Coulomb-Eichung
# Coulomb-Eichung

Die Coulomb-Eichung (nach ihrem Zusammenhang mit dem Coulomb-Potential (s. u.); auch Strahlungseichung oder transversale Eichung genannt) ist eine mögliche Eichung der Elektrodynamik, beschreibt also eine Einschränkung der elektrodynamischen Potentiale.

## Eichfreiheit der Elektrodynamik

Um die Lösung der Maxwell-Gleichungen zu erleichtern, führt man für das elektrische Feld ${\vec {E}}$ und das magnetische Feld ${\vec {B}}$, das elektrische Skalarpotential $\Phi$ und das magnetische Vektorpotential ${\vec {A}}$ ein, welche die klassisch beobachtbaren Felder beschreiben:
    ${\vec {E}}=-\nabla \Phi -\partial _{t}{\vec {A}}$
    ${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}$.
Diese Definition erlaubt Eichfreiheiten in der Wahl von Skalar- und Vektorpotential, die keine Auswirkungen auf messbare Größen haben, insbesondere nicht auf elektrisches Feld und magnetische Flussdichte.

## Die Coulomb-Eichung

Diese Eichfreiheit wird in der Coulomb-Eichung dazu genutzt, die Divergenzfreiheit des Vektorpotentials zu fordern:
    $\nabla \cdot {\vec {A}}=0$
Wegen $\Delta =\nabla \cdot \nabla$ und ${\frac {\partial }{\partial t}}\nabla =\nabla {\frac {\partial }{\partial t}}$ folgen daraus die im nächsten Paragraphen notierten Resultate.

## Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen in der Coulomb-Eichung

Setzt man mit dieser Eichung die Potentiale in die inhomogenen Maxwell-Gleichungen (das gaußsche Gesetz und das erweiterte Induktionsgesetz) ein, so erhält man
    $\Delta \Phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$
und
    $\Delta {\vec {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {A}}=-\mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}\nabla \partial _{t}\Phi \,\,(=:\,-\mu _{0}{\vec {j}}_{\rm {T}})$.
Der Quellterm ${\vec {j}}_{\rm {T}}$ wird der transversale Strom genannt, weil nach Konstruktion $\nabla \cdot {\vec {j}}_{\rm {T}}=0$ gilt. Diese Bedingung ist notwendig, damit die partielle Differentialgleichung durch Vektorpotentiale gelöst werden kann, die die Coulomb-Eichung erfüllen.
Die Lösung der ersten Gleichung ist das skalare Potential
    $\Phi ({\vec {r}},t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho ({\vec {r}}^{\prime },t)}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }\right|}}\mathrm {d} ^{3}r^{\prime }$,
dieses ist also in dieser Eichung identisch mit dem Coulomb-Potential.
Die zweite Gleichung ist eine inhomogene Wellengleichung mit der durch die Methode des retardierten Potentials gewonnenen Lösung:
    ${\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}_{\rm {T}}({\vec {r}}^{\prime },t')}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }\right|}}\mathrm {d} ^{3}r^{\prime }$.
Dabei ist die retardierte Zeit $t'$ gegeben durch $t':=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}{c}}$ . Physikalisch entspricht die zuletzt angegebene Differenz der Zeitspanne, die ein Licht- oder Radarsignal braucht, um die Strecke vom Ausgangspunkt (dem Integrationpunkt) ${\vec {r}}'$ der Signale zum Ankunftspunkt ${\vec {r}}$ zu durchlaufen (c ist die Lichtgeschwindigkeit).
Der Vor- oder Nachteil der Coulomb-Eichung besteht in den zwei unterschiedlichen Zeiten in den Integralen. Das skalare Potential hängt von der instantanen Ladungsverteilung (Zeitpunkt t) ab, während für das Vektorpotential der retardierte Strom (Zeitpunkt t' < t) relevant ist. Die konkurrierende Lorenz-Eichung hat diesen Nachteil nicht, sondern berücksichtigt Retardierung durchgehend. Damit ist sie auch explizit relativistisch invariant.
Sind keine Quellen (Ladungen und Ströme) vorhanden, so vereinfachen sich die Gleichungen zu
    $\Delta \Phi =0$
und
    $\Delta {\vec {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {A}}=0$,
das Vektorpotential erfüllt also die homogene Wellengleichung.