Deligne-Kohomologie
# Deligne-Kohomologie

Die Deligne-Kohomologie wird in der Mathematik, speziell der Algebraischen Geometrie, zur Konstruktion sekundärer charakteristischer Klassen genutzt. Sie wurde um 1972 von Pierre Deligne eingeführt (unveröffentlicht).

## Definition

Sei $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit und $\Omega _{\mathbb {C} }$ die Garbe der komplexwertigen Differentialformen. Für ein $n\in \mathbb {N}$ ist der Deligne-Komplex definiert durch
    ${\mathcal {D}}(n):=\operatorname {Cone} (\mathbb {Z} \oplus \sigma ^{\geq n}\Omega _{\mathbb {C} }\rightarrow \Omega _{\mathbb {C} })\left[-1\right]$.
Hierbei ist $\sigma ^{\geq n}\Omega _{\mathbb {C} }$ der Kokettenkomplex mit $(\sigma ^{\geq n}\Omega _{\mathbb {C} })^{k}=0$ für $k<n$ und $(\sigma ^{\geq n}\Omega _{\mathbb {C} })^{k}=\Omega _{\mathbb {C} }$ für $k\geq n$, der Kegel $\operatorname {Cone} (\mathbb {Z} \oplus \sigma ^{\geq n}\Omega _{\mathbb {C} }\rightarrow \Omega _{\mathbb {C} })$ ist der Abbildungskegel der durch die Inklusionen von Garben $\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C}$ und $\sigma ^{\geq n}\Omega _{\mathbb {C} }\rightarrow \Omega _{\mathbb {C} }$ gegebenen Kettenabbildung und $A\left[-1\right]$ bezeichnet den Kettenkomplex mit $A\left[-1\right]^{n}=A^{n-1}$.
Die $n$-te Deligne-Kohomologie ist
    ${\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} ):=H^{n}(M;{\mathcal {D}}(n))$.
Man beachte, dass für unterschiedliche $n$ unterschiedliche Komplexe verwendet werden.

## Eigenschaften
### Lange exakte Sequenz

${\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} )$ passt in eine exakte Sequenz
    $\rightarrow H^{n-1}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{dR}^{n-1}(M;\mathbb {C} )\rightarrow {\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{n}(M;\mathbb {Z} )\oplus \Omega _{cl}^{n}(M;\mathbb {C} )\rightarrow H_{dR}^{n}(M;\mathbb {C} )\rightarrow$.
Hierbei bezeichnet $\Omega _{cl}^{*}$ die geschlossenen Differentialformen und $H_{dR}^{*}$ die De-Rham-Kohomologie.
Weiter ist
    $H^{n-1}(M;\mathbb {C} /\mathbb {Z} )\simeq \ker({\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow \Omega _{cl}^{n}(M))$
und die Komposition
    $H^{n-1}(M;\mathbb {C} /Z)\rightarrow {\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{n}(M;\mathbb {Z} )$
ist das negative des Bockstein-Homomorphismus der kurzen exakten Sequenz $0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} /\mathbb {Z} \rightarrow 0$.
Insbesondere gilt für $(n-1)$-dimensionale, geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeiten:
    ${\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} )\simeq H_{dR}^{n-1}(M;\mathbb {C} )/\operatorname {im} (H^{n-1}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{n-1}(M;\mathbb {C} ))\simeq \mathbb {C} /\mathbb {Z}$.

### Produktstruktur

Es gibt ein eindeutig bestimmtes Produkt $\cup$, so dass ${\hat {H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb {Z} )$ zu einem gradierten kommutativen Ring mit folgenden Eigenschaften wird:
* für jede glatte Abbildung $f\colon M^{\prime }\rightarrow M$ ist $f^{*}\colon {\hat {H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow {\hat {H}}_{Del}^{*}(M^{\prime };\mathbb {Z} )$ ein Ringhomomorphismus
* für alle $M$ ist $R\colon {\hat {H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow \Omega _{cl}^{*}(M;\mathbb {C} )$ ein Ringhomomorphismus
* für alle $M$ ist $I\colon {\hat {H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{*}(M;\mathbb {Z} )$ ein Ringhomomorphismus
* für $a\colon H_{dR}^{*-1}(M;\mathbb {C} )\rightarrow {\hat {H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb {Z} )$ und für alle $x\in {\hat {H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb {Z} ),\alpha \in H_{dR}^{*}(M;\mathbb {C} )$ gilt
    $a(\alpha )\cup x=a(\alpha \wedge R(x))$.
Hierbei sind $R,I,a$ die Homomorphismen aus der obigen langen exakten Sequenz.

## Anwendung: Sekundäre charakteristische Klassen
### Komplexe Vektorbündel

Jedem komplexen Vektorbündel $V$ mit Zusammenhangsform $\nabla$ über einer Mannigfaltigkeit $M$ kann man (auf für Bündelabbildungen natürliche Weise) Klassen ${\hat {c}}_{i}(\nabla )\in {\hat {H}}_{Del}^{2i}(M;\mathbb {Z} )$ zuordnen, so dass der Homomorphismus (aus der obigen exakten Sequenz)
    ${\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{n}(M;\mathbb {Z} )\oplus \Omega _{cl}^{n}(M;\mathbb {C} )$
${\hat {c}}_{i}(\nabla )$ auf $(c_{i}(V),c_{i}(\nabla ))$ abbildet, wobei $c_{i}(\nabla )$ die $i$-te Chernform und $c_{i}(V)$ die $i$-te Chernklasse – deren Bild in $H^{2i}(M;\mathbb {C} )$ gerade die De-Rham-Kohomologieklasse von $c_{i}(\nabla )$ ist – bezeichnet.
Falls $\nabla$ ein flacher Zusammenhang auf einem trivialisierbaren Vektorbündel ist, erhält man
    ${\hat {c}}_{i}(\nabla )\in \ker({\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{n}(M;\mathbb {Z} )\oplus \Omega _{cl}^{n}(M;\mathbb {C} )\simeq H_{dR}^{n-1}(M;\mathbb {C} )/\operatorname {im} (H^{n-1}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{n-1}(M;\mathbb {C} ))$.
Falls zusätzlich $\dim(M)=n-1$ ist, definiert
    ${\hat {c}}_{i}(\nabla )\in H_{dR}^{n-1}(M;\mathbb {C} )/\operatorname {im} (H^{n-1}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{n-1}(M;\mathbb {C} ))\simeq \mathbb {C} /\mathbb {Z}$
die Chern-Simons-Invariante von $\nabla$.

### Reelle Vektorbündel

Für ein reelles Vektorbündel mit Zusammenhang $\nabla$ definiere
    ${\hat {p}}_{i}(\nabla ):=(-1)^{i}{\hat {c}}_{2i}(\nabla \otimes \mathbb {C} )\in {\hat {H}}_{Del}^{4i}(M;\mathbb {Z} )$.
Für eine $(4n-1)$-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$ betrachte den Levi-Civita-Zusammenhang $\nabla$ und definiere die (Riemannsche) Chern-Simons-Invariante durch
    $CS(M,g):={\hat {p}}_{n}(\nabla )\in {\hat {H}}_{Del}^{4n}(M;\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {C} /\mathbb {Z}$.
$CS(M,g)$ ist eine konforme Invariante.