Decaimento exponencial
# Decaimento exponencial

Numa substância radioativa, cada átomo tem uma certa probabilidade, por unidade de tempo de se transformar num átomo mais leve emitindo radiação nuclear no processo. Se $p$ representa essa probabilidade, o número médio de átomos que se transmutam, por unidade de tempo, é $pN$, em que $N$ é o número de átomos existentes em cada instante. O número de átomos transmutados por unidade de tempo é também igual a menos a derivada temporal da função $N$
${dN \over dt}=-pN$
A massa dos correspondentes átomos, $x$, é diretamente proporcional a $N$ e assim obtemos a seguinte equação diferencial
${dx \over dt}=-px$
onde $p$ é uma constante, designada de constante de decaimento. A solução geral desta equação é uma função que diminui exponencialmente até zero
$x=Ce^{-pt}$
e a solução única para a condição inicial $x=x_{0}$ no instante inicial é (figura ao lado)
$x=x_{0}e^{-pt}$
A definição de meia-vida da substância define-se como o tempo necessário para a massa diminuir até 50% do valor inicial; a partir da solução obtida temos
$0,\!5=e^{-pt}\qquad t={\frac {\ln 2}{p}}$
Quanto maior for a constante de decaimento $p$, mais rápido diminuirá a massa da substância (ver figura).
Uma substância radioativa presente em todos os organismos vivos é o carbono 14 que decai transformando-se em azoto, com uma meia-vida de aproximadamente 5580 anos. O conteúdo de $\mathrm {C} _{14}$ em relação ao $\mathrm {C} _{12}$ de qualquer organismo vivo é o mesmo.
A razão é a seguinte: no fim da cadeia alimentar dos seres vivos estão os organismos que absorvem o carbono diretamente da atmosfera e portanto a relação $\mathrm {C} _{14}/\mathrm {C} _{12}$ nos seres vivos é a mesma que na atmosfera. Na atmosfera esta relação é estável há muitos anos; os organismos mortos, em processo de decomposição perdem $\mathrm {C} _{14}$ como resultado do decaimento radioativo e não o regeneram através da dieta. O azoto que a atmosfera ganha dos organismos em decomposição é transformado novamente em $\mathrm {C} _{14}$ pelos raios cósmicos, nas camadas superiores. Uma comparação do conteúdo de carbono 14 de um organismo morto, por exemplo madeira obtida de uma árvore, com o conteúdo existente num organismo vivo da mesma espécie, permite determinar a data da morte do organismo, com uma boa precisão quando o tempo envolvido for da ordem de grandeza da meia-vida do carbono 14.