Coordenadas toroidais
# Coordenadas toroidais

Coordenadas toroidais são um sistema de coordenadas ortogonais, tridimensional que é gerado pela rotação do sistema de coordenadas bipolares sobre um eixo que separa seus dois focos. Assim, os dois focos $F_{1}$ e $F_{2}$ em coordenadas bipolares se tornam um anel de raio $a$ no plano $xy$ plane do sistema de coordenadas toroidais; o eixo $z$ é o eixo de rotação.

## Definição

A definição mais comum das coordenadas toroidais $(\sigma ,\tau ,\phi )$ é
    $x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi$
    $y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi$
    $z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$
onde a coordenada $\sigma$ de um ponto $P$ é igual ao ângulo $F_{1}PF_{2}$ e a coordenada $\tau$ é igual ao logaritmo natural da razão das distâncias $d_{1}$ e $d_{2}$
    $\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.$

### Transformação inversa

As coordenadas (σ, τ, φ) podem ser calculadas a partir das coordenadas cartesianas (x, y, z) como segue. O ângulo azimutal φ é dado pela fórmula
    $\tan \phi ={\frac {y}{x}}$
O raio cilíndrico ρ do ponto P é dado por
    $\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}$
e sua distância ao foco no plano definido por φ é dado por
    $d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}$
    $d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}$
A coordenada τ é igual ao logaritmo natural das distâncias focais.
    $\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$

### Fatores de escalas

Os fatores de escala para as coordenadas toroidais $\sigma$ e $\tau$ são
    $h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}$
enquanto o fator de escala azimutal é
    $h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$
Assim, um elemento infinitesimal de volume, nessas coordenadas, é dado por
    $dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}d\sigma d\tau d\phi$
e o laplaciano é toma a forma
    $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}\left[\sinh \tau {\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]$