Número poligonal
# Número poligonal

Em matemática, um número poligonal é um número figurado em duas dimensões, isto é, um número que pode ser representado por pontos formando um polígono regular.
Por convenção, "1" é o primeiro número poligonal, independente do número de lados. A regra para aumentar o poligono para o próximo tamanho é acrescentar uma fileira de pontos a partir das extremidades de dois lados adjacentes e então completar os outros lados de modo a manter a forma do mesmo polígono.
Nos diagramas abaixo, cada camada seguinte está em vermelho.

## Números quadrados

Polígonos com maior número de lados, tais como pentágonos e hexágonos, também podem ser construidos de acordo com esta regra, embora os pontos não mais formarão um poligono regular preenchido.

## Fórmula

Se s é o número de lados de um polígono, a fórmula para o n$^{ésimo}$ número s-gonal P(s,n) é
    $P(s,n)={({\frac {s}{2}}-1)n^{2}-({\frac {s}{2}}-2)n}\,.$
O n$^{ésimo}$ número s-gonal está relacionado aos números triangulares T$_n$ da seguinte forma:
    $P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.$
Portanto:
    $P(s,n+1)-P(s,n)=(s-2)n+1\,,$
    $P(s+1,n)-P(s,n)=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,.$
Para um número s-gonal P(s,n) = x, pode-se achar n por
    $n={\frac {{\sqrt {(8s-16)x+(s-4)^{2}}}+s-4}{2s-4}}.$