Equivalência lógica
# Equivalência lógica

Na lógica, afirmações $p$ e $q$ são logicamente equivalentes se tiverem o mesmo conteúdo lógico. Isto é, se elas tiverem o mesmo valor de verdade em todos os modelos. A equivalência lógica de $p$ e $q$ às vezes é expressa como $p\equiv q$, ${\textsf {E}}pq$, ou $p\iff q$. No entanto, esses símbolos também são usados para equivalência material. A interpretação adequada depende do contexto. A equivalência lógica é diferente da equivalência material, embora os dois conceitos estejam intimamente relacionados.

## Equivalências lógicas

| Equivalência | Nome |
| $p\wedge \top \equiv p$ $p\vee \bot \equiv p$ | Identidade |
| $p\vee \top \equiv \top$ $p\wedge \bot \equiv \bot$ | Dominação |
| $p\vee p\equiv p$ $p\wedge p\equiv p$ | Idempotência |
| $\neg (\neg p)\equiv p$ | Dupla negação |
| $p\vee q\equiv q\vee p$ $p\wedge q\equiv q\wedge p$ | Comutatividade |
| $(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$ $(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$ | Associatividade |
| $p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$ $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$ | Propriedade distributiva |
| $\neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$ $\neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q$ | Leis de De Morgan |
| $p\vee (p\wedge q)\equiv p$ $p\wedge (p\vee q)\equiv p$ | Absorção |
| $p\vee \neg p\equiv \top$ $p\wedge \neg p\equiv \bot$ | Negação |
Equivalências lógicas envolvendo afirmações condicionais:
   * $p\implies q\equiv \neg p\vee q$
   * $p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p$
   * $p\vee q\equiv \neg p\implies q$
   * $p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)$
   * $\neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q$
   * $(p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)$
   * $(p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)~~~$ (Dilema simples)
   * $(p\implies q)\vee (r\implies s)\equiv r\vee s~~~~~~$ (Dilema complexo)
   * $(p\implies r)\wedge (\neg p\implies r)\equiv r~~~~~~$ (Dilema especial)
   * $(p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r$
   * $(p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r$
   * $(p\implies q)\wedge (q\implies r)\equiv p\implies r~~~~$ (Silogismo hipotético)
   * $p\implies (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r~~~~$ (Importação)
Equivalências lógicas envolvendo bicondicionais:
   * $p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)$
   * $p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q$
   * $p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)$
   * $\neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q$

## Exemplo

As afirmações a seguir são logicamente equivalentes:
* Se Lúcia está na Dinamarca, então ela está na Europa. (Em símbolos, $d\implies e$.)
* Se Lúcia não está na Europa, então ela não está na Dinamarca. (Em símbolos, $\neg e\implies \neg d$.)
Sintaticamente, (1) e (2) são deriváveis uns dos outros através das regras de contraposição e dupla negação. Semanticamente, (1) e (2) são verdadeiros exatamente nos mesmos modelos (interpretações, avaliações); ou seja, aqueles em que Lúcia está na Dinamarca é falsa ou Lúcia está na Europa é verdade.
(Observe que, neste exemplo, é assumida a lógica clássica. Algumas lógicas não clássicas não consideram (1) e (2) logicamente equivalentes.)

## Relação com equivalência material

A equivalência lógica é diferente da equivalência material. Fórmulas $p$ e $q$ são logicamente equivalentes se e somente se a declaração de sua equivalência material ($p\iff q$) é uma tautologia.
A equivalência material de $p$ e $q$ (frequentemente escrita $p\iff q$) é em si uma outra afirmação na mesma linguagem de objeto como $p$ e $q$. Esta afirmação expressa a ideia "'$p$ se e somente se $q$'". Em particular, o valor de verdade de $p\iff q$ pode mudar de um modelo para outro.
A afirmação de que duas fórmulas são logicamente equivalentes é uma declaração na metalinguagem, expressando uma relação entre duas afirmações $p$ e $q$. As afirmações são logicamente equivalentes se, em cada modelo, elas tiverem o mesmo valor de verdade.