Teorema do ponto fixo de Brouwer
# Teorema do ponto fixo de Brouwer

Em matemática, sobretudo na análise funcional, o teorema do ponto fixo de Brouwer é um resultado sobre a existência de pontos fixos. Recebe o nome do matemático holandês Luitzen Egbertus Jan Brouwer.
O teorema de Brouwer é muito útil para compreensão da topologia dos espaços euclidianos. É também o ponto de partida para a demonstração de outros teoremas do o teorema do ponto fixo de Schauder e o teorema do ponto fixo de Schaefer.

## Enunciado

Seja $D\,$ a bola unitária fechada em $\mathbb {R} ^{n}\,$ e $f:D\to D\,$ uma função contínua. Então existe um ponto fixo $x\in D\,$, ou seja:
    $f(x)=x\,$

## Observações

* O conjunto $D\,$ pode ser substituído por qualquer outro conjunto fechado, limitado e convexo.
* Não se faz nenhuma exigência quanto ao fato de $f\,$ ser injetiva ou sobrejetiva.
* Este é um teorema de existência pura, ao contrário do teorema do ponto fixo de Banach que possui uma prova construtiva.

## Caso trivial em uma dimensão

Seja $f:[-1,1]\to [-1,1]\,$ contínua, então a função $g:=f(x)-x\,$ também é contínua. Ainda:
    $g(-1)=f(-1)+1\geq -1+1\geq 0\,$
    $g(+1)=f(+1)-1\leq +1-1\leq 0\,$
Portanto existe pelo menos um ponto $x\in [-1,1]\,$ tal que $g(x)=0\,$ pelo teorema do valor intermediário. O que implica $f(x)-x=0\,$ e o resultado segue.