\bigl|x-y|+|x-y'|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ quando }}|y-y'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl|x-y'|,|x-y|{\bigr )}$

## Integrais singulares não-convolucionais

T é dito ser um operador integral singular não-convolucional associado ao núcleo de Calderón–Zygmund K se
    $\int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(x,y)f(y)\,dy\,dx,$
sempre que f e g são suaves e têm suporte disjunto. Tais operadores não precisam ser limitada em L$^p$

### Operadores de Calderón–Zygmund

Uma integral singular não-convolucional T associada a um núcleo de Calderón–Zygmund K é chamado de operador de Calderón–Zygmund quando ele é limitado em L$^2$, isto é, existe um C > 0 tal que
    $\|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}},$
para todas as funções ƒ suaves de suporte compacto.
Pode-se provar que tais operadores são, na verdade, também limitados em todo L$^p$ com 1 < p < ∞.

### A teorema T(b)

A teorema T(b) fornece condições suficientes para um operador integral singular ser um operador de Calderón–Zygmund, isto é, condições para que um operador integral singular associado a um núcleo de Calderón–Zygmund seja limitado em L$^2$. A fim de enunciar o resultado, é preciso primeiro definir alguns termos.
Um função de teste normalizada é uma função suave φ em R$^n$ cujo suporte está contido uma esfera de raio 1 e centrada na origem tal que |∂$^α$ φ(x)| ≤ 1, para todo multi-ī índice |α| ≤ n + 2. Denote por τ$^x$(φ)(y) = φ(y − x) e φ$_r$(x) = r$^{−n}$φ(x/r) para todo x em R$^n$ e r > 0. Um operador é dito fracamente limitado se existe uma constante C tal que
    $\left|\int T{\bigl\tau ^{x}(\varphi _{r}){\bigr )}(y)\tau ^{x}(\psi _{r})(y)\,dy\right|\leq Cr^{-n}$
para todas as funções de teste normalizadas φ e ψ. Uma função é dita ser acretiva se existe uma constante c > 0 tal que Re(b)(x) ≥ c para todo x em I. Denotar por M$_b$ o operador dado pela multiplicação por uma função de b.
A teorema T(b) afirma que um operador integral singular T associado a um núcleo de Calderón–Zygmund é limitado em L$^2$ se ele satisfaz todas as três condições que se seguem para duas funções acretivas limitadas quaisquer b$_1$ e b$_2$:
(a) é fracamente limitadas;
(b) é função de oscilação média limitada;
(c) é função de oscilação média limitada, onde T$^t$ é a transposta do operador T.