Einparameter-Untergruppe
# Einparameter-Untergruppe

In der Theorie topologischer Gruppen ist eine Einparameter-Untergruppe ein stetiger Gruppenhomomorphismus aus der additiven Gruppe der reellen Zahlen in eine topologische Gruppe. Das Bild einer Einparameter-Untergruppe ist eine Untergruppe im gruppentheoretischen Sinne.

## Einparameter-Untergruppen von Lie-Gruppen

Sei $G$ eine Lie-Gruppe, dann ist eine Abbildung $\varphi :\mathbb {R} \rightarrow G$ eine Einparameter-Untergruppe, wenn die Abbildung glatt und ein Gruppenhomomorphismus ist. Für Homomorphismen zwischen Lie-Gruppen ist Glattheit äquivalent zu Stetigkeit. Jede Einparameter-Untergruppe entspricht genau einem Element in der Lie-Algebra von $G$. Je nach Zugang wird die Lie-Algebra manchmal sogar definiert als die Menge der Einparameter-Untergruppen.

## Beispiele

* Die stetigen Gruppenhomomorphismen $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in sich selber sind genau die Abbildungen $x\mapsto \lambda x$ für ein festes $\lambda \in \mathbb {R}$.
* Die stetigen Gruppenhomomorphismen $\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{\times }$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen sind genau die Abbildungen $x\mapsto a^{x}$ für ein festes $a\in \mathbb {R} _{>0}$.