Metrischer Maßraum
# Metrischer Maßraum

In der Mathematik ist ein metrischer Maßraum oder mm-Raum (engl.: metric measure spaces) ein Begriff aus der nicht-glatten Analysis, mit dem unter anderem Degenerationen riemannscher Mannigfaltigkeiten erfasst werden.
Ein metrischer Maßraum oder mm-Raum $(X,d_{X},\mu _{X})$ besteht aus einer Menge $X$ mit einer vollständigen, separablen Metrik $d_{X}$ und einem borelschen Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu _{X}\colon {\mathcal {B}}\to [0,1]$, wobei ${\mathcal {B}}$ die borelsche σ-Algebra bezeichnet.
Zwei metrische Maßräume $X$ und $Y$ sind mm-isomorph, wenn es eine Isometrie $f\colon \operatorname {supp} (\mu _{X})\to \operatorname {supp} (\mu _{Y})$ mit Bildmaß $f_{*}\mu _{x}=\mu _{Y}$ gibt.
Eine riemannsche Mannigfaltigkeit $M$ mit dem riemannschen Abstand $d_{M}$ und dem normierten Volumenmaß $\mu _{M}={\frac {\operatorname {vol} _{M}}{\operatorname {vol} _{M}(M)}}$ ist ein metrischer Maßraum.