Método das secantes
# Método das secantes

Em análise numérica, o método das secantes é um algoritmo de busca de raízes que usa uma sequência de raízes de linhas secantes para aproximar cada vez melhor a raiz de uma função f.
O método da secante pode ser pensado como uma aproximação por diferenças finitas do método de Newton. No entanto, foi desenvolvido independentemente do método de Newton, e antecedeu-o por mais de 3.000 anos.

## O método

O método das secantes é definido pela relação de recorrência
    $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}}f(x_{n})$
ou
    $x_{n+1}={\frac {x_{n-1}f(x_{n})-x_{n}f(x_{n-1})}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}}$
Como pode ser visto da relação de recorrência, o método das secantes requer dois valores iniciais, x$_0$ e x$_1$, que devem ser preferencialmente escolhidos próximos da raiz.

## Dedução do método

Dados x$_{n−1}$ e x$_n$, construímos uma reta passando pelos pontos (x$_{n−1}$, f(x$_{n−1}$)) e (x$_n$, f(x$_n$)), como ilustrado na figura à direita. Note que essa reta é uma secante ou corda do gráfico da função f.
Na forma ponto-declividade, ela pode ser definida como
    $y-f(x_{n})={\frac {f(x_{n})-f(x_{n-1})}{x_{n}-x_{n-1}}}(x-x_{n}).$
Agora escolhemos x$_{n+1}$ como zero dessa reta, então x$_{n+1}$ é escolhido de modo que
    $f(x_{n})+{\frac {f(x_{n})-f(x_{n-1})}{x_{n}-x_{n-1}}}(x_{n+1}-x_{n})=0.$
Resolvendo essa equação, obtém-se a relação de recorrência para o método das secantes.

## Convergência

As iterações x$_n$ do método das secantes convergem para uma raiz de f, se os valores iniciais x$_0$ e x$_1$ estiverem suficientemente próximas da raiz. A ordem de convergência do método é α, onde
    $\alpha ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618$
é a razão áurea. Em particular, a convergência é superlinear.
Esse resultado só vale sob certas condições técnicas; a saber, f deve ser duas vezes continuamente diferenciável e a raiz em questão deve ser simples (isto é, não deve ser uma raiz múltipla).
Se os valores iniciais não estiverem próximos da raiz, não se pode garantir que o método das secantes convergirá.

## Exemplos Computacionais

Eis implementações do método das secantes em Matlab. Neste exemplo, o método das secantes é aplicado para encontrar uma raiz da função f(x) = x$^3$ −10x$^2$ -400. Os valores iniciais são x$_0$=20 e x$_1$=30; o número de iterações é n=8. Espera-se que a iteração irá convergir para x=12,5426 após um número suficiente de iterações.