Hexadecácoro
# Hexadecácoro

Hexadecácoro :
| Diagrama Schlegel ||
| Tipo | Polítopo regular |
| Células | 16 {3,3} |
| Faces | 32 {3} |
| Arestas | 24 |
| Vértices | 8 |
| Figura de vértice | (Octaedro) |
| Símbolo de Schläfli | {3,3,4} |
| Polígono de Petrie | Octágono |
| Diagrama Coxeter-Dynkin | |
| Grupo de simetria | BC$_4$, [3,3,4], ordem 384 D$_4$, ordem 192 |
| Dual | Tesserato |
| Propriedades | convexo, isogonal, isotoxal, isoedral, quasiregular |
O Hexadecácoro é um polícoro (tipo de polítopo quadridimensional) delimitado por 16 faces tetraédricas. É um dos 6 polítopos regulares convexos de 4 dimensões descritos pela primeira vez pelo matemático suíço Ludwig Schläfli em meados do Século XIX. Também é conhecido como C$_{16}$ (derivado da denominação 16-cell em inglês), e hexadecaedroide.
O hexadecácoro regular pertence a uma família infinita de polítopos, chamados de ortoplexos. Seu polítopo dual é o Tesserato (4-cubo). Possui 16 células, assim como o tesserato tem 16 vértices. É uma forma regular formada por 16 tetraedros e é análogo ao tetraedro em 3 dimensões e ao triângulo em duas.

## Geometria

É delimitado por 16 células, sendo todas tetraedros regulares. Ele tem 32 faces triangulares, 24 arestas e 8 vértices. Os oito vértices do hexadecácoro são:
    $(\pm 1,0,0,0),(0,\pm 1,0,0),(0,0,\pm 1,0),(0,0,0,\pm 1).$
Todos os vértices são conectados por arestas, exceto os pares opostos. O símbolo de Schläfli para o hexadecácoro é {3,3,4}. Sua figura de vértice é o octaedro regular. Há oito tetraedros, 12 triângulos e seis arestas convergindo em cada vértice. Há quatro tetraedros e quatro triângulos se encontrando em cada extremidade. Pode-se decompor o hexadecácoro em duas disjunções como cadeias de 8 tetraedros cada, com 4 arestas. Cada cadeia A célula 16 pode ser decomposto em dois disjuntos como cadeias de round oito tetraedros cada, quatro bordas longas. Cada cadeia, quando esticada em linha reta, forma uma hélice de Boerdijk-Coxeter. Esta decomposição pode ser visto em um 4-4 duoantiprisma a partir da construção do hexadecácoro: ou , símbolo de Schläfli {2}⨂{2} ou s{2}s{2}, simetria [[4,2$^+$,4]], ordem 64. O hexadecácoro pode ser bisectado em duas pirâmides octaédricas,das quais compartilham uma nova base octaédrica através do centro do hexadecácoro.

## Imagens

| Projeção estereográfica | uma projeção em 3D do hexadecácoro a partir de uma rotação simples. | O hexadecácoro tem duas construções de Wythoff, uma forma regular e uma forma alternada, mostrada aqui como uma planificação. |

## Projeções ortogonais

Projeções Ortogonais :
| Plano de Coxeter | B$_4$ | B$_3$ / D$_4$ / A$_2$ | B$_2$ / D$_3$ |
| Grafo | | | |
| Simetria diedral | [8] | [6] | [4] |
| Plano de Coxeter | F$_4$ | A$_3$ |
| Grafo | | |
| Simetria diedral | [12/3] | [4] |

## Tesselações

Pode-se tesselar o hexadecácoro em um espaço euclidiano quadridimensional com 16 células regulares, produzindo o chamado favo de mel hexadecacórico, tendo símbolo de Schläfli {3,3,4,3}. Consequentemente, cada uma das 16 células tem um ângulo diedral de 120°. A tesselação dual, o favo de mel icositetracórico ({3,4,3,3}), é feito a partir do icositetrácoro (24-cell). Juntamente com o favo de mel tesserático ({4,3,3,4}), estas são as únicas pavimentações regulares em R $^4$.. Cada hexadecácoro contém 16 vizinhos com os quais compartilha um tetraedro, 24 vizinhos com os quais compartilha apenas uma aresta e 72 vizinhos com os quais partilha apenas um único ponto.

## Hélice de Boerdijk–Coxeter

Um hexadecácoro pode ser construído a partir de hélices de Boerdijk–Coxeter de 8 cadeias de tetraedros, cada uma se dobrada se tornando um anel quadridimensional. As 16 faces triangulares podem ser vistas em uma planificação 2D em um mosaico triangular, com 6 triângulos ao redor de cada vértice. As arestas em roxo representam o Polígono de Petrie do hexadecácoro.

## Projeções

A primeira projeção paralela das células do hexadecácoro no espaço 3D tem um formato cúbico. As células mais próximas e as mais distantes são projetadas em tetraedros inscritos dentro do cubo, o que corresponde a duas maneiras possíveis para inscrever um tetraedro regular em um cubo. Ao redor de cada um destes há 4 outros tetraedros (não regulares). As demais 6 células são projetadas nas faces quadradas do cubo. Nessa projeção, todas as bordas convergem para as faces cúbicas.
A primeira projeção em perspectiva das células do hexadecácoro no espaço 3D tem o formato de um tetraedro triakis. A disposição das células neste formato são semelhantes às da projeção paralela.
A projeção paralela dos vértices das células tem um formato octaédrico. Este octaedro pode ser dividido em 8 formas tetraédricas, por corte ao longo dos planos coordenados. Cada um destes é a imagem de um par de células presentes no hexadecácoro.
A primeira projeção das arestas das células tem um formato octaédrico encurtado, e a projeção paralela tem um formato bipiramidal hexagonal.

## Diagrama de Venn esférico

A projeção usual do hexadecácoro e suas 4 esferas que o intersectam (um diagrama de Venn de 4 dimensões) forma topologicamente um mesmo objeto no espaço 3D:

## Construções simétricas

Há uma forma simétrica reduzida do hexadecácoro, chamada de demitesserato ou 4-demicubo, um membro da família dos demihipercubos. e representado por h{4,3,3}, e ou .
Há também um antiprisma tetraédrico que pode ser construído a partir de dois tetraedros paralelos em configuraç~eos duais, conectado com8 tetraedros. É representado por s{2,4,3}, e .
Também há o 4-ortótopo Snub representado por s{2$^{1,1,1}$}, e ou .Com o tesserato construído como um 4-4 duoprisma, o hexadecácoro pode ser visto com seu dual como a 4-4 duopirâmide.
| Nome | Diagrama de Coxeter | Símbolo de Schläfli | Notação de Coxeter | Ordem |
| Hexadecácoro regular | | {3,3,4} | [3,3,4] | 384 |
| Demitesserato | = = | h{4,3,3} {3,3$^{1,1}$} | [3$^{1,1,1}$] = [1$^+$,4,3,3] | 192 |
| 4-4 duoprisma alternado | | 2s{4,2,4} | [[4,2$^+$,4]] | 64 |
| antiprisma tetraédrico | | s{2,4,3} | [2$^+$,4,3] | 48 |
| prisma quadrado alternado | | sr{2,2,4} | [(2,2)$^+$,4] | 16 |
| 4-ortótopo Snub | = | s{2$^{1,1,1}$} | [2,2,2]$^+$ = [2$^{1,1,1}$]$^+$ | 8 |
| 4-fusil |
| 4-fusil | | {3,3,4} | [3,3,4] | 384 |
| 4-fusil | | {4}+{4} or 2{4} | [[4,2,4]] = [8,2$^+$,8] | 128 |
| 4-fusil | | {3,4}+{ } | [4,3,2] | 96 |
| 4-fusil | | {4}+2{ } | [4,2,2] | 32 |
| 4-fusil | | { }+{ }+{ }+{ } or 4{ } | [2,2,2] | 16 |

## Relação de Euler

Para todo polítopo vale a relação de Euler:
    $V-A+F=C$
Onde:
* V é o número de vértices;
* A é o número de arestas;
* F é o número de faces;
* C é o número de células.
No caso do hexadecácoro, temos:
    $8-24+32=16$

## Fórmulas relacionadas
### Volume

A fórmula que descreve o volume do hexadecácoro em 4D é:
    $V_{4D}={\frac {a^{4}}{6}}$

### Área superficial

Existem 3 fórmulas que descrevem a área superficial do hexadecácoro, em 3D, 2D e 1D:
    $S_{3D}={\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\ a^{3}$
    $S_{2D}=8{\sqrt {3}}\ a^{2}$
    $S_{1D}=24\ a\,$

### Raio da esfera inscrita

O raio $\rho$ da esfera inscrita é:
    $\rho ={\frac {a}{2{\sqrt {2}}}}\,$

### Raio da esfera circunscrita

O raio $\rho$ da esfera circunscrita é:
    $r={\frac {a}{\sqrt {2}}}\,$