Tetraedro
# Tetraedro

Na geometria, um tetraedro, também conhecido como uma pirâmide triangular, é um poliedro composto por quatro faces triangulares, três delas encontrando-se em cada vértice. O tetraedro regular é um sólido platónico, figura geométrica espacial formada por quatro triângulos equiláteros (triângulos que possuem lados com medidas iguais); possui 4 vértices , 4 faces e 6 arestas.
O tetraedro é a manifestação tridimensional do conceito simples de Euclides e, portanto, também pode ser chamado de 3-simples. Pode ser definido, também, como um tipo de pirâmide com uma base de polígono plana e faces triangulares que conectam a base a uma ponto comum. No caso de um tetraedro, a base é um triângulo (qualquer uma das quatro faces pode ser considerada base), então um tetraedro também é conhecido como uma "pirâmide triangular".
Como todos os poliedros convexos, um tetraedro pode ser dobrado a partir de uma única folha de papel.
Para qualquer tetraedro existe uma esfera circunscrita em que se encontram os quatro vértices e outra esfera inscrita tangente às faces do tetraedro.

## Fórmulas para o tetraedro regular

Em um tetraedro regular cujas arestas medem $a:$
| Área da base | $A_{0}={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}$ |
| Área da superfície | $A=4\,A_{0}={\sqrt {3}}a^{2}$ |
| Altura | $H={{\sqrt {6}} \over 3}a$ |
| Distância do centroide a um vértice | ${\frac {3}{4}}\,H={\frac {\sqrt {6}}{4}}\,a={\sqrt {\frac {3}{8}}}\,a\,$ |
| Volume | $V={1 \over 3}A_{0}H={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}$ |
| Ângulo entre uma aresta e uma face | $\arccos \left({1 \over {\sqrt {3}}}\right)=\arctan({\sqrt {2}})$ (aproximadamente 54.7356°) |
| Ângulo entre duas faces | $\arccos \left({1 \over 3}\right)=\arctan(2{\sqrt {2}})$ (aproximadamente 70.5288°) |
| Ângulo entre os segmentos que unem o centro e os vértices, também conhecido como ângulo tetraédrico | $\arccos \left({-1 \over 3}\right)=2\arctan({\sqrt {2}})$ (aproximadamente 109.4691°) |
| Ângulo sólido em um vértice subentendido por uma face | $\arccos \left({23 \over 27}\right)$ (aproximadamente 0.55129 esferorradianos) |
| Raio da esfera circunscrita | $R={\sqrt {3 \over 8}}\,a$ |
| Raio da esfera inscrita que é tangente às faces | $r={1 \over 3}R={a \over {\sqrt {24}}}$ |
| Raio da esfera tangente a todas as arestas | $r_{M}={\sqrt {rR}}={a \over {\sqrt {8}}}$ |
| Raio das exoesferas | $r_{E}={a \over {\sqrt {6}}}$ |
| Distância de um vértice ao centro da exosfera | ${\sqrt {3 \over 8}}\,a$ |

## Propriedades

A razão entre o raio da esfera circunscrita no tetraedro e a esfera inscrita é de 3:1.
É o sólido regular que possui a minima superfície para o mesmo volume.

## Tetraedro na natureza

Numerosos minerais e compostos químicos têm uma estrutura tetraédrica.
* Metano
* Amina
* Dióxido de silício
* Piroxena
* Cloreto de zinco
* Tetracloreto de carbono
* Níquel tetracarbonilo
* Perclorato
* Cloreto de cromilo
* Estereocentro
Um pseudocientista inglês,$^[$ William Lowthian Green, propôs, em 1875, que a Terra, quando estava esfriando, tendeu a assumir a forma de um tetraedro, com quatro vértices projetando-se para fora, dando origem aos continentes, e quatro faces projetando-se para dentro, dando origem aos oceanos. Théophile Moreux citou esta hipótese no seu livro Astronomy To-day, mencionando como os quatro vértices seriam as massa da Escandinávia, Sibéria, Canadá e Antártida, opondo-se aos oceanos, Atlântico Sul, Índico, Pacífico e Ártico.

## Mitologia

De acordo com Kepler, o tetraedro é o segundo, contando de fora para dentro, dos cinco sólidos que os platonistas diziam ser as figuras do mundo; a ordem seria do cubo (o mais externo), seguido do tetraedro, dodecaedro, icosaedro e octaedro. Enquanto o cubo e o dodecaedro são masculinos, e o octaedro e icosaedro femininos, o tetraedro é hermafrodita, porque ele é inscrito nele mesmo.

## Jogos

O Jogo Real de Ur, datado de 2600 a.C, foi jogado com um conjunto de dados tetraédricos.

## Exemplos

* Tetraedro (Matemateca IME-USP)
* Tetraedro rotacionando
* Poliedro dual de um tetraedro