Método do fator integrante
# Método do fator integrante

As equações diferenciais lineares de primeira ordem possuem muitas aplicações e é uma das primeiras classes de equações abordadas nos cursos de EDO. A forma mais geral de uma equação diferencial ordinária, linear e de primeira ordem é $y'+p(x)y=q(x)$, onde $p$ e $q$ são funções contínuas em um intervalo I.
Observação: Quando q(x)=0 para todo $x$∈I a equação é dita Equação Homogênea.
O Fator Integrante é uma função tal que o produto da EDO por ela faz com que o lado esquerdo da equação possa ser visto como a derivada do produto de duas funções, a saber $y$ e o fator integrante, isto é, o Método do Fator Integrante para resolução de EDO lineares de primeira ordem consiste em supor que exista uma função u(x) tal que,
    $u(x)y'+u(x)p(x)y=u(x)q(x)$
e além disso
    $u(x)y'+u(x)p(x)y={\frac {d}{dx}}(u(x)y)$
Daí, sendo y≠0 e u(x)≠0, temos que:
    $u(x)y'+u(x)p(x)y=u(x)y'+u'(x)y$ ⇒ $u(x)p(x)=u'(x)$
Logo,
    ${\frac {u'(x)}{u(x)}}=p(x)$
Note que,
    ${\frac {d}{dx}}(\ln {u(x)})={\frac {u'(x)}{u(x)}}$
Daí,
    ${\frac {d}{dx}}(\ln {u(x)})=p(x)$⇒$\ln {u(x)}=\int p(x)dx+C$, onde C=0.
Portanto, $u(x)=e^{\int p(x)dx}$
Lembrando que:
${\frac {d}{dx}}(u(x)y)=u(x)q(x)$
Então,
$u(x)y=\int u(x)q(x)dx$
E finalmente obtemos:
    $y={\frac {\int u(x)q(x)dx+C}{u(x)}}$
Onde o valor de $u(x)$ já foi deduzido.Esta última expressão é chamada solução geral da EDO.