Komplex-hyperbolische ideale Dreiecksgruppe
# Komplex-hyperbolische ideale Dreiecksgruppe

Komplexe ideale Dreiecksgruppen sind Spiegelungsgruppen zu den idealen Dreiecken der komplex-hyperbolischen Geometrie. Die von Richard Evan Schwartz bewiesene Goldman-Parker-Vermutung beschreibt die diskreten komplex-hyperbolischen Dreiecksgruppen.

## Definition

Der ideale Rand der komplex-hyperbolischen Ebene $\mathbb {C} \mathbb {H} ^{2}$ ist die 3-dimensionale Einheitssphäre $S^{3}=\left\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}:\|z\|^{2}+\|w\|^{2}=1\right\}$. Ein ideales Dreieck ist ein $\mathbb {C}$-Dreieck mit Ecken im idealen Rand. Eine komplexe ideale Dreiecksgruppe ist die von den $\mathbb {C}$-Spiegelungen an den Seiten eines idealen Dreiecks erzeugte Gruppe. Die Produkte zweier Erzeuger sind dabei jeweils parabolische Isometrien.

## Parametrisierung der komplexen idealen Dreiecksgruppen

Die zu isometrischen idealen Dreiecken gehörenden Spiegelungsgruppen sind konjugiert in $Isom(\mathbb {C} \mathbb {H} ^{2})=PU(2,1)$. Jedes ideale Dreieck lässt sich durch eine geeignete Isometrie $g\in PU(2,1)$ auf ein Dreieck der Form
    $(\beta ,{\overline {\beta }}),(\beta ,\beta ),({\overline {\beta }},{\overline {\beta }})$
bringen, wobei
    $\beta ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {s+i}{\sqrt {1+s^{2}}}}$
für ein $s\in \left[0,\infty \right)$ ist. (Wegen $\|\beta \|={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ liegen die drei Punkte auf $S^{3}$.) Die idealen Dreiecke und dementsprechend auch die idealen Dreiecksgruppen werden also durch die nichtnegative reelle Zahl $s$ parametrisiert.

## Goldman-Parker-Vermutung

Die von Richard Schwartz bewiesene Goldman-Parker-Vermutung besagt, dass eine ideale Dreiecksgruppe genau dann eine diskrete Untergruppe der Isometriegruppe $PU(2,1)$ ist, wenn für den oben beschriebenen Parameter die Ungleichung
    $s\leq {\sqrt {\frac {125}{3}}}$
gilt.