Monoide
# Monoide

Em álgebra abstrata, um monoide é uma estrutura algébrica com uma única operação binária, associativa e com um elemento neutro.
Monoides ocorrem em alguns ramos da matemática. Em geometria, um monoide captura a ideia de composição de função. Essa noção é abstraída da teoria das categorias, no qual o monoide é uma categoria com um objeto. Os monoides são usados comumente para fornecer fundações algébricas à ciência da computação. Nesse caso, alguns tipos de monoides são usados para descrever uma máquina de estado finito.

## Definição formal

Um monoide pode ser definido de três maneiras completamente equivalentes. Sendo $*$ uma operação qualquer:
* é um conjunto G dotado de uma operação binária para a qual valem as seguintes propriedades:
** fechamento: dado $a,b\in G$ o elemento resultante da composição de $a$ e $b$ pertence a $G$ ($a*b\in G$);
** associatividade: para todos $a,b,c\in G$ vale $\left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)=a*b*c$;
** existência do elemento neutro: existe um único $e$ tal que para todo $a\in G$ vale $\left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)$.
* é um magma dotado das propriedades:
** associativa (associatividade) para todos $a,b,c\in G$ vale $\left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)=a*b*c$;
** existência de um elemento neutro $e$ tal que existe um único $e$ tal que para todo $a\in G$ vale $\left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)$.
* é um semi-grupo dotado da existência de um elemento neutro $e$: existe um único $e$ tal que para todo $a\in G$ vale $\left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)$.
Um monoide para o qual todo elemento possui elemento inverso é um grupo.
Um monoide é puro quando o único elemento que possui inverso é a identidade.

## Propriedades

* Em um monoide, se um elemento tem um inverso, então o inverso é único.
* O conjunto dos elementos inversíveis de um monoide M, Inv M, é um grupo.