Espaço Lp
# Espaço Lp

Em matemática, sobretudo na teoria da medida e na análise funcional, os espaços $L^{p}$ são um dos mais importantes espaços funcionais.

## Definição

Seja $f:D\to \mathbb {C} \,$ uma função mensurável à Lebesgue definida em domínio $D\,$ mensurável.
* Se $p\in [1,\infty )\,$, $f\,$ é dita p-integrável e pertence ao espaço L$^p$ se sua norma L$^p$ for finita:
    $\|f\|_{L^{p}(D)}=\left(\int _{D}|f(x)|^{p}dx\right)^{1/p}$.
* Se $p=\infty \,$, $f\,$ é dita essencialmente limitada e pertence ao espaço $L^{\infty }\,$ se existir uma constante $C\,$ real tal que:
    $\mu \{x\in D:|f|>C\}=0\,$, ou seja, $|f|\leq C\,$ exceto em conjunto de medida zero.
A norma $\|f\|_{L^{\infty }(D)}\,$ é a menor das contantes com a propriedade acima, ou seja:
    $\|f\|_{L^{\infty }(D)}=\inf\{C:\mu \{|f(x)|>C\}=0\}\,$.

## Espaços de Banach

Se as funções em um espaço de Banach são identificadas apenas quase sempre, então as normas estão bem definidas através da desigualdade de Minkowski.

## Espaço L$^2$

O espaço $L^{2}(D)\,$ é um espaço de Hilbert dotado do seguinte produto interno:
    $\langle f,g\rangle =\int _{D}{\overline {f(x)}}{g}(x)dx\,$.
As funções deste espaço são chamadas de quadrado integráveis e assumem um papel fundamental na teoria das séries de Fourier.