Liste orthogonaler Koordinatensysteme
# Liste orthogonaler Koordinatensysteme

Diese Liste orthogonaler Koordinatensysteme führt orthogonale Koordinatensysteme im zwei oder dreidimensionalen euklidischen Raum auf. Das Attribut orthogonal wird für alle im Folgenden behandelten Koordinatensysteme im Stillen vorausgesetzt.
Die Tabellen enthalten folgende Spalten:

## Form

    Die meisten Koordinatensysteme besitzen im deutschen Sprachraum keine etablierte Bezeichnung, was auch oft im angelsächsischen Sprachraum der Fall ist. Die Angabe in der ersten Spalte soll die Koordinatenflächen charakterisieren.

## Komplexe Transformation (nur bei zylindrischen Koordinatensystemen)

    Zylindrische Koordinatensysteme entstehen durch Extrusion senkrecht zur xy-Ebene, die auch als komplexe Ebene von Zahlen z=x+i y mit imaginärer Einheit i$^2$=-1 aufgefasst werden kann. Die in dieser Spalte eingetragene Holomorphe Funktion z=f(ζ) der komplexen Zahl ζ=u+i v, transformiert die Koordinatenlinien des jeweiligen Koordinatensystems winkeltreu in die Koordinatenlinien des kartesischen Koordinatensystems. Die Koordinatenlinien werden zu namensgebenden Zylindern extrudiert, die keineswegs kreisförmige oder geschlossene Querschnitte besitzen müssen.

## Umrechnung

    Hier wird der Zusammenhang mit den kartesischen Koordinaten angegeben. Als Funktionen werden benutzt:
   * Winkelfunktionen sin, cos, tan, csc, sec, cot,
   * Hyperbelfunktionen sinh, cosh, tanh, csch, sech, coth,
   * Jacobische elliptische Funktionen sn, cn, dn. Die Variable u ist mit dem elliptischen Modul k und v mit dem komplementären Parameter k' assoziiert.
   * Exponentialfunktionen a$^…$, e$^…$=exp(…)
   * Logarithmusfunktionen log$_a$, ln

## Metrikkoeffizienten

    Dies sind die Betragsquadrate der kovarianten Basisvektoren $g_{ii}:=|{\vec {g}}_{i}|^{2}$ des Koordinatensystems. Deren Wurzeln sind die Metrischen Faktoren $h_{i}:={\sqrt {g_{ii}}}$, die in den Formeln für Skalar- und Kreuzprodukt sowie den Differentialoperatoren auftauchen.

## Trennbarkeit

    Hier wird angegeben, ob die Trennung der Veränderlichen in der Laplace- oder Helmholtz-Gleichung im Raum (3D) oder in der Ebene (2D) mit dem einfachen Ansatz (S) oder dem allgemeinen Ansatz (R) oder gar nicht (X) gelingt.
Durch Extrusion senkrecht zur xy-Ebene entstehen #Zylindrische Koordinaten$^{:79ff}$ und durch Rotation um eine in der Ebene liegende Achse #Rotierte Koordinaten.$^{:99ff}$ Mit Hyperlinks$^{↓R}$$^{↑Z}$ kann gegebenenfalls vom zylindrischen Koordinatensystem zum verwandten rotierten bzw. andersherum gesprungen werden.

## Spezielle Koordinatensysteme

Diese Gruppe umfasst das Kartesische Koordinatensystem und Koordinatensysteme die weder durch Extrusion noch durch Rotation erhalten werden.
| Form | Um­rech­nung | Me­trik­ko­effi­zien­ten | Trenn­bar­keit | Trenn­bar­keit | Trenn­bar­keit | Trenn­bar­keit |
| Form | Um­rech­nung | Me­trik­ko­effi­zien­ten | Helm­holtz | Helm­holtz | La­place | La­place |
| Form | Um­rech­nung | Me­trik­ko­effi­zien­ten | 3D | 2D | 3D | 2D |
| Kar­te­sisch | ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=\mathbf {Q} {\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}},$ Q∈SO(3) | $g_{11}=g_{22}=g_{33}=1$ | S | S | S | S |
| El­li­psoid, ɑ,b∈ℝ | ${\begin{aligned}x=&{\sqrt {\frac {(u^{2}-a^{2})(v^{2}-a^{2})(w^{2}-a^{2})}{a^{2}(a^{2}-b^{2})}}}\\y=&{\sqrt {\frac {(u^{2}-b^{2})(v^{2}-b^{2})(w^{2}-b^{2})}{b^{2}(b^{2}-a^{2})}}}\\z=&{\frac {uvw}{ab}}\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&{\frac {(u^{2}-v^{2})(u^{2}-w^{2})}{(u^{2}-a^{2})(u^{2}-b^{2})}}\\g_{22}=&{\frac {(v^{2}-u^{2})(v^{2}-w^{2})}{(v^{2}-a^{2})(v^{2}-b^{2})}}\\g_{33}=&{\frac {(w^{2}-u^{2})(w^{2}-v^{2})}{(w^{2}-a^{2})(w^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}$ | S | S | S | S |
| Pa­ra­bol­oid, ɑ,b∈ℝ | ${\begin{aligned}x=&{\sqrt {\frac {4(u-a)(a-v)(a-w)}{a-b}}}\\y=&{\sqrt {\frac {4(u-b)(v-b)(b-w)}{a-b}}}\\z=&u+v+w-a-b\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&{\frac {(u-v)(u-w)}{(u-a)(u-b)}}\\g_{22}=&{\frac {(u-v)(v-w)}{(a-v)(v-b)}}\\g_{33}=&{\frac {(u-w)(v-w)}{(a-w)(b-w)}}\end{aligned}}$ | S | S | S | S |
| Kegel, b,c∈ℝ | ${\begin{aligned}x=&{\frac {uvw}{bc}}\\y=&{\frac {u{\sqrt {(v^{2}-b^{2})(b^{2}-w^{2})}}}{b{\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}}\\z=&{\frac {u{\sqrt {(c^{2}-v^{2})(c^{2}-w^{2})}}}{c{\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}}\\\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&1\\g_{22}=&{\frac {u^{2}(v^{2}-w^{2})}{(v^{2}-b^{2})(c^{2}-v^{2})}}\\g_{33}=&{\frac {u^{2}(v^{2}-w^{2})}{(b^{2}-w^{2})(c^{2}-w^{2})}}\end{aligned}}$ | S | S | S | S |

## Zylindrische Koordinaten

Diese Systeme entstehen durch Extrusion senkrecht zur xy-Ebene (in z-Richtung). Die dritte Koordinate ist die Höhe z über der xy-Ebene (nicht zu verwechseln mit der komplexen Zahl gleichen Namens in der Spalte Komplexe Transformation.)$^{:79ff}$
| Form | Kom­ple­xe Trans­for­ma­tion | Um­rech­nung | Me­trik­ko­effi­zien­ten | Trenn­bar­keit | Trenn­bar­keit | Trenn­bar­keit | Trenn­bar­keit |
| Form | Kom­ple­xe Trans­for­ma­tion | Um­rech­nung | Me­trik­ko­effi­zien­ten | Helm­holtz | Helm­holtz | La­place | La­place |
| Form | Kom­ple­xe Trans­for­ma­tion | Um­rech­nung | Me­trik­ko­effi­zien­ten | 3D | 2D | 3D | 2D |
| Polar$^{↓R}$ | $z=e^{\zeta }$ | ${\begin{aligned}x=&e^{u}\cos(v)\\y=&e^{u}\sin(v)\\z=&z\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=e^{2u}\\g_{33}=&1\\\end{aligned}}$ | S | S | S | S |
| Pa­ra­bo­lisch$^{↓R}$ | $z={\tfrac {1}{2}}\zeta ^{2}$ | ${\begin{aligned}x=&{\frac {u^{2}-v^{2}}{2}}\\y=&uv\\z=&z\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=u^{2}+v^{2}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$ | S | S | S | S |
| Ellip­tisch,$^{↓Rx,}$$^{↓Ry}$ ɑ∈ℝ | $z=a\cosh(\zeta )$ | ${\begin{aligned}x=&a\cosh(u)\cos(v)\\y=&a\sinh(u)\sin(v)\\z=&z\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}&g_{11}=g_{22}=\dots \\&=a^{2}[\cosh(u)^{2}-\cos(v)^{2}]\\&g_{33}=1\end{aligned}}$ | S | S | S | S |
| Bipolar, $^{↓Rx,}$$^{↓Ry}$ ɑ∈ℝ | ${\bar {z}}=a{\frac {e^{\zeta }+1}{e^{\zeta }-1}}$ | ${\begin{aligned}x=&{\frac {a\sinh(u)}{\cosh(u)-\cos(v)}}\\y=&{\frac {a\sin(v)}{\cosh(u)-\cos(v)}}\\z=&z\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}&g_{11}=g_{22}=\dots \\&={\frac {a^{2}}{[\cosh(u)-\cos(v)]^{2}}}\\&g_{33}=1\end{aligned}}$ | X | X | X | S |
| Tangie­rende Zy­lin­der$^{↓R}$ | ${\bar {z}}={\frac {1}{\zeta }}$ | ${\begin{aligned}x=&{\frac {u}{u^{2}+v^{2}}}\\y=&{\frac {v}{u^{2}+v^{2}}}\\z=&z\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=g_{22}=&(u^{2}+v^{2})^{-2}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$ | X | X | X | S |
| Kar­dio­idisch$^{↓R}$ | ${\bar {z}}={\frac {1}{2\zeta ^{2}}}$ | ${\begin{aligned}x=&{\frac {u^{2}-v^{2}}{2(u^{2}+v^{2})^{2}}}\\y=&{\frac {uv}{(u^{2}+v^{2})^{2}}}\\z=&z\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=(u^{2}+v^{2})^{-3}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$ | X | X | X | S |
| Hy­per­bel$^{↓R}$ | $z={\sqrt {2\zeta }}$ | ${\begin{aligned}x=&{\sqrt {\rho +u}}\\y=&{\sqrt {\rho -u}}\\z=&z\\\rho =&{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}={\frac {1}{2\rho }}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$ | X | X | X | S |
| Ro­set­te | ${\bar {z}}={\sqrt {\frac {2}{\zeta }}}$ | ${\begin{aligned}x=&{\frac {{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}+u}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}\\y=&{\frac {{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}-u}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}\\z=&z\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}={\frac {1}{2(u^{2}+v^{2})^{\frac {3}{2}}}}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$ | X | X | X | S |
| Cas­si­ni­sche Kur­ve, ɑ∈ℝ | $z=a{\sqrt {e^{\zeta }+1}}$ | ${\begin{aligned}x=&a{\sqrt {\frac {e^{u+1}[1+\cos(v)]}{2}}}\\y=&a{\sqrt {\frac {e^{u+1}[1-\cos(v)]}{2}}}\\z=&z\\\rho :=&{\sqrt {e^{2u}+2e^{u}\cos(v)+1}}\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}={\frac {a^{2}e^{2u}}{4\rho }}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$ | X | X | X | S |
| Inverse Cas­si­ni­sche Kur­ve, ɑ∈ℝ | ${\bar {z}}={\frac {a}{\sqrt {e^{\zeta }+1}}}$ | ${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{{\sqrt {2}}\rho }}{\sqrt {\rho +e^{u}\cos(v)+1}}\\y=&{\frac {a}{{\sqrt {2}}\rho }}{\sqrt {\rho -e^{u}\cos(v)-1}}\\z=&z\\\rho :=&{\sqrt {e^{2u}+2e^{u}\cos(v)+1}}\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}={\frac {a^{2}e^{2u}}{4\rho ^{3}}}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$ | X | X | X | S |
| Trisektrix von Maclaurin, ɑ∈ℝ | $z={\frac {a}{\pi }}(1+\zeta +e^{\zeta })$ | ${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{\pi }}\left[1+u+e^{u}\cos(v)\right]\\y=&{\frac {a}{\pi }}\left[v+e^{u}\sin(v)\right]\\z=&z\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=\dots \\=&{\frac {a^{2}[e^{2u}+2e^{u}\cos(v)+1]}{\pi ^{2}}}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$ | X | X | X | S |
| Logarithmus, ɑ∈ℝ | $z={\frac {2a}{\pi }}\ln(\zeta )$ | ${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{\pi }}\ln(u^{2}+v^{2})\\y=&{\frac {2a}{\pi }}{\rm {atan2}}(v,u)\\z=&z\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}={\frac {4a^{2}}{\pi ^{2}(u^{2}+v^{2})}}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$ | X | X | X | S |
| periodische Spitzen, ɑ∈ℝ | $z={\frac {2a}{\pi }}\ln {\big\tan(\zeta ){\big )}$ | ${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{\pi }}\ln \left({\frac {\sin(u)^{2}+\sinh(v)^{2}}{\cos(u)^{2}+\sinh(v)^{2}}}\right)\\y=&{\frac {2a}{\pi }}{\rm {atan2}}{\big\sinh(2v),\sin(2u){\big )}\\z=&z\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=\dots \\=&{\frac {16a^{2}}{\pi ^{2}{\big\sinh(2v)^{2}+\sin(2u)^{2}{\big )}}}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$ | X | X | X | S |
| periodische Schütze, ɑ∈ℝ | $z={\frac {2a}{\pi }}\ln \cosh \zeta$ | ${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{\pi }}\ln {\big\cosh(u)^{2}-\sin(v)^{2}{\big )}\\y=&{\begin{array}{ll}{\frac {2a}{\pi }}{\rm {atan2}}{\big&\sinh(u)\sin(v),\\&\cosh(u)\cos(v){\big )}\end{array}}\\z=&z\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=\dots \\=&{\frac {a^{2}{\big\sinh(2u)^{2}+\sin(2v)^{2}{\big )}}{\pi ^{2}{\big\cosh(u)^{2}-\sin(v)^{2}{\big )}^{2}}}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$ | X | X | X | S |
| Cas­si­ni­sche Kur­ve, ɑ∈ℝ | ${\bar {z}}={\frac {a}{\cosh(\zeta )}}$ | ${\begin{aligned}x=&{\frac {a\cosh(u)\cos(v)}{\cosh(u)^{2}-\sin(v)^{2}}}\\y=&{\frac {a\sinh(u)\sin(v)}{\cosh(u)^{2}-\sin(v)^{2}}}\\z=&z\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=\dots \\=&{\frac {a^{2}{\big\cosh(u)^{2}-\cos(v)^{2}{\big )}}{{\big\cosh(u)^{2}-\sin(v)^{2}{\big )}^{2}}}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$ | X | X | X | S |
| Cas­si­ni­sche Kur­ve, ɑ∈ℝ | $z=a\,{\rm {sn}}(\zeta ;k)$ | ${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{\Lambda }}\,{\rm {sn}}(u)\,{\rm {dn}}(v)\\y=&{\frac {a}{\Lambda }}\,{\rm {cn}}(u)\,{\rm {dn}}(u)\,{\rm {sn}}(v)\,{\rm {cn}}(v)\\z=&z\end{aligned}}$ | Metrikkoeffizienten siehe nächste Zeile. Elliptische Module siehe #Umrechnung. $\Lambda =1-{\rm {dn}}(u)^{2}\,{\rm {\rm {sn}}}(v)^{2}$ | X | X | X | S |
| ${\begin{aligned}g_{11}=&{\frac {a^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big{\big{\rm {dn}}(u)^{2}+k^{2}\,{\rm {cn}}(u)^{2}{\big )}^{2}{\big{\rm {sn}}(u)\,{\rm {cn}}(v)\,{\rm {sn}}(v){\big )}^{2}+{\big{\rm {dn}}(u)\,{\rm {cn}}(u)\,{\rm {dn}}(v){\big )}^{2}{\Big )}\\g_{22}=&{\frac {a^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big{\big{\rm {cn}}(v)^{2}-{\rm {sn}}(v)^{2}{\big )}^{2}{\big{\rm {cn}}(u)\,{\rm {dn}}(u)\,{\rm {dn}}(v){\big )}^{2}+{\big{k'}^{2}\,{\rm {sn}}(u)\,{\rm {cn}}(v)\,{\rm {sn}}(v){\big )}^{2}{\Big )}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$ |||||||

## Rotierte Koordinaten

Diese Systeme entstehen durch Rotation der Koordinatenlinien in der xy-Ebene um eine in der Ebene liegende Achse. Die dritte Koordinate ist der Drehwinkel ψ.$^{:99ff}$
| Form | Um­rech­nung | Me­trik­ko­effi­zien­ten | Trenn­bar­keit | Trenn­bar­keit | Trenn­bar­keit | Trenn­bar­keit |
| Form | Um­rech­nung | Me­trik­ko­effi­zien­ten | Helm­holtz | Helm­holtz | La­place | La­place |
| Form | Um­rech­nung | Me­trik­ko­effi­zien­ten | 3D | 2D | 3D | 2D |
| Polar$^{↑Z}$ | ${\begin{aligned}x=&u\sin(v)\cos(\psi )\\y=&u\sin(v)\sin(\psi )\\z=&u\cos(\psi )\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&1\\g_{22}=&u^{2}\\g_{33}=&u^{2}\sin(v)^{2}\\\end{aligned}}$ | S | S | S | S |
| Ge­streckt Sphä­ro­id,$^{↑Z}$ ɑ∈ℝ | ${\begin{aligned}x=&a\sinh(u)\sin(v)\cos(\psi )\\y=&a\sinh(u)\sin(v)\sin(\psi )\\z=&a\cosh(u)\cos(v)\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=\dots \\=&a^{2}[\sinh(u)^{2}+\sin(v)^{2}]\\g_{33}=&a^{2}\sinh(u)^{2}\sin(v)^{2}\end{aligned}}$ | S | S | S | S |
| Ab­ge­pla­ttet Sphä­ro­id,$^{↑Z}$ ɑ∈ℝ | ${\begin{aligned}x=&a\cosh(u)\sin(v)\cos(\psi )\\y=&a\cosh(u)\sin(v)\sin(\psi )\\z=&a\sinh(u)\cos(v)\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=\dots \\=&a^{2}[\sinh(u)^{2}+\sin(v)^{2}]\\g_{33}=&a^{2}\cosh(u)^{2}\sin(v)^{2}\end{aligned}}$ | S | S | S | S |
| Pa­ra­bo­lisch$^{↑Z}$ | ${\begin{aligned}x=&uv\cos(\psi )\\y=&uv\sin(\psi )\\z=&{\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=u^{2}+v^{2}\\g_{33}=&u^{2}v^{2}\end{aligned}}$ | S | S | S | S |
| To­ro­idal,$^{↑Z}$ ɑ∈ℝ | ${\begin{aligned}x=&{\frac {a\sinh(u)\cos(\psi )}{\cosh(u)-\cos(v)}}\\y=&{\frac {a\sinh(u)\sin(\psi )}{\cosh(u)-\cos(v)}}\\z=&{\frac {a\sin(v)}{\cosh(u)-\cos(v)}}\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=\dots \\=&{\frac {a^{2}}{[\cosh(u)-\cos(v)]^{2}}}\\g_{33}=&{\frac {a^{2}\sinh(u)^{2}}{[\cosh(u)-\cos(v)]^{2}}}\end{aligned}}$ | X | X | R | R |
| Bi­zy­lin­drisch,$^{↑Z}$ ɑ∈ℝ | ${\begin{aligned}x=&{\frac {a\sin(v)\cos(\psi )}{\cosh(u)-\cos(v)}}\\y=&{\frac {a\sin(v)\sin(\psi )}{\cosh(u)-\cos(v)}}\\z=&{\frac {a\sinh(u)}{\cosh(u)-\cos(v)}}\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=\dots \\=&{\frac {a^{2}}{[\cosh(u)-\cos(v)]^{2}}}\\g_{33}=&{\frac {a^{2}\sin(v)^{2}}{[\cosh(u)-\cos(v)]^{2}}}\end{aligned}}$ | X | X | R | R |
| Tangie­rende Kugeln$^{↑Z}$ | ${\begin{aligned}x=&{\frac {u\cos(\psi )}{u^{2}+v^{2}}}\\y=&{\frac {u\sin(\psi )}{u^{2}+v^{2}}}\\z=&{\frac {v}{u^{2}+v^{2}}}\\\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=(u^{2}+v^{2})^{-2}\\g_{33}=&{\frac {u^{2}}{(u^{2}+v^{2})^{2}}}\end{aligned}}$ | X | X | R | R |
| Kar­dio­idisch$^{↑Z}$ | ${\begin{aligned}x=&{\frac {uv\cos(\psi )}{(u^{2}+v^{2})^{2}}}\\y=&{\frac {uv\sin(\psi )}{(u^{2}+v^{2})^{2}}}\\z=&{\frac {u^{2}-v^{2}}{2(u^{2}+v^{2})^{2}}}\\\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=(u^{2}+v^{2})^{-3}\\g_{33}=&{\frac {u^{2}v^{2}}{(u^{2}+v^{2})^{4}}}\end{aligned}}$ | X | X | R | R |
| Hy­per­bo­lo­id$^{↑Z}$ | ${\begin{aligned}x=&{\sqrt {\rho +u}}\cos(\psi )\\y=&{\sqrt {\rho +u}}\sin(\psi )\\z=&{\sqrt {\rho -u}}\\\rho =&{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}={\frac {1}{2\rho }}\\g_{33}=&\rho +u\end{aligned}}$ | X | X | X | X |