Álgebra envelopante
# Álgebra envelopante

Em matemática, para qualquer álgebra de Lie L pode-se construir a álgebra universal envelopante U(L). Esta construção passa da estrutura não associativa L para uma (mais familiar, e possivelmente mais fácil de manipular) álgebra associativa unital, a qual captura as propriedades importantes de L.
Primeiro note-se a construção universal de Lie de uma álgebra de Lie sobre o corpo K a partir de uma qualquer álgebra associativa A sobre K, com a operação:
    [a,b] = ab − ba.
Isto constrói um Lie Bracket a partir de uma operação associativa, o comutador. Denota-se esta álgebra de Lie por A$_L$.
A construção da álgebra envelopante universal U ( L) tenta reverter este processo: para uma dada álgebra de Lie L sobre K, é possível encontrar a álgebra K associativa unital "mais geral" A= U ( K ) tal que a álgebra de Lie A$_L$ contenha L. A condição importante é preservar a teoria da representação: as representações de L correspondem de uma forma "um-para-um" com os módulos sobre U(L). No contexto típico onde L está a atuar por transformações infinitesimais, os elementos de U(L) atuam como operadores diferenciais, para cada uma das ordens.
Após a generalização para as álgebras de Lie, a construção da algebra envelopante tem sido generalizada para álgebras de Macey, algebras de Bol e álgebras adjuntas à esquerda.

## Motivação

As representações de álgebras de Lie constituem a maior fonte de estudos e aplicações para as álgebras de Lie. Uma representação de uma álgebra com unidade A é um espaço vetorial V e uma aplicação linear $\rho :A\to {\text{End }}V$ que preserva a multiplicação e a identidade da álgebra. Questões naturais sobre representações de álgebras são classificação de representações irredutíveis sobre A, classificação de representações indecomponíveis sobre A ou a classificação de todas as representações irredutíveis em espaços vetoriais de dimensão finita.
As representações da álgebra envelopante universal de uma álgebra A constrói-se de tal forma que as propriedades gerais das representações de A em relação ao produto são preservadas. Por exemplo, para uma representação podemos ter ρ(x)ρ(y) = 0, enquanto que em outras representações tal pode não acontecer.
Aparenta ser verdade que certas propriedades das representações são universais, e a álgebra envelopante absorve todas essas propriedades.

## Propriedade universal

O functor que atribui a cada álgebra X a sua álgebra envelopante universal U(X) é o functior adjunto esquerdo da construção universal de Lie $B\to B_{L}$.
Isto quer dizer que a álgebra U(X) diz-se álgebra envelopante universal de X se existe $g:X\to U(X)_{L}$ tal que para cada $f:X\to A_{L}$ existe $h:U(X)\to A$ tal que $f=h_{L}\circ g$, onde f, g, h são homomorfismos de álgebras.
Tal formulação univesal implica que, a existir, a álgebra envelopante universal é única a menos de isomorfismo.

## Construção

A construção é super simples, tendo em conta que almejamos a propriedade universal. Tal construção vai provar que o functor álgebra envelopante universal existe para as álgebras de Lie.
Tomemos a álgebra de Lie L com uma operação $[\cdot ,\cdot ]$ de Lie, e consideremos a álgebra tensorial TL, e o seu ideal I gerado por
    $a\otimes b-b\otimes a-[a,b]|a,b\in L$
Então $U(L)=TL/I$, com a projeção natural $L\to TL\to U(L)$ dá origem à estrutura álgébrica pretendida.
Para superálgebras de Lie, a generalização é trivial, pelo que elas também têm uma álgebra envelopante universal.