Matriz simétrica
# Matriz simétrica

Em álgebra linear, uma matriz diz-se simétrica se coincidir com a sua transposta, ou seja, se $A=A^{T}.$

## Propriedades

Seja $A$ uma matriz quadrada de ordem $n.$ Então:
* Se $A$ é simétrica, então para qualquer escalar $k,$ a matriz $k.A$ também é simétrica
* A matriz $B=A+A^{T}$ é simétrica
* A matriz $B=A-A^{T}$ é uma matriz antissimétrica
* $A$ sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica $S$ com uma matriz antissimétrica $T,$ isto é, $A=S+T,$ onde:
$S={\frac {1}{2}}\left(A+A^{T}\right)$ $T={\frac {1}{2}}\left(A-A^{T}\right)$
Além disso, deve-se notar que qualquer matriz simétrica:
* É quadrada, isto é, tem tantas linhas quanto colunas;
* Tem todos os valores próprios reais;
* É diagonalizável através de uma matriz ortogonal.

## Exemplos

As matrizes a seguir são exemplos de matrizes simétricas:
* A matriz $S=S^{T}={\begin{bmatrix}1&5&9\\5&3&8\\9&8&7\\\end{bmatrix}}$ é simétrica.
* A matriz nula, de qualquer ordem;
* A matriz identidade, de qualquer ordem;
* A matriz $A+A^{T},$ para qualquer matriz quadrada A.
* As matrizes $A^{T}\times A$ e $A\times A^{T}$ são simétricas, para qualquer matriz $A$ real $m\times n$. Por exemplo, a matriz $B={\begin{bmatrix}2&0&2\\1&-1&2\\0&3&0\\\end{bmatrix}}$ tem como transposta a matriz $B^{T}={\begin{bmatrix}2&1&0\\0&-1&3\\2&2&0\\\end{bmatrix}}$. Nenhuma delas é uma matriz simétrica. Entretanto, o produto dessas duas matrizes, $B\times B^{T}={\begin{bmatrix}8&6&0\\6&4&-3\\0&-3&0\\\end{bmatrix}}$, é uma matriz simétrica.