Zweidimensionale Yang-Mills-Theorie
# Zweidimensionale Yang-Mills-Theorie

Zweidimensionale Yang-Mills-Theorie (auch D = 2 Yang-Mills-Theorie, kurz D = 2 YM) ist in der Differentialgeometrie der Spezialfall der Yang-Mills-Theorie über einer Basismannigfaltigkeit mit zwei Dimensionen. Dieser Spezialfall erlaubt die Konstruktion des Yang-Mills-Maßes auf dem Raum aller Zusammenhänge des Hauptfaserbündels sowie ihren Orbiträumen bezüglich der Eichgruppe. Außerdem sind alle nichtflachen Yang-Mills-Zusammenhänge bereits Yang-Mills-Higgs-Zusammenhänge für ein nichttriviales Higgs-Feld, welches sich direkt aus diesen konstruieren lässt. Eine zentrale Anwendung findet die zweidimensionale Yang-Mills-Theorie in einer zweidimensionalen Formulierung der Quantenchromodynamik (auch ’t Hooft-Modell genannt), welche die starke Wechselwirkung beschreibt.

## Grundlagen

Sei $G$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine orientierbare Riemannsche 2-Mannigfaltigkeit ist. Es sei $A\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ein Zusammenhang und $F_{A}:=\mathrm {d} _{A}A=\mathrm {d} A+[A\wedge A]\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{2}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$ dessen Krümmungsform. Da $B$ zweidimensional ist, kann $\operatorname {tr} (F_{A})\in \Omega ^{2}(B)$ (auch notiert als $\langle F_{A}\rangle$), wobei $\operatorname {tr}$ die Spur (englisch trace) notiert und die Differentialform wieder reellwertig macht, über dieser integriert werden (wofür die Riemannsche Struktur notwendig ist). Gemäß der Chern-Weil-Theorie ergibt dies für $G<\operatorname {U} (n)$ (was für jedes kompakte $G$ wegen des Satzes von Peter-Weyl erfüllt ist) die erste Chern-Klasse des Hauptfaserbündels (definiert als die des assoziierten Vektorbündels $E\times _{G}\mathbb {C} ^{n}$):
    $\langle c_{1}(E),[B]\rangle =\langle c_{1}(E\times _{G}\mathbb {C} ^{n}),[B]\rangle =-{\frac {i}{2\pi }}\int _{B}\operatorname {tr} (F_{A})\in \mathbb {Z} .$
Die Kronecker-Paarung der ersten Chern-Klasse $c_{1}(E)\in H^{2}(B;\mathbb {Z} )$ mit der durch die (ebenso im Integral eingehende) Orientierung gegebenen Fundamentalklasse $[B]\in H_{2}(B,\mathbb {Z} )$ wird dabei zur Vereinfachung auch oft weggelassen. In diesem Fall vergleicht die Gleichung jedoch eine Kohomologieklasse mit einer ganzen Zahl.
Ist $A$ flach ($F_{A}=0$), dann ist also $c_{1}(E)=0$. Daher ist die erste Chern-Klasse eine Obstruktion für die Existenz von flachen Zusammenhängen auf zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten. Yang-Mills-Zusammenhänge ($\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$) sind dadurch nicht nur eine Verallgemeinerung von flachen Zusammenhängen, sondern ebenfalls eine Alternative für Hauptfaserbündel, auf denen diese nicht existieren.

## Spezialfall
### Yang-Mills-Higgs-Gleichungen

In den Yang-Mills-Gleichungen $\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$ wird noch zusätzlich der Hodge-Stern-Operator $\star$ auf die Krümmungsform $F_{A}$ angewendet. Da $B$ eine 2-Mannigfaltigkeit ist, ergibt dies eine 0-Form $\star F_{A}\in \Omega ^{0}(B,\operatorname {Ad} (E))=\Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$. Daher ist der Grad nur in dieser Dimension identisch mit dem eines Higgs-Feldes $\Phi$, wodurch sich eine spezielle Eigenschaft ergibt. Ein Yang-Mills-Zusammenhang $A$, also eine Lösung der Yang-Mills-Gleichungen $\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$, ist sogar ein Yang-Mills-Higgs-Zusammenhang für das nicht unbedingt triviale Higgs-Feld $\Phi =\star F_{A}$, also eine Lösung der Yang-Mills-Higgs-Gleichungen:
    $\star \mathrm {d} _{A}\star F_{A}+[\Phi ,\mathrm {d} _{A}\Phi ]=0;$
    $\mathrm {d} _{A}\star \mathrm {d} _{A}\Phi =0.$
Dies folgt einfach daraus, dass die beiden Terme des Higgs-Feldes herausfallen:
    $\mathrm {d} _{A}\Phi =\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0.$

### Yang-Mills-Maß

Zuerst definiert wurde das Yang-Mills-Maß von Bruce Driver sowie von Leonard Gross, Christopher King und Ambar Sengupta. Mit der Yang-Mills-Wirkung:
    $\operatorname {YM} (A):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$
und einem Parameter $T$ ist das Yang-Mills-Maß gegeben durch:
    $d\mu _{T}(A)={\frac {1}{Z_{T}}}e^{-\operatorname {YM} (A)/T}DA.$

## Anwendung auf die 2-Sphäre

Eine einfache 2-Mannigfaltigkeit ist die 2-Sphäre $S^{2}$. Die komplexe Hopf-Faserung $\mathbb {C} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{4}\supset S^{3}\rightarrow S^{2}\cong \mathbb {C} P^{1},(z,w)\mapsto [z:w]$ ist etwa ein $\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel über $S^{2}$. Zudem korrespondieren derartige Hauptfaserbündel mit der Quantisierung der Ladung eines magnetischen Monopols in drei Dimensionen (auch Dirac-Monopol genannt). Dies entspricht ihrer Klassifikation durch die ganzen Zahlen:
    $\operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (1)}(S^{2})\cong [S^{2},\operatorname {BU} (1)]=\pi _{2}\operatorname {BU} (1)\cong \pi _{1}\operatorname {U} (1)\cong \pi _{1}S^{1}\cong \mathbb {Z}$
Dabei ist $\operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }$ der klassifizierende Raum der Eichgruppe $\operatorname {U} (1)$. Das triviale Hauptfaserbündel entspricht $0\in \mathbb {Z}$ und die komplexe Hopf-Faserung entspricht $1\in \mathbb {Z}$.