Transformada real de Mellin
# Transformada real de Mellin

Em matemática, a transformada real de Mellin é uma transformada integral derivada da transformada de Mellin, que apresenta a vantagem de evitar a necessidade de se trabalhar com números complexos no cálculo. A transformada de Mellin M(s) de uma função f(x) passa então a ser representada por um par de funções reais M$_p$ e M$_i$ (p e i designando as componentes par e ímpar, respectivamente, de M(s)) de duas variáveis reais independentes, σ e ω, que são a parte real e a parte imaginária da variável complexa s.

## Definição

A transformada real de Mellin M$_p$/M$_i$ de uma função f(x) é definida pelas expressões
    $M_{p}(\sigma ,\omega )\;=\;2\;\int _{-\infty }^{\infty }f(e^{-u})\cdot e^{-\sigma u}\cdot \cos(\omega u)\;du\;\;\;\;\;(1a)$
    $M_{i}(\sigma ,\omega )\;=\;2\;\int _{-\infty }^{\infty }f(e^{-u})\cdot e^{-\sigma u}\cdot \sin(\omega u)\;du\;\;\;\;\;(1b)$
    $s=\sigma \;+\;i\omega \;\;\;\;\;(1c)$
A transformada inversa é dada por
    $f(e^{-x})\;=\;e^{\sigma x}\int _{0}^{\infty }\left[M_{p}(\sigma ,\omega )\cdot \cos(\omega x)\;+\;M_{i}(\sigma ,\omega )\cdot \sin(\omega x)\right]\;d\omega \;\;\;\;\;(2a)$