Matriz unitária
# Matriz unitária

Em matemática, uma matriz unitária é uma matriz complexa n por n U que satisfaz a condição
    $U^{*}U=UU^{*}=I_{n}\,$
onde $I_{n}\,$ é a matriz identidade e $U^{*}\,$ é o transposto conjugado (também chamado operador adjunto ou adjunto Hermitiano) de U. Note-se que esta condição afirma que a matriz U é unitária se e somente se tem uma inversa a qual é igual a seu transposto conjugado $U^{*}\,$
    $U^{-1}=U^{*}\,\;$
Uma matriz unitária na qual todos os valores são reais é a mesma coisa que uma matriz ortogonal. Assim como uma matriz ortogonal G preserva o produto interno (real) de dois vetores reais,
    $\langle Gx,Gy\rangle =\langle x,y\rangle$
assim também uma matriz unitária U satisfaz
    $\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle$
para todos os vetores complexos x e y, onde $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ estabelece-se agora para o produto interno padrão sobre C$^n$. Se $U\,$ é uma matriz n por n então são todas equivalentes as seguintes consições:
* $U\,$ é unitária
* $U^{*}\,$ é unitária
* as colunas de $U\,$ formam uma base ortonormal de C$^n$ com respeito ao seu produto interno
* as linhas de $U\,$ formam uma base ortonormal de C$^n$ com respeito a este produto interno
* $U\,$ é uma isometria com respeito à norma de seu produto interno
Decorre da propriedade de isometricidade que todos os valores próprios de uma matriz unitária são números de valor absoluto 1 (i.e., eles residem sobre o círculo unitário centrado no 0 no plano complexo). O mesmo é verdade para o determinante.
Todas as matrizes unitárias são normais, e o teorema espectral portanto aplica-se a elas. Então cada matriz unitária U tem uma decomposição da forma
    $U=V\Sigma V^{*}\;$
onde V é unitária, e $\Sigma$ é diagonal e unitária.
Para cada n, o conjunto de todas as matrizes unitárias n por n com multiplicação de matrizes formam um grupo.

## Propriedades das matrizes unitárias

* $U$ é invertível
* $U^{-1}=U^{*}$
* |det($U$)| = 1
* $U^{*}$ é unitária
* Matrizes unitárias preservam o comprimento $\|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}$
* Matrizes unitárias tem valores próprios complexos de módulo 1.