Número do bolo
# Número do bolo

Em matemática, o número do bolo, denotado por C$_n$, é o máximo do número de regiões nas quais um cubo tridimensional pode ser particionado por exatamente n planos. O número do bolo é assim chamado porque se pode imaginar cada partição do cubo por um plano como uma fatia feita por uma faca através de um bolo em forma de cubo. É o análogo 3D da sequência do bufê preguiçoso.
Os valores de C$_n$ para n = 0, 1, 2, ... são dados por 1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, ... (sequência A000125 na OEIS).

## Fórmula geral

Se n! denota o fatorial, e denotamos os coeficientes binomiais por
    ${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},$
e assumimos que n planos estão disponíveis para particionar o cubo, então o n-ésimo número de bolo é:
    $C_{n}={n \choose 3}+{n \choose 2}+{n \choose 1}+{n \choose 0}={\tfrac {1}{6}}\!\left(n^{3}+5n+6\right)={\tfrac {1}{6}}(n+1)\left(n(n-1)+6\right).$

## Propriedades

Os números do bolo são o análogo tridimensional da sequência do bufê preguiçosobidimensional. A diferença entre números de bolo sucessivos também fornece a sequência do bufê preguiçoso.
A quarta coluna do triângulo de Bernoulli (k = 3) fornece os números do bolo para n cortes, onde n ≥ 3.
A sequência pode ser derivada alternativamente da soma de até os primeiros 4 termos de cada linha do triângulo de PascalA sequência pode ser derivada alternativamente da soma de até os primeiros 4 termos de cada linha do triângulo de Pascal:
    kn0123 Soma 0 1———1 1 11——2 2 121—4 3 13318 4 146415 5 15101026 6 16152042 7 17213564 8 18285693 9 193684130