Homotopia
# Homotopia

Em topologia, homotopia (do grego antigo: ὁμός homós "mesmo" τόπος tópos "lugar") significa deformar continuamente de duas aplicações em um espaço topológico. Homotopia possuí várias aplicações na matemática, atuando principalmente como um invariante topológico.

## Definição Formal

Em Topologia, Duas funções contínuas $f,g:X\rightarrow Y$ entre espaços topológicos dizem-se homotópicas se existir uma aplicação contínua $F:X\times [0,1]\rightarrow Y$, chamada homotopia, tal que $F(x,0)=f(x)$ e $F(x,1)=g(x)$, onde $F_{t}=F_{|X\times \{t\}}$.
Intuitivamente, podemos pensar o parâmetro $t$ como sendo o tempo, assim $F$ descreve uma deformação contínua de $f$ em $g$: quando $t=0$ temos a função $f(x)$ e quando $t=1$ temos a função $g(x)$.

### Propriedades

Seja $X$ um espaço topológico. Dizemos que dois caminhos $f,g:I\to X$, com $f(0)=x_{0}=g(0)$ e $f(1)=x_{1}=g(1)$ são homotópicos se existe uma função contínua $H:I\times I\to X$ tal que$H(s,0)=f(s),H(s,1)=g(s),H(0,t)=x_{0}=f(0)=g(0),H(1,t)=x_{1}=f(1)=g(1),\forall t\in I.$Ser homotopia é uma relação de equivalência, o que nos permite tomar a classe de equivalência das homotopias $[f]=\{g:I\to X|f\sim g\}$, onde $f\sim g$ denota a relação de equivalência homotópica.
Se for o caso em que $f(1)=g(0)$, isto é, o fim do caminho $f$ é o início do caminho $g$, então podemos definir o produto destes caminhos como sendo o caminho
$(f\cdot g)(s)={\begin{cases}f(2s),&{\text{se }}0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1),&{\text{se }}{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1\end{cases}}$
O produto de caminhos satisfaz as propriedades de associatividade: $(f\cdot g)\cdot h=f\cdot (g\cdot h)$, existência do elemento neutro: $\exists f_{x_{0}}=x_{0}{\text{e}}f_{x_{1}}=x_{1}{\text{caminhos constantes, tais que }}f\cdot f_{x_{1}}=f=f_{x_{0}}\cdot f$ e existência do elemento inverso: existe um ${\bar {f}}:I\to X,s\mapsto {\bar {f}}=f(1-s)$ tal que ${\bar {f}}\cdot f=f_{x_{1}}\ {\text{e}}\ f\cdot {\bar {f}}=f_{x_{0}}$.

## Grupos de homotopia

Definimos o grupo de homotopia relativo ao ponto base $x_{0}$, como sendo o conjunto $\pi _{1}(X,x_{0})=\{[f]\mid f:I\to X,f(0)=f(1)=x_{0}\}$, munido do produto definido acima.
O n-ésimo grupo de homotopia de um espaço topológico $X$, com ponto base $x_{0}$, que se representa por $\pi _{n}(X,x_{0})$, é o grupo constituído pelo conjunto das classes de homotopia das aplicações contínuas $\alpha :[0,1]^{n}\rightarrow X$ tais que $\alpha (\partial [0,1]^{n})=\{x_{0}\}$, munido com a operação justaposição. O primeiro destes grupos denomina-se grupo fundamental.

## Equivalência homotópica

Dois espaços topológicos $X$ e $Y$ dizem-se homotopicamente equivalentes se existirem aplicações contínuas entre esses espaços $f:X\rightarrow Y$ e $g:Y\rightarrow X$ tais $f\circ g$ e $g\circ f$ sejam homotópicas respectivamente às aplicações identidade de $Y$ e $X$. Equivalência homotópica é a noção de igualdade traduzida pela ideia de deformação.

### Outras noções de igualdade topológica

* Homeomorfismo
* Difeomorfismo