Séries de Ramanujan–Sato
# Séries de Ramanujan–Sato

Na matemática, séries de Ramanujan-Sato generalizam fórmulas de pi de Ramanujan tais como, ${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!}{k!^{4}}}{\frac {26390k+1103}{396^{4k}}}$ para a forma, ${\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }s(k){\frac {Ak+B}{C^{k}}}$ utilizando outras sequências bem definidas de inteiros $s(k)$, obedecendo uma certa relação de recorrência, sequências que podem ser expressas em termos de coeficientes binomial (n/k){\textstyle {\tbinom {n}{k}}}, e $A,B,C$ empregando formas modulares de níveis mais elevados.
Ramanujan fez a enigmática observação de que havia "teorias correspondentes", mas foi apenas recentemente que H. H. Chan e S. Cooper encontraram uma abordagem geral que utilizava o subgrupo de congruência modular subjacente $\Gamma _{0}(n)$, enquanto G. Almkvist descobriu experimentalmente vários outros exemplos também com um método geral utilizando operadores diferenciais.
Os níveis 1–4A foram fornecidos por Ramanujan (1914), o nível 5 por H. H. Chan e S. Cooper (2012), o nível 6A por Chan, Tanigawa, Yang e Zudilin, o nível 6B por Sato (2002), o nível 6C por H. Chan, S. Chan e Z. Liu (2004), o nível 6D por H. Chan e H. Verrill (2009), o nível 7 por S. Cooper (2012), parte do nível 8 por Almkvist e Guillera (2012), parte do nível 10 por Y. Yang, e o restante por H. H. Chan e S. Cooper.
A notação j$_n$(τ) é derivada de Zagier e T$_n$ se refere às séries de McKay–Thompson relevantes.