Magma comutativo
# Magma comutativo

Em matemática, existem magmas que são comutativos, mas não associativos. Um exemplo simples de tais magmas é obtido a partir do jogo das crianças de pedra, papel e tesoura. Tais magmas dão origem a álgebras não-associativas.

## Um magma comutativo não-associativo derivado do jogo de pedra, papel e tesoura

Seja $M:=\{r,p,s\},$ cujos elementos correspondem aos gestos de "pedra", "papel" e "tesoura" (em inglês, "rock", "paper" e "scissor"), respectivamente, e considere a operação binária $\cdot :M\times M\to M$ decorrente das regras do jogo da seguinte maneira:
    Para quaisquer $x,y\in M:$
   * Se $x\neq y$ e $x$ vence $y$ no jogo, então, $x\cdot y=y\cdot x=x$
   * $x\cdot x=x,$ ou seja, todo $x$ é idempotente.
    Assim, por exemplo:
   * $r\cdot p=p\cdot r=p$ "o papel vence a pedra";
   * $s\cdot s=s$ "a tesoura empata com a tesoura".
Isso resulta na seguinte tabela de Cayley: ${\begin{array}{c|ccc}\cdot &r&p&s\\\hline r&r&p&r\\p&p&p&s\\s&r&s&s\end{array}}$ Por definição, o magma $(M,\cdot )$ é comutativo, mas além disso ele é não-associativo, como se pode ver considerando que: $r\cdot (p\cdot s)=r\cdot s=r$ mas $(r\cdot p)\cdot s=p\cdot s=s$ isto é, $r\cdot (p\cdot s)\neq (r\cdot p)\cdot s$

## Outros exemplos

A operação de "média" $x\oplus y=(x+y)/2$ nos números racionais (ou qualquer sistema numérico comutativo fechado sob a divisão) também é comutativa, mas não é associativa em geral, por exemplo, $-4\oplus (0\oplus +4)=-4\oplus +2=-1$ mas $(-4\oplus 0)\oplus +4=-2\oplus +4=+1$ Geralmente, as operações de média estudadas em topologia não precisam ser associativas.
A construção aplicada na seção anterior para pedra-papel-tesoura aplica-se diretamente para variantes do jogo com outra quantidade de gestos, como descrito na seção de variações, desde que existam dois jogadores e as condições sejam simétricas entre eles; de forma mais abstrata, ela pode ser aplicada a qualquer relação binária trichotomous relação binária (como "vencer" no jogo). O magma resultante será associativo se a relação for transitiva e, portanto, é uma ordem total (estrita); caso contrário, se finito, ela contém ciclos orientados (como pedra-papel-tesoura-pedra) e o magma é não-associativa. Para ver este último caso, considere a combinação de todos os elementos de um ciclo na ordem inversa, isto é, de modo que cada elemento combinado vence o anterior; o resultado é o último elemento combinado, enquanto associatividade e comutatividade significaria que o resultado só dependeria do conjunto de elementos do ciclo.
A linha inferior do diagrama de Karnaugh acima dá mais exemplos de operações, definidas nos números inteiros (ou em qualquer anel comutativo).

## Álgebras não associativas comutativas derivadas

Usando o exemplo de pedra-papel-tesoura, pode-se construir uma álgebra sobre um corpo $K$ comutativa mas não-associativa: considere $A$ como sendo o espaço vetorial tridimensional sobre $K$ cujos elementos são escritos na forma $(x,y,z)=xr+yp+zs,$ em que $x,y,z\in K.$ A adição vetorial e a multiplicação por escalar são definidas componente a componente, e os vetores são multiplicados usando as regras acima para multiplicar os elementos $r,p,s.$ O conjunto
    :$\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\},$ ou seja, $\{r,p,s\}$
forma uma base para a álgebra $A.$ Como antes, a multiplicação de vetores em $A$ é comutativa, mas não é associativa.
O mesmo procedimento pode ser utilizado para obter a partir de qualquer magma comutativo $M$ uma álgebra sobre $K$ em $K^{M},$ que será não-associativa se o mesmo ocorrer com $M.$
* ↑ PU5EPX, Elvis Pfützenreuter. «Estruturas algébricas». EPx. Consultado em 14 de fevereiro de 2021
* ↑ Aguiar von Flach, Rodrigo (fevereiro de 2012). «Variedades com Conexão Afim e Estruturas Geométricas Não-associativas» (PDF). UFBA