Henkelkörper
# Henkelkörper

In der Mathematik sind Henkelkörper 3-dimensionale Gebilde, deren Ränder Flächen sind.

## Definition

Den Henkelkörper vom Geschlecht $g$ erhält man, indem man an eine 3-dimensionale Vollkugel $g$ disjunkte Henkel ansetzt.
In Formeln: Sei $B^{3}$ eine Vollkugel, seien $f_{1},\ldots ,f_{g}:B^{2}\times \left\{0,1\right\}\rightarrow \partial B^{3}$ injektive stetige Abbildungen mit disjunkten Bildern, dann definieren wir den Henkelkörper $H_{g}$ als Quotienten von
    $H_{g}:=(B^{3}\bigcup \cup _{i=1}^{g}(B^{2}\times \left[0,1\right])_{i})/\sim$
unter der Äquivalenzrelation $x\sim f_{i}(x)$ für $x\in (B^{2}\times \left\{0,1\right\})_{i},i=1,\ldots ,g$.
$H_{g}$ ist eine orientierbare 3-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand, ihr Rand ist eine Fläche vom Geschlecht $g$. Die Vollkugel wird als Henkelkörper vom Geschlecht $g=0$ bezeichnet.
* $g=1$: Volltorus
* $g=2$: Vollbrezel
* $g=3$

## Kompressionskörper

Ein allgemeinerer Begriff, der vor allem in der Theorie der 3-Mannigfaltigkeiten mit Rand Anwendung findet, ist der Begriff des Kompressionskörpers.
Ein Kompressionskörper $C$ entsteht aus einem Produkt $S\times \left[0,1\right]$, für eine geschlossene Fläche $S$, durch Ankleben von 2-Henkeln entlang $S\times \left\{1\right\}$. Man bezeichnet $\partial _{-}C:=S\times \left\{0\right\}$ und $\partial _{+}C:=\partial C\setminus \partial _{-}C$.
Henkelkörper erhält man für $S=\emptyset$, in diesem Fall ist $\partial _{-}C=\emptyset$.