Beschränktes Wachstum
# Beschränktes Wachstum

Als beschränktes Wachstum (begrenztes Wachstum) wird in der Mathematik ein Wachstum bezeichnet, das durch eine natürliche Schranke (auch Kapazität(-sgrenze) oder Sättigung(-sgrenze/-swert) genannt) begrenzt ist. Das Wachstum kann sowohl nach oben als auch nach unten (beschränkte Schrumpfung) beschränkt sein.

## Eigenschaften
### Modellbeschreibung

Beim klassischen Wachstumsmodell des beschränkten Wachstums ist die Änderungsrate $B_{n+1}-B_{n}$ bzw. $B'(t)$ proportional zum Sättigungsmanko $S-B(t)$ (auch Restbestand bzw. Sättigungsdefizit genannt). Das Sättigungsmanko selbst nimmt exponentiell ab. Dieser Rest gibt den Fehlbetrag bis zum Erreichen der Schranke an. Der Bestand ergibt sich wiederum aus der Differenz von Sättigungsgrenze und Sättigungsmanko.

### Wesentliche Begriffe und Notation

* $t$ bezeichnet die Zeit.
* $B$ sei die betrachtete Bestandsgröße.
* $B\left(0\right)={{B}_{0}}$ kennzeichnet den Anfangsbestand (Anfangsbedingung) zum Zeitpunkt $t=0$.
* $S$ bezeichnet die natürliche Schranke, die als Grenzwert von der Bestandsgröße (theoretisch) nicht überschritten werden kann. Sie bildet die Asymptote der Wachstumsfunktion und verhindert, dass der Bestand ins Unendliche wächst wie bei linearem und exponentiellen Wachstum.
* $k$ sei die Wachstumskonstante.
* $B'$ gibt die Wachstumsgeschwindigkeit bzw. die Wachstumsrate an.

### Differentialgleichung

Differentialgleichungen (DGL) dienen der Beschreibung des kontinuierlichen (stetigen) Wachstumsmodells.
Die DGL für beschränktes Wachstum lautet: ${B}'\left(t\right)={\frac {\operatorname {d} B}{\operatorname {d} t}}=k\left(S-B\left(t\right)\right)$
Dies ist eine lineare inhomogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und kann mittels der Methode „Variablentrennung“ gelöst werden.

### Explizite Darstellung (Wachstumsfunktion)

Die spezielle Lösung der DGL bildet die explizite Darstellung und damit gleichzeitig die Wachstumsfunktion.
Für ein beschränktes Wachstum lautet die Funktionsgleichung: $B\left(t\right)=S-(S-{{B}_{0}}){{\operatorname {e} }^{-kt}}$ Das Wachstum ist degressiv. Die Wachstumsgeschwindigkeit nimmt mit der Zeit ab.
Für ein nach oben beschränktes Wachstum mit $S>{{B}_{0}}$ steigt der Graph der Funktion streng monoton und beschreibt eine Rechtskurve.
Für ein nach unten beschränktes Wachstum mit $S<{{B}_{0}}$ fällt der Graph der Funktion streng monoton und beschreibt eine Linkskurve.
Für den Sonderfall $S=0$ hat die Wachstumsfunktion die Gestalt: $B\left(t\right)=S-(S-{{B}_{0}}){{\operatorname {e} }^{-kt}}=0-(0{{\operatorname {e} }^{-kt}}-{{B}_{0}}{{\operatorname {e} }^{-kt}})=(0-0{{\operatorname {e} }^{-kt}})+{{B}_{0}}{{\operatorname {e} }^{-kt}}={{B}_{0}}{{\operatorname {e} }^{-kt}}$.
Hier fällt die Schranke mit der x-Achse (Abszisse) zusammen. Dies entspricht dem klassischen Fall einer exponentiellen Abnahme.

### Rekursive Darstellung

Zur Beschreibung des diskreten Modells als rekursive Darstellung dienen aus Differenzen abgeleitete Folgen.

#### Exakte Diskretisierung

Es sei $B_{n}=S-(S-B_{0})\mathrm {e} ^{-k\Delta t\cdot n}$.
Dann lautet die Rekursionsformel: $B_{n+1}=B_{n}\mathrm {e} ^{-k\Delta t}+S\left(1-\mathrm {e} ^{-k\Delta t}\right)$,
wobei $\Delta t$ eine äquidistante Folge von Zeitpunkten $t_{n}=t_{0},t_{1},t_{2},\dotsc$ darstellt und $B_{n}=B_{0},B_{1},B_{2},\dotsc$ die entsprechenden Bestandsgrößen meint.

#### Genäherte Diskretisierung

Folgende Näherung ergibt sich durch Anwendung des expliziten Eulerverfahrens: $B_{n+1}=B_{n}+k\Delta t\left(S-B_{n}\right)$
mit $B_{n}=B_{0}(1-k\Delta t)^{n}-S(1-k\Delta t)^{n}+S$

#### Vergleich zwischen der exakten und der genäherten Darstellung

Der Koeffizientenvergleich der exakten und der Näherungsformeln zeigt, dass beide Darstellungen nicht identisch sind. Durch Reihenentwicklung der Exponentialfunktion:
    $\mathrm {e} ^{-k\Delta t}=1+{\frac {-k\Delta t}{1!}}+{\frac {(-k\Delta t)^{2}}{2!}}+\dotsb$
ergibt sich jedoch, dass beide Darstellungen bis auf Terme höherer als 1. Ordnung übereinstimmen.

### Beschränktes logistisches Wachstum

Neben dem klassischen Modell ist ein Wachstum, welches sich durch eine logistische Funktion beschreiben lässt, ebenfalls nach oben hin beschränkt. Hier ist die Änderungsrate $\,B'(t)$ proportional zum Produkt aus Bestand und Sättigungsmanko $B(t)\cdot (S-B(t))$.

## Beispiele
### Nach oben beschränktes Wachstum
#### Erwärmung eines Kaltgetränks

    Liegt die Temperatur eines Kaltgetränks unterhalb der Umgebungstemperatur, erwärmt sich das Getränk bis auf die Umgebungstemperatur, welche die obere Grenze bildet.

#### Verkauf von Telefonanschlüssen an einem festen Ort

    Wenn alle Einwohner des Ortes einen Telefonanschluss besitzen, ist die obere Grenze erreicht.

#### Medikamenteneinnahme

    Zu Beginn der Einnahme baut sich ein Wirkstoffniveau auf, das bei kontinuierlicher Medikamentation die obere Grenze beschreibt.

#### Ausbreitung einer Population in einem begrenzten Raum

    Eine Population z. B. Fische wächst nicht immer weiter, sondern aufgrund von begrenzten Ressourcen wie Futter, Sauerstoff, Platz etc. existiert eine natürliche Grenze.

### Nach unten beschränktes Wachstum
#### Abkühlung eines Heißgetränks

    Liegt die Temperatur eines Heißgetränks oberhalb der Umgebungstemperatur, kühlt sich das Getränk bis auf die Umgebungstemperatur ab, welche die untere Grenze bildet.