Liouvillesche Zahl
# Liouvillesche Zahl

Als Liouvillesche Zahl, benannt nach Joseph Liouville, bezeichnet man in der Zahlentheorie eine reelle Zahl $x,$ die ein Irrationalitätsmaß von $\infty$ besitzt, also die Bedingung erfüllt, dass für jedes natürliche $n$ ganze Zahlen $p$ und $q$ mit $q>1$ existieren, sodass gilt:
    $0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}$

## Irrationalität und Transzendenz

Alle Liouvilleschen Zahlen sind irrational: Für jede rationale Zahl $x={\tfrac {c}{d}}$ mit ganzzahligem Zähler $c$ und ganzzahligem Nenner $d>0$ gibt es eine ganze Zahl $n>0$ mit $2^{n-1}>d$ (vgl. Archimedisches Axiom). Wenn nun $p$ und $q$ ganze Zahlen mit $q>1$ und ${\tfrac {p}{q}}\neq {\tfrac {c}{d}}$ sind, dann gilt:
    $\left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c}{d}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c\,q-p\,d}{d\,q}}\right|\geq {\frac {1}{d\,q}}>{\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}$
1844 zeigte Liouville, dass Zahlen mit dieser Eigenschaft nicht nur irrational sind, sondern auch transzendent. Dies war der erste Beweis der Transzendenz einer Zahl, der Liouvilleschen Konstante:
    $c=\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{j!}}}={\frac {1}{10^{1}}}+{\frac {1}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{6}}}+{\frac {1}{10^{24}}}+\dotsb =0{,}11000{\text{ }}10000{\text{ }}00000{\text{ }}00000{\text{ }}00010{\text{ }}\ldots {\text{ }}$ (Folge A012245 in OEIS)
Alle Liouvilleschen Zahlen sind transzendent, aber nicht alle transzendenten Zahlen sind Liouvillesch. So sind beispielsweise die Eulersche Zahl e und die Kreiszahl π transzendent, aber nicht Liouvillesch.