Doppelt-stochastische Matrix
# Doppelt-stochastische Matrix

In der Mathematik bezeichnet eine doppelt-stochastische Matrix (manchmal auch doppelt-stochastische Übergangsmatrix) eine quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltensummen $1$ betragen und deren Elemente zwischen $0$ und $1$ liegen.

## Charakterisierungen

Die folgenden Charakterisierungen doppelt-stochastischer Matrizen sind äquivalent:
* Eine quadratische Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen eins betragen und alle Elemente der Matrix zwischen $0$ und $1$ liegen.
* Eine quadratische Matrix $M$ ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn sowohl $M$ als auch die transponierte Matrix $M^{T}$ Übergangsmatrizen sind.
* Eine quadratische Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen $1$ betragen und alle Elemente der Matrix nicht negativ sind.

## Eigenwerte und Eigenvektoren

Wie alle Übergangsmatrizen besitzen auch doppelt-stochastische Matrizen als betragsgrößten Eigenwert den Eigenwert $1$. Da jede doppelt-stochastische Matrix sowohl zeilen- als auch spaltenstochastisch ist, ist der Einsvektor $\mathbf {1}$ (welcher nur Einsen als Einträge hat) sowohl Links- als auch Rechtseigenvektor jeder doppelt-stochastischen Matrix. Ist nun die Matrix $M$ doppelt-stochastisch und noch zusätzlich entweder irreduzibel oder echt positiv (vgl. Satz von Perron-Frobenius), so ist die einzige stationäre Verteilung der Markow-Kette, die durch $M$ charakterisiert wird, die Gleichverteilung, also der Wahrscheinlichkeitsvektor ${\tfrac {1}{n}}\mathbf {1}$ (das $n$ bezieht sich auf die Dimension der $n\times n$-Matrix $M$).

## Satz von Birkhoff und von Neumann

Für eine $n\times n$-Matrix gilt, dass sie genau dann doppelt-stochastisch ist, wenn sie eine Konvexkombination von Permutationsmatrizen ist.
Zusatz: Die Permutationsmatrizen sind die Extremalpunkte der Menge der doppelt-stochastischen Matrizen.