Inequação do 2º grau
# Inequação do 2º grau

Uma Inequação do 2º Grau é uma inequação que pode ser reduzida à forma:
    $ax^{2}+bx+c\star 0$.
Note que comparar um dos termos a zero é essencial para a resolução de qualquer inequação mais complexa do que a inequação do 1º grau.
Inicialmente, acham-se os zeros da inequação, resolvendo-a como uma equação quadrática. Note que, achando 2 raízes reais, sabe-se que $\Delta >0$, achando-se 1 raiz real, sabe-se que $\Delta =0$ e não se achando raiz real, sabe-se que $\Delta <0$. Após isso, observa-se o sinal do coeficiente $a$. Pelo estudo dos sinais da função quadrática, temos que:
* $\Delta <0$
** $a>0\rightarrow f(x)>0,\forall x\in \mathbb {R}$
** $a<0\rightarrow f(x)<0,\forall x\in \mathbb {R}$
* $\Delta =0$
** $a>0$
*** $f(x)>0\rightarrow x\neq r_{1}=r_{2}$
*** $f(x)=0\rightarrow x=r_{1}=r_{2}$
** $a<0$
*** $f(x)<0\rightarrow x\neq r_{1}=r_{2}$
*** $f(x)=0\rightarrow x=r_{1}=r_{2}$
* $\Delta >0$
** $a>0$
*** $f(x)>0\rightarrow x<r_{1}\lor x>r_{2}$
*** $f(x)=0\rightarrow x=r_{1}\lor x=r_{2}$
*** $f(x)<0\rightarrow r_{1}<x<r_{2}$
** $a<0$
*** $f(x)>0\rightarrow r_{1}<x<r_{2}$
*** $f(x)=0\rightarrow x=r_{1}\lor x=r_{2}$
*** $f(x)<0\rightarrow x<r_{1}\lor x>r_{2}$
Então, separe-se os valores adequados e obtém-se o conjunto-solução.
Praticamente, pode-se esboçar o gráfico da função
    $y=ax^{2}+bx+c$,
observando os sinais do coeficiente $a$ e do $\Delta$, e selecionando as raízes que cumprem a função. Basta observar para que valores a curva está acima (positivo) ou abaixo (negativo) da abcissa.

## Exemplos

* $x^{2}+6\geq 5x\Leftrightarrow x^{2}-5x+6\geq 0$. Se $x^{2}-5x+6=0$, então $r_{1}=2$ e $r_{2}=3$. Logo, $\Delta >0$ (uma vez que se obteve 2 raízes). Como $a=1>0$, então, os valores que fazem $f(x)>0$ ou $f(x)=0$ são $x\leq 2$ ou $x\geq 3$
* $x^{2}-2x+1\leq 0$. Se $x^{2}-2x+1=0$, então $r_{1}=r_{2}=1$. Logo, $\Delta =0$ (uma vez que se obteve 1 raiz). Como $a=1>0$, então, os valores que fazem $f(x)<0$ ou $f(x)=0$ são apenas $x=1$.
* $-x^{2}-x-1>0$. Se $-x^{2}-x-1=0$, então a equação não possui raízes reais. Logo, $\Delta <0$. Como $a=-1<0$, então não há valores que fazem $f(x)>0$.