Raízes múltiplas
# Raízes múltiplas

Um número $\alpha \in \mathbb {C}$ é dito raiz múltipla de um polinômio $p(x)\in R[x]$, $R\subseteq \mathbb {C}$ subanel, se $(x-\alpha )^{n}$ divide $p(x)$ para algum $n\geq 2$. Se $(x-\alpha )^{n}$ divide $p(x)$ e $(x-\alpha )^{n+1}$ não divide, então dizemos que a multiplicidade de $\alpha$ é $n\in \mathbb {N}$.
Exemplos :
| Polinômio | Forma Fatorada | Raízes |
| $x^{2}+2x+1$ | $(x+1)^{2}$ | -1, com multiplicidade 2 |
| $x^{3}-5x^{2}+8x-4$ | $(x-2)^{2}(x-1)$ | 2, com multiplicidade 2 1, com multiplicidade 1 |
| $x^{2}+1$ | $(x-i)(x+i)$ | i, com multiplicidade 1 -i, com multiplicidade 1 |
Nos exemplos acima, é fácil identificar as raízes e as respectivas multiplicidades dos polinômios em sua forma fatorada. Além disso, podemos determinar diversas propriedades relacionadas com a multiplicidade das raízes de um polinômio. Por exemplo, um polinômio sobre $\mathbb {R}$ que tem raízes múltiplas não é irredutível.
Um polinômio que têm raiz múltipla não é separável, por definição.