Rearranjo simétrico decrescente
# Rearranjo simétrico decrescente

Em matemática, o rearranjo simétrico decrescente de uma função real definida em $\mathbb {R} ^{n}$ é uma função radialmente simétrica e decrescente, cujos conjuntos de nível têm a mesma medida dos respectivos conjuntos de nível da função original.

## Definições para conjuntos

Dado um conjunto mensurável A, o rearranjo simétrico de A, denotado A$^*$, é a bola centrada na origem cuja medida é igual à medida de A:
    $A^{*}=\{x:|x|<r\},$
onde o r é dado por
    $\omega _{n}r^{n}=\mu (A)$
aqui $\omega _{n}$ é a medida da bola unitária.

## Definição para funções

O rearranjo simétrico decrescente de um a função não-negativa, mensurável $f$ é definido como
    $f^{*}(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{\{y:f(y)>t\}^{*}}(x)dt.$
Esta definição é motivada pela seguinte identidade, conhecida como representação bolo de camadas:
    $f(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{\{y:f(y)>t\}}(x)dt,$
vávlida para funções não-negativas.

## Propriedades

A função $f^{*}$ é radialmente simétrica e decrescente e seus superconjuntos de nível possuem a mesma medida dos superconjuntos de nível de f:
    $|\{x:f^{*}(x)>t\}|=|\{x:f(x)>t\}|.$
Se $f$ é uma função em $L^{p}$, então
    $\|f\|_{L^{p}}=\|f^{*}\|_{L^{p}}.$
A desigualdade de Hardy-Littlewood estabelece que
    $\int fg\leq \int f^{*}g^{*}.$
A desigualdade de Szego estabelece que se $1\leq p<\infty$ e se $f\in W^{1,p}$, então
    $\|\nabla f^{*}\|_{p}\leq \|\nabla f\|_{p}.$
O rearranjo simétrico decrescente preserva ordem:
    $f\leq g\Rightarrow f^{*}\leq g^{*}$
e reduz a distância em $L^{p}$:
    $\|f-g\|_{L^{p}}\geq \|f^{*}-g^{*}\|_{L^{p}}.$