Quasigeodäte
# Quasigeodäte

In der Mathematik kommen Quasigeodäten (auch Quasi-Geodäten) in Differentialgeometrie, metrischer Geometrie und geometrischer Gruppentheorie vor. Es handelt sich um Kurven, die nicht unbedingt kürzeste Verbindungen sind, aber deren Länge nur auf kontrollierte Weise von der der kürzesten Verbindungen abweicht.

## Definition

Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $I\subset \mathbb {R}$ ein (endliches oder unendliches) abgeschlossenes Intervall. Eine (nicht notwendig stetige) Abbildung
    $c\colon I\to X$
ist eine Quasigeodäte, wenn es Konstanten $\lambda ,\epsilon >0$ gibt, so dass für alle $s,t\in I$ gilt:
    ${\frac {1}{\lambda }}|s-t|-\epsilon \leq d(c(s),c(t))\leq \lambda |s-t|+\epsilon$.
Mit anderen Worten: $c\colon I\to X$ ist eine quasi-isometrische Einbettung.

## Beispiele

* Im $\mathbb {R} ^{n}$ oder allgemeiner in jeder einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung ist eine Geodäte immer eine Quasigeodäte.
* Die logarithmische Spirale $c(t)=(t\cos(\ln(1+t)),t\sin(\ln(1+t)))$ ist eine Quasigeodäte, denn es gilt $|s-t|\leq d(c(s),c(t))\leq (2\pi +1)|s-t|$.
* Kontrollierte Störungen einer Quasigeodäten sind wieder Quasigeodäten, mit einer evtl. anderen Konstanten $\epsilon$.
    Genauer: Wenn $c$ eine Quasigeodäte ist und $d(c(t),c^{\prime }(t))<K$ für eine Konstante $K$ und alle $t\in I$ gilt, dann ist $c^{\prime }$ eine Quasigeodäte.
* Wenn $c\colon I\to X$ eine Quasigeodäte und $f\colon X\to Y$ eine quasi-isometrische Einbettung ist, dann ist $f\circ c$ eine Quasigeodäte.

## Morse-Lemma

Es sei $(X,d)$ ein Gromov-hyperbolischer Raum, zum Beispiel eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung. Dann hat jede Quasigeodäte $c\colon \left[a,b\right]\to X$ endlichen Hausdorff-Abstand von der (eindeutigen) Geodäte $c^{\prime }$ durch $c(a)$ und $c(b)$.
Genauer: Zu allen $\lambda ,\epsilon ,\delta$ gibt es ein $R(\lambda ,\epsilon ,\delta )$, so dass jede $(\lambda ,\epsilon )$-Quasigeodäte in einem $\delta$-hyperbolischen Raum im Abstand $<R$ von einer Geodäten liegt.
Insbesondere, wenn $X$ $\delta$-hyperbolisch und $c$ stetig und rektifizierbar ist, dann gilt für alle $x\in im(c^{\prime })$
    $d(x,im(c))\leq \delta |\log _{2}l(c)|+1$,
wobei $l(c)$ die Länge von $c$ bezeichnet.
Die analoge Aussage für CAT(0)-Räume oder Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung trifft nicht zu. Ein Gegenbeispiel ist die logarithmische Spirale im $\mathbb {R} ^{2}$.