Coeficientes a determinar
# Coeficientes a determinar

O método dos coeficientes a determinar fornece uma solução particular para uma equação linear não homogênea
          $ay''+by'+cy=d(x)$
Se conhecemos a função d=d(x), o objetivo será obter uma solução particular $y_{p}=y_{p}(x)$ que possa ser escrita como combinação linear de um conjunto linearmente independente de funções.
O problema fica mais fácil quando esta função d=d(x) tem alguma das formas abaixo.

## Polinômio de grau n na variável independente

A solução procurada deverá estar na forma:
          $y_{p}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$

## Múltiplo de uma função exponencial

A solução procurada deverá estar na forma:
          $y_{p}(x)=ke^{rx}$

## Combinação linear das funções cos(kx) e sen(kx)

Solução procurada na forma:
          $y_{p}(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx)$

## Soma das formas anteriores

A solução deverá estar na forma:
          $=y_{p}(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x)$
onde $y_{1}=y_{1}(x)$ é a solução obtida na primeira forma e $y_{2}=y_{2}(x)$ é a solução obtida na segunda forma.

## Produto das formas anteriores

A solução deverá estar na forma:
          $=y_{p}(x)=y_{1}(x)y_{2}(x)$
onde $y_{1}=y_{1}(x)$ é a solução obtida na primeira forma e $y_{2}=y_{2}(x)$ é a solução obtida na segunda forma.
Observação: Se as funções sugeridas já aparecerem na solução geral da equação homogênea associada, então a sugestão para a nova função deverá ser a mesma função sugerida, multiplicada por x.

## Exemplos

Consideremos o operador diferencial linear L com coeficientes constantes e uma equação diferencial linear L(y)=d(x).
| L(y)=d(x) | Forma da solução procurada |
| $L(y)=3x^{2}$ | $y(x)=ax^{2}+bx+c$ |
| $L(y)=7e^{3x}$ | $ae^{3x}$ |
| $L(y)=17\cos(3x)$ | $y(x)=a\cos(3x)+b\sin(3x)$ |
| $L(y)=7\sin(2x)$ | $y(x)=a\cos(2x)+b\sin(2x)$ |
| $L(y)=7\sin(2x)+8\cos(2x)$ | $y(x)=a\cos(2x)+b\sin(2x)$ |
| $L(y)=3e^{5x}+(x^{2}+7x+3)$ | $y(x)=de^{5x}+[ax^{2}+bx+c]$ |
| $L(y)=y(x)=3e^{5x}(x^{2}+7x+3)$ | $y(x)=e^{5x}[ax^{2}+bx+c]$ |
| $L(y)=3e^{5x}\sin(2x)$ | $y(x)=e^{5x}[a\cos(2x)+b\sin(2x)$ |