Testes de convergência
# Testes de convergência

Na matemática, os testes de convergência são métodos para confirmar e testar a convergência, convergência condicional, convergência absoluta, intervalo de convergência ou divergência de uma série infinita $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ .

## Lista de testes
### Limite da soma

Se o limite da soma for indefinido ou diferente de zero, isso é $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$, então a série deve divergir. Nesse sentido, as somas parciais são de Cauchy apenas se esse limite existir e for igual a zero. O teste é inconclusivo se o limite da soma for zero.

### Teste de razão

Isso também é conhecido como critério de D'Alembert .
    Suponha que existe $r$ de tal modo que
       $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$
    Se r <1, a série é absolutamente convergente. Se r > 1, então a série diverge. Se r = 1, o teste de razão é inconclusivo e as séries podem convergir.

### Teste de raiz

Este teste também é conhecido como o n-ésimo teste de raiz ou critério de Cauchy.
    Seja:
       $r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$
    Onde $\limsup$ denota o limite superior (possivelmente $\infty$ ; se o limite existe, é o mesmo valor).
    Se r <1, a série converge. Se r > 1, então a série diverge. Se r = 1, o teste de raiz é inconclusivo e a série pode convergir ou divergir.
O teste de raiz é mais forte do que o teste de razão uma vez que sempre que o teste de razão determina a convergência ou divergência de uma série infinita, o teste de raiz também, mas não o contrário.
Por exemplo, para a série
    1 + 1 + 0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,125 + 0,125 + ... = 4
Vemos que a convergência decorre do teste de raiz, mas não do teste de razão.

### Teste da integral

A série pode ser comparada a uma integral para estabelecer convergência ou divergência. Considerando $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$ sendo uma função não negativa e monotonicamente decrescente, de modo que $f(n)=a_{n}$ .
    E se
       $\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,$
    então a série converge. De maneira análoga, se a integral diverge, a série também diverge.
    Em outras palavras, a série ${a_{n}}$ converge se e somente se a integral convergir.

### Teste da comparação direta

Se a série $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ é uma série absolutamente convergente e $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ para n suficientemente grande, então a série $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge absolutamente.

### Teste da comparação no limite

Se $\{a_{n}\},\{b_{n}\}>0$, (ou seja, cada elemento das duas sequências é positivo) e o limite $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ existe, é finito e diferente de zero, então $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge se e somente se $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ diverge.

### Teste de condensação de Cauchy

Seja $\left\{a_{n}\right\}$ uma sequência positiva não crescente. Então a soma $A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge se e somente se a soma $A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}$ converge. Além disso, se eles convergirem, então $A\leq A^{*}\leq 2A$ é válida.

### Teste de Abel

Suponha que as seguintes afirmações sejam verdadeiras:
* $\sum a_{n}$ é uma série convergente,
* $\left\{b_{n}\right\}$ é uma sequência monotônica, e
* $\left\{b_{n}\right\}$ é limitado.
Então $\sum a_{n}b_{n}$ também é convergente.

### Teste da série alternada

Esse teste também é conhecido como o critério de Leibniz.
Suponha que os seguintes postulados:
* $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ ,
* para cada n, $a_{n+1}\leq a_{n}$
Então $\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$ e $\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}$ são séries convergentes.