(133,12,1)-Blockplan
# (133,12,1)-Blockplan

Der (133,12,1)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 133×133-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 12 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau eine Eins in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 133, k = 12, λ = 1), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

## Bezeichnung

Dieser symmetrische 2-(133,12,1)-Blockplan wird Projektive Ebene oder Desarguessche Ebene der Ordnung 11 genannt.

## Eigenschaften

Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 133, k = 12, λ = 1 und damit folgende Eigenschaften:
* Er besteht aus 133 Blöcken und 133 Punkten.
* Jeder Block enthält genau 12 Punkte.
* Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 1 Punkt.
* Jeder Punkt liegt auf genau 12 Blöcken.
* Je 2 Punkte sind durch genau 1 Block verbunden.

## Existenz und Charakterisierung

Es existiert (bis auf Isomorphie) mindestens ein 2-(133,12,1)-Blockplan. Diese Lösung ist:
* Lösung 1 (selbstdual) mit der Signatur 133·1980

## Liste der Blöcke

Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
* Lösung 1

## Zyklische Darstellung

Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.
* Lösung 1

## Orthogonale Lateinische Quadrate (MOLS)

Diese Projektive Ebene der Ordnung 11 ist äquivalent mit diesen 10 MOLS der Ordnung 11:
    ${\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{11}{c}}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\2&3&10&6&8&11&1&7&5&4&9\\3&10&4&11&7&9&2&1&8&6&5\\4&6&11&5&2&8&10&3&1&9&7\\5&8&7&2&6&3&9&11&4&1&10\\6&11&9&8&3&7&4&10&2&5&1\\7&1&2&10&9&4&8&5&11&3&6\\8&7&1&3&11&10&5&9&6&2&4\\9&5&8&1&4&2&11&6&10&7&3\\10&4&6&9&1&5&3&2&7&11&8\\11&9&5&7&10&1&6&4&3&8&2\end{array}}\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{11}{c}}1&3&4&5&6&7&8&9&10&11&2\\2&10&6&8&11&1&7&5&4&9&3\\3&4&11&7&9&2&1&8&6&5&10\\4&11&5&2&8&10&3&1&9&7&6\\5&7&2&6&3&9&11&4&1&10&8\\6&9&8&3&7&4&10&2&5&1&11\\7&2&10&9&4&8&5&11&3&6&1\\8&1&3&11&10&5&9&6&2&4&7\\9&8&1&4&2&11&6&10&7&3&5\\10&6&9&1&5&3&2&7&11&8&4\\11&5&7&10&1&6&4&3&8&2&9\end{array}}\end{bmatrix}}$
    ${\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{11}{c}}1&4&5&6&7&8&9&10&11&2&3\\2&6&8&11&1&7&5&4&9&3&10\\3&11&7&9&2&1&8&6&5&10&4\\4&5&2&8&10&3&1&9&7&6&11\\5&2&6&3&9&11&4&1&10&8&7\\6&8&3&7&4&10&2&5&1&11&9\\7&10&9&4&8&5&11&3&6&1&2\\8&3&11&10&5&9&6&2&4&7&1\\9&1&4&2&11&6&10&7&3&5&8\\10&9&1&5&3&2&7&11&8&4&6\\11&7&10&1&6&4&3&8&2&9&5\end{array}}\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{11}{c}}1&5&6&7&8&9&10&11&2&3&4\\2&8&11&1&7&5&4&9&3&10&6\\3&7&9&2&1&8&6&5&10&4&11\\4&2&8&10&3&1&9&7&6&11&5\\5&6&3&9&11&4&1&10&8&7&2\\6&3&7&4&10&2&5&1&11&9&8\\7&9&4&8&5&11&3&6&1&2&10\\8&11&10&5&9&6&2&4&7&1&3\\9&4&2&11&6&10&7&3&5&8&1\\10&1&5&3&2&7&11&8&4&6&9\\11&10&1&6&4&3&8&2&9&5&7\end{array}}\end{bmatrix}}$
    ${\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{11}{c}}1&6&7&8&9&10&11&2&3&4&5\\2&11&1&7&5&4&9&3&10&6&8\\3&9&2&1&8&6&5&10&4&11&7\\4&8&10&3&1&9&7&6&11&5&2\\5&3&9&11&4&1&10&8&7&2&6\\6&7&4&10&2&5&1&11&9&8&3\\7&4&8&5&11&3&6&1&2&10&9\\8&10&5&9&6&2&4&7&1&3&11\\9&2&11&6&10&7&3&5&8&1&4\\10&5&3&2&7&11&8&4&6&9&1\\11&1&6&4&3&8&2&9&5&7&10\end{array}}\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{11}{c}}1&7&8&9&10&11&2&3&4&5&6\\2&1&7&5&4&9&3&10&6&8&11\\3&2&1&8&6&5&10&4&11&7&9\\4&10&3&1&9&7&6&11&5&2&8\\5&9&11&4&1&10&8&7&2&6&3\\6&4&10&2&5&1&11&9&8&3&7\\7&8&5&11&3&6&1&2&10&9&4\\8&5&9&6&2&4&7&1&3&11&10\\9&11&6&10&7&3&5&8&1&4&2\\10&3&2&7&11&8&4&6&9&1&5\\11&6&4&3&8&2&9&5&7&10&1\end{array}}\end{bmatrix}}$
    ${\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{11}{c}}1&8&9&10&11&2&3&4&5&6&7\\2&7&5&4&9&3&10&6&8&11&1\\3&1&8&6&5&10&4&11&7&9&2\\4&3&1&9&7&6&11&5&2&8&10\\5&11&4&1&10&8&7&2&6&3&9\\6&10&2&5&1&11&9&8&3&7&4\\7&5&11&3&6&1&2&10&9&4&8\\8&9&6&2&4&7&1&3&11&10&5\\9&6&10&7&3&5&8&1&4&2&11\\10&2&7&11&8&4&6&9&1&5&3\\11&4&3&8&2&9&5&7&10&1&6\end{array}}\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{11}{c}}1&9&10&11&2&3&4&5&6&7&8\\2&5&4&9&3&10&6&8&11&1&7\\3&8&6&5&10&4&11&7&9&2&1\\4&1&9&7&6&11&5&2&8&10&3\\5&4&1&10&8&7&2&6&3&9&11\\6&2&5&1&11&9&8&3&7&4&10\\7&11&3&6&1&2&10&9&4&8&5\\8&6&2&4&7&1&3&11&10&5&9\\9&10&7&3&5&8&1&4&2&11&6\\10&7&11&8&4&6&9&1&5&3&2\\11&3&8&2&9&5&7&10&1&6&4\end{array}}\end{bmatrix}}$
    ${\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{11}{c}}1&10&11&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&4&9&3&10&6&8&11&1&7&5\\3&6&5&10&4&11&7&9&2&1&8\\4&9&7&6&11&5&2&8&10&3&1\\5&1&10&8&7&2&6&3&9&11&4\\6&5&1&11&9&8&3&7&4&10&2\\7&3&6&1&2&10&9&4&8&5&11\\8&2&4&7&1&3&11&10&5&9&6\\9&7&3&5&8&1&4&2&11&6&10\\10&11&8&4&6&9&1&5&3&2&7\\11&8&2&9&5&7&10&1&6&4&3\end{array}}\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}{\begin{array}{*{11}{c}}1&11&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\2&9&3&10&6&8&11&1&7&5&4\\3&5&10&4&11&7&9&2&1&8&6\\4&7&6&11&5&2&8&10&3&1&9\\5&10&8&7&2&6&3&9&11&4&1\\6&1&11&9&8&3&7&4&10&2&5\\7&6&1&2&10&9&4&8&5&11&3\\8&4&7&1&3&11&10&5&9&6&2\\9&3&5&8&1&4&2&11&6&10&7\\10&8&4&6&9&1&5&3&2&7&11\\11&2&9&5&7&10&1&6&4&3&8\end{array}}\end{bmatrix}}$

## Oval

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung dieses Blockplans:
* Lösung 1