Coordenadas cilíndricas parabólicas
# Coordenadas cilíndricas parabólicas

Em matemática, as coordenadas cilíndricas parabólicas são um sistema de coordenadas ortogonais tridimensionais que resultam da projeção do sistema de coordenadas parabólicas bidimensional na direção perpendicular a $z$. Assim, as superfícies coordenadas são cilindros parabólicos confocais. As coordenadas cilíndricas parabólicas possuem inúmeras aplicações como, por exemplo, na teoria potencial das arestas.

## Definição básica

As coordenadas cilíndricas parabólicas $(\sigma ,\tau ,z)$ são definidas em termos das coordenadas cartesianas (x,y,z) por:
    $x=\sigma \tau \,$
    $y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)$
    $z=z\,$
As superfícies com $\sigma$ constante formam cilindros parabólicos confocais de equações
    $2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$
com concavidade voltada para a direção $+y$, ao passo que as superfícies com $\tau$ constante formam cilindros parabólicos confocais de equações
    $2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$
com concavidade voltada para a direção oposta, isto é, na direção $-y$. Os focos de todos estes cilindros parabólicos estão localizados ao longo da reta definida por $x=y=0$. O raio r tem uma equação simples, a saber,
    $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)$
que é útil na resolução da equação de Hamilton-Jacobi em coordenadas parabólicas para o problema da forca central inversa ao quadrado da distância, da mecânica. Para mais detalhes, ver o artigo vetor de Laplace-Runge-Lenz.

## Fatores de escala

Os fatores de escala para as coordenadas cilíndricas parabólicas $\sigma$ e $\tau$ são:
    $h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$
    $h_{z}=1\,$
O elemento infinitesimal de volume é
    $dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{z}=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau dz$
e o laplaciano é igual a
    $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$
Outros operadores diferenciais tais como $\nabla \cdot \mathbf {F}$ e $\nabla \times \mathbf {F}$ podem ser expressos nas coordenadas $(\sigma ,\tau )$ substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais em coordenadas ortogonais.

## Harmônicos cilindro parabólico

Uma vez que todas as superfícies com σ, τ and z são conicóides, a equação de Laplace é separável em coordenadas cilíndricas parabólicas. Usando a técnica da separação de variáveis, uma solução independente para a equação de Laplace pode ser escrita como:
    $V=S(\sigma )\,T(\tau )\,Z(z)$
E a equaçao de Laplace, ao ser dividida por V , é escrita como:
    ${\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0$
Uma vez que a equação em Z está separada dos outros termos, podemos escrever
    ${\frac {\ddot {Z}}{Z}}=-m^{2}$
Onde m é constante. A solução para Z(z) é:
    $Z_{m}(z)=A_{1}\,e^{imz}+A_{2}\,e^{-imz}\,$
Substituindo $-m^{2}$ por ${\ddot {Z}}/Z$ , a equação de Laplace agora pode ser escrita como:
    $\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]=m^{2}(\sigma ^{2}+\tau ^{2})$
Ainda podemos separar as funções S e T e introduzir uma constante $n^{2}$ para obter:
    ${\ddot {S}}-(m^{2}\sigma ^{2}+n^{2})S=0$
    ${\ddot {T}}-(m^{2}\tau ^{2}-n^{2})T=0$
As soluções para essas equaçoes são as funções cilindro parabólico
    $S_{mn}(\sigma )=A_{3}\,y_{1}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})+A_{4}\,y_{2}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})$
    $T_{mn}(\tau )=A_{5}\,y_{1}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})+A_{6}\,y_{2}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})$
Os harmônicos cilindro parabólico para (m,n) são então o produto das soluções. A combinação reduz o número de constantes e a solução geral para a equação de Laplace pode ser escrita como:
    $V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}A_{mn}S_{mn}T_{mn}Z_{m}\,$

## Aplicações

As aplicações clássicas das coordenadas cilíndricas parabólicas encontram-se na resolução de equações diferenciais parciais, como por exemplo a equação de Laplace ou a equação de Helmholtz, para as quais essas coordenadas permitem a utilização da técnica de separação das variáveis. Um exemplo típico seria o [[campo eletrico em torno de uma placa plana semi-infinita condutora.