Dawson-Funktion
# Dawson-Funktion

In der Mathematik ist die Dawson-Funktion (auch Dawsons Funktion oder Dawson-Integral) der Name folgender Funktionen
    $\operatorname {D} _{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,\mathrm {d} t$
für $x\in \mathbb {C}$ und
    $\operatorname {D} _{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t$
für $x\in \mathbb {C}$.
Die Funktionen stehen in folgender Beziehung zueinander
    $\operatorname {D} _{-}(x)=-i\operatorname {D} _{+}(ix).$
Für alle komplexen Werte sind $\operatorname {D} _{-},\operatorname {D} _{+}$ die Lösungen der Differentialgleichungen
    $y'\pm 2xy=1.$
Es handelt sich bei $\operatorname {D} _{+},\operatorname {D} _{-}$ um die einseitige Sinustransformation resp. Sinus-Hyperbolicus-Transformation des gaußschen Fehlerintegrals und somit ist die Dawson-Funktion keine elementare Funktion.
Der britische Mathematiker Henry Gordon Dawson ist für diese Funktionen namensgebend.

## Definition

Die Dawson-Funktion ist das Produkt aus $e^{\mp x^{2}}$ und dem Integral über $e^{\pm t^{2}}1_{[0,x]}\mathrm {d} t$.
Die Dawson-Plus-Funktion ist
    $\operatorname {D} _{+}(x):=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,\mathrm {d} t,\qquad x\in \mathbb {C}$.
Die Dawson-Minus-Funktion ist
    $\operatorname {D} _{-}(x):=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t,\qquad x\in \mathbb {C}$.

### Elementare Eigenschaften

Es gilt
    $\operatorname {D} _{+}(x)=e^{-x^{2}}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\operatorname {erfi} (x)$
und
    $\operatorname {D} _{-}(x)=e^{x^{2}}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} (x)$
wobei $\operatorname {erf} (x)$ die komplexe Fehlerfunktion und $\operatorname {erfi} (x)$ die imaginäre Fehlerfunktion
    $\operatorname {erfi} (x):=-i\operatorname {erf} (ix).$
bezeichnet.
Mit der Substitution $t=xy$ im Integral erhält man auch folgende Darstellung
    $\operatorname {D} _{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{1}xe^{x^{2}y^{2}}\,\mathrm {d} y.$
    $\operatorname {D} _{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{1}xe^{-x^{2}y^{2}}\,\mathrm {d} y.$

## Kurvendiskussion

Sowohl die Dawson-Plus-Funktion als auch die Dawson-Minus-Funktion zählen zu den sogenannten ganzen Funktionen und sind somit für alle komplexen Zahlen $x\in \mathbb {C}$ definiert. Im Reellen hat die Dawson-Plus-Funktion einen zum Ursprung punktsymmetrischen Graphen. Die Extrempunkte ergeben sich aus der Gleichung $2\,x\operatorname {D} _{+}(x)=1$. An der Stelle $x=-0{,}924138873$ (gerundet) liegt ein relatives Minimum vor, an der Stelle $x=+0{,}924138873$ (gerundet) ein relatives Maximum. Für positive Abszissenwerte ist die Dawson-Plus-Funktion positiv und rechtsgekrümmt und für negative Abszissenwerte ist sie negativ und linksgekrümmt. Die Dawson-Minus-Funktion ist eine bijektive Funktion, die für alle reellen Abszissenwerte eine positive Steigung aufweist. Diese Funktion ist für positive Abszissenwerte linksgekrümmt und für negative Abszissenwerte rechtsgekrümmt.

## Differentialgleichungen

Somit gelten diese Ableitungen und diese Differentialgleichungen:
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\exp(x^{2})\operatorname {D} _{+}(x)=\exp(x^{2})$
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\exp(-x^{2})\operatorname {D} _{-}(x)=\exp(-x^{2})$
Daraus folgen diese beiden Differentialgleichungen:
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {D} _{+}(x)=1-2\,x\operatorname {D} _{+}(x)$
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {D} _{-}(x)=1+2\,x\operatorname {D} _{-}(x)$

## Beziehung zur Fehlerfunktion
### Dawson-Plus-Funktion
#### Erf-Funktion und Erfc-Funktion

Es gilt folgende Beziehung zur komplexen Fehlerfunktion $\operatorname {erf} (x)$ und zur Faddeeva-Funktion $w(x)$
    $w(x)=e^{-x^{2}}\operatorname {erfc} (-ix)=e^{-x^{2}}+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}D_{+}(x)$
wobei $\operatorname {erfc}$ die komplementäre Fehlerfunktion
    $\operatorname {erfc} (x):=1-\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t$
bezeichnet.

#### Sinus-Transformation des Gaussschen Fehlerintegrals

Als Sinus-Transformation des Gaussschen Fehlerintegrals hat die Dawson-Plus-Funktion folgende weitere Identität:
    $\operatorname {D} _{+}(x)=\int _{0}^{\infty }\exp(-y^{2})\sin(2\,x\,y)\,\mathrm {d} y$

### Dawson-Minus-Funktion

Als Sinus-Hyperbolicus-Transformation des Gaußschen Fehlerintegrals hat die Dawson-Minus-Funktion diese weitere Identität:
    $\operatorname {D} _{-}(x)=\int _{0}^{\infty }\exp(-y^{2})\sinh(2\,x\,y)\,\mathrm {d} y$

## Reihenentwicklungen

Die Maclaurinschen Reihen für die beiden Dawsonschen Funktionen lauten so:
    $\operatorname {D} _{+}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}4^{n}n!}{2\,(2n)!}}\,x^{2n-1}$
    $\operatorname {D} _{-}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4^{n}n!}{2\,(2n)!}}\,x^{2n-1}$

## Glockenkurve

Mit den Dawson-Funktionen kann das Gaußsche Glockenkurvenintegral bewiesen werden:
Für dieses Integral der Glockenkurve gilt mit der genannten Definition der Dawson-Minus-Funktion diese Formel:
    $\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x=\lim _{x\rightarrow \infty }\exp(-x^{2})\operatorname {D} _{-}(x)$
Diese Funktion hat die nun gezeigte Ableitung:
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}{\bigl2\exp(-x^{2})\exp(-x^{2}y^{2})\operatorname {D} _{-}(x\,y){\bigr ]}=2\,x\exp(-x^{2})\exp(-x^{2}y^{2})=2\,x\exp {\bigl-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}$
Somit gilt folgende Integralidentität:
    $2\exp(-2\,x^{2})\operatorname {D} _{-}(x)=\int _{0}^{1}2\,x\exp {\bigl-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}\,\mathrm {d} y$
Durch die Bildung der Ursprungsstammfunktion von der nun genannten Formel bezüglich x entsteht diese Formel:
    $\exp(-2\,x^{2})\operatorname {D} _{-}(x)^{2}=\int _{0}^{1}{\frac {1-\exp {\bigl-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y$
Durch Bildung des Grenzwertes entsteht dann die anschließende Gleichung:
    $\lim _{x\rightarrow \infty }\exp(-2\,x^{2})\operatorname {D} _{-}(x)^{2}=\lim _{x\rightarrow \infty }\int _{0}^{1}{\frac {1-\exp {\bigl-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y=$
    $=\int _{0}^{1}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1-\exp {\bigl-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y={\frac {\pi }{4}}$
Daraus folgt dieses Endresultat:
    $\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$