Folium de Descartes
# Folium de Descartes

Em geometria, o Folium de Descartes é uma curva algébrica definida pela equação
    $x^{3}+y^{3}-3axy=0\,$.
A curva faz um laço no primeiro quadrante com um ponto duplo na origem e assíntota
    $x+y+a=0\,$.
A curva é simétrica para $y=x$.
Seu nome vem do latim folium que significa "folha".
A curva foi representada, juntamente com um retrato de Descartes, em um selo da Albânia em 1966.

## História

O folium foi proposto pela primeira vez por Descartes em 1638. A curva tornou-se famosa através de um incidente ocorrido durante o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. Descartes desafiou Fermat a encontrar a reta tangente à referida curva em um ponto arbitrário, uma vez que Fermat acabara de descobrir um método para encontrar retas tangentes. Fermat resolveu o problema facilmente, algo que Descartes foi incapaz de fazer. Desde que o cálculo foi inventado, a inclinação de uma reta tangente pode ser facilmente encontrada através da diferenciação implícita.

## Representando a curva graficamente

Uma vez que a equação é de 3º grau tanto em x como em y, e não pode ser fatorada, é difícil resolvê-la para uma das variáveis. No entanto, a equação em coordenadas polares é:
    $r={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }}.$
que pode ser plotada com facilidade. Outra técnica é escrever y = px e resolver para x e y em termos de p. Este método origina as equações paramétricas
    $x={{3ap} \over {1+p^{3}}},\,y={{3ap^{2}} \over {1+p^{3}}}$.
Pode-se notar que o parâmetro p está relacionado com o vetor posição da curva da seguinte forma:
* p < -1 corresponde ao "braço" inferior direito.
* -1 < p < 0 corresponde ao "braço" superior esquerdo.
* p > 0 corresponde ao laço da curva.

## Relação com a trissectriz de MacLaurin

O folium de Descartes relaciona-se com a trissectriz de Maclaurin por transformações afins. Para vermos isso, comecemos com a equação
    $x^{3}+y^{3}=3axy\,$,
E façamos uma mudança de variáveis para encontrar a equação em um sistema de coordenadas girado de 45 graus.
Isto equivale a definir: $x={{X+Y} \over {\sqrt {2}}},\,y={{X-Y} \over {\sqrt {2}}}.$ No plano $X,Y$ a equação é
    $2X(X^{2}+3Y^{2})=3{\sqrt {2}}a(X^{2}-Y^{2})$.
Se multiplicarmos a direção $Y$ por um fator de ${\sqrt {3}}$, temos
    $2X(X^{2}+Y^{2})=a{\sqrt {2}}(3X^{2}-Y^{2})$
que é a equação para a trissectriz de Maclaurin.