Função de Heaviside
# Função de Heaviside

Em matemática e estatística, a função de Heaviside (ou função degrau), desenvolvida pelo matemático e engenheiro eletricista Oliver Heaviside, é uma função singular e descontínua com valor zero quando o seu argumento é negativo e valor unitário quando o argumento é positivo. Nos casos em que o argumento é nulo seu valor assume a média dos limites laterias da função (pela esquerda e pela direita) calculados no ponto em que a abscissa vale "a". Normalmente a função é usada como uma distribuição, mas costuma-se definir por:
    $U(x)={\frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}}={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}\;\;\;\;\;(1)$
sendo sgn a função sinal.
A função de Heaviside com descontinuidade em x = a é da forma:
    $U(x-a)={\begin{cases}0,&x<a\\{\frac {1}{2}},&x=a\\1,&x>a\end{cases}}\;\;\;\;\;$
A função de Heaviside admite diversas representações. Em especial, como limite de funções contínuas, ver seção correspondente.

## Aproximações contínuas para a função de Heaviside

A expressão (1) define U(x) como uma função descontínua. Em algumas aplicações, é útil partir de funções contínuas adequadas e definir U(x) como um limite. Por exemplo:
    $U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {1}{2}}\;+\;{\frac {1}{\pi }}\;\arctan \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)\right]\;\;\;\;\;(2a)$
    $U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0^{-}}\;{\frac {1}{2}}\;{\text{erfc}}\left({\frac {x}{\epsilon }}\right)\;\;\;\;\;(2b)$
    $U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {1}{2}}\;+\;{\frac {1}{\pi }}\;Si\left({\frac {\pi x}{\epsilon }}\right)\right]\;\;\;\;\;(2c)$
    $U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\epsilon }}\;{\text{rect}}\left({\frac {u}{\epsilon }}\right)du\;\;\;\;\;(2d)$
    $U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\epsilon }}\;{\text{tri}}\left({\frac {u}{\epsilon }}\;-\;{\frac {1}{2}}\right)du\;\;\;\;\;(2e)$
    $U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0+}\left[1\;-\;e^{-\left({\frac {x}{\epsilon }}\right)}\right]\;\;\;\;\;(2f)$
onde erfc(x) é a função erro complementar = 1 - erf(x), Si é a função seno integral, rect é a função retangular e tri(x) é a função triangular.

## Relação com outras funções
### Função sinal

A expressão (1) deixa clara a relação algébrica entre U(x) e sgn(x). Podemos escrever também:
    $\operatorname {sgn}(x)\;=\;2U(x)\;-\;1\;\;\;\;\;(3a)$

### Delta de Dirac

A distribuição (ou função generalizada) Delta de Dirac δ(x) pode ser vista informalmente como a derivada da função de passo de Heaviside. De outra maneira, ao efetuarmos a diferença entre duas funções degrau, como U(x-(a-ε/2))-U(x-(a+ε/2)) (com ε positivo), e tendermos o valor de ε à zero, temos que o valor da diferença tende à infinito e assume o valor de Função Delta de Dirac. Nesse processo impõe-se que a área abaixo do gráfico da diferença das Heavisides seja constante e com valor unitário. Ou seja, define-se:
    $U(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (u)\;du\;\;\;\;\;(3b)$
    $\delta (x)={\frac {d}{dx}}\;U(x)\;\;\;\;\;(3c)$
Mais formalmente, pode-se escrever (3c) da seguinte maneira:
    $\delta (x)=\lim _{\epsilon \to 0}\;{\frac {d}{dx}}\;U(\epsilon ,x)$
com U(ε,x) dada por alguma das expressões (2a) a (2f), que são diferenciáveis em x = 0.

### Função retangular

A função retangular pode ser escrita como:
    ${\text{rect}}(x)\;=\;U\left(x\;+\;{\frac {1}{2}}\right)\;-\;U\left(x\;-\;{\frac {1}{2}}\right)\;\;\;\;\;(3d)$

### Função pulso

Uma função importante em aplicações é a função pulso, definida por:
    $p(x)={\begin{cases}0,&x<a\\1,&a\leqslant x\leqslant b\\0,&x>b\end{cases}}\;\;\;\;\;$
Ela é representada em termos da diferença de duas funções de Heaviside:
    $p(x)=U(x-a)-U(x-b),a<b$

### Função de Heaviside como processo de limite da função rampa

Também chamada de aproximação linear da função de Heaviside, é utilizada quando se torna necessário definir a transição 0 e ε. Para isso, supomos que tal ocorre de forma linear. Definimos a função:
    $U\epsilon (t)={\begin{cases}0,&t\leqslant 0\\{\frac {t}{\epsilon }},&0\leq t\leq {\epsilon }\\1,&t>a\end{cases}}\;\;\;\;\;$
Sabendo que ε é um numero infinitamente pequeno, pode-se interpretar a função U(t) como:
    $U(t)=\lim _{\epsilon \to 0+}\;U\epsilon (t)$
Ou seja, quanto menor o valor de ${\epsilon }$, mais íngreme é a rampa resultante e, quando o mesmo tende a zero, a função tende a infinito naquele ponto, resultando na Delta de Dirac.

### Transformada de Laplace da função de Heaviside

A transformada de Laplace da função de Heaviside é obtida direto da definição. Considerando a > 0:
    ${\mathcal {L}}({U}(t-a))=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}U(t-a)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{a}\mathrm {e} ^{-st}*0\ +\int _{a}^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}*1\,\mathrm {d} t={\frac {e^{-as}}{s}}$
Caso particular em que a = 0
    ${\mathcal {L}}({U}(t-0))=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}U(t-0)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}*1dt\ ={\frac {1}{s}}$
    Visto que a função de Heaviside assume valor 1 a partir de a = 0, a mesma possui a mesma transformada de Laplace que o inteiro 1.

### Aproximações analíticas

Para uma aproximação suave da função degrau, pode-se usar a função logística:
$H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}}$
onde $k$ muito alto corresponde a uma transição mais nítida em $x=0$. Pega-se $H(0)=\left({\frac {1}{2}}\right)$, a igualdade se mantém no limite:
    $H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}$
Há outras aproximações analíticas suaves para a função degrau. Algumas possibilidades são:
${\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\rightarrow \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\rightarrow \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}$
Esses limites se mantêm pontuais e no sentido de distribuições. Em geral, no entanto, a convergência pontual não precisa implicar em convergência distributiva, e vice-versa, convergência distributiva não precisa implicar em convergência pontual. (Entretanto, se todos os membros de uma seqüência convergente de funções pontuais estiverem uniformemente limitados por alguma função "legal", a convergência também se mantém no sentido de distribuições.

### Forma analítica

Embora as aproximações analíticas da função degrau unitária sejam conhecidas e utilizadas há muito tempo, apenas recentemente foi encontrada uma expressão analítica exata:
    $H(x)={\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {3\pi }{4}}+\arctan \left(x-1\right)+\arctan \left({\frac {2-x}{x}}\right)\right]$
No entanto, esta função é mal definida na origem, pois H (0) diverge.

### Aplicações função de Heaviside

* Na área de mecânica dos sólidos costuma-se representar matematicamente os carregamentos retangulares uniformes com a Função de Heaviside, entre outras funções singulares;
* Na eletricidade usa-se do artificio oferecido pela função degrau para representar chaves que ligam e desligam.
* Circuito RC:
Supondo um circuito RC com capacitor inicialmente descarregado ( q(0) = 0) , capacitância e resistências desconhecidas e com a tensão ligada no instante a e desligada no instante b, deseja-se saber a corrente que passa pelo sistema:
* $v(t)=vo(u(t-a)-u(t-b))$
* $v(t)=R*i(t)+{\frac {1}{C}}*(q0+\int \limits _{0}^{\infty }i(\tau )d\tau )$
* Aplicando-se transformada de Laplace
* $R*{\mathcal {L}}\{i(t)\}+{\frac {1}{C}}{\mathcal {L}}\{\int \limits _{0}^{t}i(\tau )d\tau \}={\mathcal {L}}\{v(t)\}$
* $R*I(s)+{\frac {1}{C}}*{\frac {I(s)}{s}}=v0[{\frac {e^{-as}}{s}}-{\frac {e^{-bs}}{s}}]$
* $I(s)={\frac {v0C}{RCs+1}}*[e^{-as}-e^{-bs}]={\frac {v0}{R}}*{\frac {1}{s+{\frac {1}{RC}}}}*[e^{-as}-e^{-bs}]$
* Aplicando-se a transformada inversa de Laplace
* ${\mathcal {L}}^{-1}\{I(s)\}={\frac {v0}{R}}*{\mathcal {L}}^{-1}\{{\frac {1}{s+{\frac {1}{RC}}}}*e^{-as}-{\frac {1}{s+{\frac {1}{RC}}}}*e^{-bs}\}$Gráfico da corrente em um circuito RC ligado e desligado em período a+b
* $i(t)={\frac {v0}{R}}*[u(t-a)e^{-{\frac {t-a}{RC}}}-u(t-b)e^{-{\frac {t-b}{RC}}}]$
Com isso chegamos na seguinte expressão para a corrente num circuito RC com capacitância e resistência desconhecidos cuja fonte é ligada e desligada em instantes a e b, respectivamente:
    $i(t)={\begin{cases}0,&t<a\\{\frac {vo}{R}}e^{-{\frac {t-a}{RC}}},&a<t<b\\{\frac {vo}{R}}e^{-{\frac {t-a}{RC}}}[e^{\frac {a}{RC}}-e^{\frac {b}{RC}}],&t>b\end{cases}}\;\;\;\;\;$