Ponto limite
# Ponto limite

Em matemática, um ponto limite ou ponto de acumulação é um ponto em um conjunto que pode ser aproximado tão bem quanto se queira por infinitos outros pontos do conjunto.
Por definição, todo ponto de acumulação é um ponto de fecho.

## Definição formal

    Seja $X\,$ um espaço topológico, um ponto $a\in X\,$ é dito ser um ponto limite de um subconjunto $S\,$ de $X\,$ se toda vizinhança $V\,$ de $a\,$ intercepta o subconjunto $S\,$ por um ponto $y\neq a\,$ de $S\,$, ou seja:
    $S\cap \left(V\backslash \{a\}\right)\neq \emptyset$
* Em um espaço métrico, esta definição é equivalente a dizer que existe uma seqüência $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subseteq S\,$ de pontos diferentes de $a\,$ convergindo para $a\,$
* Utiliza-se a notação $X'\,$ para representar o conjunto dos pontos de acumulação de $X\,$. Às vezes, este conjunto é chamado o derivado de $X\,$.

## Definição no conjunto dos números reais (R)

A definição de ponto de acumulação no conjunto dos números reais é um caso especial da definição para espaço topológico porque no R estamos lidando com uma reta (uma dimensão), e não com um espaço com várias dimensões. Por isso, a "vizinhança" do ponto só pode estar à direita ou à esquerda deste ponto, e não acima ou abaixo, por exemplo, como poderia acontecer em espaços com duas dimensões.
Considere um conjunto X contido em R ($X\subset \mathbb {R}$, ou seja, X é um subconjunto de R, podendo ser inclusive o próprio R). Um número "a" pertencente a R chama-se ponto de acumulação do conjunto X quando todo intervalo aberto de centro a $(a-\epsilon ,a+\epsilon )\,\!$ contém algum ponto x pertencente a X diferente de "a". Simplificadamente, a é um ponto de acumulação de um conjunto $X\,\!$ quanto toda vizinhança de "a" contém algum elemento (diferente de a) que pertença a X. Se X for igual a R (ou seja, o conjunto considerado é a reta inteira dos números reais), então todo elemento de X=R é ponto de acumulação, pois toda vizinhança de qualquer elemento de X=R contém uma infinidade de elementos de X=R.

### Teorema

Dados $X\subset \mathbb {R}$ e $a\in \mathbb {R}$, as seguintes afirmações são equivalentes:
1)$a\in X'$ (O ponto $a$ é ponto de acumulação de $X$).
2)$a=\lim _{n\to \infty }x_{n}$, onde $x_{n}$ é uma sequência de elementos de X, dois a dois distintos.
3)Todo intervalo aberto contendo $a$ possui uma infinidade de elementos de $X$.

### Fatos

* Um ponto de acumulação de um conjunto pode ou não pertencer a esse conjunto. Por exemplo, 2 é ponto de acumulação do intervalo (0, 2), embora não pertença a este intervalo, que é aberto.
* Como o ponto de acumulação pressupõe uma vizinhança, nenhum ponto isolado de um conjunto é ponto de acumulação, pois não tem vizinhança e portanto é impossível encontrar pontos do conjunto X nela.
* Se $X'\neq {\varnothing },$ então X é infinito.
* X é um conjunto fechado se, e somente se, $X'\subset X$ (lê-se: se o derivado está contido, é uma parte do conjunto X).