Margulis-Ruelle-Ungleichung
# Margulis-Ruelle-Ungleichung

In der mathematischen Theorie dynamischer Systeme besagt die Margulis-Ruelle-Ungleichung, dass die Entropie eines dynamischen Systems nach oben durch die Summe seiner positiven Lyapunov-Exponenten abgeschätzt werden kann.

## Mathematische Formulierung

Sei $f\colon M\to M$ ein $C^{1+\alpha }$-Diffeomorphismus einer kompakten Mannigfaltigkeit mit einem invarianten Wahrscheinlichkeitsmaß $\nu$. Dann gilt für die Kolmogorow-Sinai-Entropie $h_{\nu }(f)$ die Ungleichung
    $h_{\nu }(f)\leq \int _{M}\sum _{\lambda _{i}(x)>0}\lambda _{i}(x)d\nu (x)$,
wobei $\lambda _{1}(x),\ldots ,\lambda _{n}(x)$ die Ljapunow-Exponenten im Punkt $x\in M$ sind und aber auf der rechten Seite jeweils nur über die in $x$ positiven Ljapunow-Exponenten summiert wird.
Für glatte invariante Wahrscheinlichkeitsmaße gilt die stärkere Entropieformel von Pesin:
    $h_{\nu }(f)=\int _{M}\sum _{\lambda _{i}(x)>0}\lambda _{i}(x)d\nu (x)$.
Für nicht-glatte invariante Wahrscheinlichkeitsmaße kann jedoch eine strikte Ungleichung gelten. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn die nichtwandernde Menge endlich und hyperbolisch ist. Präzise Bedingungen, wann in der Margulis-Ruelle-Ungleichung Gleichheit gilt, gibt der Satz von Ledrappier-Young.