Annihilator (Mathematik)
# Annihilator (Mathematik)

Es gibt zwei Begriffsbildungen der Mathematik, die mit dem Wort Annullator (oder auch Annihilator) bezeichnet werden.

## Annullator im Kontext von Formen

Der Annullatorraum ist eine Verallgemeinerung des orthogonalen Komplements auf Vektorräumen, in denen der Dualraum nicht über ein Skalarprodukt mit dem Raum selbst identifiziert werden kann.

### Definition

Sei $V$ ein Vektorraum, $V^{*}$ der zugehörige Dualraum und $S$ eine Teilmenge von $V$. Dann heißt
    $S^{0}=\lbrace f\in V^{*}\mid f(x)=0{\text{ für alle }}x\in S\rbrace \subseteq V^{*}$
der Annullator von $S$.

### Eigenschaften des Annullators

* $S^{0}$ ist ein Untervektorraum des Dualraums $V^{*}$. Deshalb spricht man auch vom Annullatorraum.
* $S^{0}=\langle S\rangle ^{0}$, wobei $\langle S\rangle$ der von $S$ erzeugte Unterraum ist.
* Ist $S_{1}\subseteq S_{2}$, so ist $S_{1}^{0}\supseteq S_{2}^{0}$.
* Ist $V$ endlichdimensional und $U$ ein Unterraum von $V$, so gilt $\dim U^{0}=\dim V-\dim U$. In diesem Fall sind $V$ und der Bidualraum $V^{**}$ kanonisch isomorph und es gilt $\left(U^{0}\right)^{0}=U$, wobei $V$ und $V^{**}$ miteinander identifiziert worden sind.

## Annullator eines Moduls

Es sei $A$ ein Ring und $M$ ein $A$-Linksmodul. Dann ist der Annullator von $M$
    $\operatorname {Ann} M=\{a\in A\mid am=0{\text{ für alle }}m\in M\}.$
Man kann den Annullator auch beschreiben als den Kern der Strukturabbildung
    $A\to \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }M,a\mapsto \ell _{a}$, wobei $\ell _{a}:M\rightarrow M$ die Linksmultiplikation mit $a$ ist.
Der Annullator ist ein zweiseitiges Ideal in $A$.