9j-Symbol
# 9j-Symbol

9j-Symbole nach Eugene Wigner dienen dazu vier Drehimpulse in der Quantenmechanik zu koppeln.
Entsprechend ist das 9j-Symbol folgendermaßen über den Umkopplungskoeffizienten definiert:
    ${\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)(2j_{7}+1)(2j_{8}+1)}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=\langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle .$
Der Umkopplungskoeffizient auf der rechten Seite transformiert zwischen zwei Basensätze: im Einen wird $j_{1}$ mit $j_{2}$ zu $j_{3}$ gekoppelt und $j_{4}$ mit $j_{5}$ zu $j_{6}$ und danach $j_{3}$ und $j_{6}$ zu $j_{9}$. Im Anderen wird $j_{1}$ mit $j_{4}$ zu $j_{7}$ gekoppelt und $j_{2}$ mit $j_{5}$ zu $j_{8}$ und danach $j_{7}$ und $j_{8}$ zu $j_{9}$.
    $|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle =\sum _{j_{3}}\sum _{j_{6}}\langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle \,|((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}\rangle$
    $={\sqrt {(2j_{7}+1)(2j_{8}+1)}}\,\sum _{j_{3}}\sum _{j_{6}}\,{\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}|((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}\rangle$

## Symmetrien

Das 9j-Symbol ist invariant unter Reflexion an seinen Diagonalen und bei gerader Permutation der Reihen oder Spalten:
    ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{4}&j_{7}\\j_{2}&j_{5}&j_{8}\\j_{3}&j_{6}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{9}&j_{6}&j_{3}\\j_{8}&j_{5}&j_{2}\\j_{7}&j_{4}&j_{1}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{7}&j_{4}&j_{1}\\j_{9}&j_{6}&j_{3}\\j_{8}&j_{5}&j_{2}\end{Bmatrix}}.$
Bei ungerader Permutation von Reihen oder Spalten wird mit dem Phasenfaktor $(-1)^{S}$ multipliziert, mit $S=\sum _{i=1}^{9}j_{i}$. Beispiel:
    ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\\j_{8}&j_{7}&j_{9}\end{Bmatrix}}.$

## Zurückführung auf 6j-Symbole

Die 9j-Symbole lassen sich als Summen über Produkte von drei 6j-Symbolen ausdrücken:
    ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=\sum _{x}(-1)^{2x}(2x+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{4}&j_{7}\\j_{8}&j_{9}&x\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{5}&j_{8}\\j_{4}&x&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{6}&j_{9}\\x&j_{1}&j_{2}\end{Bmatrix}}$.
Dabei wird über alle $x$ summiert, bei denen für die Faktoren die Dreiecksbedingung erfüllt ist (siehe 3j-Symbol oder 6j-Symbol).

## Spezialfall

Ein Spezialfall ist, falls das 9j-Symbol proportional einem 6j-Symbol ist:
    ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{3},j_{6}}\delta _{j_{7},j_{8}}}{\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{7}+1)}}}(-1)^{j_{2}+j_{3}+j_{4}+j_{7}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{7}\end{Bmatrix}}.$

## Orthogonalitätsrelation

Die 9j-Symbole erfüllen die Orthogonalitätsrelation:
    $\sum _{j_{7}j_{8}}(2j_{7}+1)(2j_{8}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}'\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{3}j_{3}'}\delta _{j_{6}j_{6}'}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{6}&j_{9}\end{Bmatrix}}}{(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)}}.$
Das trianguläre Delta ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}$ ist wie bei 3j-Symbol definiert und drückt die Einhaltung der Dreiecksbedingung aus.