Riemannscher homogener Raum
# Riemannscher homogener Raum

Im mathematischen Gebiet der Differenzialgeometrie ist ein Riemannscher homogener Raum (häufig auch nur Homogener Raum) ein Raum, der „in allen Punkten gleich aussieht“.

## Definition

Ein Riemannscher homogener Raum ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit $M$, deren Isometriegruppe transitiv wirkt, d. h. zu je zwei Punkten $x,y\in M$ gibt es eine Isometrie $g\in \operatorname {Isom} (M)$ mit $g(x)=y$.

## Beschreibung mittels Lie-Gruppen

Jeder Riemannsche homogene Raum ist von der Form
    $M=G/H$
für eine Lie-Gruppe $G$ und eine kompakte Untergruppe $H\subset G$.
Umgekehrt ist für eine Lie-Gruppe $G$ und eine abgeschlossene Untergruppe $H$ der Quotientenraum $G/H$ eine Hausdorffsche differenzierbare Mannigfaltigkeit und jedes unter der adjungierten Wirkung von $H$ auf der Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ invariante Skalarprodukt definiert eine links-invariante Riemannsche Metrik, mit der $G/H$ ein Riemannscher homogener Raum wird. Ein solches $Ad(H)$-invariantes Skalarprodukt auf ${\mathfrak {g}}$ existiert genau dann, wenn $H$ kompakt ist.

## Riemannsche Metrik

Ein Riemannscher homogener Raum $G/H$ hat nach Definition eine $G$-invariante Metrik, die sich zu einer links-invarianten Metrik auf $G$ hochheben lässt. Die Quotientenabbildung $G\to G/H$ ist bzgl. dieser Metriken eine Riemannsche Submersion. Insbesondere kann man die Krümmung von $G/H$ mit der O’Neill-Formel berechnen, wenn man die Krümmung von $G$ kennt.

## Beispiele

* Jede Lie-Gruppe mit einer links-invarianten Metrik ist ein Riemannscher homogener Raum.
* Jeder symmetrische Raum ist ein Riemannscher homogener Raum.
* Es gibt nicht-Riemannsche homogene Räume $G/H$ mit einer nicht-kompakten Untergruppe $H\subset G$.