Σ-kompakter Raum
# Σ-kompakter Raum

Ein topologischer Raum heißt σ-kompakt oder abzählbar im Unendlichen, wenn er sich als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume schreiben lässt. σ-Kompaktheit ist also eine Abschwächung des topologischen Begriffs der Kompaktheit. Der Buchstabe σ in der Bezeichnung rührt daher, dass die Vereinigung von Mengen früher auch als Summe bezeichnet wurde, die Bezeichnung wurde analog zu „σ-finit“ gebildet.
Der Begriff ist wichtig für die abstrakte Integrationstheorie, zusammen mit Lokalkompaktheit und dem Trennungsaxiom T$_3$ garantiert er die Existenz einer kompakten Ausschöpfung.

## Eigenschaften

* Ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist abzählbar im Unendlichen genau dann, wenn der bei der Alexandroff-Kompaktifizierung hinzugekommene unendlich ferne Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.
* Hemikompakte Räume sind σ-kompakt.
* Jeder endlichdimensionale normierte Raum ist σ-kompakt.

## Beispiele

* Beispielsweise ist $\mathbb {R}$, ausgestattet mit der Standardtopologie, ein σ-kompakter topologischer Raum, denn es gilt $\mathbb {R} =\bigcup _{n=1}^{\infty }[-n,n]$, so dass sich $\mathbb {R}$ als abzählbare Vereinigung der kompakten topologischen Räume $[-n,n]$ darstellen lässt.
* Der Raum der finiten $\mathbb {K}$-wertigen Folgen $c_{00}$ (versehen mit der Norm $||\cdot ||_{\infty }$) ist $\sigma$-kompakt, denn es ist $c_{00}=\bigcup \limits _{j=1}^{\infty }K_{j}$, wobei $K_{j}\subseteq c_{00}$ die kompakte Teilmenge der Folgen $x=(x_{\ell })_{\ell }\in c_{00}$ mit $||x||_{\infty }\leq j$ und $x_{\ell }=0$ für $\ell \geq j$ sei. $c_{00}$ ist aber nicht lokal kompakt, da $\dim c_{00}=\infty$ gilt.