Quaternião hiperbólico
# Quaternião hiperbólico

Na matemática, um quaternião hiperbólico ou quatérnio hiperbólico é um conceito matemático sugerido primeiramente por Alexander MacFarlane em 1891 em um discurso na Associação Americana para o Avanço da Ciência. A ideia foi criticada por sua falha em adaptar-se à associatividade da multiplicação. Os quaterniões hiperbólicos são uma extensão dos números complexos hiperbólicos.

## Estrutura algébrica

Como os quaterniões, o conjunto dos quaterniões hiperbólicos dá forma a um espaço vetorial sobre os números reais de dimensão 4. Uma combinação linear
$q=a+bi+cj+dk$
é um quaternião hiperbólico quando $a,$ $b,$ $c,$ e $d$ são números reais e o conjunto da base {$1,i,j,k$} tem estes produtos:
$ij=k=-ji$
$jk=i=-kj$
$ki=j=-ik$
$i^{2}=j^{2}=k^{2}=1$
Ao contrário dos quaterniões de Hamilton, de que estes são um forma modificada, os quaterniões hiperbólicos não são associativos. Por exemplo, $(ij)j=kj=$ $-i,$ quando $i(jj)=i.$ As primeiras três relações mostram que os produtos dos elementos (não-reais) da base são anticomutativos. Embora esse conjunto da base não forme um grupo, o conjunto
$\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}$
forma um quasegrupo. Note também que todo o subplano do conjunto M de quaterniões hiperbólicos que contenham o eixo real forma um plano de números complexos hiperbólicos. Se
$q*=a-bi-cj-dk$
é o conjugado de $q,$ então o produto $q(q*)=a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}$
é a forma quadrática usada na teoria do espaço-tempo. A forma bilinear chamada de produto interno de Minkowski surge como a parte real com o sinal invertido do produto dos quaterniões hiperbólicos $pq*:$
$-p_{0}q_{0}+p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3}.$
Note que o conjunto das unidades $U=$ {$q:qq*\neq 0$} não é fechado sob a multiplicação.