Equação de Kadomtsev–Petviashvili
# Equação de Kadomtsev–Petviashvili

Em matemática e física, a equação de Kadomtsev–Petviashvili – ou equação de KP, nomeadas em homenagem a Boris Borissovitch Kadomtsev e Vladimir Iosifovich Petviashvili – é uma equação diferencial parcial que descreve o movimento não-linear de ondas. A equação de KP é geralmente escrita como:
    $\displaystyle \partial _{x}(\partial _{t}u+u\partial _{x}u+\epsilon ^{2}\partial _{xxx}u)+\lambda \partial _{yy}u=0$
onde $\lambda =\pm 1$. A expressão acima mostra que a equação de KP é a generalização de duas dimensões espaciais, x e y, da equação unidimensional da equação de Korteweg–de Vries. Para ter algum significado físico, a direção de propagação da onda tem que ser não muito longe da direção x, ou seja, apenas com variações lentas de soluções no sentido y.
Assim como a equação de KdV, a equação de KP é completamente integrável. Ela pode ser resolvida utilizando transformada inversa de espalhamento de modo semelhante a equação de Schrödinger não linear.

## História

A equação de KP foi escrita pela primeira vez em 1970 pelos físicos soviéticos Boris Kadomtsev (1928–1998) e Vladimir I. Petviashvili (1936–1993); ela veio como uma generalização natural da equação de KdV (derivada por Korteweg e De Vries em 1895). Enquanto as ondas da equação de KdV são estritamente unidimensionais, na equação de KP essa restrição é relaxada. Mesmo assim, em ambas equações as ondas devem viajar no sentido positivo da direção x.

## Conexões com a física

A equação de KP pode ser usada para modelar ondas de água de comprimento de onda grande com forças restauradoras e frequências de dispersão porco fracamente não lineares. Se a tensão superficial é fraca em comparação com forças gravitacionais, $\lambda =+1$ é utilizado; se a tensão superficial é forte, então $\lambda =-1$. Devido à assimetria no modo de que x e y entram na equação, as ondas descritas pela equação de KP se comportam diferentemente na direção de propagação (direção x) e na direção transversa (y); oscilações na direção y tendem a ser mais suaves.
A equação KP também pode ser utilizado para modelar ondas em meios ferromagnéticos, bem como pulsos bidimensionais de onda de matéria em condensados de condensado de Bose-Einstein.

## Valores limites

Para $\epsilon \ll 1$, oscilações típicas dependentes de x possuem comprimento de onda de $O(1/\epsilon )$ dando origem a um regime limite singular $\epsilon \rightarrow 0$. O limite $\epsilon \rightarrow 0$ é chamado de limite não dispersivo.
Se também assumirmos que as soluções são independentes de y como $\epsilon \rightarrow 0$, então ela também satisfaz a equação de Burgers:
    $\displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=0.$
Supondo que a amplitude de oscilações de uma solução é assintoticamente pequena — $O(\epsilon )$ — no limite não dispersivo, então a amplitude satisfaz a equação de campo médio do tipo Davey–Stewartson.