Função de covariância
# Função de covariância

Função de covariância, ou simplesmente covariância, refere-se, no campo da geoestatística a uma medição da continuidade espacial de dado fenómeno à semelhança do seu análogo variograma. Pretende assim estudar a variabilidade de uma variável re-amostrando uma população para conter apenas os pares de pontos que se encontrem a uma dada distância $h$. É utilizada especialmente em estudos onde se justifique um variograma experimental (método gráfico que considera o valor de variograma ou semi-variograma para várias distâncias) calculando a covariância directamente ou a partir do valor do variograma.

## Definição

O estimador de covariância não centrada é dado pela média do produto de amostras que se encontram à distância de $h$ (Soares, 2006):
    $C'(h)={\frac {1}{N(h)}}\sum _{\alpha =1}^{N(h)}[Z(x_{\alpha })Z(x_{\alpha }+h)]\quad$
Para obter o estimador centrado precisamos subtrair o produto das médias das amostra que se encontrem nos pares distânciados por $h$:
Onde:
    $m(x_{\alpha })={\frac {1}{N(h)}}\sum _{\alpha =1}^{N(h)}Z(x_{\alpha })\quad$
e,
    $m(x_{\alpha }+h)={\frac {1}{N(h)}}\sum _{\alpha =1}^{N(h)}Z(x_{\alpha }+h)\quad$
A função covariância está directamente ligada com o variograma no qual sabendo que a covariância centrada é dada por:
    $C(h)=E[Z(x)Z(x+h)]-E[Z(x)]E[Z(x+h)]\quad$
e que o variograma é dado por:
    $\gamma (h)={\frac {1}{2}}E[(Z(x)-Z(x+h))^{2}]\quad$
Assumindo que a média é igual para todas as populações $Z(x)$ e $Z(x)$ (portanto uma função aleatória estacionária, conceito generalizado da série estacionária):
    $C(h)=E[Z(x)Z(x+h)]-E[Z(x)]^{2}\quad$
Se desenvolvermos os termos do quadrado do variograma ficamos com:
    $\gamma (h)={\frac {1}{2}}\{E[Z(x)]^{2}+E[Z(x+h)]^{2}-2E[Z(x)Z(x+h)]\}\quad$
Mais uma vez admitindo a estacionariedade das populações ficamos com:
    $\gamma (h)={\frac {1}{2}}\{E[Z(x)]^{2}-E[Z(x)Z(x+h)]\}\quad$
Subtraindo $m^{2}$ a cada um dos termos:
    $\gamma (h)-m^{2}=E[Z(x)]^{2}-E[Z(x)Z(x+h)]-m^{2}\quad$
    $\gamma (h)=E[Z(x)]^{2}-m^{2}-E[Z(x)Z(x+h)]+m^{2}\quad$
    $\gamma (h)=E[Z(x)]^{2}-m^{2}-(E[Z(x)Z(x+h)]-m^{2})\quad$
deduz-se que:
    $\gamma (h)=-(E[Z(x)Z(x+h)]-m^{2})=-C(h)\quad$
da qual para evitar ajustes com patamar, $C(0)$, negativo se utiliza a expressão:
Por esse motivo se nota, no formato gráfico, a covariância ser o exacto oposto do variograma:

## Discussão

Em geoestatística são usadas habitualmente três funções para estudar a variabilidade espacial da amostragem que são: covariância, correlograma, e semi-variograma (comumente designado variograma). Na hipótese de estacionaridade da variável, as três funções são equivalentes: deduzem-se umas a partir das outras e dão a mesma informação sobre o comportamento espacial da variável. A figura seguinte mostra o variograma experimental, covariância e correlograma para o mesmo conjunto de dados: