Teorema de Linnik
# Teorema de Linnik

Em teoria analítica dos números o Teorema de Linnik é uma resposta a uma questão sobre Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas. Ele afirma que existem números positivos c e L tais que, se representarmos p(a,d) o menor primo em progressão aritmética
    $a+nd,\$
onde n percorre o conjunto dos inteiros positivos; e a e d são quaisquer inteiros co-primos no intervalo 1 ≤ a ≤ d - 1, então:
    $p(a,d)<cd^{L}.\;$
O teorema tem este nome devido a Yuri Vladimirovitch Linnik, que o provou em 1944. Embora a prova de Linnik mostrasse que c e L serem efetivamente computáveis, ele não forneceu valores numéricos para eles.

## Propriedades

Sabe-se que para L ≤ 2 para quase todos os inteiros d.
Na hipótese generalizada de Riemann pode-se mostrar que
    $p(a,d)\leq (1+o(1))\varphi (d)^{2}\ln ^{2}d\;,$
onde $\varphi$ é a função totiente.
Há ainda uma conjectura de que:
    $p(a,d)<d^{2}.\;$

## Limites para L

A constante L é chamada de constante de Linnik e a tabela a seguir mostra o progresso que tem sido feito em determinar seu tamanho.
| L ≤ | Ano de publicação | Autor |
| 10000 | 1957 | Pan |
| 5448 | 1958 | Pan |
| 777 | 1965 | Chen |
| 630 | 1971 | Jutila |
| 550 | 1970 | Jutila |
| 168 | 1977 | Chen |
| 80 | 1977 | Jutila |
| 36 | 1977 | Graham |
| 20 | 1981 | Graham (submetido antes do trabalho de Chen de 1979) |
| 17 | 1979 | Chen |
| 16 | 1986 | Wang |
| 13.5 | 1989 | Chen and Liu |
| 8 | 1990 | Wang |
| 5.5 | 1992 | Heath-Brown |
| 5.2 | 2009 | Xylouris |
| 5 | 2011 | Xylouris |
Além disso, no resultado de Heath-Brown', a constante c é efetivamente computável.