Konzentrationstopologie
# Konzentrationstopologie

In der Mathematik ist die Konzentrationstopologie eine Topologie auf der Menge aller metrischen Maßräume.

## Definition

Für einen metrischen Maßraum $(X,d_{X},\mu _{X})$ bezeichne $\operatorname {Lip} _{1}(X)$ die Menge aller Lipschitz-stetigen Funktionen mit Lipschitz-Konstante $1$ auf $X$. Sei $\mu _{Leb}$ das Lebesgue-Maß auf $\left[0,1\right]$, als Parameter für $X$ bezeichnet man eine Borel-messbare Abbildung $\phi \colon \left[0,1\right]\to X$ falls für das Bildmaß $\phi _{*}\mu _{Leb}=\mu _{X}$ gilt. Für einen Parameter $\phi$ definiert man den Raum der $1$-Lipschitz-Verknüpfungen
    $\phi ^{*}\operatorname {Lip} _{1}(X)=\left\{f\circ \phi \colon f\in \operatorname {Lip} _{1}(X)\right\}$.
Sei $d_{H}$ der Hausdorf-Abstand bezüglich der Ky-Fan-Metrik $d_{KF}$ definiert durch
    $d_{KF}(f,g):=\inf \left\{\epsilon \geq 0\colon \mu _{Leb}\left(\left\{t\in \left[0,1\right]\colon d_{X}(f(t),g(t))>\epsilon \right\}\right)\leq \epsilon \right\}$.
Der beobachtbare Abstand zwischen metrischen Maßräumen $X$ und $Y$ wird definiert durch
    $d_{conc}(X,Y):=\inf _{\phi ,\psi }d_{H}(\phi ^{*}\operatorname {Lip} _{1}(X),\psi ^{*}\operatorname {Lip} _{1}(Y))$,
wobei $\phi \colon \left[0,1\right]\to X$ und $\psi \colon \left[0,1\right]\to Y$ alle Parameter von $X$ bzw. $Y$ durchlaufen.
Die Konzentrationstopologie ist die durch den beobachtbaren Abstand definierte Topologie auf der Menge aller metrischen Maßräume.

## Konzentration metrischer Maßräume

Man sagt, dass sich eine Folge von metrischen Maßräumen $X_{n}$ auf einen metrischen Maßraum $X$ konzentriert, wenn $X_{n}$ in der Konzentrationstopologie gegen $X$ konvergiert.
Eine Folge metrischer Maßräume konzentriert sich genau dann auf einen einpunktigen Raum, wenn sie eine Lévy-Familie ist.