Zeta-Funktion
# Zeta-Funktion

Ursprünglich war mit Zeta-Funktion oder $\zeta$-Funktion in der Mathematik die holomorphe komplexe Funktion
    $\zeta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}\quad$, mit $z\in \mathbb {C} ,\,\Re (z)>1$
gemeint. Heute heißt diese genauer riemannsche Zeta-Funktion, zu Ehren von Bernhard Riemann, der um 1850 bedeutende Arbeiten zur Untersuchung dieser Funktion im Komplexen leistete. Als reelle Funktion geht das Studium der Zeta-Funktion auf Leonhard Euler in den 1730er und 1740er Jahren zurück, der unter anderem die Werte der Zeta-Funktion bei positiven geradzahligen Argumenten bestimmte und die Produktformel fand.
Einige Werte sind
    $\zeta (1)=\infty$
    $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$
    $\zeta (3)=1{,}2020569032...$
    $\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}$
    $\zeta (5)=1{,}0369277551...$
    $\zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}$
    $\zeta (7)=1{,}0083492774...$
    $\zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450}}$
    $\zeta (9)=1{,}0020083928...$
Seither wurden viele in Definition oder Eigenschaften ähnliche oder verallgemeinernde Funktionen untersucht, denen dann auch der Name Zeta-Funktion zusammen mit dem ihres Entdeckers gegeben wurde.
Die wichtigsten weiteren Zetafunktionen sind:
* Airysche Zeta-Funktion
* Artin-Mazursche Zeta-Funktion
* Dedekindsche Zeta-Funktion
* Epsteinsche Zeta-Funktion
* Hasse-Weil-Zetafunktion
* Hurwitzsche Zeta-Funktion
* Igusa-Zetafuntkion
* Ihara-Zetafunktion
* Jacobische Zetafunktion
* Lefschetzsche Zeta-Funktion
* Lerchsche Zeta-Funktion
* Ninitsche Zeta-Funktion
* Ruelle-Zetafunktion oder Dynamische Zetafunktion
* Selbergsche Zeta-Funktion
* Weierstraßsche Zeta-Funktion
* Primzetafunktion
Ebenfalls mit der riemannschen Zeta-Funktion verwandt, ohne das „Zeta“ im Namen zu tragen, sind die dirichletschen L-Funktionen, die dirichletsche Eta-Funktion $\eta$ und die dirichletsche Beta-Funktion $\beta$.