Grupo diedral
# Grupo diedral

Em matemática e, em especial, na teoria dos grupos, um grupo diedral é o grupo de simetrias de um polígono regular de $n$ lados qualquer, que se representa quer por $D_{n}$, quer por $D_{2n}$. Sua presentação é dada por $D_{n}=\langle x,y:x^{n}=1,y^{2}=1,(xy)^{2}=1\rangle$ e $D_{\infty }=\langle x,y:y^{2}=1,(xy)^{2}=1\rangle .$
Grafos de ciclos :
| $D_{1}$ | $D_{2}$ | $D_{3}$ | $D_{4}$ | $D_{5}$ | $D_{6}$ | $D_{7}$ |

## Propriedades

* O grupo possui $2n$ elementos: o elemento neutro, $n-1$ rotações próprias e $n$ reflexões.
* Para $n>2,$ o grupo não é abeliano.
* O subgrupo das rotações é isomorfo ao grupo cíclico $\mathbb {Z} _{n},$ e é um subgrupo normal

## Exemplo

Seja ABC um triângulo equilátero. Dentre as suas simetrias, temos:
* e: o elemento neutro, ou seja, a transformação identidade que leva cada ponto do triângulo nele mesmo.
* $\rho _{1}$ a rotação que leva A em B, B em C e C em A.
* $\rho _{2}$ a rotação que leva A em C, C em B e B em A.
* $\sigma _{A}$ a simetria em torno da altura que passa por A.
* $\sigma _{B}$ a simetria em torno da altura que passa por B.
* $\sigma _{C}$ a simetria em torno da altura que passa por C.
Não existem outras simetrias. Considerando * como a composição de funções, temos, por exemplo, que $\sigma _{A}*\rho _{1}$ leva A em C, B em B e C em A, ou seja, $\sigma _{B}=\sigma _{A}*\rho _{1}.$ Por outro lado, $\rho _{1}*\sigma _{A}=\sigma _{C},$ ou seja, o grupo não é abeliano. Completando as operações, chegamos à tabela:
Grupo de Simetrias do Triângulo Equilátero :
| $\star$ | e | $\rho _{1}$ | $\rho _{2}$ | $\sigma _{A}$ | $\sigma _{B}$ | $\sigma _{C}$ |
| e | e | $\rho _{1}$ | $\rho _{2}$ | $\sigma _{A}$ | $\sigma _{B}$ | $\sigma _{C}$ |
| $\rho _{1}$ | $\rho _{1}$ | $\rho _{2}$ | e | $\sigma _{C}$ | $\sigma _{A}$ | $\sigma _{B}$ |
| $\rho _{2}$ | $\rho _{2}$ | e | $\rho _{1}$ | $\sigma _{B}$ | $\sigma _{C}$ | $\sigma _{A}$ |
| $\sigma _{A}$ | $\sigma _{A}$ | $\sigma _{B}$ | $\sigma _{C}$ | e | $\rho _{1}$ | $\rho _{2}$ |
| $\sigma _{B}$ | $\sigma _{B}$ | $\sigma _{C}$ | $\sigma _{A}$ | $\rho _{2}$ | e | $\rho _{1}$ |
| $\sigma _{C}$ | $\sigma _{C}$ | $\sigma _{A}$ | $\sigma _{B}$ | $\rho _{1}$ | $\rho _{2}$ | e |