Equação de Kapustinskii
# Equação de Kapustinskii

A equação de Kapustinskii é usada no cálculo da energia de rede $U_{L}$ para um cristal iônico, a qual é experimentalmente difícil de se determinar. Foi nomeada em homenagem a Anatoli Fedorovich Kapustinskii, que publicou a fórmula em 1956. Ela apresenta-se como segue:
$U_{L}={K}\cdot {\frac {\nu \cdot |z^{+}|\cdot |z^{-}|}{r^{+}+r^{-}}}\cdot {\biggl1-{\frac {d}{r^{+}+r^{-}}}{\biggr )}$
onde:
* $K=1,20200\times 10^{-4}$ $J\cdot m\cdot mol^{-1}$;
* $d=3,45\times 10^{-11}$ $m$;
* $\nu$ é o número de íons na fórmula empírica;
* $z^{+}$ e $z^{-}$ são o número de cargas elementares no cátion e no ânion, respectivamente;
* $r^{+}$ e $r^{-}$ são os raios do cátion e do ânion, respectivamente.
A energia de rede calculada dá uma boa estimativa para a equação de Born-Landé; o valor real geralmente difere em menos de 5%.
Além disso, é possível determinar os raios iônicos (ou, mais apropriadamente, o raio termoquímico) usando-se a equação de Kapustinskii quando a energia da rede é conhecida. Isso é útil para íons muito complexos como sulfato (SO2− 4) e fosfato (PO3− 4).

## Derivação a partir da equação de Born-Landé

Kapustinskii originalmente propôs a seguinte forma mais simples, que ele caracterizou como "associada a conceitos antiquados do caráter das forças de repulsão".
$U_{L}={K'}\cdot {\frac {\nu \cdot |z^{+}|\cdot |z^{-}|}{r^{+}+r^{-}}}$
Aqui, $K'$ = 1,079 ×10$^{−4}$ J·m·mol$^{−1}$ . Essa forma da equação de Kapustinskii pode ser obtida como uma aproximação da equação de Born-Landé abaixo.
$U_{L}=-{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)$
Kapustinskii substituiu $r_{0}$ — a distância medida entre os íons — pela soma dos raios iônicos correspondentes. Além disso, assumiu-se que o expoente de Born ($n$) tinha um valor médio de 9. Finalmente, ele notou que a constante de Madelung ($M$) era aproximadamente 0,88 vez o número de íons na fórmula empírica. A derivação da forma posterior da equação de Kapustinskii seguiu uma lógica semelhante, partindo do tratamento químico-quântico em que o termo final é 1 − dr$_0$ onde d é o mesmo definido acima. Substituindo-se $r_{0}$ como antes, ontém-se a equação completa de Kapustinskii