Integração por partes
# Integração por partes

No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.
A fórmula típica é a seguinte:
    $\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x={\Biglf(x)g(x){\Bigr ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,\mathrm {d} x$
onde $f(x)\,$ e $g(x)\,$ são funções de classe C$^1$ no intervalo $x\in [a,b]\,$, ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b. Ou, ainda, de forma mais enxuta:
$\int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u$
onde $u\,=f(x)$, $dv\,=g'(x)dx$, $v\,=g(x)$ e $du\,=f'(x)dx$.

## Exemplos

Algumas antiderivadas podem ser obtidas via integração por partes. Vejamos alguns exemplos:
* $\int xe^{x}dx=xe^{x}-\int e^{x}dx=(x-1)e^{x}\,$ + C
onde escolheu-se $u(x)=x\,$ e $dv=e^{x}dx\,$.
* $\int _{1}^{2}x\ln(x)dx=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln(x)\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}xdx\,$
escolhendo u=ln⁡(x){\textstyle u=\ln(x)} e dv=xdx{\textstyle dv=x\, dx}.

## Demonstração

Pela regra do produto, temos que:
${d \over dx}[u(x)*v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
Integrando dos dois lados em dx, ficamos com:
$u(x)*v(x)=\int u'(x)*v(x)dx+\int u(x)*v'(x)dx$
Abrindo o u'(x) e v'(x):
$u(x)*v(x)=\int v(x){du \over dx}dx+\int u(x)*{dv \over dx}dx$
Simplificando as integrais, ficamos com:
$u(x)*v(x)=\int v(x)du+\int u(x)dv$
Conclui-se que:
$u(x)*v(x)-\int v(x)du=\int u(x)dv$