Omega-Konstante
# Omega-Konstante

Die Omega-Konstante $\Omega$ ist eine mathematische Konstante, die implizit durch
    $\Omega e^{\Omega }=1$
mit der Eulerschen Zahl $e$ definiert ist. Es gilt
    $\Omega =W(1),$
wobei $W$ die Lambertsche W-Funktion ist. Die Bezeichnung $\Omega$ kommt von Omegafunktion, dem zweiten Namen der Lambertschen W-Funktion.
Die ersten Dezimalstellen von $\Omega$ lauten
    $\Omega =0{,}567\,143\,290\,409\,783\,872\,999\,968\,662\,210\dots$

## Eigenschaften

* $\Omega =-\ln \Omega$ bzw. $\Omega =\ln {\tfrac {1}{\Omega }}$
* $\Omega =e^{-\Omega }$ bzw. ${\tfrac {1}{\Omega }}=e^{\Omega }$, d. h., an der Stelle $\Omega$ schneiden sich die Exponentialfunktion $x\mapsto e^{x}$ und die Funktion $x\mapsto 1/x$.
* Wenn man einen Potenzturm anlegt, der mit $e$ beginnt und mit $-e$ nach oben geht, erhält man $\Omega$:
       $\Omega =e^{-e^{-e^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$
* Anders formuliert bedeutet dies, dass $\Omega$ der Grenzwert der durch
       $\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}$
    mit beliebigem Startwert $\Omega _{0}$ rekursiv definierten Folge ist.
    Die Folge konvergiert mit knapp einer viertel Dezimalstelle (genauer: $\Omega \lg e$) pro Glied sehr langsam.
* Durch
       $\Omega =e^{-1}\uparrow \uparrow \infty :=\lim _{n\to \infty }e^{-1}\uparrow \uparrow n$
    kommt in der sog. Pfeilschreibweise die Beziehung
       $\Omega =(1/e)^{(1/e)^{(1/e)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$
    zum Ausdruck, dass $\Omega$ also der Wert dieses unendlichen Potenzturmes mit lauter gleichen Basen $1/e$ ist, was wiederum nur eine ziemlich triviale Umformulierung der beiden vorstehenden Eigenschaften darstellt. Sie führt zu den gleichen Folgengliedern.
* Quadratisch dagegen konvergiert $\Omega _{n+1}={\tfrac {1+\;\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}}$.
* $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{1+\Omega }}=0{,}638\,103\,743\,365\,110\,778\,522\,407\,385\,519\dots$
* $\Omega ={\frac {1}{\pi }}\ \operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\!\!\!\ln {\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\,\mathrm {d} t$, wobei mittels $\operatorname {Re}$ der Realteil des Integrals gebildet wird.
* $\Omega$ ist eine transzendente Zahl.
    Wäre nämlich $\Omega$ eine algebraische Zahl, wäre nach dem Satz von Lindemann-Weierstraß $e^{-\Omega }$ transzendent. Das widerspricht aber $e^{-\Omega }=\Omega$, sodass $\Omega$ eine transzendente Zahl sein muss.