Stationärer stochastischer Prozess
# Stationärer stochastischer Prozess

Ein stationärer stochastischer Prozess ist ein stochastischer Prozess mit speziellen Eigenschaften und damit Untersuchungsobjekt der Wahrscheinlichkeitstheorie. Man unterscheidet stochastische Prozesse,
* die stationär im engeren Sinn (auch strikt, streng oder stark stationär) sind, und solche,
* die stationär im weiteren Sinn (auch schwach stationär) sind.
Bei beiden Typen von Prozessen besitzen die endlichdimensionalen Verteilungen des Prozesses bestimmte zeitunabhängige Eigenschaften. Diese beziehen sich bei der Stationarität im engeren Sinn auf die gesamte Verteilungsgestalt und bei der Stationarität im weiteren Sinn nur auf die ersten beiden Momente der endlichdimensionalen Verteilungen. Für Gauß-Prozesse, deren sämtliche endlichdimensionalen Verteilungen multivariate Normalverteilungen sind, fallen die beiden Konzepte zusammen.

## Definition

Im Folgenden bezeichnet $(X_{t})_{t\in \mathbb {T} }$ einen reellwertigen stochastischen Prozess mit Indexmenge $\mathbb {T} \subseteq \mathbb {R}$. Dabei ist $\mathbb {T}$ häufig die Menge der ganzen, der natürlichen oder der reellen Zahlen. Häufig ist $t$ ein Zeitindex und $\mathbb {T}$ eine Menge von Zeitpunkten.

### Stationarität im engeren Sinn

Ein stochastischer Prozess $(X_{t})_{t\in \mathbb {T} }$ mit $\mathbb {T} \subseteq \mathbb {R}$ heißt stationär im engeren Sinn (auch strikt, streng oder stark stationär), falls alle endlichdimensionalen Verteilungen translationsinvariant sind, d. h. für beliebige $m\in \mathbb {N}$, beliebige Stellen (Zeitpunkte) $t_{1},\dots ,t_{m}\in \mathbb {T}$ und alle Verschiebungen $s\in \mathbb {R}$ mit $\{t_{1}+s,\dots ,t_{m}+s\}\subseteq \mathbb {T}$ gilt, dass die Zufallsvektoren (die endlichen Teilfamilien) $(X_{t_{1}},\dots ,X_{t_{m}})$ und $(X_{t_{1}+s},\dots ,X_{t_{m}+s})$ dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung haben.

### Stationarität im weiteren Sinn

Ein stochastischer Prozess $(X_{t})_{t\in \mathbb {T} }$ heißt stationär im weiteren Sinn oder schwach stationär, wenn
* die Varianzen aller Zufallsvariablen endlich sind, d. h. für alle $t\in \mathbb {T}$ gilt ${\text{Var}}[X_{t}]<\infty$,
* die Erwartungswertfunktion konstant ist, d. h. für alle $t\in \mathbb {T}$ gilt $\mathrm {E} [X_{t}]=\mu$,
* die Kovarianzfunktion translationsinvariant ist, d. h. für alle $t,t'\in \mathbb {T}$ und alle Verschiebungen $s\in \mathbb {R}$ mit $t+s,t'+s\in \mathbb {T}$ gilt
          ${\text{Cov}}[X_{t},X_{t'}]={\text{Cov}}[X_{t+s},X_{t'+s}]$.
Dabei bezeichnen $\mathrm {E} [X]$ und $\mathrm {Var} [X]$ den Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsvariablen $X$ und ${\text{Cov}}[X,Y]$ bezeichnet die Kovarianz der Zufallsvariablen $X$ und $Y$.