Torsão de uma curva
# Torsão de uma curva

A torção(τ) é uma propriedade de curvas no espaço tridimensional (r). Essa propriedade mede o quanto uma curva se projeta para fora do plano de curvatura por meio de um movimento "torsional" que pode ser no sentido de aproximar-se ou afastar-se do vetor normal.
Calcular a torção por esse método é extremamente trabalhoso porque envolve achar o vetor binormal ${\textbf {B}}$ dado pelo produto vetorial ${\textbf {T}}\times {\textbf {N}}$ o que por sua vez envolve achar os vetores normal ${\textbf {N}}$ e tangente ${\textbf {T}}$ incluindo normalizações e algumas derivações.
Fórmulas mais simples podem ser deduzidas para a torção e para a curvatura que envolvem apenas o vetor ${\textbf {r}}$ e suas derivadas, tornando o cálculo destas uma tarefa consideravelmente mais simples. Elas são dadas por:
$\tau ={\frac {{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''.{\textbf {r}}'''}{||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||^{2}}}$ (torção) e $\kappa ={\frac {||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||}{||{\textbf {r}}'||^{3}}}$ (curvatura)

## Demonstração

Seja $\mathbf {r} (t)$ a parametrização de uma curva e $s(t)=\int _{0}^{t}\|r'(t)\|dt$. Então vale:
1. ${\textbf {s}}'=||{\textbf {r}}'||$
2. ${\textbf {T}}'=s'\kappa {\textbf {N}}$
3. ${\textbf {N}}'=s'\tau {\textbf {B}}-s'\kappa {\textbf {T}}$,
onde $\mathbf {T}$, $\mathbf {N}$ e $\mathbf {B}$ são os vetores unitários tangente, normal e binormal, respectivamente.
A ideia é calcular as três primeiras derivadas de ${\textbf {r}}$ e relacioná-las à torção e curvatura. Dessa forma:
${\textbf {r}}'=||{\textbf {r}}'||{\textbf {T}}$ onde fizemos a decomposição do vetor ${\textbf {r}}$ em módulo $||{\textbf {r}}'||$ e direção ${\textbf {T}}$
${\textbf {r}}'=s'{\textbf {T}}$ onde utilizamos a igualdade 1.
A derivada segunda de ${\textbf {r}}$ é dada pela derivação da expressão acima de ${\textbf {r}}'$ utilizando a regra do produto:
${\textbf {r}}''=s''{\textbf {T}}+s'{\textbf {T}}'$
Utilizando a igualdade 2. temos:
${\textbf {r}}''=s''{\textbf {T}}+s'^{2}\kappa {\textbf {N}}$
Calculemos a derivada de terceira ordem de ${\textbf {r}}$ derivando a expressão anterior para ${\textbf {r}}''$ :
${\textbf {r}}'''=s'''{\textbf {T}}+s''{\textbf {T}}'+2s's''\kappa {\textbf {N}}+s'^{2}(\kappa '{\textbf {N}}+\kappa {\textbf {N}}')$ onde utilizamos apenas a regra do produto.
Lançando mão das igualdades 2. e 3. (evidenciadas entre colchetes)
${\textbf {r}}'''=s'''{\textbf {T}}+s''[s'\kappa {\textbf {N}}]+2s's''\kappa {\textbf {N}}+s'^{2}(\kappa '{\textbf {N}}+\kappa [s'\tau {\textbf {B}}-s'\kappa {\textbf {T}}])$
Simplificando e colocando ${\textbf {T}}$, ${\textbf {N}}$ e ${\textbf {B}}$ em evidência:
${\textbf {r}}'''=(s'''-s'^{3}\kappa ^{2}){\textbf {T}}+(3s''s'\kappa +s'^{2}\kappa '){\textbf {N}}+(s'^{3}\kappa \tau ){\textbf {B}}$
Nossas três derivações ficaram assim:
${\textbf {r}}'=s'{\textbf {T}}$
${\textbf {r}}''=s''{\textbf {T}}+s'\kappa {\textbf {N}}$
${\textbf {r}}'''=(s'''-s'^{3}\kappa ^{2}){\textbf {T}}+(3s''s'\kappa +s'^{2}\kappa '){\textbf {N}}+(s'^{3}\kappa \tau ){\textbf {B}}$
Observemos que
${\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''=(s'{\textbf {T}})\times (s''{\textbf {T}}+s'^{2}\kappa {\textbf {N}})$
${\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''=s'^{3}\kappa {\textbf {B}}$
Tomando o módulo temos:
$||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||=||s'^{3}\kappa {\textbf {B}}||$
$||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||=\kappa ||s'^{3}||$ lembrando que o vetor binormal ${\textbf {B}}$ é unitário
Isolando $\kappa$ obtemos nosso primeiro resultado:
$\kappa ={\frac {||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||}{||s'^{3}||}}$ (curvatura)
Agora tomemos o produto escalar de ${\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''$ com ${\textbf {r}}'''$
${\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''\cdot {\textbf {r}}'''=s'^{3}\kappa {\textbf {B}}\cdot [(s'''-s'^{3}\kappa ^{2}){\textbf {T}}+(3s''s'\kappa +s'^{2}\kappa '){\textbf {N}}+(s'^{3}\kappa \tau ){\textbf {B}}]$
O que se reduz a:
${\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''\cdot {\textbf {r}}'''=s'^{3}\kappa {\textbf {B}}\cdot (s'^{3}\kappa \tau ){\textbf {B}}$
${\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''\cdot {\textbf {r}}'''=s'^{6}\kappa ^{2}\tau$
Sendo $||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||=s'^{3}\kappa$, temos:
${\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''\cdot {\textbf {r}}'''=(s'^{3}\kappa )^{2}\tau =||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||^{2}\tau$
Isolando $\tau$:
$\tau ={\frac {{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''\cdot {\textbf {r}}'''}{||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||^{2}}}$ (torção)
que é o nosso segundo e principal resultado.

## Propriedades da torção

A torção mede a variação do vetor binormal em relação ao comprimento da curva(s).
Além de usar a curva r para calcular a torção, pode-se usar o vetor binormal.
${dB \over ds}={d(T\times N) \over ds}={dT \over ds}\times N+T\times {dN \over ds}$
Como ${dT \over ds}=\kappa N$, ${dB \over ds}=T\times {dN \over ds}$.
Isso implica que ${dB \over ds}$ é ortogonal a T e ${dB \over ds}$ é ortogonal a B.
Logo, ${dB \over ds}$é paralelo a N, ou seja, ${dB \over ds}=-\tau N$.
O sinal negativo indica que quando $\tau >0,{dB \over ds}$ está no sentido -${\textbf {N}}$. Então, se P é um ponto sobre a curva movendo-se no sentido positivo, ${\textbf {B}}$ gira em torno de ${\textbf {T}}$ como um parafuso de rosca direita sendo apertado, caso seja negativa, seria como um parafuso de rosca esquerda.
Quanto maior o valor da torção, mais esticada são as curvas. No entanto, se esticada até o infinito, a curva passa a ser uma reta.