Dimensão
# Dimensão

Na física e na matemática, a dimensão de um espaço matemático (ou objeto) é informalmente definida como o número mínimo de coordenadas necessárias para especificar qualquer ponto dentro dela. Assim, uma reta tem uma dimensão de um (1) porque apenas uma coordenada é necessária para especificar um ponto nela – por exemplo, o ponto no 5 em uma reta numérica. Uma superfície como um plano ou a superfície de um cilindro ou esfera tem uma dimensão de dois porque duas coordenadas são necessárias para especificar um ponto nela – por exemplo, uma latitude e uma longitude são necessárias para localizar um ponto na superfície de uma esfera. O interior de um cubo, um cilindro ou uma esfera é tridimensional porque são necessárias três coordenadas para localizar um ponto dentro desses espaços.
Na mecânica clássica, espaço e tempo são categorias diferentes e referem-se a espaço e tempo absolutos. Essa concepção do mundo é um espaço de quatro dimensões, mas não o que foi considerado necessário para descrever o eletromagnetismo. As quatro dimensões do espaço-tempo consistem em eventos que não são absolutamente definidos espacial e temporalmente, mas são conhecidos em relação ao movimento de um observador. O espaço de Minkowski primeiro se aproxima do universo sem gravidade; as variedades pseudo-riemannianas da relatividade geral descrevem o espaço-tempo com a matéria e a gravidade. Dez dimensões são usadas para descrever a teoria das cordas, onze dimensões podem descrever a supergravidade e a teoria-M, e o espaço de estados da mecânica quântica é um espaço de função de dimensão infinita.
O conceito de dimensão não se restringe a objetos físicos. Espaços de alta dimensão frequentemente ocorrem na matemática e nas ciências. Eles podem ser espaços de parâmetros ou espaços de configuração, como na mecânica lagrangiana ou hamiltoniana; estes são espaços abstratos, independentes do espaço físico em que vivemos.

## Na matemática

Na matemática, a dimensão de um espaço é o número de parâmetros necessários para identificar um ponto desse espaço.

### Exemplos

* A dimensão de $\mathbb {R} ^{n}$ é $n\,$, isto é, cada ponto de $\mathbb {R} ^{n}$ é descrito por $n\,$ números reais.
* A dimensão real de $\mathbb {C} ^{n}$ é $2n\,$, isto é, cada ponto de $\mathbb {C} ^{n}$ é descrito por $2n\,$ números reais.
* A dimensão complexa de $\mathbb {C} ^{n}$ é $n\,$, isto é, cada ponto de $\mathbb {C} ^{n}$ é descrito por $n\,$ números complexos.
* A dimensão de um espaço vectorial é o número de vectores de qualquer base desse espaço.

### Contexto

É importante observar que a dimensão está vinculada à forma como o espaço se apresenta.
Assim, considerado como um espaço vetorial sobre os números reais $\mathbb {R} \,$, o espaço dos números complexos $\mathbb {C} \,$ tem dimensão 2; considerado como um espaço vetorial sobre os números racionais $\mathbb {Q} \,$, a sua dimensão é $2^{\aleph _{0}}\,$ (a potência do contínuo).
Analogamente, $\mathbb {Q} [i,{\sqrt {3}}]\,$ é um espaço de dimensão 2 sobre $\mathbb {Q} [{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}]\,$, mas é um espaço de dimensão 4 sobre $\mathbb {Q} \,$
Como outro exemplo, tome-se o espaço de Hilbert cuja base de Hilbert seja enumerável. No contexto dos espaços de Hilbert, ele tem, obviamente, dimensão $\aleph _{0}\,$, porém, visto como espaço vetorial, a sua dimensão é $2^{\aleph _{0}}\,$.

### Espaços vetoriais

A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base para o espaço, ou seja, o número de coordenadas necessárias para especificar qualquer vetor. Essa noção de dimensão (a cardinalidade de uma base) é frequentemente chamada de dimensão de Hamel ou dimensão algébrica para distingui-la de outras noções de dimensão.
Para o caso não-livre, isso se generaliza para a noção do comprimento de um módulo.

### Dimensão de Hausdorff

A dimensão de Hausdorff é útil para estudar conjuntos estruturalmente complicados, especialmente fractais. A dimensão Hausdorff é definida para todos os espaços métricos e, ao contrário das dimensões consideradas acima, também pode ter valores reais não inteiros. A dimensão da caixa ou a dimensão de Minkowski é uma variante da mesma ideia. Em geral, existem mais definições de dimensões fractais que funcionam para conjuntos altamente irregulares e atingem valores reais positivos não inteiros. Os fractais se mostraram úteis para descrever muitos objetos e fenômenos naturais.

### Espaços de Hilbert

Todo espaço de Hilbert admite uma base ortonormal, e quaisquer duas dessas bases para um espaço particular têm a mesma cardinalidade. Essa cardinalidade é chamada de dimensão do espaço de Hilbert. Essa dimensão é finita se, e somente se, a dimensão de Hamel do espaço é finita e, nesse caso, as duas dimensões coincidem.

## Na física

Na física, as dimensões são parâmetros utilizados para descrever os fenômenos observados. A física clássica descreve o espaço em três dimensões. A teoria da relatividade geral propõe uma geometria quadridimensional conhecida como espaço-tempo e teorias mais modernas sugerem a existência de dez ou onze dimensões.

### Física clássica

A física clássica descreve o espaço usando três dimensões: grosseiramente falando, qualquer movimento pode ser decomposto em três componentes: cima/baixo, direita/esquerda e frente/trás. Mover-se para baixo significa deslocar-se no sentido negativo na direção vertical; mover-se para a esquerda equivale a deslocar-se no sentido negativo da direção horizontal e mover-se para trás significa deslocar-se negativamente na direção de topo.

### Tempo

O tempo é muitas vezes chamado de quarta dimensão. Na física clássica e na percepção intuitiva humana, o tempo é visto como um parâmetro à parte das dimensões espaciais. Na teoria da relatividade, desenvolvida sobretudo pelos trabalhos de Henri Poincaré e Albert Einstein, o tempo é visto como uma das dimensões do espaço quadridimensional chamado de espaço-tempo.

### Dimensões adicionais

A teoria das cordas e a teoria-M descrevem o universo com dez e onze dimensões, respectivamente.

## Redes e dimensão

Algumas redes complexas são caracterizadas por dimensões fractais. O conceito de dimensão pode ser generalizado para incluir redes incorporadas no espaço. A dimensão caracteriza suas restrições espaciais.