Partição multiplicativa
# Partição multiplicativa

Na teoria dos números, uma partição multiplicativa ou fatoração não ordenada de um inteiro n é uma maneira de escrever n como um produto de inteiros maiores que 1, tratando dois produtos como equivalentes se eles diferirem apenas na ordem dos fatores. O próprio número n é considerado um desses produtos. As partições multiplicativas são paralelas ao estudo das partições multipartidas, discutido em Andrews (1976), que são partições aditivas de sequências finitas de inteiros positivos, com a adição feita pontualmente. Embora o estudo das partições multiplicativas esteja em andamento desde pelo menos 1923, o nome "partição multiplicativa" parece ter sido introduzido por Hughes & Shallit (1983). O nome latino "factorisatio numerorum" foi usado anteriormente. O MathWorld usa o termo fatoração não ordenada.

## Exemplos

* O número 20 tem quatro partições multiplicativas: 2 × 2 × 5, 2 × 10, 4 × 5 e 20.
* 3 × 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 9, 3 × 27, 9 × 9 e 81 são as cinco partições multiplicativas de 81 = 34. Por ser a quarta potência de um primo, 81 tem o mesmo número (cinco) de partições multiplicativas como 4 faz de partições aditivas.
* O número 30 tem cinco partições multiplicativas: 2 × 3 × 5 = 2 × 15 = 6 × 5 = 3 × 10 = 30.
* Em geral, o número de partições multiplicativas de um número inteiro sem fator quadrático com i fatores primos é o i-ésimo número de Bell, B$_i$

## Aplicação

Hughes & Shallit (1983) descrevem uma aplicação de partições multiplicativas na classificação de inteiros com um determinado número de divisores. Por exemplo, os inteiros com exatamente 12 divisores assumem as formas p$^{11}$, p × q$^5$, p$^2$ × q$^3$ e p × q × r$^2$, onde p, q e r são números primos distintos; essas formas correspondem às partições multiplicativas 12, 2 × 6, 3 × 4 e 2 × 2 × 3, respectivamente. Mais geralmente, para cada partição multiplicativa
    $k=\prod t_{i}$
do inteiro k, corresponde a uma classe de inteiros tendo exatamente k divisores, da forma
    $\prod p_{i}^{t_{i}-1},$
onde cada p$_i$ é um primo distinto. Essa correspondência decorre da propriedade multiplicativa da função de divisor.

## Limites no número de partições

Oppenheim (1926) credita a McMahon (1923) o problema de contar o número de partições multiplicativas de n; este problema foi estudado por outros sob o nome latino de factorisatio numerorum. Se o número de partições multiplicativas de n for a$_n$, McMahon e Oppenheim observaram que sua função geradora de série de Dirichlet f(s) tem a representação do produto
    $f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\prod _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{1-k^{-s}}}.$
A sequência de números a$_n$ começa
    1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 2, 5, ... (sequência A001055 na OEIS).
Oppenheim também reivindicou um limite superior em a$_n$, da forma
    $a_{n}\leq n\left(\exp {\frac {\log n\log \log \log n}{\log \log n}}\right)^{-2+o(1)},$
mas como Canfield, Erdős & Pomerance (1983) mostraram, este limite é errôneo e o verdadeiro limite é
    $a_{n}\leq n\left(\exp {\frac {\log n\log \log \log n}{\log \log n}}\right)^{-1+o(1)}.$
Ambos os limites não estão longe de ser lineares em n: eles são da forma n$^{1−o(1)}$. No entanto, o valor típico de a$_n$ é muito menor: o valor médio de a$_n$, calculado em um intervalo x ≤ n ≤ x+N, é
    ${\bar {a}}=\exp \left({\frac {4{\sqrt {\log N}}}{{\sqrt {2e}}\log \log N}}{\bigl1+o(1){\bigr )}\right),$
um limite que tem a forma n$^{o(1)}$ ((Luca, Mukhopadhyay & Srinivas 2008)).

## Resultados adicionais

Canfield, Erdős & Pomerance (1983) observam, e Luca, Mukhopadhyay & Srinivas (2008) provam, que a maioria dos números não pode surgir como o número a$_n$ de partições multiplicativas de algum n: o número de valores menores que N que surgem desta forma é N$^{O(logloglogN/loglogN)}$. Além disso, Luca, Mukhopadhyay & Srinivas (2008) mostram que a maioria dos valores de n não são múltiplos de a$_n$: o número de valores n ≤ N tal que a$_n$ divide n é O(N / log$^{1+o(1)}$ N).