Bogomolny-Gleichungen
# Bogomolny-Gleichungen

Die Bogomolny-Gleichung ist in der Mathematischen Eichtheorie eine Gleichung zur Beschreibung hypothetischer magnetischer Monopole. Formuliert ist diese in drei Dimensionen und folgt durch Dimensionsreduktion aus den selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen (SDYM-Gleichungen) in vier Dimensionen. Benannt sind die Gleichungen nach Eugene Bogomolny. Untersucht wurden die Bogomolny-Gleichungen und insbesondere ihr Modulraum unter anderem von Michael Atiyah und Nigel Hitchin. Auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten ergeben sich nur triviale Lösungen.

## Formulierung

Sei $G$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel mit einer dreidimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit $B$. Für einen glatten Schnitt $\Phi \in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{0}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{0}(B,\operatorname {Ad} (E))\cong \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$ (welche in den Yang-Mills-Higgs-Gleichungen das Higgs-Feld repräsentiert) und einen Zusammenhang $A\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ mit Krümmungsform $F_{A}:=\mathrm {d} _{A}A:=\mathrm {d} A+[A\wedge A]\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{2}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ist die Bogomolny-Gleichung gegeben durch:
    $F_{A}=\star \mathrm {d} _{A}\Phi .$

## Verbindung zu den Yang-Mills-Gleichungen

Eine Lösung der Bogomolny-Gleichung ist nicht unbedingt eine Lösung der Yang-Mills-Gleichung, obwohl mit der Bianchi-Identität $\mathrm {d} _{A}\mathrm {d} _{A}\Phi +[\Phi ,F_{A}]=0$ folgt:
    $\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=\mathrm {d} _{A}\star ^{2}\mathrm {d} _{A}\Phi =\pm \mathrm {d} _{A}^{2}\Phi =\mp [\Phi ,F_{A}].$
Dadurch lassen sich die partiellen Differentialgleichungen von zweitem Grad zu erstem Grad reduzieren und einfacher lösen. Dabei ergeben sich jedoch wegen der zusätzlichen Annahme, auch die Bogomolny-Gleichung zu lösen, nicht alle Lösungen.

## Verbindung zu den Yang-Mills-Higgs-Gleichungen

Eine Lösung der Bogomolny-Gleichung ist eine Lösung der zweiten Yang-Mills-Higgs-Gleichung, da diese dann direkt auf die Bianchi-Identität $\mathrm {d} _{A}F_{A}=0$ zurückfällt:
    $\mathrm {d} _{A}\star \mathrm {d} _{A}\Phi =\mathrm {d} _{A}F_{A}=0.$