Zermelosystem
# Zermelosystem

Ein Zermelosystem bezeichnet in der Mengenlehre ein Teilmengensystem und entspringt Ernst Zermelos Beweis des Vergleichbarkeitssatzes.
Eine Menge ${\mathcal {T}}$ heißt eine Kette von Teilmengen (⊆-Kette), falls: $\forall x,y\in {\mathcal {T}}:x\subseteq y\lor y\subseteq x$
Eine nichtleere Menge ${\mathcal {Z}}$ heißt ein Zermelosystem, wenn für alle ⊆-Ketten ${\mathcal {T}}$ in ${\mathcal {Z}}$ gilt: $\cup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {Z}}$
Sei ${\mathcal {Z}}$ ein Zermelosystem, dann heißt $x$ ein Ziel von ${\mathcal {Z}}$, wenn gilt: $\forall y\in {\mathcal {Z}},x\neq y\Rightarrow x\,\not \subset \,y$
Man kann mithilfe des Auswahlaxioms beweisen, dass ein solches Ziel in jedem Zermelosystem existiert.