Grenzwertkriterium
# Grenzwertkriterium

Das Grenzwertkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, um zu entscheiden, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

## Aussagen

Es seien $\sum _{k}a_{k}$ und $\sum _{k}b_{k}$ zwei unendliche Reihen mit positiven Summanden (das heißt, $a_{k}>0$ und $b_{k}>0$ für alle $k\in \mathbb {N}$). Dann gilt
* Ist $\limsup {\frac {a_{k}}{b_{k}}}<\infty$ und konvergiert die Reihe $\sum b_{k}$, so konvergiert auch $\sum a_{k}$.
* Ist $\liminf {\frac {a_{k}}{b_{k}}}>0$ (das ist äquivalent zu $\limsup {\frac {b_{k}}{a_{k}}}<\infty$), so folgt analog aus der Konvergenz von $\sum a_{k}$ die Konvergenz von $\sum b_{k}$.
* Gilt zugleich $0<\liminf {\frac {a_{k}}{b_{k}}}\leq \limsup {\frac {a_{k}}{b_{k}}}<\infty$, so haben $\sum a_{k}$ und $\sum b_{k}$ das gleiche Konvergenzverhalten.
Insbesondere gilt:
* Konvergiert die Folge ${\frac {a_{k}}{b_{k}}}$ gegen einen Wert $c$ mit $0<c<\infty$, so konvergiert die Reihe $\sum a_{k}$ genau dann, wenn die Reihe $\sum b_{k}$ konvergiert.

## Beweis

Ist $\limsup {\frac {a_{k}}{b_{k}}}<\infty$, so ist ${\frac {a_{k}}{b_{k}}}<C$ und daher $a_{k}<C\,b_{k}$ für ein geeignetes $C$ und alle genügend großen $k$. Nach dem Majorantenkriterium folgt aus der Konvergenz der Reihe $\sum b_{k}$ die Konvergenz von $\sum a_{k}$.