Einmaleins
# Einmaleins

Das kleine Einmaleins (auch 1×1 oder 1mal1) ist eine Zusammenstellung aller Produkte, die sich aus der Kombination zweier natürlicher Zahlen von 1 bis 10 ergeben, meist in Tabellenform. Das große Einmaleins ist die Erweiterung auf natürliche Zahlen von 1 bis 20. Das kleine Einmaleins gehört zum arithmetischen Grundwissen der Mathematik und wird meist in der Grundschule auswendig gelernt.
Als Einmaleins werden metaphorisch auch Grundkenntnisse eines Wissensgebiets oder einer Fertigkeit bezeichnet.

## Anwendung

Das kleine Einmaleins wird beim schriftlichen Multiplizieren zum Auffinden des Produkts der einzelnen Ziffern beider Faktoren verwendet. Hierfür werden nur die Produkte aus den Ziffernkombinationen $\textstyle 0\cdot 0$ bis $\textstyle 9\cdot 9$ benötigt, wobei die Produkte mit einem Faktor 0 in der Darstellung meist weggelassen werden, dafür werden aus der Tradition der Verwendung römischer Ziffern die Produkte mit einem Faktor 10 ergänzt.
   “But, to shorten the repeated summation of digits, it is expedient to construct a table, which must be engraved in the memory of the arithmetician.”
   „Um aber das wiederholte Addieren von Ziffern zu verkürzen, ist es nützlich, eine Tabelle anzufertigen, die ins Gedächtnis des Arithmetikers eingeprägt werden muss.“
Dies wird auch bei der schriftlichen Division genutzt.
Das große Einmaleins dient zum Auswendiglernen oft benötigter Produkte.

## Darstellung
### Nach Adam Ries

In Adam Risen Rechenbuch von 1574 ist folgende Einmaleins-Tabelle dargestellt mit dem Hinweis „du mußt vor allen Dingen das Einmal eins wol wissen und auswendig lernen wie hie:“ (Adam Ries)
| | mal | ist | | mal | ist | | mal | ist |
| 1 | 1 | 1 | 2 | 8 | 16 | 5 | 5 | 25 |
| 1 | 2 | 2 | 2 | 9 | 18 | 5 | 6 | 30 |
| 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 9 | 5 | 7 | 35 |
| 1 | 4 | 4 | 3 | 4 | 12 | 5 | 8 | 40 |
| 1 | 5 | 5 | 3 | 5 | 15 | 5 | 9 | 45 |
| 1 | 6 | 6 | 3 | 6 | 18 | 6 | 6 | 36 |
| 1 | 7 | 7 | 3 | 7 | 21 | 6 | 7 | 42 |
| 1 | 8 | 8 | 3 | 8 | 24 | 6 | 8 | 48 |
| 1 | 9 | 9 | 3 | 9 | 27 | 6 | 9 | 54 |
| 2 | 2 | 4 | 4 | 4 | 16 | 7 | 7 | 49 |
| 2 | 3 | 6 | 4 | 5 | 20 | 7 | 8 | 56 |
| 2 | 4 | 8 | 4 | 6 | 24 | 7 | 9 | 63 |
| 2 | 5 | 10 | 4 | 7 | 28 | 8 | 8 | 64 |
| 2 | 6 | 12 | 4 | 8 | 32 | 8 | 9 | 72 |
| 2 | 7 | 14 | 4 | 9 | 36 | 9 | 9 | 81 |
Diese kompakte Darstellung verzichtet auf redundante Informationen unter Ausnutzung des Kommutativgesetzes (2 · 3 = 3 · 2). Sie diente als Hilfsmittel beim Rechnen auf Linien.

### Tabelle

Die ausführliche tabellarische Darstellung des kleinen Einmaleins wird Pythagoras zugeschrieben und daher in manchen Sprachen auch Pythagorasbrett bzw. Pythagorastabelle genannt, zum Beispiel im Französischen, Englischen und Italienischen, aber auch in der Montessoripädagogik.
Die folgende Tabelle stellt das kleine Einmaleins dar.
| * | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 |
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
Unterteilt wird das Einmaleins entsprechend dem zweiten Faktor in die 1er-Reihe, 2er-Reihe, 3er-Reihe usw. bis zur 10er-Reihe. Eine Tabellenspalte stellt also die entsprechende Reihe dar. In der ersten Spalte (links) wird der erste Faktor, in der ersten Zeile (oben) wird der zweite Faktor gesucht, im Schnittpunkt der Zeile mit der Spalte steht das Produkt.
Die folgende Tabelle stellt das große Einmaleins mit Faktoren bis 20 dar (einschließlich des kleinen Einmaleins).
| * | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 1 | 001 | 002 | 003 | 004 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 | 34 | 36 | 38 | 40 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 | 39 | 42 | 45 | 48 | 51 | 54 | 57 | 60 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 | 52 | 56 | 60 | 64 | 68 | 72 | 76 | 80 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 | 100 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 | 78 | 84 | 90 | 96 | 102 | 108 | 114 | 120 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 | 91 | 98 | 105 | 112 | 119 | 126 | 133 | 140 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 | 104 | 112 | 120 | 128 | 136 | 144 | 152 | 160 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 | 117 | 126 | 135 | 144 | 153 | 162 | 171 | 180 |
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 | 180 | 190 | 200 |
| 11 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 121 | 132 | 143 | 154 | 165 | 176 | 187 | 198 | 209 | 220 |
| 12 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 | 120 | 132 | 144 | 156 | 168 | 180 | 192 | 204 | 216 | 228 | 240 |
| 13 | 13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 | 130 | 143 | 156 | 169 | 182 | 195 | 208 | 221 | 234 | 247 | 260 |
| 14 | 14 | 28 | 42 | 56 | 70 | 84 | 98 | 112 | 126 | 140 | 154 | 168 | 182 | 196 | 210 | 224 | 238 | 252 | 266 | 280 |
| 15 | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | 105 | 120 | 135 | 150 | 165 | 180 | 195 | 210 | 225 | 240 | 255 | 270 | 285 | 300 |
| 16 | 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 128 | 144 | 160 | 176 | 192 | 208 | 224 | 240 | 256 | 272 | 288 | 304 | 320 |
| 17 | 17 | 34 | 51 | 68 | 85 | 102 | 119 | 136 | 153 | 170 | 187 | 204 | 221 | 238 | 255 | 272 | 289 | 306 | 323 | 340 |
| 18 | 18 | 36 | 54 | 72 | 90 | 108 | 126 | 144 | 162 | 180 | 198 | 216 | 234 | 252 | 270 | 288 | 306 | 324 | 342 | 360 |
| 19 | 19 | 38 | 57 | 76 | 95 | 114 | 133 | 152 | 171 | 190 | 209 | 228 | 247 | 266 | 285 | 304 | 323 | 342 | 361 | 380 |
| 20 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 | 220 | 240 | 260 | 280 | 300 | 320 | 340 | 360 | 380 | 400 |

### Reihen

Einzeln werden die Reihen des kleinen Einmaleins wie folgt dargestellt:
| 1er-Reihe 01 · 1 = 01 02 · 1 = 02 03 · 1 = 03 04 · 1 = 04 05 · 1 = 05 06 · 1 = 06 07 · 1 = 07 08 · 1 = 08 09 · 1 = 09 10 · 1 = 10 | 2er-Reihe 01 · 2 = 02 02 · 2 = 04 03 · 2 = 06 04 · 2 = 08 05 · 2 = 10 06 · 2 = 12 07 · 2 = 14 08 · 2 = 16 09 · 2 = 18 10 · 2 = 20 | 3er-Reihe 01 · 3 = 03 02 · 3 = 06 03 · 3 = 09 04 · 3 = 12 05 · 3 = 15 06 · 3 = 18 07 · 3 = 21 08 · 3 = 24 09 · 3 = 27 10 · 3 = 30 | 4er-Reihe 01 · 4 = 04 02 · 4 = 08 03 · 4 = 12 04 · 4 = 16 05 · 4 = 20 06 · 4 = 24 07 · 4 = 28 08 · 4 = 32 09 · 4 = 36 10 · 4 = 40 | 5er-Reihe 01 · 5 = 05 02 · 5 = 10 03 · 5 = 15 04 · 5 = 20 05 · 5 = 25 06 · 5 = 30 07 · 5 = 35 08 · 5 = 40 09 · 5 = 45 10 · 5 = 50 |
| 6er-Reihe 01 · 6 = 06 02 · 6 = 12 03 · 6 = 18 04 · 6 = 24 05 · 6 = 30 06 · 6 = 36 07 · 6 = 42 08 · 6 = 48 09 · 6 = 54 10 · 6 = 60 | 7er-Reihe 01 · 7 = 07 02 · 7 = 14 03 · 7 = 21 04 · 7 = 28 05 · 7 = 35 06 · 7 = 42 07 · 7 = 49 08 · 7 = 56 09 · 7 = 63 10 · 7 = 70 | 8er-Reihe 01 · 8 = 08 02 · 8 = 16 03 · 8 = 24 04 · 8 = 32 05 · 8 = 40 06 · 8 = 48 07 · 8 = 56 08 · 8 = 64 09 · 8 = 72 10 · 8 = 80 | 9er-Reihe 01 · 9 = 09 02 · 9 = 18 03 · 9 = 27 04 · 9 = 36 05 · 9 = 45 06 · 9 = 54 07 · 9 = 63 08 · 9 = 72 09 · 9 = 81 10 · 9 = 90 | 10er-Reihe 01 · 10 = 010 02 · 10 = 020 03 · 10 = 030 04 · 10 = 040 05 · 10 = 050 06 · 10 = 060 07 · 10 = 070 08 · 10 = 080 09 · 10 = 090 10 · 10 = 100 |

## Vergleichbares in anderen Zahlensystemen und Zahlschriften

Ein Einmaleins ist aus der Zeit um Christi Geburt in Griechischer Zahlschrift überliefert. Die Aufzeichnung eines Schülers gilt als Beleg, dass zu der Zeit das Einmaleins gelehrt und gelernt wurde.
493 stellte Victorius von Aquitanien zur Erleichterung der Multiplikation und Division ein Tafelwerk mit 98 Spalten zusammen, in denen er die Produkte der Zahlen von den Brüchen bis zum Wert 1000 mit den Zahlen von 2 bis 50 in Römischer Zahlschrift angab, der sogenannte Calculus Victorii.
Für das Sexagesimalsystem wurde von Gaspar Schott die Tabula Sexagenaria 1661 veröffentlicht.