Spherium
# Spherium

O modelo spherium consiste de dois elétrons presos na superfície de uma esfera de raio $R$. Ele tem sido usado por Berry e colaboradores para entender tantos sistemas fracamente e fortemente correlacionados e sugeri uma versão "alternativa" para a regra de Hund. Seidl estuda esse sistema no contexto da teoria do funcional da densidade (DFT) para desenvolver a nova funcionais correlaçõe dentro da conexão adiabática.

## Definição e solução

O Hamiltoniano eletrônico em unidades atômicas, é
    ${\hat {H}}=-{\frac {\nabla _{1}^{2}}{2}}-{\frac {\nabla _{2}^{2}}{2}}+{\frac {1}{u}}$
onde $u$ é a distância intereletrônica. Para os estados singletos, pode ser mostrado que a função de onda $$ satisfaz a equação de Schrödinger
    $\left({\frac {u^{2}}{4R^{2}}}-1\right){\frac {d^{2}S(u)}{du^{2}}}+\left({\frac {3u}{4R^{2}}}-{\frac {1}{u}}\right){\frac {dS(u)}{du}}+{\frac {1}{u}}S(u)=ES(u)$
Introduzindo a variável adimensional $x=u/2R$, isso se torna uma função de Heun com pontos singulares em $x=-1,0,+1$. Com base nas conhecidas soluções de Heun, buscamos funções de onda da forma
    $S(u)=\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}\,u^{k}$
e substituição na equação anterior produz arelação de recorrência
    $s_{k+2}={\frac {s_{k+1}+\left[k(k+2){\frac {1}{4R^{2}}}-E\right]s_{k}}{(k+2)^{2}}}$
com os valores iniciais $s_{0}=s_{1}=1$. Assim, a condição de cúspide Kato é
    ${\frac {S'(0)}{S(0)}}=1$.
A função de onda reduz para o polinomial
    $S_{n,m}(u)=\sum _{k=0}^{n}s_{k}\,u^{k}$
(onde $m$ o número de raízes entre $0$ e $2R$) se, e somente se, $s_{n+1}=s_{n+2}=0$. Assim, a energia $E_{n,m}$ é uma raiz da equação polinomial $s_{n+1}=0$ (onde $\deg s_{n+1}=\lfloor (n+1)/2\rfloor$) e o raio correspondente $R_{n,m}$ é encontrado a partir da equação anterior, o que gera
    $R_{n,m}^{2}E_{n,m}={\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}+1\right)$
$S_{n,m}(u)$ é a exata função de onda do $m$-esimo estado excitado da simetria singleto S para o raio $R_{n,m}$.
Sabemos que a partir do trabalho de Loos e Gill que a energia HF do menor estado singleto S $E_{\rm {HF}}=1/R$. Segue-se que a exata correlação energia para $R={\sqrt {3}}/2$ é $E_{\rm {corr}}=1-2/{\sqrt {3}}\approx -0.1547$ que é muito maior do que a limitação da correlação das energias do íons como hélio ($-0.0467$) ou os átomos de Hooke ($-0.0497$). Isso confirma a visão de que a correlação de elétron na superfície de uma esfera é qualitativamente diferente do que em três dimensões de espaço físico.

## Spherium em uma esfera tridimensional

Trabalhos recentes de Loos et al. considerado o caso de dois elétrons confinados em uma esfera tridimensional se repelindo coulombicalmente. Eles relatam um estado fundamental de energia de ($-.0476$).

## Veja também

* Lista de sistemas de mecânica quântica com soluções analíticas