Gebrochene Brownsche Bewegung
# Gebrochene Brownsche Bewegung

Die gebrochene Brownsche Bewegung oder auch fraktionale Brownsche Bewegung ist eine Klasse von zentrierten Gauß-Prozessen $(X^{H}(t))_{t\geq 0}$, welche durch die folgende Kovarianzfunktion charakterisiert sind:
    $E[X^{H}(t)X^{H}(s)]={\frac {1}{2}}(t^{2H}+s^{2H}-|t-s|^{2H}),$
wobei H eine reelle Zahl in (0, 1) ist. H wird häufig der Hurst-Parameter genannt. Für H=1/2 ist die gebrochene Brownsche Bewegung eine eindimensionale Brownsche Bewegung.

## Eigenschaften
### Selbstähnlichkeit

$X^{H}$ ist selbstähnlich. Genauer gilt, dass die Prozesse $(X^{H}(ct))_{t\geq 0}$ und $(c^{H}X^{H}(t))_{t\geq 0}$ für jedes feste c > 0 dieselbe Verteilung besitzen.

### Stationäre Inkremente

Aus der Darstellung der Kovarianzfunktion folgt direkt die Beziehung
    $E[(X^{H}(t)-X^{H}(s))^{2}]=|t-s|^{2H},\quad t,s\geq 0.$
Insbesondere sind die Inkremente also stationär. Außerdem gilt:
* falls H = 1/2, so hat der Prozess unabhängige Inkremente;
* falls H > 1/2, so sind die Inkremente positiv korreliert;
* falls H < 1/2, so sind die Inkremente negativ korreliert.

### Pfadeigenschaften

Die Pfade der gebrochenen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter H sind Hölder-stetig mit Index $\alpha$ für jedes $\alpha <H$.

### Stochastische Integration

Es ist möglich, stochastische Integrale bezüglich der gebrochenen Brownschen Bewegung zu definieren.