Satz von Motzkin-Taussky
# Satz von Motzkin-Taussky

Der Satz von Motzkin-Taussky ist ein Resultat aus der Operator- und Matrizentheorie über die Darstellung einer Summe zweier beschränkter, linearer Operatoren (resp. Matrizen). Der Satz wurde von Theodore Motzkin und Olga Taussky-Todd bewiesen.
Das Theorem findet Anwendung in der Störungstheorie, wo man u. a. Operatoren der Form
    $T+xT_{1}$
untersucht.

## Aussage

Sei $X$ ein endlich-dimensionaler komplexer Vektorraum. Weiter seien $A,B\in B(X)$ so, dass alle Linearkombinationen
    $T=\alpha A+\beta B$
diagonalisierbar sind für alle $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$. Dann sind alle Eigenwerte von $T$ von der Form
    $\lambda _{T}=\alpha \lambda _{A}+\beta \lambda _{B}$
(d. h. sie sind linear in $\alpha$ und $\beta$) und $\lambda _{A},\lambda _{B}$ sind unabhängig von der Wahl der $\alpha ,\beta$.
Hier steht $\lambda _{A}$ für einen Eigenwert von $A$, analog $\lambda _{B}$ für einen Eigenwert von $B$.

### Erläuterungen

* Bei Motzkin und Taussky heißt die obige Eigenschaft der Linearität der Eigenwerte in $\alpha ,\beta$ L-Eigenschaft.