Processo regenerativo
# Processo regenerativo

Em probabilidade aplicada, um processo regenerativo é uma classe de processos estocásticos com a propriedade de que certas porções do processo podem ser tratadas como estatisticamente independentes umas das outras. Esta propriedade pode ser usada na derivação de propriedades teóricas de tais processos.

## Histórico

Processos regenerativos foram definidos pela primeira vez pelo matemático britânico radicado nos Estados Unidos Walter L. Smith na Proceedings of the Royal Society A em 1955.

## Definição

Um processo regenerativo é um processo estocástico com pontos de tempo nos quais, a partir de um ponto de vista probabilístico, o processo se reinicia. Estes pontos de tempo podem ser eles próprios determinados pela evolução do processo. Isto equivale a dizer que o processo $\{X(t),t\geq 0\}$ é um processo regenerativo se existirem pontos de tempo $0\leq T_{0}<T_{1}<T_{2}<...$, tal que o processo pós-$T_{k}$ $\{X(T_{k}+t):t\geq 0\}$:
* tem a mesma distribuição do processo pós-$T_{0}$ $\{X(T_{0}+t):t\geq 0\}$;
* é independente do processo pré-$T_{k}$ $\{X(t):0\leq t<T_{k}\}$.
para $k\geq 1$. Intuitivamente, isto significa que um processo regenerativo pode ser dividido em ciclos independentes e identicamente distribuídos.
Quando $T_{0}=0$, $X(t)$ é chamado de processo regenerativo não atrasado. De outro modo, o processo é chamado de processo regenerativo atrasado.

## Exemplos

* Processos de renovação são processos regenerativos, sendo $T_{1}$ a primeira renovação.
* Processos de renovação alternantes, em que um sistema alterna entre um estado "ativo" e um estado "inativo", são processos regenerativos.
* Uma cadeia de Markov recorrente é um processo regenerativo, sendo $T_{1}$ o tempo da primeira recorrência. Isto inclui as cadeias de Harris.
* O movimento browniano refletido, em que se mede o tempo que as partículas levam para partir e voltar, é um processo regenerativo.

## Propriedades

* Pelo teorema da renovação com recompensa, com probabilidade 1, $\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}X(s)ds={\frac {\mathbb {E} [R]}{\mathbb {E} [\tau ]}},$
    em que $\tau$ é o comprimento do primeiro ciclo e $R=\int _{0}^{\tau }X(s)ds$ é o valor sobre o primeiro ciclo.
* Uma função mensurável de um processo regenerativo é um processo regenerativo com o mesmo tempo de regeneração.