Coeficiente de correlação de postos de Spearman
# Coeficiente de correlação de postos de Spearman

Em estatística, o coeficiente de correlação de postos de Spearman ou rô de Spearman, que recebe este nome em homenagem ao psicólogo e estatístico Charles Spearman, frequentemente denotado pela letra grega $\rho$ (rô) ou $r_{s}$, é uma medida não paramétrica de correlação de postos (dependência estatística entre a classificação de duas variáveis). O coeficiente avalia com que intensidade a relação entre duas variáveis pode ser descrita pelo uso de uma função monótona. A correlação de Spearman entre duas variáveis é igual à correlação de Pearson entre os valores de postos daquelas duas variáveis. Enquanto a correlação de Pearson avalia relações lineares, a correlação de Spearman avalia relações monótonas, sejam elas lineares ou não. Se não houver valores de dados repetidos, uma correlação de Spearman perfeita de +1 ou -1 ocorre quando cada uma das variáveis é uma função monótona perfeita da outra.
Intuitivamente, a correlação de Spearman entre duas variáveis será alta quando observações tiverem uma classificação semelhante (ou idêntica no caso da correlação igual a 1) entre as duas variáveis, isto é, a posição relativa das observações no interior da variável (1º, 2º, 3º, etc.), e baixa quando observações tiverem uma classificação dessemelhante (ou completamente oposta no caso da correlação igual a -1) entre as duas variáveis.
O coeficiente de Spearman é apropriado tanto para variáveis contínuas, como para variáveis discretas, incluindo variáveis ordinais. Tanto o $\rho$ de Spearman, como o $\tau$ de Kendall pode ser formulados como casos especiais de um coeficiente de correlação mais geral.

## Definição e cálculo

O coeficiente de correlação de Spearman é definido como o coeficiente de correlação de Pearson entre variáveis classificadas em postos.
Para uma amostra de tamanho $n$, os $n$ dados brutos $X_{i},Y_{i}$ são convertidos em postos $\operatorname {rg} X_{i},\operatorname {rg} Y_{i}$ e $r_{s}$ é computado a partir de:
    $r_{s}=\rho _{\operatorname {rg} _{X},\operatorname {rg} _{Y}}={\frac {\operatorname {cov} (\operatorname {rg} _{X},\operatorname {rg} _{Y})}{\sigma _{\operatorname {rg} _{X}}\sigma _{\operatorname {rg} _{Y}}}},$
    em que
   * $\rho$ denota o usual coeficiente de correlação de Pearson, mas aplicado às variáveis em postos;
   * $\operatorname {cov} (\operatorname {rg} _{X},\operatorname {rg} _{Y})$ é a covariância das variáveis em postos;
   * $\sigma _{\operatorname {rg} _{X}}$ e $\sigma _{\operatorname {rg} _{Y}}$ são os desvios padrão das variáveis em postos.
Apenas se todos os postos $n$ forem números inteiros distintos, o coeficiente pode ser calculado usando a fórmula popular:
    $r_{s}={1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}},$
    em que
   * $d_{i}=\operatorname {rg} (X_{i})-\operatorname {rg} (Y_{i})$ é a diferença entre os dois postos de cada observação;
   * $n$ é o número de observações.
Quando há valores idênticos, geralmente se atribui a cada valor um posto fracionário igual à média de suas posições na ordem ascendente dos valores, que é equivalente ao cálculo da média de todas as permutações possíveis.
Se valores repetidos estiverem presentes nos conjuntos de dados, a equação produz resultados incorretos. Apenas se, em ambas as variáveis, todos os postos forem distintos, então, $\sigma _{\operatorname {rg} _{X}}\sigma _{\operatorname {rg} _{Y}}=\operatorname {Var} {\operatorname {rg} _{X}}=\operatorname {Var} {\operatorname {rg} _{Y}}=n(n^{2}-1)/6$ (vide número tetraédrico $T_{n-1}$). A primeira equação — normalizando pelo desvio padrão — pode ser usada até mesmo quando os postos forem normalizados a $[0;1]$ ("postos relativos"), porque não é sensível tanto à translação, quanto ao escalonamento linear.
Este método também não deve ser usado em casos em que o conjunto de dados estiver truncado, isto é, quando o coeficiente de correlação de Spearman for desejado para os $X$ registros do topo (seja pelos postos pré-mudança, pelos postos pós-mudança ou ambos). Neste caso, deve-se usar a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson descrita acima.
O erro padrão $\sigma$ do coeficiente foi determinado pelo estatístico britânico Karl Pearson em 1907 e pelo matemático britânico Thorold Gosset em 1920, sendo:
    $\sigma _{r_{s}}={\frac {0.6325}{\sqrt {n-1}}}.$

## Quantidades relacionadas

Correlações de postos de Spearman positiva e negativa :
| Um coeficiente de correlação de Spearman positivo corresponde a uma tendência monotônica crescente entre $X$ e $Y$. | Um coeficiente de correlação de Spearman negativo corresponde a uma tendência monotônica decrescente entre $X$ e $Y$. |
Há várias outras medidas numéricas que quantificam a intensidade da dependência estatística entre parers de observações. A mais comum é o coeficiente de correlação produto-momento de Pearson, que é um método de correlação semelhante ao coeficiente de correlação de postos de Spearman, que mede as relações "lineares" entre números brutos, não entre seus postos.
Um nome alternativo para a correlação de postos de Spearman é "correlação de grau". Nesta denominação, o "posto" de uma observação é substituído pelo "grau". Em distribuições contínuas, o grau de uma observação é, por convenção, sempre uma metade menor que o posto. Assim, as correlações entre graus e postos são iguais neste caso. De forma mais generalizada, o "grau" de uma observação é proporcional ao valor estimado da fração de uma população menor que um dado valor, com o ajuste da meia-observação nos valores observados. Assim, isto corresponde a um tratamento possível de postos empatados. Ainda que incomum, o termo "correlação de grau" ainda está em uso.

## Interpretação

O sinal da correlação de Spearman indica a direção da associação entre $X$ (a variável independente) e $Y$ (a variável dependente). Se $Y$ tende a aumentar quando $X$ aumenta, o coeficiente de correlação de Spearman é positivo. Se $Y$ tende a diminuir quando $X$ aumenta, o coeficiente de correlação de Spearman é negativo. Um coeficiente de Spearman igual a zero indica que não há tendência de que $Y$ aumente ou diminua quando $X$ aumenta. A correlação de Spearman aumenta em magnitude conforme $X$ e $Y$ ficam mais próximas de serem funções monótonas perfeitas uma da outra. Quando $X$ e $Y$ são perfeitamente monotonamente relacionadas, o coeficiente de correlação de Spearman se torna 1. Uma relação crescente monótona perfeita implica que, para quaisquer dois pares de valores de dados $X_{i},Y_{i}$ e $X_{j},Y_{j}$, X$_i$ − X$_j$ e Y$_i$ − Y$_j$ terão sempre o mesmo sinal. Uma relação decrescente monótona perfeita implica que estas diferenças terão sempre sinais opostos.
O coeficiente de correlação de Spearman é frequentemente descrito como sendo "não paramétrico". Isto pode ter dois sentidos. Em primeiro lugar, uma correlação de Spearman perfeita ocorre quando $X$ e $Y$ estão relacionados por qualquer função monótona, em contraste com a correlação de Pearson, que só dá um valor perfeito quando $X$ e $Y$ estão relacionadas por uma função linear. O outro sentido em que a correlação de Spearman é não paramétrica se refere ao fato de que sua exata distribuição de amostragem pode ser obtida sem conhecimento (isto é, sem informação sobre os parâmetros) quanto à distribuição de probabilidade conjunta de $X$ e $Y$.

## Exemplo

Neste exemplo, os dados brutos na tabela abaixo são usados para calcular a correlação entre o QI de uma pessoa e o número de horas em que assiste televisão por semana.
| QI, $X_{i}$ | Horas de TV por semana, $Y_{i}$ |
| 106 | 7 |
| 86 | 0 |
| 100 | 27 |
| 101 | 50 |
| 99 | 28 |
| 103 | 29 |
| 97 | 20 |
| 113 | 12 |
| 112 | 6 |
| 110 | 17 |
Primeiro, é necessário achar o valor do termo $d_{i}^{2}$. Para fazer isto, executam-se os seguintes passos, refletidos na tabela abaixo:
* Ordene os dados de acordo com a primeira coluna ($X_{i}$). Crie uma nova coluna $x_{i}$ e atribua a esta coluna os valores dos postos $1,2,3,...,n$;
* Em seguida, ordene os dados de acordo com a segunda coluna ($Y_{i}$). Crie uma quarta coluna $y_{i}$ e, analogamente, atribua a esta coluna os valores dos postos $1,2,3,...,n$;
* Crie uma quinta coluna $d_{i}$ para conter as diferenças entre os postos das duas colunas $x_{i}$ e $y_{i}$;
* Crie uma última coluna $d_{i}^{2}$ para conter os quadrados dos valores da coluna $d_{i}$.
| QI, $X_{i}$ | Horas de TV por semana, $Y_{i}$ | posto $x_{i}$ | posto $y_{i}$ | $d_{i}$ | $d_{i}^{2}$ |
| 86 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 97 | 20 | 2 | 6 | −4 | 16 |
| 99 | 28 | 3 | 8 | −5 | 25 |
| 100 | 27 | 4 | 7 | −3 | 9 |
| 101 | 50 | 5 | 10 | −5 | 25 |
| 103 | 29 | 6 | 9 | −3 | 9 |
| 106 | 7 | 7 | 3 | 4 | 16 |
| 110 | 17 | 8 | 5 | 3 | 9 |
| 112 | 6 | 9 | 2 | 7 | 49 |
| 113 | 12 | 10 | 4 | 6 | 36 |
Calculados os valores $d_{i}^{2}$, são somados para encontrar $\sum d_{i}^{2}=194$. O valor de $n$ é 10. Agora, estes valores podem ser substituidos na equação $\rho =1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}$:
    $\rho =1-{\frac {6\times 194}{10(10^{2}-1)}},$
o que resulta em ρ = −29/165 = −0,175757575... com um valor-p igual a 0,627188, usando a distribuição t de Student.
Este valor baixo mostra que a correlação entre QI e número de horas na frente da TV é muito baixa, ainda que o valor negativo sugira que, quanto mais tempo se passa assistindo televisão, mais baixo o QI. No caso de empates nos dados originais, esta fórmula não deve ser usada. Em vez disso, o coeficiente de correlação de Pearson deve ser calculado nos postos (quando se atribuem postos aos empates, como descrito acima).

## Determinação da significância

Uma abordagem para testar se um valor observado de $\rho$ é significantemente diferente de zero ($r$ sempre se manterá entre -1 e 1) consiste em calcular a probabilidade de que seria maior ou igual ao $r$ observado, dada a hipótese nula, ao usar um teste de permutação. Uma vantagem desta abordagem é que ela automaticamente leva em conta o número de valores empatados de dados na amostra e a forma como são tratados ao computar a correlação de postos.
Uma abordagem faz paralelo ao uso da transformação de Fisher no caso do coeficiente de correlação produto-momento de Pearson, isto é, intervalos de confiança e testes de hipóteses relativos ao valor da população $\rho$ podem ser conduzidos usando a transformação de Fisher:
    $F(r)={1 \over 2}\ln {1+r \over 1-r}=\operatorname {artanh} (r).$
Se $F(r)$ for a transformação de Fisher de $r$, o coeficiente de correlação de postos de Spearman amostral, e $n$ for o tamanho da amostra, então:
    $z={\sqrt {\frac {n-3}{1.06}}}F(r)$
é um escore padronizado para $r$ que segue aproximadamente uma distribuição normal padrão sob a hipótese nula da independência estatística ($\rho =0$).
Pode-se também testar por significância usando:
    $t=r{\sqrt {\frac {n-2}{1-r^{2}}}}$
que é aproximadamente distribuído como a distribuição t de Student com $n-2$ graus de liberdade sob a hipótese nula. Uma justificação para este resultado se baseia em um argumento de permutação.
Uma generalização do coeficiente de Spearman é útil na situação em que há três ou mais condições, uma quantidade de sujeitos é toda observada em cada uma delas e se prevê que as observações terão uma ordem particular. Por exemplo, cada sujeito deste grupo será avaliado três vezes fazendo a mesma tarefa e se prevê que a performance melhorará a cada avaliação. Um teste da significância da tendência entre condições nesta situação foi desenvolvido por Ellis Batten Page, sendo usualmente chamado de teste de tendência de Page para alternativas ordenadas.

## Análise de correspondência baseada no rô de Spearman

A análise de correspondência clássica é um método estatístico que dá um escore para todo valor de duas variáveis nominais. Desta forma, o coeficiente de correlação de Pearson entre eles é maximizado.
Há um equivalente deste método, chamado de análise de correspondência de grau, que maximiza o rô de Spearman e o tau de Kendall.