Método direto da rigidez
# Método direto da rigidez

O método direto da rigidez, também denominado método matricial da rigidez e método dos deslocamentos (em inglês direct stiffness method (DSM)) é um método de cálculo aplicável a estruturas hiperestáticas de barras que se comportam de forma elástica linear. Este método é adequado para realizar análise computacional de qualquer estrutura, incluindo estruturas estaticamente indeterminadas. O método matricial se baseia em estimar as componentes das relações de rigidez para resolver as forças ou os deslocamentos com uso de um computador. O método direto da rigidez é a implementação mais comum do Método dos elementos finitos (MEF). As propriedades de rigidez do material são computadas em uma única equação matricial que governa o comportamento interno da estrutura idealizada. Os dados que se desconhecem na estrutura são as forças e deslocamentos, que podem ser determinados resolvendo esta equação. O método direto da rigidez é o mais comum nos programas de cálculo de estruturas (tanto comerciais quanto livres).
O método foi originado na área da aeronáutica. Os investigadores conseguiram aproximar o comportamento estrutural das partes de um avião mediante equações simples que requeriam porém grandes tempos de computação. Com o advento dos computadores estas equações começaram a ser resolvidas de forma rápida e simples.

## Introdução

O método consiste em atribuir à estrutura de barras um objeto matemático chamado matriz de rigidez, que relaciona os deslocamentos de um conjunto de pontos da estrutura, chamados nós, com as forças exteriores que é necessário aplicar para obter estes deslocamentos (as componentes desta matriz são forças generalizadas associadas a deslocamentos generalizados). A matriz de rigidez relaciona as forças nodais equivalentes e deslocamentos sobre os nó da estrutura, mediante a equação
${\begin{Bmatrix}F_{1}+R_{1}\\F_{2}+R_{2}\\...\\F_{n}+R_{n}\end{Bmatrix}}_{G}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&\cdots &k_{1n}\\k_{21}&k_{22}&\cdots &k_{2n}\\\cdots &\cdots &\ddots &\cdots \\k_{n1}&k_{n2}&\cdots &k_{nn}\end{bmatrix}}_{G}{\begin{Bmatrix}\delta _{1}\\\delta _{2}\\...\\\delta _{n}\end{Bmatrix}}_{G}~~.$
Nesta equação $F_{i}\,$ são as forças nodais equivalentes associadas às forças exteriores aplicadas sobre a estrutura; $R_{i}\,$ são as reações hiperestáticas inicialmente desconhecidas sobre a estrutura; $\delta _{i}\,$ os deslocamentos nodais incógnitos da estrutura e $n\,$ é o número de graus de liberdade da estrutura.
A energia de deformação elástica também pode ser expressa em termos da matriz de rigidez mediante a relação
$E_{def}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\delta }}\cdot [\mathbf {K} ({\boldsymbol {\delta }})]={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}k_{ij}\delta _{i}\delta _{j}~~.$
Do teorema de Maxwell-Betti deduz-se que a matriz de rigidez deve ser simétrica, e portanto
$k_{ij}=k_{ji}~~.$

## Fundamentação teórica

Em geral, um sólido deformável real, como qualquer meio contínuo, é um sistema físico com um número infinito de graus de liberdade. Assim, para descrever a deformação de um sólido é necessário estabelecer um campo vetorial de deslocamentos sobre cada um de seus pontos. Este campo de deslocamentos em geral não é redutível a um número finito de parâmetros, e portanto um sólido deformável de forma totalmente geral não tem um número finito de graus de liberdade.
No entanto, para barras elásticas longas (prismas mecânicos) de grande comprimento comparado com a área de sua seção transversal, o campo de deslocamentos é descrito pela curva elástica, cuja deformação pode ser reduzida a um conjunto finito de parâmetros. De forma concreta, fixados os deslocamentos e rotações das seções extremas de uma viga elástica, é completamente determinada sua forma. Assim, para uma estrutura formada por barras longas elásticas, fixados os deslocamentos dos nós, é completamente determinada sua forma deformada. Resulta assim que as estruturas de barras longas podem ser tratadas aproximadamente mediante um número finito de graus de liberdade e que podem ser calculadas resolvendo um número finito de equações algébricas. O método matricial proporciona estas equações em forma de um sistema matricial que relaciona os deslocamentos das extremidades de barras com variáveis dependentes das forças exteriores.
Isto contrasta com a situação geral dos sólidos elásticos, onde o cálculo de suas tensões internas e deformações envolve a resolução de complexos sistemas de equações diferenciais em derivadas parciais.

## Descrição do método

O método matricial requer atribuir a cada barra elástica da estrutura uma matriz de rigidez, chamada matriz de rigidez do elemento. A partir do conjunto de matrizes de cada elemento, mediante uma matriz de conectividade, que estabelece a forma como cada barra é conectada com outra através dos nós, é obtida uma matriz de rigidez global, que relaciona os deslocamentos dos nós com as forças equivalentes sobre os mesmos.
Igualmente, a partir das forças aplicadas sobre cada barra se constrói o chamado vetor de forças nodais equivalentes que depende das ações externas sobre a estrutura. Junto com estas forças devem ser consideradas as possíveis reações sobre a estrutura em seus apoios (cujos valores são incógnitos).
Finalmente se constrói um sistema linear de equações, para os deslocamentos e as incógnitas. O número de reações incógnitas e deslocamentos incógnitos depende do número de nós: é igual a 3N para problemas bidimensionais, e igual a 6N para um problema tridimensional. Este sistema pode ser sempre dividido em dois subsistemas de equações desacopladas tal que
* Subsistema 1. Que agrupa todas as equações lineares do sistema original que contém somente deslocamentos incógnitos.
* Subsistema 2. Que agrupa o resto das equações, e que uma vez resolvido o subsistema 1 e substituídos seus valores no subsistema 2 permite encontrar os valores das reações incógnitas.
Resolvido o subsistema 1 que dá os deslocamento, é substituído o valor destes no subsistema 2, que é trivial de resolver. Finalmente, a partir das reações, forças nodais equivalentes e deslocamentos são calculados os esforço nos nós ou uniões das barras, a partir dos quais podem ser determinados os esforços em qualquer ponto da estrutura e portanto suas tensões máximas, que permitem dimensionar adequadamente todas as seções da estrutura.

### Matrizes de rigidez elementares

Para construir a matriz de rigidez da estrutura é necessário atribuir previamente a cada barra individual (elemento) uma matriz de rigidez elementar. Esta matriz depende exclusivamente de
* as condições de ligação em seus dois nós extremos
* as características da seção transversal da barra: área, momento de inércia de área e características geométricas gerais como comprimento da barra, curvatura, etc.
* número de graus de liberdade por nó, que depende de tratar-se de problemas bidimensionais ou tridimensionais.

#### Barra reta bidimensional com transmissão de momentos

Um nó onde se unem duas barras é denominado rígido ou engastado se o ângulo formado pelas duas barras após a deformação não muda em relação ao ângulo que formavam antes da deformação. Apesar de estarem impossibilitadas de mudar o ângulo entre as barras, as duas barras em conjunto podem rotacionar em relação ao nó, mantendo porém o ângulo formado. Para barras unidas rigidamente em seus dois extremos a matriz de rigidez elementar que representa adequadamente seu comportamento é expressa por
    $\left[K^{(e)}\right]={\begin{bmatrix}{\frac {EA}{L}}&0&0&-{\frac {EA}{L}}&0&0\\0&{\frac {12EI}{L^{3}}}&{\frac {6EI}{L^{2}}}&0&-{\frac {12EI}{L^{3}}}&{\frac {6EI}{L^{2}}}\\0&{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {4EI}{L}}&0&-{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {2EI}{L}}\\-{\frac {EA}{L}}&0&0&{\frac {EA}{L}}&0&0\\0&-{\frac {12EI}{L^{3}}}&-{\frac {6EI}{L^{2}}}&0&{\frac {12EI}{L^{3}}}&-{\frac {6EI}{L^{2}}}\\0&{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {2EI}{L}}&0&-{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {4EI}{L}}\end{bmatrix}}~~.$
Sendo aqui $L,A,I,\,$ as magnitudes geométricas (comprimento, área e momento de inércia) e $E\,$ o módulo de de elasticidade longitudinal (módulo de Young).
A matriz de rigidez de uma barra reta pode ser expressa abreviadamente na forma
    $\left[K^{(e)}\right]={\frac {EI}{L^{3}}}{\begin{bmatrix}\lambda _{k}^{2}&0&0&-\lambda _{k}^{2}&0&0\\0&12&6L&0&-12&6L\\0&6L&4L^{2}&0&-6L&2L^{2}\\-\lambda _{k}^{2}&0&0&\lambda _{k}^{2}&0&0\\0&-12&-6L&0&12&-6L\\0&6L&2L^{2}&0&-6L&4L^{2}\end{bmatrix}}~~,$
sendo $\lambda _{k}:={\sqrt {\frac {AL^{2}}{I}}}={\frac {L}{i_{giro}}}$ o índice de esbeltez.

#### Barra reta bidimensional com um nó articulado e outro rígido

Neste caso quando se impõem rotações no nó articulado não são transmitidos esforços sobre o nó não articulado. Neste caso a matriz de rigidez, usando a mesma notação da seção anterior, é expressa por
$\left[K^{(e)}\right]={\frac {EI}{L^{3}}}{\begin{bmatrix}\lambda _{k}^{2}&0&0&-\lambda _{k}^{2}&0&0\\0&3&3L&0&-3&0\\0&3L&3L^{2}&0&-3L&0\\-\lambda _{k}^{2}&0&0&\lambda _{k}^{2}&0&0\\0&-3&-3L&0&3&0\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}$
Onde foi suposto que o nó articulado é o segundo. Se fosse o primeiro, seria necessário permutar os elementos da matriz anterior para obter
$\left[K^{(e)}\right]={\frac {EI}{L^{3}}}{\begin{bmatrix}\lambda _{k}^{2}&0&0&-\lambda _{k}^{2}&0&0\\0&3&0&0&-3&3L\\0&0&0&0&0&0\\-\lambda _{k}^{2}&0&0&\lambda _{k}^{2}&0&0\\0&-3&0&0&3&-3L\\0&3L&0&0&-3L&3L^{2}\end{bmatrix}}$

#### Barra reta bidimensional com dois nós articulados

Posto que uma barra reta com nós articulados pode transmitir esforços somente ao longo de seu eixo, a correspondente matriz de rigidez desta barra tem componentes diferentes de zero apenas para os graus de liberdade longitudinais. Neste caso a matriz de rigidez é expressa por
$\left[K^{(e)}\right]={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}+1&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&+1&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}~~.$

#### Barra reta tridimensional de nós rígidos

Uma barra reta tridimensional tem 6 graus de liberdade por nó (3 de traslação e 3 de rotação), e como a barra tem dois nós, a matriz de rigidez é uma matriz 12 x 12. Ademais, uma barra tridimensional pode transmitir torção e também flexão e esforço cortante em duas direções diferentes, esta maior complexidade de comportamento estrutural faz com que uma barra tridimensional requeira mais graus de liberdade e uma matriz de rigidez mais complexa para descrever seu comportamento. Esta matriz é composta de 3 submatrizes
    $\left[K^{(e)}\right]={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {B} ^{T}\\\mathbf {B} &\mathbf {A} _{2}\end{bmatrix}}~~.$
As submatrizes são
    $\left[\mathbf {A} _{i}\right]={\begin{bmatrix}{\frac {EA}{L}}&0&0&0&0&0\\0&{\frac {12EI_{z}}{L^{3}}}&0&0&0&\epsilon _{i}{\frac {6EI_{z}}{L^{2}}}\\0&0&{\frac {12EI_{y}}{L^{3}}}&0&-\epsilon _{i}{\frac {6EI_{y}}{L^{2}}}&0\\0&0&0&{\frac {GJ}{L}}&0&0\\0&0&-\epsilon _{i}{\frac {6EI_{y}}{L^{2}}}&0&{\frac {4EI_{y}}{L}}&0\\0&\epsilon _{i}{\frac {6EI_{z}}{L^{2}}}&0&0&0&{\frac {4EI_{z}}{L}}\\\end{bmatrix}}$
    $\left[\mathbf {B} \right]={\begin{bmatrix}-{\frac {EA}{L}}&0&0&0&0&0\\0&-{\frac {12EI_{z}}{L^{3}}}&0&0&0&-{\frac {6EI_{z}}{L^{2}}}\\0&0&-{\frac {12EI_{y}}{L^{3}}}&0&+{\frac {6EI_{y}}{L^{2}}}&0\\0&0&0&-{\frac {GJ}{L}}&0&0\\0&0&-{\frac {6EI_{y}}{L^{2}}}&0&{\frac {2EI_{y}}{L}}&0\\0&{\frac {6EI_{z}}{L^{2}}}&0&0&0&{\frac {2EI_{z}}{L}}\\\end{bmatrix}}$
As magnitudes geométricas e mecânicas associadas à barra são
    $L,A;I_{y},I_{z};J\,$ são as magnitudes geométricas: comprimento da barra e sua área transversal, momentos de área nas direções y e z e módulo de torção, respectivamente.
    $E,G\,$ o módulo de Young e o módulo de cisalhamento.
    $\epsilon _{1}=+1,\epsilon _{2}=-1\,$ são sinais relativos.

### Forças nodais

Para cada barra se define um vetor elementar de forças nodais generalizadas, que seja estaticamente equivalente às forças aplicadas sobre a barra. A dimensão do vetor de forças nodais depende da dimensionalidade da barra:
    $\{\mathbf {F} ^{(e)}\}\in {\begin{cases}\mathbb {R} ^{6}&{\mbox{bidimensional}}\\\mathbb {R} ^{12}&{\mbox{tridimensional}}\end{cases}}$

#### Exemplo

Para as cargas mostradas na figura o vetor de forças nodais consiste em duas forças verticais (F$_{Vd}$, F$_{Vi}$) aplicadas em cada um dos dois extremos, duas forças horizontais (F$_{Hd}$, F$_{Hi}$) aplicadas em cada um dos extremos e dois momentos (M$_d$, M$_i$) aplicados em cada um dos extremos. Estas seis componentes formam o vetor de forças nodais. A força e o momento resultante destas seis componentes são estaticamente equivalentes ao sistema de forças original formado por P e q com
    $\{\mathbf {F} ^{(e)}\}={\begin{Bmatrix}F_{Hd}\\F_{Vd}\\M_{d}\\F_{Hi}\\F_{Vi}\\M_{i}\end{Bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{Bmatrix}{\frac {2}{3}}P\\-{\frac {20}{27}}P\\-{\frac {4}{27}}PL\\{\frac {1}{3}}P\\-{\frac {7}{27}}P\\+{\frac {2}{27}}PL\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}0\\+{\frac {13}{54}}qL\\-{\frac {1}{108}}qL^{2}\\0\\-{\frac {31}{54}}qL\\{\frac {1}{324}}qL^{2}\end{Bmatrix}}$

### Cálculo de deslocamentos

Uma vez encontrada a matriz de rigidez global e o vetor de forças nodais global se constrói um sistema de equações. Este sistema tem a propriedade de poder ser decomposto em dois subsistemas de equações:
* El primero de estos sistemas relaciona únicamente los desplazamientos incógnita con algunas de las componentes del vector de fuerzas nodales global y constituye siempre un sistema compatible determinado
* El segundo subsistema contiene también las reacciones incógnita y una vez resuelto el primer subsistema es de resolución trivial.
Resolvendo o primeiro subsistema são determinados os deslocamentos incógnitos de todos os nós da estrutura. Inserindo a solução do primeiro subsistema no segundo resultam as reaçõnes.
Ilustrando o cálculo dos deslocamentos com um exemplo, consideremos a flexão no plano XY da viga reta da seção anterior, considerando uma viga biarticulada unida em suas extremidade a duas rótulas fxas
${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{Bmatrix}{\frac {2}{3}}P\\-{\frac {20}{27}}P\\-{\frac {4}{27}}PL\\{\frac {1}{3}}P\\-{\frac {7}{27}}P\\+{\frac {2}{27}}PL\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}0\\+{\frac {13}{54}}qL\\-{\frac {1}{108}}qL^{2}\\0\\-{\frac {31}{54}}qL\\{\frac {1}{324}}qL^{2}\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}R_{H1}\\R_{V1}\\0\\R_{H2}\\R_{V2}\\0\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {EA}{L}}&0&0&-{\frac {EA}{L}}&0&0\\0&{\frac {12EI}{L^{3}}}&{\frac {6EI}{L^{2}}}&0&-{\frac {12EI}{L^{3}}}&{\frac {6EI}{L^{2}}}\\0&{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {4EI}{L}}&0&-{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {2EI}{L}}\\-{\frac {EA}{L}}&0&0&{\frac {EA}{L}}&0&0\\0&-{\frac {12EI}{L^{3}}}&-{\frac {6EI}{L^{2}}}&0&{\frac {12EI}{L^{3}}}&-{\frac {6EI}{L^{2}}}\\0&{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {2EI}{L}}&0&-{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {4EI}{L}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}0\\0\\\theta _{1}\\0\\0\\\theta _{2}\end{Bmatrix}}$
As linhas 3 e 6 contém as rotações incógnitas dos extremos da viga e consideradas em conjunto conformam o primeriro subsistema para os deslocamentos. Ignorando os termos nulos e reescrevendo em forma matricial o subsistema de equações para os deslocamentos resulta
${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{Bmatrix}-{\frac {4}{27}}PL\\+{\frac {2}{27}}PL\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}-{\frac {1}{108}}qL^{2}\\{\frac {1}{324}}qL^{2}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {4EI}{L}}&{\frac {2EI}{L}}\\{\frac {2EI}{L}}&{\frac {4EI}{L}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\theta _{1}\\\theta _{2}\end{Bmatrix}}~~.$
A solução fornece os valores das rotações nas extremidades direita e esquerda sob estas cargas
$\theta _{1}=-{\frac {5}{81{\sqrt {2}}}}{\frac {PL^{2}}{EI}}-{\frac {7}{1944}}{\frac {qL^{3}}{EI}}\qquad \theta _{2}=+{\frac {4}{81{\sqrt {2}}}}{\frac {PL^{2}}{EI}}+{\frac {5}{1944}}{\frac {qL^{3}}{EI}}$
Conhecidos estes valores e inseridos na matriz nas linhas 1, 2, 4 e 5, são determinados os valores das quatro reações hiperestáticas previamente desconhecidas.

### Cálculo das reações

Calculados os deslocamentos e resolvendo um sistema de equações, o cálculo das reações é simples e direto
${\begin{Bmatrix}R_{1}\\R_{2}\\...\\R_{n}\end{Bmatrix}}_{G}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&\cdots &k_{1n}\\k_{21}&k_{22}&\cdots &k_{2n}\\\cdots &\cdots &\ddots &\cdots \\k_{n1}&k_{n2}&\cdots &k_{nn}\end{bmatrix}}_{G}{\begin{Bmatrix}\delta _{1}\\\delta _{2}\\...\\\delta _{n}\end{Bmatrix}}_{G}-{\begin{Bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\...\\F_{n}\end{Bmatrix}}_{G}$
Considerando o mesmo exemplo da última seção o cálculo de reações na viga biarticulada com carga P e q resulta
${\begin{Bmatrix}R_{H1}\\R_{V1}\\0\\R_{H2}\\R_{V2}\\0\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {EA}{L}}&0&0&-{\frac {EA}{L}}&0&0\\0&{\frac {12EI}{L^{3}}}&{\frac {6EI}{L^{2}}}&0&-{\frac {12EI}{L^{3}}}&{\frac {6EI}{L^{2}}}\\0&{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {4EI}{L}}&0&-{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {2EI}{L}}\\-{\frac {EA}{L}}&0&0&{\frac {EA}{L}}&0&0\\0&-{\frac {12EI}{L^{3}}}&-{\frac {6EI}{L^{2}}}&0&{\frac {12EI}{L^{3}}}&-{\frac {6EI}{L^{2}}}\\0&{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {2EI}{L}}&0&-{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {4EI}{L}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}0\\0\\\theta _{1}\\0\\0\\\theta _{2}\end{Bmatrix}}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{Bmatrix}{\frac {2}{3}}P\\-{\frac {20}{27}}P\\-{\frac {4}{27}}PL\\{\frac {1}{3}}P\\-{\frac {7}{27}}P\\+{\frac {2}{27}}PL\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}0\\+{\frac {13}{54}}qL\\-{\frac {1}{108}}qL^{2}\\0\\-{\frac {31}{54}}qL\\{\frac {1}{324}}qL^{2}\end{Bmatrix}}$
Introduzindo os valores das rotações nas extremidades e multiplicando a matriz de rigidez pelo vetor de deslocamentos resulta
${\begin{Bmatrix}R_{H1}\\R_{V1}\\R_{H2}\\R_{V2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\{\frac {6EI}{L^{2}}}(\theta _{1}+\theta _{2})\\0\\{\frac {6EI}{L^{2}}}(\theta _{1}+\theta _{2})\end{Bmatrix}}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{Bmatrix}{\frac {2}{3}}P\\-{\frac {20}{27}}P\\{\frac {1}{3}}P\\-{\frac {7}{27}}P\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}0\\+{\frac {13}{54}}qL\\0\\-{\frac {31}{54}}qL\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\frac {2}{3{\sqrt {2}}}}P\\{\frac {18}{27{\sqrt {2}}}}P-{\frac {20}{81}}qL\\{\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}P\\{\frac {5}{27{\sqrt {2}}}}P+{\frac {46}{81}}qL\end{Bmatrix}}$
Isto completa o cálculo das reações.

### Cálculo de esforços

O cálculo de esforços se realiza examinando em coordenadas locais das barras o esforço normal, esforço cortante, momento fletor e momento torsor em cada uma das barras, conhecidos os deslocamentos de todos os nós da estrutura. Isto pode ser realizado usando as matrizes de rigidez expressas em coordenadas locais e os deslocamentos nodais expressos também em coordenadas locais.