Functor representável
# Functor representável

Em teoria das categorias, dada categoria $C$, uma representação para um functor $F:C\to {\mathsf {Set}}$ é um objeto $c\in C$ junto a um isomorfismo natural $\hom _{C}(c,-)\cong F,$ em que $\hom _{C}$ denota o functor hom. Um functor representável é um functor $F:C\to {\mathsf {Set}}$ admitindo representação.

## Elementos universais

Um elemento universal de um functor $F:C\to {\mathsf {Set}}$ é um objeto $c\in C$, junto a um elemento $x\in F(c)$, tais que, para cada $d\in C,\,y\in F(d)$, há único morfismo $f:c\to d$ em $C$ com $F(f)(x)=y$. Noutras palavras, um elemento universal é um objeto inicial na categoria de elementos de $F$.
Representações do functor $F$ correspondem biunivocamente a elementos universais de $F$. Com efeito, se $\psi :\hom _{C}(c,-)\cong F$, tem-se que $c\in C,\,\psi _{c}(1_{c})\in F(c)$ é um elemento universal; se $c\in C,\,x\in F(c)$ é elemento universal, $\psi _{d}=(f:c\to d)\mapsto F(f)(x)\ :\ \hom _{C}(c,d)\cong F(d)$ é uma representação; e essas correspondências são inversas uma a outra.

### Setas universais

Sejam $a$ objeto de um categoria $D$ e functor $S:C\to D$. Uma seta universal $u:a\to S(c)$ de $a$ ao functor $S$ é um elemento universal $c\in C,\,u\in \hom _{D}(a,S(c))$ do functor $\hom _{D}(a,S(-)):C\to {\mathsf {Set}}$; noutras palavras, para cada $c'\in C$ e seta $u':a\to S(c')$, há único $f:c\to c'$ tal que $u'=S(f)\circ u$: ${\begin{matrix}a&{\xrightarrow {u}}&S(c)\\&\searrow &\downarrow &\scriptstyle {S(f)}\\\scriptstyle {u'}&&S(c')\end{matrix}}$
Dualmente, uma seta universal $u:S(c)\to a$ do functor $S$ até $a$ é um elemento universal $c\in C,u\in \hom _{D}(S(c),a)$ do functor $\hom _{D}(S(-),a):C^{\mathrm {op} }\to {\mathsf {Set}}$.