Newtonsche Ungleichungen
# Newtonsche Ungleichungen

In der Mathematik sind die newtonschen Ungleichungen Ungleichungen, die nach Isaac Newton, dem Verfasser der Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, benannt wurden.

## Aussage

Seien $a_{1},\dots ,a_{n}$ reelle Zahlen und seien $\sigma _{k}$ die $k$-ten elementarsymmetrischen Polynome in $a_{1},\dots ,a_{n}$, definiert durch
    $\sigma _{k}=\sum _{S\subseteq \{1,\dotsc ,n\} \atop \#S=k}\ \prod _{i\in S}a_{i}\ .$
Es gelten beispielsweise $\sigma _{1}=a_{1}+\dotsb +a_{n}$ und $\sigma _{n}=a_{1}\dotsm a_{n}$.
Dann erfüllen die elementaren symmetrischen Mittel, definiert durch
    $S_{k}={\frac {\sigma _{k}}{\binom {n}{k}}},$
die Ungleichungen
    $S_{k-1}S_{k+1}\leq S_{k}^{2}$
für alle ganzen Zahlen $0<k<n$.
Falls alle $a_{i}$ ungleich Null sind, dann gilt Gleichheit genau dann, falls alle $a_{i}$ gleich sind. Es sei bemerkt, dass $S_{1}$ das arithmetische Mittel und $S_{n}$ die $n$-te Potenz des geometrischen Mittels der $a_{i}$ ist.