Messbare Funktion
# Messbare Funktion

Messbare Funktionen (englisch measurable functions) werden in der Maßtheorie untersucht, einem Teilbereich der Mathematik, der sich mit der Verallgemeinerung von Längen- und Volumenbegriffen beschäftigt. Von messbaren Funktionen wird verlangt, dass das Urbild gewisser Mengen wieder in einem bestimmten Mengensystem liegt. Messbare Funktionen spielen eine wichtige Rolle in der Stochastik und der Maßtheorie, da durch sie Zufallsvariablen und Bildmaße konstruiert werden können.

## Definition

Gegeben seien zwei Messräume $(X_{1},{\mathcal {A}}_{1})$ und $(X_{2},{\mathcal {A}}_{2})$, das heißt je eine Grundmenge und eine σ-Algebra auf dieser Menge, sowie eine Funktion (bzw. Abbildung)
    $f\colon X_{1}\to X_{2}$.
$\,f\,$ heißt nun eine messbare Funktion (bzw. messbare Abbildung), wenn das $\,f$-Urbild jeder messbaren Menge $A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}$ eine messbare Menge von ${\mathcal {A}}_{1}$ ist.
Formalisiert lautet diese Bedingung:
    $f^{-1}(A_{2})\in {\mathcal {A}}_{1}$, für alle $A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}$, wobei $f^{-1}(A_{2}):=\{x\in X_{1}:f(x)\in A_{2}\}.$
Eine solche Funktion (bzw. Abbildung) wird auch als ${\mathcal {A}}_{1}$-${\mathcal {A}}_{2}$-messbar bezeichnet. Falls klar ist, welche Messräume beteiligt sind, sagt man oft auch einfach, $\,f\,$ sei messbar.
Eine Funktion heißt Borel-messbar (Lebesgue-messbar), wenn sie bezüglich zweier Borelscher σ-Algebren (Lebesguescher σ-Algebren) messbar ist. Teilweise werden auch Mischformen (Lebesgue-Borel-messbar oder Borel-Lebesgue-messbar) verwendet. Zu beachten ist, dass kein Maß definiert sein muss, um eine messbare Funktion zu definieren.

## Elementare Beispiele

* Sind zwei Messräume $(X_{1},{\mathcal {A}}_{1})$ und $(X_{2},{\mathcal {A}}_{2})$ gegeben, und ist ${\mathcal {A}}_{2}=\{\emptyset ,X_{2}\}$ die triviale σ-Algebra, so ist jede Funktion $f\colon X_{1}\to X_{2}$ ${\mathcal {A}}_{1}$-${\mathcal {A}}_{2}$-messbar, unabhängig von der Wahl der Funktion und der σ-Algebra ${\mathcal {A}}_{1}$. Dies liegt daran, dass immer $f^{-1}(\emptyset )=\emptyset$ und $f^{-1}(X_{2})=X_{1}$ gilt. Diese Mengen sind aber immer in der σ-Algebra ${\mathcal {A}}_{1}$ enthalten. Wählt man hingegen als σ-Algebra die Potenzmenge ${\mathcal {A}}_{1}={\mathcal {P}}(X_{1})$, so ist ebenfalls jede Funktion $f\colon X_{1}\to X_{2}$ ${\mathcal {A}}_{1}$-${\mathcal {A}}_{2}$-messbar, unabhängig von der Wahl der Funktion und der σ-Algebra ${\mathcal {A}}_{2}$. Dies liegt daran, dass jedes Urbild $f^{-1}(A)$ immer in der Potenzmenge liegt, da diese per Definition jede Teilmenge der Obermenge enthält.
* Jede konstante Funktion, also jede Funktion der Form $f(x_{1})=c$ für alle $x_{1}\in X_{1}$, ist messbar. Ist nämlich $A\in {\mathcal {A}}_{2}$, so ist
       $f^{-1}(A)={\begin{cases}X_{1}&{\text{ falls }}c\in A\\\emptyset &{\text{ falls }}c\notin A\;.\end{cases}}$
    Da die Grundmenge und die leere Menge in jeder beliebigen σ-Algebra enthalten sind, sind sie insbesondere in ${\mathcal {A}}_{1}$ enthalten und die Funktion ist messbar.
* Sind $(X_{1},{\mathcal {A}}_{1})$ und $(\{0,1\},{\mathcal {P}}(\{0,1\}))$ Messräume, dann ist für beliebiges $M\in {\mathcal {A}}_{1}$ die Indikatorfunktion $f=\chi _{M}$ eine ${\mathcal {A}}_{1}$-${\mathcal {P}}(\{0,1\})$-messbare Funktion. Es gilt dann $f^{-1}(\{1\})=M$ und $f^{-1}(\{0\})=X_{1}\setminus M$ sowie $f^{-1}(\emptyset )=\emptyset$ und $f^{-1}(\{0,1\})=X_{1}$. Diese Mengen sind aber nach Voraussetzung in der σ-Algebra enthalten.

## Einordnung

Der Begriff der Messbarkeit wird durch die Definition der Integration von Henri Lebesgue motiviert: Für die Lebesgue-Integration einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ bezüglich des Lebesgue-Maßes muss Mengen der Form $f^{-1}([a,b])$ ein Maß zugeordnet sein. Beispiele für Funktionen, für die dies nicht möglich ist, sind Indikatorfunktionen von Vitali-Mengen. Die Definition der Lebesgue-Integration für beliebige Maßräume führt dann zu obiger Definition der messbaren Funktion.
Der Begriff der messbaren Funktion hat Parallelen zur Definition der stetigen Funktion. Eine Funktion zwischen topologischen Räumen $X_{1}$ und $X_{2}$ ist genau dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen von $X_{2}$ wiederum offene Mengen von $X_{1}$ sind. Die von den offenen Mengen erzeugte σ-Algebra ist die borelsche σ-Algebra. Eine stetige Funktion ist also messbar bezüglich der Borel-σ-Algebren von $X_{1}$ und $X_{2},$ kurz borel-messbar. Eine gewisse Umkehrung dieser Aussage ist der Satz von Lusin.
Messbare Funktionen spielen als Zufallsvariablen eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

## Eigenschaften
### Messbare Funktionen und Erzeugendensysteme

Oftmals ist eine σ-Algebra viel zu groß, um jede Menge aus ihr direkt angeben zu können oder das Urbild jeder Menge zu überprüfen. Die Überprüfung einer Funktion auf Messbarkeit wird aber dadurch erleichtert, dass man dies nur auf den Urbildern eines Erzeugers machen muss. Ist also ${\mathcal {E}}_{2}$ ein Erzeuger von ${\mathcal {A}}_{2}$, sprich ist $\sigma ({\mathcal {E}}_{2})={\mathcal {A}}_{2}$, so ist die Funktion $f$ genau dann messbar, wenn
    $f^{-1}(E)\in {\mathcal {A}}_{1}$
für alle $E\in {\mathcal {E}}_{2}$ gilt.
Daraus folgt direkt, dass stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen, die mit der borelschen σ-Algebra versehen sind, immer messbar sind, da Urbilder offener Mengen immer offen sind. Da die borelsche σ-Algebra aber von den offenen Mengen erzeugt wird und demnach die Urbilder des Erzeugers wieder im Erzeuger liegen, folgt die Messbarkeit.

### Initial-σ-Algebra

Zu jeder Abbildung $f\colon X_{1}\to X_{2}$, wobei $X_{2}$ mit der σ-Algebra ${\mathcal {A}}_{2}$ versehen ist, lässt sich eine kleinste σ-Algebra angeben, bezüglich derer die Funktion $f$ messbar ist. Diese σ-Algebra nennt man dann die Initial-σ-Algebra der Funktion und bezeichnet sie mit $\sigma (f)$ oder mit ${\mathcal {I}}(f)$. Sie lässt sich auch für beliebige Familien von Funktionen $(f_{i})_{i\in I}$ definieren. Sie ist dann die kleinste σ-Algebra, bezüglich derer alle $f_{i}$ messbar sind, und wird dann mit $\sigma (f_{i}\colon i\in I)$ oder ${\mathcal {I}}(f_{i}\colon i\in I)$ bezeichnet. Für eine einzelne Funktion $f$ ist aufgrund der Operationsstabilität des Urbildes bereits $f^{-1}({\mathcal {A}}_{2})$ die Initial-σ-Algebra.

### Verkettungen messbarer Funktionen

Sind $(X_{1},{\mathcal {A}}_{1})$, $(X_{2},{\mathcal {A}}_{2})$ und $(X_{3},{\mathcal {A}}_{3})$ Messräume und ist $f$ ${\mathcal {A}}_{1}$-${\mathcal {A}}_{2}$-messbar und $g$ ${\mathcal {A}}_{2}$-${\mathcal {A}}_{3}$-messbar, so ist die Funktion $h(x)=g(f(x))$ ${\mathcal {A}}_{1}$-${\mathcal {A}}_{3}$-messbar. Unter Umständen kann auch aus der Messbarkeit von verknüpften Funktionen auf die Messbarkeit ihrer Teilfunktionen geschlossen werden: Sind $f_{i}$ Funktionen von $(X_{2},{\mathcal {A}}_{2})$ nach $(X_{i},{\mathcal {A}}_{i})$ und ist ${\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {I}}(f_{i})$ die Initial-σ-Algebra, dann ist eine Funktion $f$ von $(X_{1},{\mathcal {A}}_{1})$ nach $(X_{2},{\mathcal {A}}_{2})$ genau dann messbar, wenn $f_{i}\circ f$ für alle $i\in I$ $A_{1}$-$A_{i}$-messbar ist.

## Faktorisierungslemma

Das Faktorisierungslemma ist ein maßtheoretischer Hilfssatz, der die Messbarkeit von Funktionen bezüglich einer am Urbildraum von einer anderen Funktion induzierten sigma-Algebra charakterisiert.
Lemma (Faktorisierunglemma): Es seien $(X_{2},{\mathcal {A}}_{2})$ ein Messraum und $f\colon X_{1}\to X_{2}$ eine Abbildung. Es bezeichne $\sigma (f):=f^{-1}({\mathcal {A}}_{2})$ die von $f$ und ${\mathcal {A}}_{2}$ erzeugte σ-Algebra auf $X_{1}$. Es sei nun $(X_{3},{\mathcal {A}}_{3})$ ein weiterer Messraum und $g\colon X_{1}\to X_{3}$ eine weitere Abbildung. Dann sind äquivalent:
(1) Die Abbildung $g$ ist $(X_{1},\sigma (f))-(X_{3},{\mathcal {A}}_{3})$-messbar.
(2) Es existiert eine messbare Funktion ${\tilde {g}}\colon (X_{2},{\mathcal {A}}_{2})\to (X_{3},{\mathcal {A}}_{3})$ mit
    $g={\tilde {g}}\circ f$.
Man sagt in diesem Fall, dass die Abbildung $g$ über $f$ messbar faktorisiert wird.
Informell in Worten beschrieben besagt das Faktorisierungslemma, dass eine Funktion genau dann bezüglich einer induzierten $\sigma$-Algebra am Urbildraum messbar ist, wenn messbar faktorisiert werden kann.
Die $(X_{1},\sigma (f))-(X_{3},{\mathcal {A}}_{3})$-messbaren Funktionen $g$ sind also genau jene, die im Bild des Pullback-Operators $.\circ f$, der $(X_{2},{\mathcal {A}}_{2})-(X_{3},{\mathcal {A}}_{3})$-messbaren Funktionen liegen.
Das Faktorisierungslemma wird bei einigen weitreichenden stochastischen Konstruktionen und Sätzen der mathematischen Statistik verwendet. Zum Beispiel wird das Lemma in der Wahrscheinlichkeitstheorie bei der Konstruktion der faktorisierten bedingten Erwartung eingesetzt, die ein Schritt auf dem Weg zur regulären bedingten Verteilung ist, und in der Statistik für suffiziente Statistiken zur Datenreduktion.

## Messbarkeit reellwertiger Funktionen
### Überprüfung

Für eine Abbildung $f$ von einem Messraum $(X,{\mathcal {A}})$ nach $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ gilt, dass $f$ genau dann messbar ist, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist
* $\{f\leq a\}\in {\mathcal {A}}\;\forall a\in \mathbb {R}$,
* $\{f<a\}\in {\mathcal {A}}\;\forall a\in \mathbb {R}$,
* $\{f\geq a\}\in {\mathcal {A}}\;\forall a\in \mathbb {R}$,
* $\{f>a\}\in {\mathcal {A}}\;\forall a\in \mathbb {R}$.
Dabei ist $\{f\leq a\}$ als Abkürzung für
    $\{x\in X\mid f(x)\leq a\}=f^{-1}((-\infty ,a])$
zu verstehen. Es würde auch ausreichen, wenn $a$ nur alle rationalen Zahlen durchliefe, denn die angegebenen Intervalle bilden immer ein Erzeugendensystem der borelschen σ-Algebra.

### Messbare Funktionen

Die folgenden Funktionen $g\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ sind beispielsweise messbar:
    $g(x)=\max(0,x)=:x^{+}$
    $g(x)=\min(0,x)=:x^{-}$
    $g(x)=|x|$
    $g(x)=\operatorname {sgn} (x)$.
Ist außerdem eine Funktion $f\colon (X_{1},{\mathcal {A}}_{1})\to (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ gegeben, so ist sie genau dann messbar, wenn jede ihrer Komponentenfunktionen $f_{i}$ ${\mathcal {A}}$-${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$-messbar ist.
Sind $f,g$ messbare Funktionen von $(X_{1},{\mathcal {A}}_{1})$ nach $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$, so sind auch $f+g$ und $f-g$ messbar. Ist $h$ messbar von $(X_{1},{\mathcal {A}}_{1})$ nach $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, so ist $f\cdot h$ messbar. Vereinbart man die Konvention ${\tfrac {x}{0}}=0$, so ist sogar ${\tfrac {f}{h}}$ messbar.
Ist eine Funktionenfolge $(X_{1},{\mathcal {A}}_{1})$-$({\overline {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\overline {\mathbb {R} }}))$-messbarer Funktionen $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegeben, so sind auch das Infimum, das Supremum sowie der Limes inferior und der Limes superior dieser Folge wieder messbar.

### Approximation

Jede positive messbare Funktion lässt sich durch eine monoton wachsende Funktionenfolge von einfachen Funktionen (also Linearkombinationen von Indikatorfunktionen von messbaren Mengen) approximieren. Eine Funktionenfolge, die das leistet, ist beispielsweise
    $f_{n}(x)=\min(2^{-n}\lfloor 2^{n}f(x)\rfloor ;n)$.
Diese Approximationseigenschaft wird bei der Konstruktion des Lebesgue-Integrals genutzt, welches zuerst nur für einfache Funktionen definiert wird und dann auf alle messbaren Funktionen fortgesetzt wird.

### Lebesgue- und Borelmessbare Funktionen

Eine (reelle) Lebesgue-Borel-messbare Funktion ist nicht unbedingt Borel-Borel-messbar. Auch ist eine Lebesgue-Borel-messbare Funktion nicht unbedingt Lebesgue-Lebesgue-messbar. Die Verkettung zweier Lebesgue-Borel-messbarer Funktionen ist also nicht zwangsläufig wiederum Lebesgue-Borel-messbar.

## Verwandte Begriffe
### Starke Messbarkeit

Ist eine Funktion in einem metrischen Raum punktweiser Limes von Elementarfunktionen, d. h. messbaren Funktionen mit endlichem Bild, so heißt sie „stark messbar“.
* Jede messbare Funktion mit separablem Bild ist stark messbar.
* Jede stark messbare Funktion ist messbar.
Starke Messbarkeit und Messbarkeit unterscheiden sich nur voneinander, wenn der Zielraum nicht-separabel ist. Dies ist beispielsweise bei der Definition von verallgemeinerten Integralen wie dem Bochner-Integral der Fall.

### Bimessbare Funktionen

Messbare Funktionen, deren Umkehrabbildung ebenfalls messbar ist, werden bimessbare Funktionen genannt.

## Abgrenzung

Eine Teilmenge eines Messraums heißt messbar, wenn sie Element der σ-Algebra des Messraums ist und ihr somit potentiell ein Maß zugeordnet werden kann. Des Weiteren existiert noch die Messbarkeit nach Carathéodory von Mengen bezüglich eines äußeren Maßes. Hier wird nur ein äußeres Maß benötigt.