Hiperbolicidade parcial
# Hiperbolicidade parcial

Em matemática, e especificamente na teoria dos sistemas dinâmicos, hiperbolicidade parcial é uma generalização do conceito de hiperbolicidade. Um difeomorfismo é dito parcialmente hiperbólico caso exista uma decomposição invariante do seu espaço tangente que satisfaz algumas propriedades de dominação. Além disto, a hiperbolicidade parcial é uma propriedade robusta, isto é, o conjunto de todos os difeomorfismos parcialmente hiperbólicos sobre uma variedade compacta M formam um subconjunto aberto do espaço dos difeomorfismos suaves sobre M.

## Definição

Sejam $M$ uma variedade suave e compacta e $f:M\rightarrow M$ um difeomorfismo de classe $C^{r}$, com $r\geq 1$. f é chamada de função parcialmente hiperbólica caso para todo ponto $x\in M$ existam distribuições E e F satisfazendo $T_{x}M=E(x)\oplus F(x)$, e
* d$_x$f(E(x))=E(f(x)), e d$_x$f(F(x))=F(f(x)) (invariância de E e F).
Além disto, existem constantes $0<\lambda <\mu$ e $C>0$ tais que, para todo n$\in \mathbb {N}$ e $x\in M$;
* $\|d_{x}f(v)\|\leq C\lambda ^{n}\|v\|$, se $v\in E(x)$, e
* $\|d_{x}f(v)\|\geq C^{-1}\mu ^{n}\|v\|$, se $v\in F(x)$.

## Propriedades

* Caso $\lambda <1$, o subespaço E(x) é chamado de espaço estável, e é denotado por $E^{s}(x)$. Além disto, a distribuição $E^{s}$ é integrável, e as folhas resultantes são chamadas de folhas estáveis.
* Caso $\mu >1$, o subespaço F(x) é chamado de espaço instável, e é denotado por $E^{u}(x)$. Além disto, a distribuição $E^{s}$ é integrável, e as folhas resultantes são chamadas de folhas estáveis.
* É possível mostrar, que sobre uma variedade compacta M, os difeomorfismos de classe $C^{r}$ parcialmente hiperbólicos formam um subconjunto aberto do conjunto dos difeomorfismos de classe $C^{r}$ de M em M, onde $r\geq 1$.
* Brin mostrou que as distribuições E(x) e F são contínuas no sentido de Hölder.

## Questões Importantes

Ao contrário do que ocorre no caso de um difeomorfismo hiperbólico, nem sempre um difeomorfismo parcialmente hiperbólico possui variedades invariantes para suas distribuições, isto é; as variedades integrais de E e F. No caso em que E possui codimensão 1, sabe-se que existe uma variedade invariante para E, apesar desta nem sempre ser única. Existe uma propriedade denominada "acessibilidade" que pode ser definida para um sistema parcialmente hiperbólico, e que no contexto dos difeomorfismos conservativos está relacionada a ergodicidade estável de uma aplicação parcialmente hiperbólica.