Clausius-Clapeyron-Gleichung
# Clausius-Clapeyron-Gleichung

Die Clausius-Clapeyron-Gleichung wurde 1834 von Émile Clapeyron entwickelt und später von Rudolf Clausius aus den Theorien der Thermodynamik abgeleitet. Sie ist eine Spezialform der Clapeyron-Gleichung (Herleitung dort). Über die Clausius-Clapeyron-Gleichung lässt sich der Verlauf der Siedepunktskurve errechnen, d. h. der Phasengrenzlinie eines Phasendiagramms zwischen der flüssigen und der gasförmigen Phase eines Stoffes.

## Thermodynamisch korrekte Gleichung

Die thermodynamisch korrekte Version der Gleichung ist
    ${\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} T}}={\frac {\Delta _{\text{vap}}H}{\Delta _{\text{vap}}V\cdot T}}$
mit
* $p$ – Dampfdruck,
* $T$ – absolute Temperatur (in K),
* $\Delta _{\text{vap}}H$ – molare Verdampfungsenthalpie (Index ${\text{vap}}$ für Verdampfung bzw. englisch vapor = Dampf) und
* $\Delta _{\text{vap}}V=V_{\text{m(g)}}-V_{\text{m(fl)}}$ – Änderung des molaren Volumens zwischen gasförmiger und flüssiger Phase.

## Approximation im Falle eines idealen Gases

Im Regelfall bezeichnet man als Clausius-Clapeyron-Gleichung die näherungsweise gültige Gleichung
    ${\frac {1}{p}}\,{\text{d}}p={\frac {\Delta _{\text{vap}}H}{R\cdot T^{2}}}\,{\text{d}}T$,
mit der universellen Gaskonstante $R=8{,}314\;462\;618\ \textstyle {\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {mol\cdot K} }}$.
Diese Beziehung leitet sich wie folgt her. Da bei den meisten Verwendungszwecken das molare Volumen des Gases deutlich größer ist als das der Flüssigkeit
    $V_{\text{m(g)}}\gg V_{\text{m(fl)}}$,
wurde gegenüber der thermodynamisch korrekten Gleichung die Volumendifferenz $\Delta _{\text{vap}}V$ durch das molare Volumen $V_{\text{m(g)}}$ des Gases ausgedrückt
    $\Delta _{\text{vap}}V\approx V_{\text{m(g)}}$.
Außerdem wurde für die gasförmige Phase ein ideales Gas angenommen, für welches die Zustandsgleichung
    $V_{\text{m(g)}}={\frac {RT}{p}}$
gilt.

## Integrierte Form

Betrachtet man die Verdampfungsenthalpie eines Stoffes als konstant über einen kleinen Temperaturbereich ($T_{1}$ bis $T_{2}$), so kann die Clausius-Clapeyron-Gleichung über diesen Temperaturbereich integriert werden. Dann gilt
    $\ln {\frac {p_{2}}{p_{1}}}={\frac {\Delta _{\text{vap}}H}{R}}\cdot \left({\frac {1}{T_{1}}}-{\frac {1}{T_{2}}}\right)$
mit
* dem bekannten Sättigungsdampfdruck $p_{1}$ und der Temperatur $T_{1}$ des Ausgangszustands,
* dem Druck $p_{2}$ und der Temperatur $T_{2}$ des zu berechnenden Zustands.

## Praktische Bedeutung
### Chemie und Verfahrenstechnik

Für Flüssigkeits-Gas-Übergänge mit den oben beschriebenen Näherungen kann der Ausdruck wie folgt umgeschrieben werden:
    $\ln p=-{\frac {\Delta _{\text{vap}}H}{R}}{\frac {1}{T}}+C$,
wobei $p$ der Reaktor- bzw. Behälterdruck, $R$ die Gaskonstante, $T$ die absolute Temperatur und $C$ eine Konstante ist. $\Delta _{\text{vap}}H$ steht für die molare Verdampfungsenthalpie. Die Kenntnis eines Punktes auf der Siedepunktskurve, zum Beispiel (1 bar, 373 K) für Wasser, bestimmt den Rest der Kurve. Umgekehrt ist die Beziehung zwischen $\ln p$ und $1/T$ linear, so dass eine lineare Regression zur Schätzung der Verdampfungsenthalpie verwendet werden kann.
So berechnet sich für das Feuerzeug-Gas n-Butan bei Kenntnis der molaren Verdampfungsenthalpie an dessen Siedepunkt unter Atmosphärendruck (−0,5 °C, 1 bar) der notwendige Druck zur Kondensation bei 25 °C zu
    $p_{\mathrm {n{\text{-}}Butan} }(25\,^{\circ }{\text{C}})=1\,\mathrm {bar} \cdot \exp \left[{\frac {22400\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {mol} }}}{8{,}314\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {mol} \cdot \mathrm {K} }}}}\cdot \left({\frac {1}{272{,}65\,\mathrm {K} }}-{\frac {1}{298{,}15\,\mathrm {K} }}\right)\right]=2{,}3\,\mathrm {bar}$.
Dieser Druck würde somit in einem ausschließlich mit n-Butan befüllten Gasfeuerzeug herrschen. Da Isobutan und Propan niedrigere Siedepunkte als n-Butan aufweisen, werden diese Gase jedoch zugemischt, um einen Gebrauch auch bei Minustemperaturen und niedrigeren Meereshöhen (d. h. größeren Atmosphärendrücken) zu ermöglichen.

### Meteorologie und Klimatologie

Pro Grad Erwärmung (z. B. bei einer Steigerung von 14 °C auf 15 °C) kann Luft bzw. die Erdatmosphäre rund 7 Prozent mehr Feuchtigkeit in Form gasförmig gelösten Wassers („Wasserdampf“) aufnehmen (Sättigungsdampfdruck) – womit als Folge der globalen Erwärmung die Zunahme von Extremwetterereignissen mit erklärt werden kann.
    ${\frac {p_{\mathrm {Wasser} }(15\,^{\circ }{\text{C}})}{p_{\mathrm {Wasser} }(14\,^{\circ }{\text{C}})}}=\exp \left[{\frac {44430\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {mol} }}}{8{,}314\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {mol} \cdot \mathrm {K} }}}}\cdot \left({\frac {1}{287{,}15\,\mathrm {K} }}-{\frac {1}{288{,}15\,\mathrm {K} }}\right)\right]=1{,}067$   (mit berechneter molarer Verdampfungsenthalpie für Wasser bei 14,5 °C)
| Temperaturänderung $\vartheta _{1}$ → $\vartheta _{2}$ | Verhältnis Sättigungsdampfdruck Wasser $p_{2}/p_{1}$ |
| 0 °C → 1 °C | 1,075 |
| 10 °C → 11 °C | 1,069 |
| 20 °C → 21 °C | 1,064 |
| 30 °C → 31 °C | 1,059 |
| 40 °C → 41 °C | 1,054 |