T1-Raum
# T1-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind T$_1$-Räume spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Das T$_1$-Axiom ist ein Beispiel eines Trennungsaxioms.

## Definition

Sei X ein topologischer Raum. X heißt T$_1$-Raum, falls für zwei beliebige Punkte jeder eine Umgebung besitzt, in der der andere nicht liegt. Zur Abgrenzung: Bei einem T₀-Raum muss nur einer der beiden Punkte eine solche Umgebung besitzen, bei einem T₂-Raum müssen die beiden Umgebungen disjunkt gewählt werden können. Man sagt auch, dass ein T$_1$-Raum eine Fréchet-Topologie besitzt. Zu vermeiden ist in diesem Zusammenhang die Bezeichnung Fréchet-Raum, die ein Begriff aus der Funktionalanalysis ist.

## Eigenschaften

Sei X ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:
* X ist ein T$_1$-Raum.
* X ist ein Kolmogoroff-Raum und ein R$_0$-Raum.
* Alle einpunktigen Mengen in X sind abgeschlossen.
* Jede endliche Menge ist abgeschlossen.
* Jede Menge mit endlichem Komplement ist offen.
* Jeder Elementarfilter zu einem beliebigen x konvergiert nur gegen x.
* Für jede Teilmenge S von X gilt, dass ein Element x aus X genau dann ein Häufungspunkt von S ist, wenn jede offene Umgebung von x unendlich viele Elemente von S enthält.
In topologischen Räumen gelten immer folgende Implikationen
    getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar ⇒ disjunkt
Falls der erste Pfeil umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen R$_0$-Raum, genau in einem T$_0$-Raum gilt dies auch für die zweite Implikation. Damit sieht man, dass ein topologischer Raum genau dann T$_1$ erfüllt, wenn er sowohl ein R$_0$-Raum und ein T$_0$-Raum ist.

## Beispiele

Die Zariski-Topologie auf einer algebraischen Varietät (im klassischen Sinne) ist T$_1$. Um das zu sehen, betrachten wir einen Punkt mit lokaler Koordinate $(c_{1},\ldots ,c_{n})$. Die dazugehörige einpunktige Menge ist die Nullstellenmenge der Polynome $X-c_{1},\ldots ,X-c_{n}$. Der Punkt ist somit abgeschlossen.
Für ein weiteres Beispiel betrachten wir die kofinite Topologie auf einer abzählbaren Menge, etwa der Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$. Als offene Menge definieren wir genau die leere Menge und die Mengen mit endlichem Komplement. Sie haben also alle die Gestalt $O_{A}=\mathbb {Z} \setminus A$ mit einer endlichen Menge A. Seien nun x und y zwei verschiedene Punkte. Die Menge $O_{\{y\}}$ ist eine offene Menge, die x enthält und y nicht. Andererseits enthält $O_{\{x\}}$ das Element y, aber x nicht. Somit handelt es sich tatsächlich um einen T$_1$-Raum. Dies kann man aber auch aus der Tatsache folgern, dass einelementige Mengen abgeschlossen sind. Dieser Raum ist aber kein T$_2$-Raum. Denn für zwei endliche Mengen A und B gilt $O_{A}\cap O_{B}=O_{A\cup B}$, was nie leer sein kann. Weiter ist die Menge der geraden Zahlen kompakt, aber nicht abgeschlossen, was in einem T$_2$-Raum nie der Fall sein kann.
Allgemeiner gilt für jeden topologischen Raum, der das T$_1$-Axiom erfüllt, dass seine Topologie bereits die kofinite Topologie umfasst. Die kofinite Topologie ist somit die gröbste T$_1$-Topologie auf einer Menge.